HHP OXY TINH CHAT libre

CHUYểN Đ HỊNH H C GI I TÍCH TRONG M T PH NG OXY Ch ng T a đ m vƠ vector Ch ng Ph ng trình đ ờng th ng vƠ đ ờng tròn BƠi Phương trình đường thẳng BƠi Khoảng cách góc BƠi Phương trình đường tròn Ch ng S d ng tính ch t hình h c ph ng đ gi i toán hình gi i tích Oxy BƠi Các tính ch t tam giác Đường cao trực tâm Đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp Đường trung tuyến trọng tâm Một số toán liên quan diện tích tam giác BƠi Các tính ch t tứ giác đ c biệt Hình thang Hình bình hành Hình thoi Hình chữ nhật Hình vuông BƠi Ph Ch ng tích m t m đ i với m t đ ờng tròn ng Các d ng toán v Elip Page CH NG 3: S D NG TÍNH CH T HỊNH H C PH NG Đ GI I HỊNH H C TRONG M T PH NG OXY BƠi CÁC TÍNH CH T TRONG TAM GIÁC BƠi toán c b n Cho tam giác ABC có A(2; 14), B(2;14), C(5; 7) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I tâm đường tròn nội tiếp J tam giác ABC H ớng d n gi i Bài toán trình bày hướng dẫn giải chương I ĐS G( ;  ), H (26; 10), I ( 7 21 ; ), J (2; 6) 2 BƠi toán tổng quát Cho tam giác ABC cho tọa độ điểm A, B, C, I, J, G, H Tìm tọa độ điểm lại tam giác ABC H ớng d n gi i Để giải toán tổng quát ta sử dụng tính chất hình học phẳng 1.Đ ờng cao vƠ trực tơm Tính ch t 1.1 Cho tam giác ABC có H trực tâm, AH  BC, BH  AC, CH  AB  Ví d 1.1.1 Cho tam giác ABC có A(2; 14), B(2;14) Tọa độ trực tâm H(26; 10) Tìm tọa độ điểm C H ớng d n gi i Cách  Đường thẳng AC qua A có vector pháp tuyến BH  (24; 24) có phương trình: AC : x  y  12   Đường thẳng BC qua B có vector pháp tuyến AH  (28; 4) có phương trình: BC : 7x  y  28  Suy tọa độ điểm C C(5; 7)   Cách Gọi C( x; y) Vì H trực tâm tam giác ABC nên  AH  BC   AH BC  CH  AB CH AB   Giải hệ ta tìm C(5; 7)  Ví d 1.1 Cho tam giác ABC có A(4; 2) Đường cao CH có phương trình: x  y   , đường trung trực cạnh BC có phương trình: d : 3x    Tìm tọa độ điểm B, C H ớng d n gi i  Đường thẳng AB qua A vuông góc CH có phương trình: x  y   Page  Gọi B(b;2  b)  AB,C(c; c  2) CH Khi trung điểm M BC có tọa độ  bc 4bc M ;    Vì M thuộc d : 3x    nên b  7c  12  (*)  Một vector phương d ud  (4; 3) Khi BC.ud   c  7b (**)  9 7 1  Giải hệ (*) (**) ta c   ; b    B   ;  , C  ;  4  4 4 4 Tính ch t 1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I), trực tâm H M trung điểm BC Khi AH  2IM Chú ý Tính chất sử dụng không cần chứng minh lại  Ví d 1.2.1 Cho tam giác ABC có A(2; 14) Tọa độ trực tâm H(26; 10) Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I ( 21 ; ) Tìm tọa độ điểm B, C 2 H ớng d n gi i Cần nhớ đẳng thức AH  IM với M trung điểm BC Lời gi i  7  Gọi M trung điểm BC, AH  2IM  M   ;  2   Đường thẳng BC qua M có vector pháp tuyến AH  (28; 4) có phương trình: BC : 7x  y  28   Tọa độ P, Q nghiệm hệ: 2  21    625  x     y    2  2  P (5; 7), C (2;14) ngược lại  7 x  y  28   Tính ch t 1.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I), trực tâm H G trọng tâm Khi HG  2GI Page Chú ý Tính chất sử dụng không cần chứng minh lại  Ví d 1.3.1 Cho tam giác ABC có A(2; 14) Tọa độ trực tâm H(26; 10) trọng tâm G( ;  ) Tìm tọa độ điểm B C 3 H ớng d n gi i  Gọi I ( x; y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có HG  2GI Giải I( 21 ; ) 2  Gọi M trung điểm BC Sử dụng AH  2IM MA  3MG ta tìm M ( ; )  Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I bán kính IA có phương trình: 7 2  21   3 625 x   y   2  2  2 Đường thẳng BC qua M vuông góc AH có phương trình: 7x  y  28   2     21 625 Tọa độ B, C nghiệm hệ  x     y         28    x y  Từ B(2;14), C(5; 7) ngược lại Tính ch t 1.4 Cho tam giác ABC có trực tâm H Khi điểm đối xứng trực tâm H qua cạnh BC, CA, AB điểm đối xứng trực tâm H qua trung điểm cạnh nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chú ý Tính chất sử dụng không cần chứng minh lại Page  Ví d 1.4.1 Cho tam giác ABC có trực tâm H(1;0) , chân đường cao kẻ từ đỉnh B K(0;2) , trung điểm AB M(3;1) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H ớng d n gi i  Gọi H1 đối xứng với H qua K, H1 (1; 4) Gọi H2 đối xứng với H qua M, H (5;2)  Đường thẳng AK qua hai điểm H, K có phương trình: 2x  y   Gọi T trung điểm AK Đường thẳng MT qua M vuông góc AK có phương trình: x  2y 1    Tọa độ điểm T nghiệm hệ: 2 x  y     x   x  2y    Vì T trung điểm AK nên A(2; 2)  y   Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua ba điểm A(2; 2) , H1 (1; 4) , H (5;2) có phương trình: x2  y2  3x  3y   2.Đ ờng phơn giác vƠ tơm đ ờng tròn n i ti p tam giác Tính ch t 2.1 Cho tam giác ABC đường phân giác BD M điểm tùy ý cạnh AB Gọi M’ điểm đối xứng với M qua BD Khi M’ thuộc BC Chú ý Tính chất sử dụng không cần chứng minh lại Tính chất giới thiệu Phương trình đường thẳng 3 7 1 5  Ví d 2.1.1 Cho tam giác ABC có M  ;  , N  ;  trung điểm BC AC 2 2 2 2 Phương trình đường phân giác kẻ từ A AD : x 1  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H ớng d n gi i 3 5  Gọi N ' đối xứng với N qua AD N '  ;  2 2 Đường thẳng AB qua N ' song song đường thẳng MN là: x  y    Tọa độ A nghiệm hệ:  x    A(1;2) x  y 1  3 7 1 5  Từ M  ;  , N  ;  trung điểm BC AC ta tìm B(3;4), C(0;3) 2 2 2 2  Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng : (C) : x  y2  2ax  2by  c  Page Thay tọa độ A, B, C vào phương trình giải hệ ta : (C) : x  y2  3x  7y  12   Ví d 2.1.2 Cho tam giác ABC có A(2; 14), B(2;14) Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp J(2; 6) Tìm tọa độ điểm C H ớng d n gi i  Phương trình AB : 7x  y  Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: r  d (J; AB)  2  Đường thẳng AC tiếp tuyến thứ hai đường tròn nội tiếp kẻ từ A (trừ AB) nên ta có AC : x  y  12   Tương tự: BC : 7x  y  28   Suy tọa độ điểm C C(5; 7) Cách Phương trình đường thẳng AJ : 2x  y  10  Gọi B’ đối xứng với B qua AJ Khi B '(18;6) Đường thẳng AC qua A B’ có phương trình: AC : x  y  12  Tương tự, BC : 7x  y  28  Do C(5; 7)  Ví d 2.1.3 Cho tam giác ABC có A(1; 2) Đường cao CH : x  y   , đường phân giác BN : x  y   Tìm tọa độ B, C tính diện tích tam giác ABC H ớng d n gi i  Đường thẳng AB qua A vuông góc CH có phương trình: x  y    Tọa độ B nghiệm hệ: 2 x  y    B(4;3) x  y 1   Gọi A’ đối xứng với A qua đường phân giác BN Suy A’ thuộc BC Khi tọa độ  x  2y     A '(3; 4) A’ nghiệm hệ:   x   y   5      Đường thẳng BC qua A’ B có phương trình: 7x  y  25  Khi tọa độ C  x  y 1   C ( ;  ) nghiệm hệ:  4 7 x  y  25  13  Diện tích tam giác ABC : SABC  d ( A; BC ).BC  2 450 45  4 Tính ch t 2.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường phân giác AD cắt đường tròn (I) J Khi J trung điểm cung BC, tức IJ vuông góc BC Chú ý Tính chất sử dụng không cần chứng minh lại Page  Ví d 2.2.1 Cho tam giác ABC có A(2;6) Chân đường phân giác góc A D(2;  ) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I ( ;1) Tìm tọa độ B C 2 H ớng d n gi i   1 125 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: (I ) :  x    ( y  1)2  2   Đường thẳng AD có phương trình: x  Gọi J giao điểm thứ hai AD (I) Khi giải hệ ta J(2; 4)  Đường thẳng BC qua D vuông góc IJ có phương trình: BC : x  2y    Giải hệ phương trình gồm có phương trình BC (I) ta được: B(5;0), C(3; 4) ngược lại Tính ch t 2.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) ngoại tiếp đường tròn (J Đường thẳng AJ cắt (I) K Khi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC Chứng minh Ta có BJK  BAJ  ABJ  JBK  KBC  JBK Do  KBJ cân K, tương tự ta có KCJ cân K  Ví d 2.3.1 Cho tam giác ABC có I(2;3) , tâm đường tròn ngoại tiếp I(6;6) Tâm đường tròn nội tiếp J(4;5) Tìm tọa độ B C H ớng d n gi i  Đường tròn ngoại tiếp tâm I, bán kính IA có phương trình: (I ) : ( x  6)2  ( y  6)2  25  Đường thẳng AJ có phương trình: x  y    Gọi K giao điểm AJ (I), giải hệ ta K(9;10)  Đường tròn qua ba điểm B, J, C có tâm K bán kính KJ có phương trình: Page (K ) : ( x  9)2  (y  10)2  50 Vì B, C hai giao điểm (K) (I) nên tọa độ chúng nghiệm hệ:  ( x  9)2  ( y  10)2  50  B(10;3), C (2;9) ngược lại  2  ( x  6)  ( y  6)  25 3.Đ ờng trung n vƠ tr ng tơm  x A  x B  xC  xG  Tính ch t 3.1 Cho G trọng tâm tam giác ABC,  y y  B  yC y  A G   Ví d 3.1.1 Cho tam giác ABC có A(2; 14), B(2;14) Tọa độ trọng tâm G( ;  ) Tìm tọa độ điểm C H ớng d n gi i  x  xB  xC x  A  x  xG  x A  xB  5  G  C Vì G trọng tâm tam giác ABC nên   yC  3yG  y A  yB  7  y  y A  yB  yC G  Tính ch t 3.2 Cho G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm BC, AG  2GM  Ví d 3.2.1 Cho tam giác ABC có B(12;1) , phương trình đường phân giác góc A 1 2 x  2y   Tọa độ trọng tâm G  ;  Viết phương trình đường thẳng BC 3 3 H ớng d n gi i  13  ;   2  Gọi M trung điểm AC Khi BG  2GM , ta tìm M   11 3  Gọi N điểm đối xứng với M qua đường phân giác góc A Khi N  ;    2  Đường thẳng AB qua N B có phương trình: x  7y   Giải hệ  x  7y   ta A(9; 2)  x  2y    Vì M trung điểm AC nên C(4;3) Do phương trình BC: x  8y  20  Tính ch t 3.3 Cho G trọng tâm tam giác ABC, diện tích ba tam giác GAB, Page diện tích tam giác ABC Từ ta có d (G; BC )  d ( A; BC ) 3  Ví d 3.3.1 Diện tích tam giác ABC , hai đỉnh A(2; 3), B(3; 2) trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng d : 3x  y   Tìm tọa độ đỉnh C GBC, GCA H ớng d n gi i  Ta có SGAB  SABC  , AB   Phương trình đường thẳng AB là: x  y    Gọi G(a;3a  8)  d Ta có, SGAB  AB.d (G; AB)  Do G(1; 5), G(2; 2)  1 | a  3a   | a   2.d (G; AB)  1  2  a  2  x A  xB  xC  xG   x  xG  x A  xB  C Vì G trọng tâm tam giác ABC nên   yC  3yG  y A  yB  y  y A  yB  yC G  Ta tìm C(1; 1), C(2; 10) Tính ch t 3.4 Nếu AM đường trung tuyến M trung điểm BC Khi tọa độ B, C, M thường biểu diễn theo ẩn  Ví d 3.4.1 Cho tam giác ABC có A(2;1) Đường cao BH có phương trình: x  3y   , đường trung tuyến CM: x  y   Tìm tọa độ điểm B, C H ớng d n gi i  Đường thẳng AC qua A vuông góc BH có phương trình: 3x  y   3 x  y    C (4; 5)  Tọa độ C nghiệm hệ:  x  y 1   3b   b  ;  Vì M  MC nên    Gọi B(3b  7; b)  BH Vì M trung điểm AB nên M   Suy B(2; 3) 3b   b     b  3 2  Ví d 3.4.2 Cho tam giác ABC có A(3; 4) Đường trung trực canh BC có phương trình: d : x  y 1  , đường trung tuyến CN: 3x  y   Tìm tọa độ B, C H ớng d n gi i  Gọi C(c;3c  9) CN Gọi M(m;1  m)  d Page trung điểm BC Khi B  2m  c;11  2m  3c   2m  c   2m  3c  ;  2    Gọi N trung điểm AB Khi N  2m  c   2m  3c     m  2  Suy M(2; 1) phương trình BC x  y    Vì N thuộc CN : 3x  y   nên Vì C  BC  CN  C(3;0)  B(1; 2) 4.M t s bƠi toán liên quan diện tích tam giác 4.1 S d ng công thức S  AB AC.sin A  Ví d 4.1.1 Cho tam giác ABC có A(1;3), B(2; 1), C(0;5) Tính diện tích tam giác ABC H ớng d n gi i Gọi S diện tích tam giác ABC Ta có công thức S  cosA  Do S  AB AC.sin A Ta tính AB AC | 1  | 81    sin A    AB AC 85 17 85 85 17  85 Chú ý Có thể kiểm chứng kết công thức S | a1b2  a 2b2 | AB  (a1; b1 ), AC  (a ; b2 ) Vậy S  |1.2  ( 1).( 4) | 1  Ví d 4.1 (A2010) Cho hai đường thẳng d1 : 3x  y   0, d : 3x  y  Gọi (T) đường tròn tiếp xúc d1 A, cắt d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T) biết tam giác ABC có diện tích dương H ớng d n gi i  Hai đường thẳng d1 d cắt O, cos(d1; d2 )  OAB vuông B nên BOA  600  BAC  600  Ta có SABC  AB AC.sin 600  S ABC  điểm A có hoành độ | 3  1.1|    tam giác 3 (OA.sin 60 )(OA.tan 60 )  OA2 Do đó:  OA2  Page 10  Gọi A( x; y) , tọa độ A nghiệm hệ sau với x  :  3x  y     ; A         x  y  Đường thẳng AC qua A vuông góc d2 nên có phương trình: AC : 3x  3y   Tọa độ C nghiệm hệ:  x  y    ; 2   C   x  3y      3 ;   bán kính IA  Phương  2  Đường tròn (T) có đường kính AC có tâm I      3 trình (T) là:  x     x    2 3   2 4.2 S d ng công thức SABC  d ( A; BC ).BC  d ( A; BC )  2SABC BC  Ví d 2.1 Cho tam giác ABC có A(1;0), B(0;2) Diện tích tam giác trung điểm I AC nằm đường thẳng d : y  x Tìm tọa độ điểm C H ớng d n gi i  Phương trình đường thẳng AB : 2x  y    Gọi I (t; t)  d  C(2t 1;2t) Ta có SABC t   d (C; AB) AB   d (C; AB)  | 6t  |   t    8 Khi có điềm C thỏa yêu cầu: C(1; 0), C  ;  3  4.3 S d ng công thức SABC  AH BC   Ví d 3.1 Cho tam giác ABC cân C đường thẳng AB : x  y   , trọng tâm  14  tam giác ABC G  ;  diện tích tam giác ABC Tìm tọa độ điểm A, B,  3 C H ớng d n gi i 65 5 1  Gọi H trung điểm AB, CH  AB nên CH : x  y    H  ;  2 Vì G trọng tâm tam giác ABC nên HC  3HG  C (9;6)  Gọi A(a;2  a)  AB Vì H trung điểm AB nên: B(5  a; a  3)  AB  (5  2a)2  (2a  5)2 Page 11    13 13  ;   Khi 2   Ta có CH    S ABC  65 a  AB.CH   8a2  40a    2  a  Suy A(0;2), B(5; 3) A(5; 3), B(0;2)  Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: x2  y2  137 59 66 x y  13 13 13  Ví d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(4;0) , phân giác góc A có phương trình x  y   Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hoành độ dương B có tung độ dương H ớng d n gi i  Gọi C ' đối xứng với C qua đường phân giác góc A C '(4,1)  Gọi A(a ;5  a ), AC '  AC  A(4,1)  Gọi B(4, b), SABC   B(4,7) AC AB    B(4, 5)  Vì C ' nằm AB nên chọn B(4,7) Do BC : 3x  y  16  4.4 S d ng công thức SABC   SKBC  d ( A; BC )   d (K ; BC )  Ví d 4.4 Cho tam giác ABC có A(2;3) Đường phân giác góc A có phương trình: d : x  y   Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(6;6) Diện tích tam giác ABC gấp lần diện tích tam giác IBC Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC H ớng d n gi i  Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm A(2;3) bán kính R  IA  , có phương trình: (C) : ( x  6)2  (y  6)2  25 Gọi D giao điểm thứ hai d (C) Giải hệ ta D(9;10)  Ta có ID  (3; 4) Vì BC  ID nên phương trình BC có dạng: 3x  4y  m    m  36  Theo đề ta có SABC  3SIBC  d ( A; BC )  3d (I ; BC )  | 18  m | | 42  m |  m  54  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu: 3x  4y  54  0,3x  4y  36  C.BÀI T P Đ NGH BƠi 3.1.1 Cho tam giác ABC có A(2; 14) Tọa độ trọng tâm G( ;  ) Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I ( ĐS B(2;14),C(5; 7) 21 ; ) Tìm tọa độ điểm B, C 2 BƠi 3.1.2 Cho tam giác ABC có A(2; 14) Tọa độ trọng tâm G( ;  ) Tọa độ trực tâm Page 12 H(26; 10) Tìm tọa độ điểm B, C ĐS B(2;14),C(5; 7) BƠi 3.1.3 Cho tam giác ABC có A(2; 14) Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp J(2; 6) Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I ( 21 ; ) Tìm tọa độ điểm B, C 2 HD S d ng tính ch t: Cho tam giác ABC có I, J tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp Đường thẳng AJ cắt (I) K, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BJC ĐS B(2;14),C(5; 7) BƠi 3.1.4 Cho tam giác ABC có A(1; 3) Đường thẳng phân giác góc B BD : x  y   Đường trung tuyến CE : x  8y   Tìm tọa độ điểm B, C ĐS B(3;5), C(7;0) BƠi Cho tam giác ABC có A(2;4) Đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình  : x  6y   Trung điểm cạnh BC nằm đường thẳng d : 2x  2y 1  Tìm tọa độ điểm B, C biết diện tích tam giác ABC xC  ĐS B(1;1), C(4;3) BƠi 3.1.5 Cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM đường phân giác BD Biết H (4;1), M  17  ;12  BD : x  y   Tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC   HD Viết PT đường thẳng d qua H vuông góc BD Tìm tọa độ I giao điểm d BH ĐS A ; 25  5  BƠi 3.1.6 Cho tam giác ABC có B(1; 2) Đường cao AH : x  y   , biết C thuộc đường thẳng:  : 2x  y 1  diện tích tam giác ABC Tìm tọa độ điểm A, C ĐS C(2; 3), A(1;2) A(3;0) D.M T S BÀI T P TRONG Đ THI Đ I H C VÀ Đ THI TH BƠi Cho tam giác ABC vuông A, đường thẳng AB đường chứa trung tuyến AM tam giác có phương trình: x  3y   7x  y   Điểm E(10;3) thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC (Thi thử lần khối A - 2014, Chuyên ĐHSP Hà Nội) H ớng d n gi i Tam giác ABC vuông nên MA = MB Do ta khai thác tính chất tam giác cân MAB Để ý vị trí điểm E Page 13 Lời gi i  Tọa độ điểm A nghiệm hệ: 4 x  3y    A(1;1)  Gọi F thuộc AM cho EF 7 x  y   AB Suy EF có phương trình: x  3y  49  Vì F thuộc AM nên tọa độ F nghiệm hệ: 4 x  3y  49   F(1;15) 7 x  y   Đường trung trực d EF có phương trình: d : x  8y  39  TH1: E n m M vƠ B Do tam giác MEF cân M Suy d qua trung điểm H AB trung điểm M BC  9  Tọa độ điểm M nghiệm hệ: 6 x  8y  39   M   ;  Ta có BC  BM  C (3; 4) 7 x  y    2    Tọa độ điểm H nghiệm hệ: 4 x  3y    H   ;3  Ta có AB  AH  B(4;5) Vậy A(1;1), B(4;5),C(3;4) TH2: E n m M vƠ C T A(1;1), B(3;4), C(4;5) 6 x  8y  39    ng tự ta hoán đổi v trí B, C cho ta đ c: BƠi Cho tam giác ABC có AB : x  y   , AC : 3x  4y   điểm M(1;3) nằm đường thẳng BC thỏa mãn 3MB  2MC Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC (Thi thử lần Khối A 2014 – Chuyên Vĩnh Phúc) H ớng d n gi i Điểm M(1;3) nằm đường thẳng BC thỏa mãn 3MB  2MC hiểu vị trí M so với BC phải chia hai trường hợp chuyển qua đẳng thức vector để tìm tọa độ B C Lời gi i  Tọa độ điểm A nghiệm hệ: 2 x  y    A(2; 3) 3x  y    Gọi B(b; 2b  1)  AB, C(4c  2; 3c)  AC  MB  (b  1; 2b  2), MC  (4c  3; 3c  3)   b   3(b  1)  2(4c  3)  B  ;   ,C  ;   TH1: 3MB  MC        3(2b  2)  2(3c  3)  5  5 c    Page 14  5 Khi trọng tâm G  1;     b  5   B  5;11 , C 10; 9  3(2b  2)  2(3c  3) c   TH1: 3MB  2 MC  3(b  1)  2(4c  3) 7 1 Khi trọng tâm G  ;    3 BƠi Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích SABC  96 ; M (2;0) trung điểm AB , đường phân giác góc A có phương trình (d ) : x  y 10  , đường thẳng AB tạo với đường thẳng (d ) góc  thoả mãn cos   Tìm toạ độ đỉnh tam giác ABC (Thi thử lần Khối A 2014 – Chuyên Quang Trung Bình Phước) H ớng d n gi i  Gọi n  (a ; b) (a  b2  0) vector pháp tuyến đường thẳng AB a b  a  7b   a  50ab  7b    Ta có cos( n, n d )  a  b2 7 a  b  Chọn n  (7;1) , ta có AB: x  y  14  Khi AB  d  A(3;7)  B(1;7) Vì điểm N đối xứng với M qua d nên N(10; 8)  AC : x  y  46  Gọi C (46  7a ; a ) Ta có SABC  96  C (11; 5) ( L) d (C , AB) AB  96   C (17; 9)  Chọn n  (1,7) , ta có AB: x  y   Khi dod AB  d  A(9;1)  B(5;1) C (7;13) ( L) Tương tự ta có AC : x  y  62    C (11; 15)  A(3; 7), B(1;7), C(17; 9)  Vậy   A(9; 1), B( 5;1), C(11; 15) BƠi Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C  5;0  , điểm B thuộc đường thẳng có phương trình 2x  y  18  Gọi D chân đường phân giác hạ từ đỉnh A 9  5.SADC  3.SADB Gọi I  3,  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB Đường 4  tròn ngoại tiếp tam giác ADB cắt đường thẳng AC F Biết B có toạ độ nguyên Viết phương trình đường thẳng BF (Thi thử lần Khối A 2014 – Chuyên Quang Trung Bình Phước) H ớng d n gi i Page 15  Ta có D chân đường phân giác 5SADC  3SADB suy 5DC  3BD 16  9t 12  6t  ;     Gọi B(3  3t;   2t ) suy D  Vì I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB nên t   ID  IB  715 t  520 t    8 t   11 8 57 28   Với t  : B  ;  (loại B có toạ độ nguyên) 11  11 11   2 3   Với t  : B(3; 4); D  2;  Mặt khác đường tròn tâm I ngoại tiếp tam giác ABD   có AD phân giác chia đôi cung BF suy ID  BF , đường thẳng BF :4x  y  BƠi Cho tam giác ABC có A(3; 7) , trực tâm H(3; 1) Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I(2; 0) Tìm tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương (Đề thi đại học D2010) H ớng d n gi i Cần nhớ đẳng thức AH  2IM với M trung điểm BC (Tính chất trực tâm) Lời gi i  Ta có AH  2IM  M (2;3)  Phương trình BC qua M vuông góc AH có phương trình: y    Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: ( x  2)2  y2  74 y   Vì C có hoành độ dương 2 ( x  2)  y  74  Tọa độ điểm B C nghiệm hệ:  nên C(2  65;3) BƠi Cho đường tròn (C ) : ( x  1)2  ( y  1)2  đường thẳng  : y  Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm (C), đỉnh N P thuộc  Đỉnh M trung điểm cạnh MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P (Đề thi đại học D2013) Lời gi i  Ta có tâm bán kính đường tròn (C) I (1;1), R  Ta có d ( I ; )   R Do đường thẳng  tiếp xúc (C) K Suy đường thẳng IM có phương trình x   Gọi M (1; a ) Ta có :  a  1 M  (C )  (a  1)     a  Vì Page 16 M  nên M (1; 1)  Gọi N (b;3)   Trung điểm MN thuộc (C) nên b   b 1   1  (1  1)       b  3 Do N(5;3) N (3;3)  Gọi P ( p;3)   Do PI MN  nên: Với N(5;3) , suy P (1;3) Với N (3;3) , suy P (3;3) K t lu n: P (1;3), P (3;3) Lời gi i  Ta có tâm bán kính đường tròn (C) I (1;1), R  Ta có d ( I ; )   R Do đường thẳng  tiếp xúc (C) K Suy MK đường kính (C)  Gọi E trung điểm MN, KE vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên tam giác MKN vuông cân K Do MNP  450  IPN  450  Gọi n  (a; b) VTPT IP ( a  b2  ) Phương trình tổng quát IP có dạng: a ( x  1)  b( y  1)   ax  by  a  b  Một vector pháp tuyến PN nPN  (0;1) Khi đó: cos 450  | n.nPN | | n | | nPN |   a  b   a  b a  b2 |b|  Với a  b , chọn a  b  Ta có phương trình PI : x  y   Khi tọa độ P x  y    x  1  nghiệm hệ  y   y  Với a  b chọn a  1, b  1 Ta có phương trình PI : x  y  Khi tọa độ P x  nghiệm hệ   y  K t lu n: P (1;3), P (3;3) BƠi Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H , phương trình cạnh BC : x  y   , trung điểm cạnh AC M (0;3) , đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC N (7;1) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC H ớng d n gi i  Phương trình đường cao AH qua N (7;1) vuông góc với BC: x  y   Page 17  Gọi C (c; c  4) thuộc BC, M (0;3) trung điểm AC nên A(c;2  c) Ta có A thuộc AH nên suy c  ; C (4;8); A(4; 2)  Vì N điểm đối xứng H qua BC nên ta có H (3; 3)  Gọi B(b; b  4) thuộc BC Ta có BH AC   b   Vậy A(4; 2); B(  47  47 11   B  ;   9  47 11 ;  ); C(4;8) 9 BƠi Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có phương trình chứa đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình: x  y 13  13x  y   , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I (5;1) Tìm tọa độ điểm B, C H ớng d n gi i  Đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình: x  y 13  13x  y   , ta tìm tọa độ A(3; 8)  IA  85  Phương trình đường thẳng d qua I song song với AH ( vuông góc BC) là: x 2y    Gọi M trung điểm BC, ta có tọa độ M giao điểm d trung tuyến AM Suy tọa độ M (3;5)  Đường thẳng BC qua M vuông góc AH có phương trình: 2x  y 11  Ta có IB  IC  85 , từ giải hệ ta C  (2;7); B(4;3) ngược lại BƠi Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I (4;0) , đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình x  y   0, x  y   Viết phương trình cạnh tam giác ABC Page 18 x  y   x  Vậy A(1;1)  x  y    y   Tọa độ A nghiệm hệ :  Gọi d đường trung trực BC d qua I song song đường cao AH Khi d có phương trình: x  y    Gọi M trung điểm BC M giao d đường trung tuyến xuất phát từ A x  y   x    M (5; 1) x  y    y  1 Tọa độ M nghiệm hệ:  Đường thẳng BC qua M vuông góc d nên có phương trình: x  y    Gọi B(b; b  6)  BC , IA = IB nên b  (b  4)2  (b  6)  10   b  Vì C thuộc d thỏa IA = IC nên chọn B(7;1)  C(3; 3)  Phương trình AB: y  1y = 1, phương trình AC: 2x  y   hoán đổi chúng BƠi 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C ) : x2  y2  x  41  , biết đỉnh A 4;7  trực tâm tam giác ABC H  4;5  Tìm B C H ớng d n gi i  Gọi M trung điểm BC Ta có AH  2OM  M (3; 1)  Đường thẳng BC : y  1 Tìm B(7, 1), C (4, 1) B(4, 1), C (7, 1) BƠi 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng AB có phương trình: x  y   , đường cao kẻ từ A có phương trình: 2x  y   đường trung tuyến kẻ từ B có phương trình: 2x  y   H ớng d n gi i x  y    A(2;1) 2 x  y    Tọa độ A nghiệm hệ  x  y    B(6; 1) 2 x  y    Tọa độ B nghiệm hệ       Phương trình BC qua B vuông góc với AH: 3x  y 16   C  c;8  c   c  18  3c  ;     Gọi M trung điểm AC  M  Page 19 Mặt khác, M thuộc trung tuyến BM nên ta có:  C(2;5) c  18  3c 3 9   c  2 Vậy A(2;1), B(6; 1), C(2;5) BƠi 12 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy , cho tam giác ABC với A(1;1) , tọa độ trọng tâm 4  G  ;  tọa độ trực tâm H (2;2) Tìm tọa độ đỉnh B C 3  H ớng d n gi i    Gọi M trung điểm BC Từ AG  2GM  M  ;  2  Phương trình BC qua M vuông góc AH :  5  3x  y 10   B(t;10  3t )  C(5  t;3t  5)  Do H (2;2) trực tâm nên ta có: t  BH  AC  BH AC   (2  t )(6  t )  (3t  8)(3t  6)    t   Từ tìm được: B(2;4) C(3;1) B(3;1) C(2;4) BƠi 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC với B 1; 2  , đường cao AH : x  y   Tìm tọa độ đỉnh A, C ABC biết C thuộc đường thẳng d : 2x  y 1  diện tích ABC H ớng d n gi i Phương trình đường thẳng BC: x+y+1=0 2 x  y   x    C(2; 3)  BC  x  y 1   y  3 Tọa độ C nghiệm hệ:  x  y    x  2   H (2;1) x  y 1  y 1 Tọa độ H nghiệm hệ:  Ta có: SABC  BC AH   BC AH   AH  Mặt khác:  a  1 A AH  A(a ; a  3)  AH  (2  a )  (1  a  3)   (a  2)     a  3 Vậy A(1;2), C(2; 3) A(3;0), C(2; 3) Page 20 BƠi 14 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (C ) : x  y2  x  y   Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết M(0;1) trung điểm cạnh AB điểm A có hoành độ dương H ớng d n gi i  Đường tròn (C) có tâm I (1;2) bán kính IA   Ta có IM  (1; 1), IM  AB  AB : x  y   Vì A AB  A(a; a  1) Ta có IA   (a  1)  (a  1)   a   a  (a  0)  A(1; 2), B(1;0)  Ta có IA  (2;0), IA  BC  BC : x   0, AI : y   Gọi N giao điểm AI BC Khi N(1;2) N trung điểm BC nên I (1;4)  Vậy A(1;2), B( 1;0), C( 1;4) BƠi 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB  5, C (1; 1) , đường thẳng AB có phương trình x  y   trọng tâm G tam giác ABC thuộc đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ đỉnh A B H ớng d n gi i  Gọi I ( x; y) trung điểm đoạn AB G ( xG ; yG ) trọng tâm ABC Do 2x 1 y 1 CG  CI nên xG  ; yG  3  x  y   x    Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình:  x  y  y        3 Vậy I (5; 1)  Ta có IA  IB  AB  Gọi (C) đường tròn có tâm I (5; 1) bán kính 2 Page 21 R 5  (C ) : ( x  5)2  ( y  1)   Tọa độ hai điểm A, B nghiệm hệ phương trình: x  y   x  x      5 1 2 ( x  5)  ( y  1)   y    y     1    3 Vậy tọa độ hai điểm A, B  4;   ,  6;   2 Page 22 