Bài tập Đại số Sơ cấp Thực hành giải toán BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP VÀ THỰC HÀNH GIẢI TỐN Dành cho SV hệ CĐ Tốn – mơn CHƯƠNG I: GIẢI BÀI TỐN NHƯ THẾ NÀO Bài 1: Cho An = + + 3+ … + n ( n ∈ N, n ≥ 1) a Tính An phương pháp trực tiếp b Chứng minh kết vừa tìm phương pháp quy nạp c Đưa toán tương tự toán tổng quát toán nêu cách giải 1 1 + + + + , ( n∈ N , n ≥ 1) Bài 2: Cho Bn = 1.2 2.3 3.4 n.( n +1) a Tính Bn phương pháp trực tiếp b Chứng minh kết vừa tìm phương pháp quy nạp c Đặt thêm số câu hỏi khác cho toán d Đưa toán tương tự toán tổng quát toán nêu cách giải Bài 3: Cho Cn = 12 + 22 + 32 + ….+ n2 , ( n ∈ N , n ≥ 1) a Tính Cn phương pháp trực tiếp b Chứng minh kết vừa tìm phương pháp quy nạp Bài 4: Cho Dn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) , ( n ∈ N , n ≥ 1) a Tính Dn phương pháp trực tiếp b Chứng minh kết vừa tìm phương pháp quy nạp Bài 5: Cho En = 13 + 23 + 33 + … + n3 , ( n ∈ N , n ≥ 1) a Tính En phương pháp trực tiếp b Chứng minh kết vừa tìm phương pháp quy nạp c Tìm mối liên hệ tốn 5, từ đưa tốn tổng qt nêu cách giải 1 + + a + b ≥ nhiều cách Bài 6: Cho a , b > 0, a + b ≤ CMR: a b Khai thác toán Ths Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam Bài tập Đại số Sơ cấp Thực hành giải toán CHƯƠNG II: CÁC TẬP HỢP SỐ I PHÉP CHIA CÓ DƯ – SỰ CHIA HẾT Bài 1: Một số chia cho dư 1, chia cho dư 3, chia cho dư a.Tìm số dư số chia cho 60? b Tìm dạng tổng quát số tự nhiên thỏa mãn tính chất c Tìm số tự nhiên bé thỏa mãn tính chất d Tìm số tự nhiên lớn nhất, bé có chữ số thỏa mãn tính chất Bài 2: Tìm số dư phép chia: a 20092009 cho 9; b 20082009 cho 15 Bài 3: Tìm chữ số tận của; a 20082009 ; b 20032008 ; c 112008 + 122008 + 132008 + 142008 + 152008 + 162008 ; 2010 d Tìm ba chữ số tận A = 266 Bài 4: Chứng minh tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Từ giải toán sau: Cho A = 2m3 – 3m2 + 7m, ( m ∈ Z ) a CMR: A chia hết cho b Khai thác toán Bài 5: CMR abc M37 bca M37 cab M37 Bài 6: Cho An = 22n + + 2n + + Bn = 22n + - 2n + + CMR có An Bn chia hết cho Bài 7: Cho Cn = + 32 + 33 + + 3100 Chứng minh Cnchia hết cho 120 Bài 8: Tìm số dư phép chia : A = ( 2004 2008 + 20052009 + 2006 2010 ) 2009 cho 401 Bài 9: Tìm hai chữ số tận B = 3999 – 2999 Bài 10: Cho n số nguyên dương, chứng minh tốn sau cách (nếu có thể): 7n + 3n – chia hết cho 9; 4n + 15n – 10 chia hết cho 9; 2n 16n – 15n – chia hết cho 225; 22 + chia hết cho 7; n +1 32 + chia hết cho 11; 122 n + + 11n + chia hết cho 133 212n + + 172n + + 17 không chia hết cho 19; 42n + + 3n + chia hết cho 13 n n n n n A ( n ) = ( +1) − ( + ) chia hết cho 91 Bài 11: Cho số nguyên x, y, z thỏa mãn x + y + z chia hết cho Chứng minh M = (x + y)(y + z)(z + x) – 2xyz chia hết cho Ths Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam Bài tập Đại số Sơ cấp Thực hành giải toán II ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Bài 1: Cho a, b ∈ N Chứng minh rằng: a ƯCLN (13a + 8b ; 5a + 3b) = ƯCLN(a; b); b Nếu kn - lm = (ma + nb; ka +lb) = ( a; b ) Bài 2: Tìm BCNN của: a [a ; a + 1; a +2] , với a số tự nhiên b [2n – ; 2n + 1]; c [22007 – 1; 22009 – ] Bài 3: Chứng minh (a; b) = thì: a (11a + 2b ; 18a + 5b) 19 b (a + b; a2 + b2 – ab ) Bài 4: Cho C = (n + 1)6k – + n6k – + có ước số số phương Bài 5: Cho (a; b) = CMR ƯC( a2n + bn , a + b) Bài 6: Tìm số nguyên dương a b nguyên tố biết: a − b2 a +b = ; a b 3 = a −b 49 ab Bài 7: Tìm số nguyên dương a biết: a Khi chia 120 cho a dư 20 , cịn chia 240 cho a dư 15 b Khi chia 200 cho a dư 20, cịn chia 400 cho a dư 40 Bài 8: Tìm số nguyên dương a b biết: a (a; b) = 10 [a; b] = 100 b (a; b) = 10 2a + 5b = 1200 a + b = 667 c [ a; b ] ( a; b ) = 120 Bài 9: Nếu (a; b) = (a + b; a – b ) ? III SỐ NGUYÊN TỐ HỢP SỐ Bài 1:Tìm số nguyên tố p để 4p2 + 6p2 + số nguyên tố Bài 2: CM tập số ngun tố vơ hạn Bài 3: Tìm số nguyên tố p cho: a p + p + 14 số nguyên tố b p + ; p + ; p + 12 p + 14 số nguyên tố Bài 4: Tìm số nguyên tố p cho p +1 số tự nhiên Bài 5: Cho p, q số nguyên tố lớn CMR: p2 - q2 chia hết cho 24 Bài 6: a Cho p số nguyên tố lớn Biết 2p + số nguyên tố CMR 4p + hợp số Ths Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam Bài tập Đại số Sơ cấp Thực hành giải toán b Cho p 8p – số nguyên tố CMR 8p + hợp số Bài 7: Cho p p2 + số nguyên tố CMR p3 + số nguyên tố Bài 8: Tìm số nguyên tố có dạng: m2 + n − 61 a n2008 + n2009 + 1; b c n4 + 4n +4 ; Bài 9: Chứng minh số sau hợp số n.( n + ) a − , ( n ∈ N , n ≥ ) ; b n4 + n2 + 1, ( n ∈ N , n ≥ 1) c 19.8n + 17 , ( n ∈ N , n ≥ 1) Bài 10:Tìm số nguyên tố p cho vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Bài 11: Cho số nguyên dương a, b, c d thỏa mãn đẳng thức a2 + b2 = c2 + d2 Chứng minh a + b + c + dlà hợp số IV PHƯƠNG TRÌNH ĐI – Ơ – PHĂNG Bài 1: Tìm a, b, c ∈ ¢ cho: a2 + b2 + c2 = 2007 Từ đưa tốn tương tự Bài 2: Giải phương trình nghiệm ngun: 5x + 25 = –3xy + 8y2 Bài 3: Tìm x, y, z ∈ ¢ + thỏa mãn 2(y + z) = x(yz –1) Bài 4: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a 3(x + y) = xy ; b x2 + 2x + = y2; Bài 5: Chứng minh với n nguyên dương, phương trình sau khơng có nghiệm ngun: a 4x2 + y2 = 4n + 2; b x2n + = 3y; c x2 + = 6y; d x2 + = 8y Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: a 109x – 48y = 25 ; b x3 + y3 + = 3xy Bài 7: Tìm giá trị nguyên n để A = n2 + 2010 số phương V SỐ HỮU TỈ a b c = = a = b = c b c a a b c = : Bài 2: CMR = b c d Bài 1: CMR a +b +c a a + b3 +c3 a a b = ÷ = ; 3 d b +c +d d b +c +d Bài 3: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + x = 1.CMR: + > 14 A = xy + yz + zx x + y + z Bài 4: Tìm x, y, z biết: Ths Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam Bài tập Đại số Sơ cấp Thực hành giải toán x y z = = x + y + 2z = 11; x x b = ; = x + y + z = 217 y z Bài 5: Tính tổng: 1 1 + ÷ + ÷ + ÷ 100 + ÷ 4 4 S= 1 1 + ÷ + ÷ + ÷ 99 + ÷ 4 4 Bài 6: Hãy viết phân số khác nằm hai số: a 2007 2007 2009 2008 Bài 7: Cho phân số ; ; Hãy tìm phân số phân số cho, cho tử số phân số thứ thứ ba, mẫu số phân số thứ thứ tư số tự nhiên Bài 8: 21 a Tìm phân số , biết ta cộng thêm vào tử số mẫu số phân số 23 66 với số tự nhiên ta phân số 72 15 b Tìm phân số , biết ta trừ tử mẫu số phân số 19 21 số tự nhiên ta phân số 37 Bài 9:Tìm x,y ∈ ¢ thỏa mãn: 2y2x + x + y + = x2 + 2y2 + xy Bài 10: Tìm cặp số nguyên không âm (x, y) thỏa mãn : ( y +1) + y = ( x + 1) + x a ; 5 b 2 Bài 11: Tìm tất số nguyên dương x, y cho : ( x + y ) + xy = x + y Bài 12: Tìm số nguyên dương n cho: a x = 2n + 2003; y = 3n + 2005đều số phương n n n b T = + + bình phương số nguyên VI LŨY THỪA – CĂN SỐ Bài 1: Tính A = + - 13 + 48 6+ Ths Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam Bài tập Đại số Sơ cấp Thực hành giải toán Bài 2: Chứng minh số : x = 2+ 2+ - - + nghiệm phương trình: x4 – 16x2 + 32 = Bài 3: So sánh số sau: a 28 26 14 ; b c + + ; Bài 4: Tính: a A = d 2+ + 2− 3 +2 + − 2 x−2+ 2008 + 2009 ; − − b B = ; Bài 5: Tính giá trị biểu thức A = a + Bài 6: Giải phương trình: 2008 2009 + 2009 2008 1+ 3 1+ 1+ + 1− 1− 1− 3+ 10 + + − , với a = + a6 y + 2008 + z − 2009 = Bài 7:Tính giá trị biểu thức: A = 3− 10 + − ( x + y + z) ; + 3 + + ÷ − + B = ÷ 24 + ÷; 2 + + − 1 1 1 1 + C = + + + + + + + + + + + ; 2 3 4 2008 20092 Cho a, b hai số khác thỏa mãn điều kiện a + b ≠ Chứng minh 1 1 1 + + = + − 2 a b ( a + b) a b a+b ( a2 + b2 + a 2b ( a + b) = a+b− ) ab a+b 2 x = + 99 + 0,99 14 43 Sử dụng kết trên, tính giá trị biểu thức sau: n sô Ths Nguyễn Thị Thanh Hà n sô Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam Bài tập Đại số Sơ cấp Thực hành giải toán )( ( 2 Bài 8: Cho x + x +3 y + y +3 Bài 9: Cho B = ) = Tính D = x + y x3 + 3x + ( x − ) x − − x3 − 3x + ( x − ) x − + a Rút gọn B b Giải phương trình B(x) = a +1 + Bài 10: Cho C = ab + a Rút gọn C − 1÷: ÷ ab − ab + a a +1 − ab + ab + a +1÷ ÷ ab − a + b = c Tìm giá trị nhỏ C x+4 x−4 + 1− , ( x ≥ 1) -1 +1 b Tính giá trị C a = - b = Bài 11: Cho D = x−4 x−4 16 + x x2 a.Rút gọn D b Tìm giá trị nguyên x để D nguyên Bài 12: Tìm giá trị nguyên m để m + m + 23 số hữu tỉ Bài 13:Chứng minh rằng: a x = a + a + b3 − b x = 25 + 22 + a + b3 − a nghiệm phương trình: x3 + 3bx − 2a = 3 25 − 22 nghiệm phương trình:x3 – x2 – x – = Bài 14: Chứng minh số vô tỉ Hãy đưa số toán tương tự Bài 15: Cho a, b số dương Rút gọn biểu thức sau: a + ab + 9b a + b − ab −2 b Bài 16: Cho a = xy + ( 1+ x ) ( 1+ y ) 2 b = x + y + y + x Biết x, y dương Hãy tính b theo a Bài 17: Chứng minh biểu thức sau có giá trị khơng phụ thuộc vào x: A= x + − 3.6 +4 − x 9−4 2+ + Ths Nguyễn Thị Thanh Hà x Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam Bài tập Đại số Sơ cấp Thực hành giải toán CHƯƠNG III: ĐA THỨC - PHÂN THỨC HỮU TỈ Bài 1: Tìm a, b, c cho đa thức f(x) = x3 + ax + b nhận 1, c làm nghiệm Bài 2: Chứng minh (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a bình phương đa thức Bài 3: Chứng minh với số tự nhiên n, đa thức x 4n + + 2x2n + + chia hết cho đa thức (x + 1)2 Bài 4: Tìm a b cho đa thức x – 2ax2 + bx + a chia cho đa thức x – x + số dư Bài 5: Cho p số nguyên tố lớn f(x) = ax + bx3 + cx2 + dx + e, với a, b, c, d, e số nguyên Biết f(x) chia hết cho p với số nguyên x Chứng minh a, b, c, d, e chia hết cho p p Bài 6: Cho phân số tối giản nghiệm đa thức với hệ số nguyên q n n–1 f(x) = anx + an -1x + … + a1x + a0 Chứng minh rằng: a p \ a0 ; q \ an b (p – mq) \ f(m) , với m số nguyên Bài 7: Cho số nguyên dương m cho đa thức p(x) bậc n cho: p(xm) chia hết cho (x – ) CMR p(xm) chia hết cho (xm – 1) Bài 8: Gọi x1, x2, x3 nghiệm đa thức x3 + ax + b = 2 CMR: ( x1 − x2 ) ( x2 − x3 ) ( x3 − x1 ) = − 4a − 27b3 Bài 9: Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a a3 + b3 + c3 = 3abc ; b a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 ; ( a − b) c + ( b − c ) + ( c − a) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ×( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 5 3 2 Bài 10: Tìm hai đa thức u(x) v(x) cho: f(x).u(x) + g(x).v(x) = d(x) a f(x) = x4 + 2x3 – x2 – 4x – 2; b g(x) = x4 + x3 – x2 – 2x – Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a A = a3 + 4a2 - 41a - 20 b B = bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc c C = a4 + 6a3 +7a2 – 6a + d D = a8 + a7 + e E = 4ab(a2 + b2) – 6(a3 + b3 + a2b + ab2) + 9(a2 + b2) Bài 12: Tìm đa thức bậc với hệ số nguyên cho f(0) = f(2) = 0; f(1) = f(3) = Bài 13: Tìm đa thức với hệ số nguyên có bậc nhỏ nhận − 3 nghiệm Ths Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam Bài tập Đại số Sơ cấp Thực hành giải tốn Bài 14:Tìm đa thức bậc f(x) cho: f(x) - f(x - 1) = x Bài 15:Phân tích phân thức sau thành phân thức đơn giản nhất: x3 - x + x4 - x2 + a ; b ; (x - 2)5 (x + 1)5 x2 + x + c ; (x - 1)(x + 1)(x + 2) x - x - 3x - d x (x - 2) Bài 16: Tìm đa thức f(x) g(x) với hệ số nguyên cho: Bài 17: Tìm a, b ∈ ¥ cho a – b = f( + 7) = g( + 7) a b Bài 18: Cho đa thức f ( x ) = ax + bx + cx + d a Chứng minh f(x)nhận giá trị nguyên với xnguyên bốn số 6a, 2b, a + b + cvà d số nguyên b Đảo lại, bốn số 6a, 2b, a + b + cvà d số nguyên liệu f(x) có nhận giá trị ngun với giá trị ngun x hay khơng? Vì sao? Xét phương trình x + ax + bx + = , a, b hai số hữu tỉ a CMR a = − 5, b = cặp số hữu tỉ làm phương trình cho có nghiệm, có nghiệm x = + b Với a = − 5, b = , kí hiệu x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình cho đặt Sn = x1n + x2n + x3n , n ≥ Tính S1 , S2 , S3 chứng minh Sn số nguyên với n ≥ c Tìm số dư phép chia S2010 cho Ths Nguyễn Thị Thanh Hà Khoa Tự nhiên – Trường CĐSP Hà Nam