CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH HÌNH HỌC 10 CHƯƠNG Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ: Phương pháp: sử dụng phương pháp sau 1) Biến đổi vế thành vế 2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức biết 3) Biến đổi đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh Cơ sở : sử dụng quy tắc véctơ Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : uuur + uuur = uuur AB BC AC A B C D Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành uuur + uuur = uuur AB AD AC Quy hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: uuurtắcuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OB − OA = AB (hoặc OA − OB = BA AB = OB − OA )hay Tính chất trung điểm đoạn thẳng : uur uur r + Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB ⇔ Tính chất trọng tâm tam giác : + Điểm G trọng tâm tam giác ABC ⇔ BÀI TẬP → IA + IB = uuur uuur uuur r GA + GB + GC = → → → AC BC BD AD Bài Cho điểm A, B, C, D CMR : + = + Bài Gọi O tâm hình bình hành ABCD CMR : → → DO a/ + → c/ OA = → + OB → → AO → + OC → OD AB → + OD = r b/ d/ MA + → → + → OC MC BC = → = MB → + MD (với M điểm tùy ý) → → OD Bài Cho tứ giác ABCD Gọi O trung điểm AB.CMR : → Bài Cho ∆ABC Từ A, B, C dựng vectơ tùy ý → AA ' → BB' → CC' → BA ' → CB' AA ' → + → → OC = AD BC + → BB' CC' , , → AC' CMR : + + = + + Bài : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ điểm đối xứng với C qua B, C’ điểm đối xứng A qua C với điểm O bất kỳ, ta có: OA + OB + OC = OA' + OB' + OC ' Bài 6: Cho lụ giác ABCDEF có tâm O CMR : a) uuur + uuur + uuur + uuur + uuur + uuur = r b) uuur + uuur + uuur = r OA OB OC OD OE OF OA OC OE c) uuur + uuur + uuur = uuur AB AO AF AD d) uuuur + uuur + uuur = uuur + uuuur + uuur ( M tùy ý ) MA MC ME MB MD MF Dạng Tính độ dài hệ thức véctơ : Cơ sở: sử dụng quy tắc véctơ : uuur uuur uuur ⇒ AB + BC = AC + Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : uuur + uuur = uuur AB BC AC + Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành uuur + uuur = uuur AB AD uuur uuur uuur ⇒ AB + AD = AC A B C D + Quy tắc hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: AC uuur uuur uuur OB − OA = AB uuur uuur uuur OA − OB = BA (hoặc Sử dụng tính chất hai véctơ : + Nếu hai véc tơ r , r b a + Nếu hai véc tơ r ↑↓ r uuur uuur uuur uuur uuur ⇒ uuu AB = OB − OA AB = OB − OA )hay r b r b hướng | r + | = | r |+| | a r b a a r b r b r b | | ≥ | r | | r + |=| |−| r | a a a BÀI TẬP Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a → AD a/ Tính r u → AB − → r u → CA AB b/ Dựng = − Tính Bài Cho ∆ABC cạnh a Gọi I trung điểm BC → → AB − AC a/ Tính → b/ Tính BA → BI − → → AB − AC Bài Cho ∆ABC vuông A Biết AB = 6a, AC = 8a Tính Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt uuur = r ; uuur = r AO a BO b Tính uuur ; uuur ; uuur ; uuur theo r r AB BC CD DA a b → → AB + AD Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính theo a Bài Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a → a/ Tính → AB + AD r u → → AB + AC r u b/ Dựng = Tính Dạng Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không phương : Ví dụ 1.Cho ∆ ABC có trọng âtm G Cho điểm D, Frlầnr lượt r E,uuu uuulà r trung điểm cạnh u = AE; v = AF BC, CA, EF Đặt Hãy phân tích vectơ uur uuu r AB uuurvà uuuIrlà giao điểm AD rr AI , AG, DE , DC u, v theo hai vectơ Ví dụ Cho tam giác ABC.rĐiểm uuurMrnằm uuutrên r cạnh BC cho MB= 2MC Hãy phân tích uuuur u = AB, v = AC AM vectơ theo hai vectơ Dạng Chứng minh điểm thẳng hàng : Cơ sở: uuur uuur uuur + A, B,uuu Crthẳnguuu hàng r ⇔ uuur AB phương AC ⇔∃ 0≠k ∈ ¡ : AB = k AC AB = kCD + Nếu hai đường thẳng AB CD phân biệt AB//CD Ví dụ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K trung điểm AC AK= AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC Hai M, xác uuur uuu r điểm r uuu r Nuuu r uuu r định r hệ thức: BC + MA = AB − NA − AC = , Chứng minh MN//AC BÀI TẬP → → Bài 1: Cho điểm A, B, C, D thỏa AB AC +3 = CMR : B, C, D thẳng hàng → → r r → → MC NA NC MB PA PB Bài 2: Cho ∆ABC, lấy M, N, P cho =3 ; +3 = + = → → → → → → AC PM PN AB a/ Tính , theo b/ CMR : M, N, P thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ điểm đối xứng với A qua B, B’ điểm đối xứng với B qua C, C’ điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm Dạng Xác định vị trí điểm nhờ đẳng thức véctơ : Cơ sở: uuur r AB = ⇔ A ≡ B r uuuur r a AM = a + Cho điểm A Có M cho : uuur uuur uuur uuur AB = AC ⇔ B ≡ C ; AD = BD ⇔ A ≡ B + + Ví dụ Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí G biết uuur uuur AG = 2GD uur uur r IA + IB = Ví dụ Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho: uuur uuur uuur uuur r GA + GB + GC + GD = Ví dụ Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho: BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trung điểm AB, CD O trung điểm EF → → a/ CMR : AD + → EF → + OD + → → MB r → OC + → c/ CMR : =2 OB + MA → → OA b/ CMR : BC → → MC + = + MD MO =4 (với M tùy ý) −→ MA −→ −→ −→ MB MC MD d/ Xác định vị trí điểm M cho + + + nhỏ Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA M điểm tùy ý → → r → → AF BG CH DE a/ CMR : + + + = → → → → → → → → MA MB MC MD ME MF MG MH b/ CMR : + + + = + + + → → c/ CMR : → → AB + AC + AD AG =4 (với G trung điểm FH) → → → AD → CF BE GH Bài 3: Cho hai ∆ABC DEF có trọng tâm G H CMR : + + =3 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O E trung điểm AD CMR : → → → → r → → → → → → → → OA OB OC OD EC EA EB AB EB EA ED EC a/ + + + = b/ + +2 =3 c/ +2 +4 = Bài 5: Cho ∆ABC có M, D trung điểm AB, BC N điểm cạnh AC → AN cho = → NC Gọi K trung điểm MN 1 → 1 → → → → → AK AB AC KD AB AC a/ CMR : = + b/ CMR : = + → Bài 6: Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D E cho Gọi M trung điểm DE I trung điểm BC CMR : AD → → =2 DB → CE , =3 EA → → AB → AC → AM a/ = + CÁC ĐỀ TỔNG HỢP b/ MI = → AB + → AC Đề 1: Câu1: Cho tứ giác ABCD I, J, K trung điểm AB, CD, IJ Chứng AC − DB = AD − CB CA + CB + CD = 4CK minh: a) b) Câu 2: Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Tìm điểm M thoả: MA + MB + MC + MD = 3MO Câu3: Cho tam giác ABC trọng tâm G, D E hai điểm thoả: DE, DG AD = AC AE = , AB AB, AC Phân tích vectơ theo vectơ , Suy ba điểm D, E G thẳng hàng Đề 2: Câu1: Cho tứ giác ABCD I, J, K trung điểm AB, CD, IJ Chứng AB + DC = AC + DB AC + AB + AD = AK minh: a) b) Câu 2: Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Tìm điểm M thoả: MA + MB + MC + MD = 3MO Câu3: Cho tam giác ABC trọng tâm G, D E hai điểm thoả: DE, DG BD = BC BE = , BA BA, BC Phân tích vectơ theo vectơ , Suy ba điểm D, E G thẳng hàng Câu 4: Cho tam giác ABC , G trọng tâm tam giác uuuur uuuur uuuur uuuur MA + MB + MC = 3MG 1/ Chứng minh với M ta có: uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur | MA + MB + MC | = | MB − MC | 2/ Tìm tập hợp điểm M cho uuuur uuur uuur AC AB BE 3/ Gọi E trung điểm BG Biểu thị theo hai véctơ