Olympic toan hoc ha noi

50 4.2.3 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải các bài toán không mẫu mực.. Tìm quỹ tích các điểm M thuộc hình vuông phần bên trong và biên của hình vuông sao cho diện tích các tam giá

1 Đề thi Olympic Toán học Hùng vương 4

1.1 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 4

1.2 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 5

1.3 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 5

2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương 8 2.1 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1 8

2.2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 12

2.3 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 15

3 Olympic Toán học Hà Nội mở rộng 20 3.1 Olympic Toán học Hà Nội mở rộng năm 2006 20

3.1.1 Lớp 8 (Junior Section) 20

3.1.2 Lớp 10 (Senior Section) 21

3.2 Olympic Toán học Hà Nội mở rộng năm 2007 22

3.2.1 Lớp 8 (Junior Section) 22

3.2.2 Senior Section 24

3.2.3 Junior Section 25

3.2.4 Senior Section 26

3.3 Olympic Toán học Hà Nội mở rộng năm 2007 27

3.3.1 Junior Section 27

3.3.2 Senior Section 29

4 Một số phương pháp giải toán 31 4.1 Phương pháp quy nạp 32

4.1.1 Nguyên lý quy nạp 32

4.1.2 Phương pháp chứng minh bằng qui nạp 32 4.1.3 Vận dụng phương pháp qui nạp để giải toán đại số và số học 33 4.1.4 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải bài tập hình học 43

1

4.2 Phương pháp phản chứng 49

4.2.1 Nguyên lý Dirichlet còn được phát biểu dưới nhiều dạng tương tự khác: 49

4.2.2 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải toán 50

4.2.3 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải các bài toán không mẫu mực 52

4.3 Phương pháp suy luận trực tiếp 54

4.4 Phương pháp mệnh đề 59

4.4.1 Khái niệm về logic mệnh đề 59

4.4.2 Các phép toán mệnh đề 59

4.4.3 Công thức của logic mệnh đề 59

4.4.4 Các luật của logic mệnh đề 61

4.5 Phương pháp bảng 66

4.6 Phương pháp sơ đồ 70

4.7 Phương pháp đồ thị 73

4.7.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết đồ thị 73

4.7.2 Phương pháp đồ thị 74

5 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 80 5.1 Phương pháp nghiệm duy nhất 80

5.2 Phương pháp bất đẳng thức 87

5.3 Phương pháp đưa về hệ 93

5.4 Phương pháp đảo ẩn 96

5.5 Phương pháp sử dụng các tính chất đặc biệt của hệ thức 99

5.6 Phương pháp Lượng giác 106

5.6.1 Cơ sở lý thuyết 107

5.6.2 Trình tự lời giải 109

5.6.3 Ví dụ minh hoạ 109

5.7 Sử dụng định lý Lagrange 122

5.8 Sử dụng định lý Rolle 130

5.9 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh 136

5.10 Các phương pháp khác 142

5.10.1 Sử dụng phép biến đổi hệ quả 143

5.10.2 Sử dụng tính chất của hàm số liên tục 144

5.10.3 Đẳng cấp hoá 145

5.10.4 Sử dụng hình học, vectơ, toạ độ 147

5.10.5 Sử dụng hàm số 150

6 Open Singapore Mathematical Olympiad 156

6.1 Open Singapore Mathematical Olympiad 2004 156

6.1.1 Senior Section 156

6.2 Open Singapore Mathematical Olympiad 2005 161

6.2.1 Senior Section 161

6.3 Open Singapore Mathematical Olympiad 2006 166

6.3.1 Junior Section 166

6.3.2 Senior Section 170

Câu 1 Các số nguyên dương a1, a2, a3, a4, a5 lập thành một cấp số cộng tăng.

Hỏi lập được bao nhiêu cấp số cộng thoả mãn điều kiện a1 > 50 và a5 < 100?

Câu 2 Các số nguyên dương a1 , a2, a3, a4, a5 lập thành một cấp số nhân tăng

Hỏi lập được bao nhiêu cấp số nhân thoả mãn điều kiện a5 < 100?

Câu 3 Các số dương a1, a2, a3, a4, a5 thoả mãn các điều kiện

(i) 2a1, 2a2, 2a3, 2a4, 2a5 là các số nguyên dương, (ii) a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 99.

Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a1a2a3a4a5

Câu 4 Giả sử tam thức bậc hai f (x) luôn luôn dương với mọi x Chứng minh

rằng f (x) viết được dưới dạng tổng bình phương của hai nhị thức bậc nhất.

Câu 5 Giả sử hàm trùng phương g(x) = x4+ bx2+ c luôn luôn dương với mọi x Chứng minh rằng g(x) viết được dưới dạng tổng bình phương của hai tam thức

bậc hai

Câu 6 Cho hình vuông ABCD Tìm quỹ tích các điểm M thuộc hình vuông

(phần bên trong và biên của hình vuông) sao cho diện tích các tam giác M AB

và M AC bằng nhau.

4

Câu 7 Cho hình vuông ABCD Giả sử E là trung điểm cạnh CD và F là một

điểm ở bên trong hình vuông Xác định vị trí điểm Q thuộc cạnh AB sao cho

Câu 4 Cho tam giác ABC và điểm M thuộc BC Xét hình bình hành AP M N ,

trong đó P thuộc AB và N thuộc AC và hình bình hành ABDC với đường chéo

AD và BC O là giao điểm của BN và CP Chứng minh rằng \ P M O = \ N M O

(A) 04; (B) 34; (C) 24; (D) 14; (E) Khác các đáp số đã nêu.

Câu 4 Có n viên bi trong hộp được gắn nhãn lần lượt là 1, 2, , n Người ta

lấy ra một viên bi thì tổng các nhãn của số bi còn lại là 5048 Hỏi viên bi đó đượcgắn nhãn là số nào?

Câu 7 Cho hình bình hành ABCD có AB < BC Đường phân giác BP của

góc ∠ABC cắt AD ở P Biết rằng ∆P BC là tam giác cân, P B = P C = 6cm và

P D = 5cm Tính độ dài các cạnh của hình bình hành.

Câu 8 Chứng minh rằng tam thức bậc hai g(x) = 3x2− 2ax + b có nghiệm khi

và chỉ khi tồn tại bộ số α, β, γ sao cho

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Các số nguyên dương a1 , a2, a3, a4, a5lập thành một cấp số cộng tăng Có bao

nhiêu cấp số cộng thoả mãn điều kiện a1> 50, a5 < 100?

Giải Ta có a5= a1+ 4d với d nguyên dương sao cho

d

và thu được S = 276.

Câu 2 (7 điểm)

Các số nguyên dương a1 , a2, a3, a4, a5 lập thành một cấp số nhân tăng Có

bao nhiêu cấp số nhân thoả mãn điều kiện a5 < 100?

Câu 3 (7 điểm)

Các số dương a1, a2, a3, a4, a5 thoả mãn các điều kiện

(i) 2a1, 2a2, 2a3, 2a4, 2a5 là các số nguyên dương

(ii) a1+ a2 + a3 + a4 + a5 = 99.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích P = a1 a2a3a4a5?

Giải Viết bài toán dưới dạng

Các số nguyên dương x1, x2, x3, x4, x5 thoả mãn các điều kiện

Nếu x3+ x4+ x5 = 118 thì x1+ x2= 40 Dễ thấy vô lý.

Nếu x3+x4+x5= 119 thì cũng không xảy ra Do vậy, ta xét x3+x4+x5 > 120.

Giả sử tam thức bậc hai f (x) luôn dương với mọi x Chứng minh rằng f (x)

viết được dưới dạng tổng bình phương của hai nhị thức bậc nhất

Giải Theo giả thiết, ta có

4a > 0, ∀x ∈ R.

Sử dụng đồng nhất thức

A2+ B2 =A + B

√2

2+A − B

√2

Khi ∆ < 0, ta nhận được kết quả như Câu 4.

Khi ∆ ≥ 0 tức là b2− 4c ≥ 0 hay b − 2√c ≥ 0, khi đó ta sử dụng biến đổi sau

Giải Giả sử tồn tại điểm M thoả mãn yêu cầu bài toán Nối AM , ký kiệu I là

giao điểm của AM với BC Hạ các đường BH, CK vuông góc với AM.

1) Xét trường hợp M thuộc tam giác ABC Từ giả thiết suy ra BH = CK.

Do đó, ta có hai tam giác bằng nhau 4BH I = 4CKI Vậy, I cần phải nằm trên đoạn thẳng AI Ngược lại, dễ dàng chưng minh được rằng, nếu M ∈ AI thì S(M AB) = S(M AC).

2) Xét trường hợp M thuộc tam giác ADC Từ giả thiết suy ra BH = CK.

Do đó, M ∈ AD Vậy, M cần phải nằm trên cạnh AD Ngược lại, dễ dàng chứng minh được rằng nếu M ∈ AD thì hai tam giác M AB và M AC có diện tích bằng

Xét trường hợp K ∈ P B Dễ dàng chứng minh Q ∈ P B Gọi F0 là điểm đối

xứng của F qua AB Dễ dàng thấy rằng \ F QB = \ F0QB Suy ra \ AQE = \ B0QF0.

Do đó, ba điểm E, Q, F0thẳng hàng Hay, Q là giao điểm của EF0 với AB Xét trường hợp K ∈ AP Dễ dàng chứng minh Q ∈ AP Tương tự như trường hợp trên, ta chứng minh được Q là giao điểm của EF0 với AB.

Câu 1 Số đo các góc trong của một ngũ giác lồi có tỷ lệ 2 : 3 : 3 : 5 : 5 Số đo

Câu 2 Cho a 6= 0 Giải hệ phương trình

Từ phương trình thứ 2 trong hệ (2.2) dễ dàng suy ra x, y, z ∈ [−1, 1] Trừ phương

trình thứ 2 cho phương trình thứ ba trong hệ đó ta thu được

Khi đó (x0, y0, z0) là nghiệm của phương trình (2.2) Vậy nghiệm của bài toán là

v b w c)1/(a+b+c) , ∀a, b, c; u.v, w > 0. (2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u = v = w = 1 Ta cần chọn các số dương

a, b, c sao cho đồng thời xảy ra

điều phải chứng minh.

Câu 4 Cho tam giác ABC và điểm M thuộc BC Xét hình bình hành AP M N ,

trong đó P thuộc AB và N thuộc AC và hình bình hành ABDC với đường chéo

AD và BC O là giao điểm của BN và CP Chứng minh rằng \ P M O = \ N M O

khi và chỉ khi \BDM = \ CDM

Giải Ta chứng minh các điểm O, M, D thẳng hàng Giả sử đường thẳng chứa OM

cắt BD và CD lần lượt tại D1 và D2 tương ứng Ta chứng minh D1 ≡ D2 ≡ D Gọi K là giao điểm của M P và BN , L là giao điểm của M N và CP Khi đó thì

nhiên \M P O = \ N P O khi và chỉ khi \ BDP = \ CDP

Câu 5 Cho số dương M Xét các tam thức bậc hai g(x) = x2+ ax + b có nghiêm thực x1 , x2 và các hệ số thoả mãn điều kiện

max{|a|, |b|, 1} = M.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

(1 + |x |)(1 + |x |).

Câu 1 Một đa giác lồi có nhiều nhất là bao nhiêu góc nhọn?

Câu 3 Xác định hai chữ số tận cùng của số sau

M = 23+ 202006+ 2002007+ 20062008?

(A) 04; (B) 34; (C) 24; (D) 14; (E) Khác các đáp số đã nêu.

Giải (C) 24.

Câu 4 Có n viên bi trong hộp được gắn nhãn lần lượt là 1, 2, , n Người ta

lấy ra một viên bi thì tổng các nhãn của số bi còn lại là 5048 Hỏi viên bi đó đượcgắn nhãn là số nào?

- Nếu 0 < a 6 1 thì hệ vô nghiệm,

- Nếu 1 < a 6 2 thì

x = y = z =

r1

a − 1 . Nếu z > y thì

z + 1

z > y +

1

y

và ta cũng thu được kết quả như đã có ở trên

Câu 7 Cho hình bình hành ABCD có AB < BC Đường phân giác BP của

góc ∠ABC cắt AD ở P Biết rằng ∆P BC là tam giác cân, P B = P C = 6cm và

P D = 5cm Tính độ dài các cạnh của hình bình hành.

Giải Ta có ∆ABP ∼ ∆P BC nên

x

6 =

6

x + 5 . Giải phương trình này ta thu được x = 4.

Câu 8 Chứng minh rằng tam thức bậc hai g(x) = 3x2− 2ax + b có nghiệm khi

và chỉ khi tồn tại bộ số α, β, γ sao cho

Ngược lại, nếu g(x) có hai nghiệm là u, v Nếu u = v thì chỉ cần chọn α =

Giải Dễ thấy phương trình cos 3x + cos 2x = 0 có nghiệm

x = π

5 + 2kπ; x = π + 2kπ.

Mặt khác, phương trình trên tương đương với

4 cos3x + 2 cos2x − 3 cos x − 1 = 0, ⇐⇒ (cos x + 1)(4 cos2x − 2 cos x − 1) = 0.

Sử dụng định lý Viet, ta thu được M = −2.

Nhận xét 2.1 Trong SGK có bài tập: Biết rằng cos 360= 1 +

√5

4 Tính sin 18

0.

Do đó, có thể học sinh sử dụng kết quả này để tính M.

Câu 5 Cho số nguyên dương n và xét các bộ ba số tuỳ ý có tổng bằng 3n + 1

được chọn từ tập {1, 2, 3, , 3n + 1}.

Tìm giá trị lớn nhất của tích các số từ bộ ba số đó?

Câu 6 Cho lục giác đều ABCDEF Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong hình

lục giác đó sao cho

Diện tích ∆M AC = Diện tích ∆M CD.

Câu 7 Trên đường tròn (O) bán kính 15cm cho hai điểm A, B Đường cao OH

của tam giác OAB cắt (O) tại C Tính độ dài AC biết rằng AB = 16cm?

Câu 8 Trong ∆ABC cho P Q//BC, trong đó P và Q lần lượt thuộc AB và AC

tương ứng Các đoạn thẳng P C và QB cắt nhau tại G Biết rằng EF //BC, trong

Câu 5 Cho lục giác đều ABCDEF Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong hình

lục giác đó sao cho

Diện tích ∆M AC = Diện tích ∆M CD.

Câu 6 Trên đường tròn bán kính 30cm are cho hai điểm A, B với AB = 16cm

và C là trung điểm của AB Tính độ dài đường vuông góc hạ từ C tới đường

tròn?

Câu 7 Trong ∆ABC cho P Q//BC, trong đó P và Q lần lượt thuộc AB và AC

tương ứng Các đoạn thẳng P C và QB cắt nhau tại G Biết rằng EF //BC, trong

Câu 2 Xác định số nguyên dương n lớn nhất thoả mãn bất đẳng thức:

expressed in base 10 What is the sum m + n?

(A) 2004; (B) 2005; (C) 2006; (D) 2007; (E) 2008

Câu 5 Let be given an open interval (α; eta) with eta − α = 1

2007 Determinethe

maximum number of irreducible fractions a

Câu 7 Nine points, no three of which lie on the same straight line, are located

inside an equilateral triangle of side 4 Prove that some three of thesepoints are vertices of a triangle whose area is not greater than

√3

Câu 8 Let a, b, c be positive integers Prove that

(b + c − a)2(b + c)2+ a2 + (c + a − b)

Câu 9 A triangle is said to be the Heron triangle if it has integer sides and

integer area In a Heron triangle, the sides a, b, c satisfy the equation

b = a(a − c) Prove that the triangle is isosceles.

Câu 10 Let a, b, c be positive real numbers such that 1

Câu 11 How many possible values are there for the sum a + b + c + d if a, b, c, d

are positive integers and abcd = 2007.

Câu 12 Calculate the sum

Câu 13 Let be given triangle ABC Find all points M such that

area of ∆M AB= area of ∆M AC.

Câu 14 How many ordered pairs of integers (x, y) satisfy the equation

2x2+ y2+ xy = 2(x + y)?

Câu 15 Let p = abc be the 3-digit prime number Prove that the equation

Câu 2 Which is largest positive integer n satisfying the following inequality:

n2007> (2007) n

(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) None of the above

Câu 3 Find the number of different positive integer triples (x, y, z) satsfying

the equations

x + y − z = 1 and x2+ y2− z2 = 1.

(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) None of the above

Câu 4 List the numbers

Câu 5 Suppose that A, B, C, D are points on a circle, AB is the diameter, CD

is perpendicular to AB and meets AB at E, AB and CD are integers and AE − EB =

√

3 Find AE?

Câu 6 Let P (x) = x3+ ax2+ bx + 1 and |P (x)| ≤ 1 for all x such that |x| ≤ 1 Prove that |a| + |b| ≤ 5.

Câu 7 Find all sequences of integers x1 , x2, , x n , such that ij divides

x i + x j for any two distinct positive integers i and j.

Câu 8 Let ABC be an equilateral triangle For a point M inside ∆ABC,

let D, E, F be the feet of the perpendiculars from M onto BC, CA, AB, respectively Find the locus of all such points M for which ∠F DE is a

right angle

Câu 9 Let a1 , a2, , a2007be real numbers such that

a1+ a2+ · · · + a2007≥ (2007)2 and a21+ a22+ · · · + a22007≤ (2007)3− 1 Prove that a k ∈ [2006; 2008] for all k ∈ {1, 2, , 2007}.

Câu 10 What is the smallest possible value of

Câu 13 Let ABC be an acute-angle triangle with BC > CA Let O, H and F

be the circumcenter, orthocentre and the foot of its altitude CH ,

respectively Suppose that the perpendicular to OF at F meet the side

Q2 Find the last two digits of the sum

Find the value of |x3− y3|

Q5 Suppose n is a positive integer and 3 arbitrary numbers are choosen from

the set {1, 2, 3, , 3n + 1} with their sum equal to 3n + 1.

What is the largest possible product of those 3 numbers?

Q6 The figure ABCDEF is a regular hexagon Find all points M belonging to

the hexagon such that

Area of triangle M AC = Area of triangle M CD.

Q7 On the circle (O) of radius 15cm are given 2 points A, B The altitude OH

of the triangle OAB intersect (O) at C What is AC if AB = 16cm?

Q8 In ∆ABC, P Q//BC where P and Q are points on AB and AC respectively.

The lines P C and QB intersect at G It is also given EF //BC, where G ∈ EF ,

E ∈ AB and F ∈ AC with P Q = a and EF = b Find value of BC.

Q9 What is the smallest possible value of

, 21+

1

√

2 and 3.

Q5 The figure ABCDEF is a regular hexagon Find all points M belonging to

the hexagon such that

Area of triangle M AC = Area of triangle M CD.

Q6 On the circle of radius 30cm are given 2 points A, B with AB = 16cm and

C is a midpoint of AB What is the perpendicular distance from C to the circle?

Q7 In ∆ABC, P Q//BC where P and Q are points on AB and AC respectively.

The lines P C and QB intersect at G It is also given EF //BC, where G ∈ EF ,

E ∈ AB and F ∈ AC with P Q = a and EF = b Find value of BC.

Q8 Find all polynomials P (x) such that

Q2 What is largest positive integer n satisfying the following inequality:

Q4 Let m and n denote the number of digits in 22007and 52007when

expressed in base 10 What is the sum m + n?

(A) 2004; (B) 2005; (C) 2006; (D) 2007; (E) 2008

Q5 Let be given an open interval (α; eta) with eta − α = 1

2007 Determine themaximum number of irreducible fractions a

Q7 Nine points, no three of which lie on the same straight line, are located

inside an equilateral triangle of side 4 Prove that some three of thesepoints are vertices of a triangle whose area is not greater than √3

Q8 Let a, b, c be positive integers Prove that

(b + c − a)2(b + c)2+ a2 + (c + a − b)

Q9 A triangle is said to be the Heron triangle if it has integer sides and

integer area In a Heron triangle, the sides a, b, c satisfy the equation

b = a(a − c) Prove that the triangle is isosceles.

Q10 Let a, b, c be positive real numbers such that 1

Q11 How many possible values are there for the sum a + b + c + d if a, b, c, d

are positive integers and abcd = 2007.

Q12 Calculate the sum

Q13 Let be given triangle ABC Find all points M such that

area of ∆M AB= area of ∆M AC.

Q14 How many ordered pairs of integers (x, y) satisfy the equation

Q2 Which is largest positive integer n satisfying the following inequality:

n2007> (2007) n

(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) None of the above

Q3 Find the number of different positive integer triples (x, y, z) satsfying

the equations

x + y − z = 1 and x2+ y2− z2= 1.

(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4; (E) None of the above

Q4 List the numbers

Q5 Suppose that A, B, C, D are points on a circle, AB is the diameter, CD

is perpendicular to AB and meets AB at E, AB and CD are integers and AE − EB =√3 Find AE?

Q6 Let P (x) = x3+ ax2+ bx + 1 and |P (x)| ≤ 1 for all x such that |x| ≤ 1.

Prove that |a| + |b| ≤ 5.

Q7 Find all sequences of integers x1, x2, , x n , such that ij divides

x i + x j for any two distinct positive integers i and j.

Q8 Let ABC be an equilateral triangle For a point M inside ∆ABC,

let D, E, F be the feet of the perpendiculars from M onto BC, CA, AB, respectively Find the locus of all such points M for which ∠F DE is a

right angle

Q9 Let a1, a2, , a2007be real numbers such that

a1+ a2 + · · · + a2007≥ (2007)2 and a21+ a22+ · · · + a22007≤ (2007)3− 1 Prove that a k ∈ [2006; 2008] for all k ∈ {1, 2, , 2007}.

Q10 What is the smallest possible value of

Q13 Let ABC be an acute-angle triangle with BC > CA Let O, H and F

be the circumcenter, orthocentre and the foot of its altitude CH ,

respectively Suppose that the perpendicular to OF at F meet the side

Một số phương pháp giải toán

Để giải bài toán trước hết phải căn cứ vào dạng, nội dung điều kiện mà chọnphương pháp giải thích hợp Nếu bài toán có thể giải bằng nhiều cách, thì cầnchọn phương pháp tốt nhất theo một tiêu chí nào đó

Nội dung cơ bản của bài viết này được rút ra từ các bài giảng của tác giả tạiKhối phổ thông chuyên Toán-Tin Trường đại học Khoa học Tự nhiên và một sốTrường trung học phổ thông chuyên

Bài viết gồm hai phương pháp cơ bản nhất:

- Phương pháp quy nạp,

- Phương pháp phản chứng,

và năm phương pháp đặc thù để giải các bài toán không mẫu mực đó là:

- Phương pháp suy luận trực tiếp

- Phương pháp logic mệnh đề

- Phương pháp bảng

- Phương pháp sơ đồ

- Phương pháp đồ thị

Mỗi phương pháp đều có phần tóm tắt lý thuyết, nội dung Song chủ yếu vẫn

là thông qua hệ thống ví dụ để minh hoạ cách ứng dụng để giải toán

Nhân dịp kỷ niệm 40 năm ngày thành lập Khối phổ thông chuyên Toán Trường đại học Tổng hợp Hà nội nay là Khối phổ thông chuyên Toán-Tin Trường đại học

khoa học Tự nhiên, đại học Quốc gia Hà nội trong các ví dụ từ phần III trở đi

tác giả mạn phép ghi lại tên một số trong các Thầy Cô giáo đã gắn bó và cống

hiến hết mình cho sự phát triển và thăng hoa của Khối

31

4.1 Phương pháp quy nạp

Phương pháp quy nạp có vai trò vô cùng quan trọng trong toán học, khoahọc và cuộc sống Đối với nhiều bài toán phổ thông phương pháp quy nạp cũngcho ta cách giải hữu hiệu

Suy diễn là quá trình từ “tính chất” của tập thể suy ra “tính chất” của cá thể,nên luôn luôn đúng, còn quá trình ngược lại, tức là quá trình qui nạp: đi từ “tínhchất” của một số cá thể suy ra “tính chất” của tập thể, thì không phải lúc nàocũng đúng Quá trình này chỉ đúng khi nó thoả mãn một số điều kiện nào đó,tức thoả mãn nguyên lý quy nạp

4.1.2 Phương pháp chứng minh bằng qui nạp

Giả sử khẳng định T (n) xác định với mọi n > t0 để chứng minh T (n) đúng với

∀n > t0 bằng qui nạp, ta cần thực hiện hai bước sau:

Ví dụ 4.1 Nhà Toán học Đức vĩ đại G V Lepnit vào thế kỷ thứ 17 sau khi

chứng minh được: Với mọi số nguyên dương n số n3− n chia hết cho 3, số n5− n chia hết cho 5, số n7− n chia hết cho 7 đã bỏ qua cả khâu quy nạp và cơ sở quy nạp mà đưa ra khẳng định: Với mọi số lẻ k và với mọi số tự nhiên n số n k − n

chia hết cho n Khẳng định này không đúng bởi vì số 29− 2 = 510 không chia hết cho 9.

Ví dụ 4.2 Xét tam thức bậc hai T (x) = x2+ x + 41 Khi thay

x = 0 ta được T (0) = 02+ 0 + 41 = 41 là số nguyên tố.

x = 1 ta được T (1) = 12+ 1 + 41 = 43 là số ngyuên tố.

x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 được các số nguyên tố tương ứng 47, 53, 61,

71, 83, 97, 113, 131, 151 Như vậy bước cơ sở quy nạp thoả mãn, nhưng nếu

bỏ qua bước quy nạp mà kết luận rằng: Khi thay x bằng số nguyên không âm tuỳ ý n số T (n) = n2 + n + 41 là số nguyên tố, thì sẽ sai lầm Bởi vì, nếu thay x = 0, 1, 2, 3, , 39, đều có T (x) là số nguyên tố, nhưng khi x = 40 lại có

Vận dụng phương pháp qui nạp trong tính toán

để giải quyết một bài tập tính toán nào đó bằng phương pháp quy nạp ta:

- Vận dụng bước quy nạp cho một vài “dạng số liệu” ban đầu Trên cơ sở đó

dự đoán “dạng số liệu tổng quát”

- Sau đó vận dụng bước quy nạp để chứng minh “dạng số liệu” dự đoán chính

2) Vận dụng quy nạp để chứng minh S n= n(n + 1)

2 là dạng cần tìm.

Thật vậy! Giả sử dạng tổng đã đúng với n = k > 1, tức tổng của k số tự

nhiên đầu tiên đã có:

phương của n số tự nhiên đầu tiên.

Thật vậy, giả sử với n = k > 1, tức tổng bình phương của k số tự hiên đầu

n = 3 có S3= 1.1! + 2.2! + 3.3! = 23 = 24 − 1 = 4! − 1

n = 4 có S4= 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! = 119 = 120 − 1 = 5! − 1.

Trên cơ sở bốn tổng đầu tiên dự kiến

2) Vận dụng quy nạp để chứng minh đẳng thức (1) đúng với mọi số tự nhiên

Thật vậy! Giả sử với n = k > 1 đã có S k = (k + 1)! − 1.

Vận dụng phương pháp quy nạp trong chứng minh

Vận dụng cơ sở quy nạp để chứng tỏ sự đúng đắn của khảng định đối với vài số

tự nhiên đầu tiên mà khảng định thoả mãn Sau đó dùng quy nạp để chứng minhkhẳng định đúng với mọi số tự nhiên

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, nghĩa là

Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n, nên

n(n + 1) 2(2n + 1)

(k + 1)2(2(k + 1) − 1)(2(k + 1) + 1)

= k(k + 1)

2(2k + 1)+

(k + 1)2(2(k + 1))(2(k + 1) + 1) =

(k + 1)(k + 2) 2(2(k + 1) + 1) Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n.

Vận dụng quy tắc quy nạp để xác định tính chia hết

Trước hết vận dụng cơ sở quy nạp để xét tính đúng đắn của khẳng định vớinhững sô tự nhiên đầu tiên Sau đó vận dụng quy nạp để xác định tính đúng đắncủa khảng định đối với mọi số tự nhiên

Ví dụ 4.10 Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp luôn

luôn chia hết cho 9.

Ví dụ 4.11 Chứng minh rằng với mọi số nguyên không âm n số

Vậy khẳng định đúng với mọi số nguyên không âm n.

Ví dụ 4.12 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n số

S n= 4n + 15n − 1 chia hết cho 9.

đã chia hết cho 9, tức tồn tại số tự nhiên t, để 4 k + 15k − 1 = 9t

S k+1= 4k+1 + 15(k − 1) − 1 = 4.4 k + 15k + 14 = 4.4 k + 60k − 4 − 45k + 18

= 4(4k + 15k − 1) − 9(5k − 2) = 4.9t − 9(5k − 2) = 9(4t − 5k − 2)

chia hết cho 9

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên dương

Ví dụ 4.13 Với mọi số nguyên dương n đặt

Giải Để chứng minh kết luận trên trước hết cần khẳng định rằng với mọi số

nguyên k > 2 đều tồn tại số tự nhiên t k, để