TRI Hẩ HNG VNG LN TH X TRNG THPT CHUYấN, TNH THI NGUYấN THI XUT THI MễN TON KHI 10 ( ny cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu (4,0 im) Gii h phng trỡnh x 2012 x 4027 x = y y 2012 y 4027 y = z z3 2012 z 4027 z = 4028 x Cõu (4,0 im) Cho t giỏc li ABCD, trờn cỏc on thng AB, BC, CD, DA ln lt ly cỏc im M, N, P, Q cho AQ = DP = CN = BM Chng minh rng: nu MNPQ l hỡnh vuụng thỡ ABCD l hỡnh vuụng 1 1 Cõu (4,0 im) Cho phng trỡnh: x + x + x + x = vi s Ơ , s Gi s s phng trỡnh cú s nghim nguyờn dng (x1; x2; ; xs) tha x1 < x2 < < xs l Ts Chng minh rng: T2014 > T2013 Cõu (4,0 im) Tỡm tt c cỏc a thc f ( x) Ă [x] tha iu kin: f ( x) f (3 x ) = f ( x + 3x ) Cõu (4,0 im) Cho tam giác ABC có độ dài mi cạnh 10 cm Chia nhỏ tam giác ABC thành lới 100 tam giác cạnh 1cm đoạn thẳng song song với cạnh AB, BC, CA Đếm số hình bình hành giới hạn đoạn thẳng lới nói - Ht Ngi : Nguyn Th Ngc nh Trng Thanh Tựng TRI Hẩ HNG VNG LN TH 10 in thoi: 0916642332 0976728482 P N THI MễN TON TRNG THPT CHUYấN TNH THI NGUYấN KHI 10 (ỏp ỏn gm cú trang) Cõu (4,0 im) Gii h phng trỡnh x 2012 x 4027 x = y y 2012 y 4027 y = z z3 2012 z 4027 z = 4028 x Gii: H phng trỡnh ó cho tng ng vi h: ( x 2014)( x + 1)2 = y 2014 ( y 2014)( y + 1) = z 2014 ( z 2014)( z + 1)2 = 2014 x * Nu mt ba s x, y, z bng 2014 Gi s x = 2014 thỡ y = z = 2014 * Nu c ba s x,y,z nhõn ba phng trỡnh ta c: ( x + 1)2 ( y + 1)2 ( z + 1)2 = (vụ nghim) x Vy = y = z = 2014 l nghim nht ca h Cõu (4,0 im) Cho t giỏc li ABCD, trờn cỏc on thng AB, BC, CD, DA ln lt ly cỏc im M, N, P, Q cho AQ = DP = CN = BM Chng minh rng: nu MNPQ l hỡnh vuụng thỡ ABCD l hỡnh vuụng Gii: ã t AQ = DP = CN = BM = x, AB = a, MN = u; AM = a x; PQD = Xột tam giỏc AMQ, ta cú: u2 = ( a x ) + x 2x ( a x ) cos A ( 1) ã Khi MNPQ l hỡnh vuụng thỡ AQM = ; MN = NP = PQ = QM = u ã Ta cú AM2 = AQ + QM 2AQ.QM.cos AQM ( a x ) = u2 + x 2ux sin ( ) p dng nh lớ hm s sin tam giỏc QDP, ta cú x u = usin = x sin D sin sin D H thc (2) tr thnh: ( a x ) = u2 + x 2x2 sin D ( ) T (1) v (3) suy cos A = x ( sin D ) Vỡ t giỏc ABCD li nờn < A 900 ax Chng minh tng t, ta cng cú: < B 90 ; < C 900 ; < D 90 Suy A + B + C + D 3600 Vy phi cú A = B = C = D = 900 Khi ú ABCD l hỡnh ch nht p dng nh lớ Pi-ta-go, ta cú: AM2 = MQ AQ = MN2 MB2 = BN AM = BN AB = CB Vy ABCD l hỡnh vuụng 1 1 + + + = vi s Ơ , s Gi s Cõu (4,0 im) Cho phng trỡnh: x1 x2 x3 xs phng trỡnh cú s nghim nguyờn dng (x1; x2; ; xs) tha x1 < x2 < < xs l Ts Chng minh rng: T2014 > T2013 Giải: - D thy : +) Phng trỡnh: 1 + + = cú nghim (2; 3; 6) tha YCBT x1 x2 x3 +) Phng trỡnh: 1 1 + + + = cú nghim (2; 4; ;12) tha YCBT x1 x2 x3 x +) s Ơ , s , nu (x1; x2; ; xs) tha x1 < x2 < < xs l mt nghim nguyờn dng ca phng trỡnh 1 1 1 1 + + + = thỡ phng trỡnh + + + + = cú x1 x2 x3 xs x1 x2 x3 x s x s +1 nghim tng ng l (2 ;2x1; 2x2; ;2 xs) Chỳ ý cỏc thnh phn ca nghim ny u l s chn.Vy s Ơ , s phng trỡnh luụn cú nghim tha YCBT v T2014 T2013 (1) - Ta chng minh du bng BT (1) khụng xy +) Tht vy, gi s (y1; y2; ; y2012) tha y1 < y2 < < y2012 l mt nghim nguyờn dng ca phng trỡnh 1 1 + + + = Khi ú, (2 ;3 ;6y1;6 y2; ; 6y2012) tha x1 x2 x3 x2012 < T2013 PCM Cõu 4: (4 im) Tỡm tt c cỏc a thc f ( x) Ă [x] tha iu kin: f ( x) f (3 x ) = f ( x + 3x ) (1) Gii: Cho x = 0, t (1): f (0) = hoc f (0) = Nu f ( x) l hng s thỡ f ( x ) v f ( x) l hai nghim ca bi toỏn Nu f ( x) khụng phi l hng s Ta xột hai trng hp: TH1 : f (0) = f ( x) = x k g ( x), k Ơ * , g (0) Thay vo (1) ta cú: (3x + x ) k g (3 x + x ) = x k g ( x).(3 x ) k g (3 x ) (3 x + 1) k g (3 x + x ) = (3 x) k g ( x).g (3 x ) Cho x = ta cú: g(0) = ( mõu thun) TH2: f (0) = h( x) = f ( x) 1, h(0) = h( x) = x l p( x), l Ơ * , p(0) f ( x) = x l p( x) + Tng t nh trờn ta cng suy p (0) = ( mõu thun) Vy ch cú hai a thc tha bi toỏn l: f ( x) v f ( x) Cõu 5: (4,0 im) Cho tam giác ABC có độ dài mi cạnh 10 cm Chia nhỏ tam giác ABC thành lới 100 tam giác cạnh 1cm đoạn thẳng song song với cạnh AB, BC, CA Đếm số hình bình hành giới hạn đoạn thẳng lới nói Giải: Chúng ta nhận thấy hình bình hành nói có cạnh song song với cạnh ABC A c b b' c' Ta ký hiệu SBC tập hình bình hành giới hạn đoạn thẳng lới thỏa mãn có hai cạnh song song với AB, AC Tơng tự, ta có tập hợp SAB SAC Do tính đối xứng ta có: S AB = S AC = S BC Trên cạnh AB kéo dài phía B, lấy B cho B nắm A, B BB = T ơng tự, ta dựng C (xem hình vẽ) Lấy P hình bình hành tập hợp S BC Kéo dài cạnh P cắt đoạn thắng BC điểm phân biệt Trên đoạn BC có 12 điểm (tính hai đầu nút B, C) chia đoạn BC thành đoạn thẳng liên tiếp có độ dài Dễ thấy, có song ánh từ SBC đến tập hợp 12 điểm SBC = C124 Vậy số hình bình hành thỏa mãn bằng: S AB + S AC + S BC = S BC = 3C124 = 1485