Bài tập oxy chọn lọc

Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission  d 1 b 1     b 3d 1    2  d  b    d  3d      b  3d  b  3d   d    d   b        d  2 b  3d    b  4  B  2,  , D  0,    B  4,8  , D  2,  *Tìm tọa độ điểm A Vì AC BD nhận I làm trung điểm nên ta có x A  xC xB  xD  tương tự với tung độ 2 Khi B  2,  , D  0,  x A  xB  xD  xC  3, y A  yB  yD  yC  Khi B  4,8  , D  2,  x A  xB  xD  xC  5, y A  yB  yD  yC  Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật A  3,3 , B  2,  , C  1,5  , D  0,  A  5, 7  , B  4, 8  , C  1,5  , D  2,  Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C  3, 1 Gọi M trung điểm cạnh BC, đường thẳng DM có phương trình y   Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d : x  y   điểm D có hoành độ âm Tìm tọa độ đỉnh A D Phân tích: Vì hai điểm A, D thuộc hai đường thẳng, với biết tọa độ điểm C nên theo tính chất hình chữ nhật (chính xác hình bình hành) ta tính tọa độ điểm B theo hai ẩn mô tả tọa độ điểm A, D theo công thức: x A  xC xB  xD  (tương tự với tung độ) 2 B A M I D C Từ đó, ta mô tả tọa độ điểm M trung điểm BC theo hai ẩn Ta tìm ràng buộc hai ẩn Thứ nhất, điểm M phải thuộc đường thẳng DM Thứ hai, ràng buộc đủ để ABCD hình chữ nhật Nó hình bình hành ta sử dụng công thức trên, để hình chữ nhật phải có góc vuông Lời giải: Gọi tọa độ điểm A, D thuộc đường thẳng x  y   0, y   A  a,5a   , D  d ,1 Vì I đồng thời trung điểm AC BD nên xI  x A  xC  xB  xD  xB  x A  xC  xD  a  d  Tương tự, yB  5a     5a  Vì M trung điểm BC nên tọa độ điểm M  a  d  5a   M ,  2   Theo đề, ta có:    d  a   d    5a   2    AD.DC      5a  1  M  DM    2  a   46  13  d  d    d  23   5       a   a  2      d  2  2  Vậy tọa độ điểm A D A  ,5  , D  2,1   Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD có B 1,1 Trọng tâm tam giác ABC nằm đường thẳng d : x  y   Điểm N  4,  trung điểm cạnh CD Tìm tọa độ đỉnh A Phân tích: Đề ta cho tọa độ hai điểm B, N đường thẳng chứa trọng tâm G tam giác ABC Ta thấy rằng, B, G thuộc đường chéo BD ta tính tỉ lệ độ dài cạnh đường chéo theo tính chất trọng tâm hình chữ nhật Từ đó, ta tính tọa độ điểm I D theo ẩn tọa độ G Và từ D ta tính tọa độ C theo trung điểm N DC Ràng buộc ta không khác DC  BC 54 | Hãy dùng sách hãng để hưởng đầy đủ quyền lợi độc giả Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission B A G I D C N Lời giải: Gọi tọa độ điểm G thuộc 3x  y   G g,3g  2 *Tính tọa độ điểm D theo g Tam giác ABC vuông B có G trọng tâm nên I tâm hình chữ nhật, tức BI trung tuyến ứng   với cạnh AC ta có hệ thức BG  BI     BI  BD Suy ra: BG  BD   Ta có: BG   g  1,3 g  3 , BD   a  1, b  1 với   g    a  1 a  3g  D  a, b     b  g  3 g    b  1  *Tìm tọa độ G , C 57 y A  yG  yB  yC  x A  xG  xB  xC   57  Vậy tọa độ A A  1,3 A  ,  5  Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích  48, đỉnh D  3,  Đường phân giác góc BAD có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh B biết điểm A có hoành độ dương Phân tích: Với kinh nghiệm giải toán có tam giác, ta nhận ta sử dụng cách tương tự để tìm điểm E nằm AB lấy đối xứng D thuộc AD qua phân giác góc DAB Thêm điều nữa, góc DAB góc vuông A lại thuộc đường phân giác góc có phương trình nên hoàn toàn xác định tọa độ điểm A Lúc này, ta viết phương trình cạnh BA, AD, DC dựa vào tọa độ điểm E, A, D độ dài cạnh AD Từ diện tích, ta tính độ dài cạnh lại nên điểm B (C) thuộc AB (DC) cách A (D) đoạn biết nên ta tính tọa độ B, C Vì N trung điểm CD nên xC  xN  xD  10  g , yC  y N  yD  20  g A E B Khi   ND   g  6,9 g  14  , BC    g ,19  g  I Ta có:   BC  ND  BC.ND     g  g    19  g  g D  14   C F  90 g  342 g  320   5   C  5,5  , G  ,3  g    3      18   32 22   g  32 C  ;  , G  ,   15   5   15  *Tìm tọa độ điểm A 5   Với C  5,5  , G  ,3  3  Vì G trọng tâm tam giác ABC nên x A  xG  xB  xC  1 y A  yG  yB  yC   18   32 22  Với C  ;  , G  ,   5   15  Vì G trọng tâm tam giác ABC nên  Lời giải: Gọi E  a, b  điểm đối xứng D qua phân giác góc A *Tìm tọa độ điểm E a3 b2 Khi tọa độ trung điểm DE  ,     DE   a  3, b   Theo đề, ta có:  a  b   ,     x  y   0    DE  FA  a  b   7  a     b  10 1  a  3   b     Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia | 55 Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission *Tìm tọa độ điểm A Gọi tọa độ điểm A thuộc đường thẳng x  y    A  c,  c  Khi đó: DA   c  3,5  c  ,  EA   c  5, c  3 Ta có:   DA  AE  DA.EA    c  3 c      c  c  3  chiếu E, A lên BD ta có hai tam giác BEH BAK đồng dạng với dẫn đến ta tính khoảng cách từ A đến BD từ C đến BD Cùng với phương trình đường thẳng chứa điểm C ta tìm tọa độ điểm C c    A  5,  c  3  *Tìm tọa độ điểm B Lúc AD   3  5 K    2  S ABCD 48  6 AD Đường thẳng AB qua điểm A  5,   nhận vecto pháp tuyến AD   8,  nên có phương trình: 8  x     y     x  Gọi tọa độ điểm B thuộc đường thẳng x  B  5, d  Ta có: Xét vị trí tương đối D  3,  , B  5, 4  đường thẳng x  y   ta có:  3        48  nên D  3,  B  5, 4  phía với đường thẳng  Xét vị trí tương đối D  3,  , B  5,8  đường thẳng x  y   ta có:  3        48  nên B  5, 4  khác phía với đường thẳng Vậy tọa độ điểm B B  5,8 Lời giải: *Tìm tọa độ điểm C Gọi hình chiếu E, A lên BD H, K theo thứ tự Ta có khoảng cách từ E đến đường thẳng BD:  1   9 EH  d E / BD    12  ABK Hai tam giác vuông BEH BAK có EBH EH EB EH 12    AK    dC / BD AK AB Gọi tọa độ điểm C thuộc đường thẳng d   d 2 6   d  4  C D nên đồng dạng với nhau, suy hệ thức   5   d  2  B H  AB  AB  E A D  3,  Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh C nằm đường thẳng  : x  y   0, đường thẳng BD có phương trình x  y   Điểm E  1,  thuộc cạnh AB cho EB  3EA Biết điểm B có tung độ dương Tìm tọa độ điểm A, B, C, D Phân tích: Ở đây, không tính đường thẳng qua điểm C đề cho ta biết tọa độ điểm E phương trình đường thẳng BD Ta tìm liên hệ khoảng cách từ E đến BD độ dài cạnh hình chữ nhật Nếu gọi H, K hình x  y   C  2c  1, c  Ta có: dC / BD   2c  1  c   12  12   31 22  22  , c 12  C      13    13 13   50 C  5,  c   31 22  Xét tích       1     nên 13 13   13c   31 22  điểm C  ,  E  1,  nằm phía so  13 13  với đường thẳng x  y   : vô lí nên tọa độ điểm C C  5,  *Tìm tọa độ điểm B Gọi tọa độ điểm B thuộc đường thẳng x  y   B  b, 7b   , ta có:   EB  CB  EB.CB    b  1 b     7b  11 7b  11  56 | Hãy dùng sách hãng để hưởng đầy đủ quyền lợi độc giả Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission   29 22  29  b   B  ,  25    25 25    B  2,5  b   AC  AB   AC   29 22  Điểm B  ,  có tung độ âm trái với đề  25 25  nên tọa độ điểm B B  2,5  *Tìm tọa độ điểm A Gọi tọa độ điểm A A  a1 , a2  Theo đề ta có,    a1    3 a  2  BA  BE   a2  a    3  *Tìm tọa độ điểm D Gọi tọa độ điểm D thuộc đường thẳng x  y   D  d , 7d   , ta có:   DA  DC  AD.CD  d    d   d  5   7d  10  7d  11    d  Ta loại D  2,5 trùng điểm B Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật A  2,1 , B  2,5  , C  5,  , D 1, 2  Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : x  y   0, đỉnh C thuộc đường thẳng d : x  y   Gọi H hình chiếu B xuống đường thẳng AC Biết 9 2 M  ,  , K  9,  trung điểm AH 5 5 CD Tìm tọa độ đỉnh B, C hình chữ nhật ABCD biết xC  Lời giải: *Chứng minh MB vuông góc với MK       Gọi u  AB, v  AD, u  u , v  v Áp dụng hệ thức lượng tam giác cho tam giác vuông ABC có đường cao ứng với cạnh huyền BH ta có: AB  AH AC  AH  AB AC AC  AB  AB    AH  AC  uv AC AC     AH  AB2     MB  MA  AB    AB   u v u 2 AC       AB   u  AC v     2u  2v  u   u2   u v  u  v2  u  v2    u  2v  u2  u v u  v2 u  v2         B A M I H D C K     Mặt khác: MK  MA  AD  DK    AH    AB    u  v u  uv v 2 2 AC Từ đó:       u  2v v  u  2v u    MB.MK  u  v u  v2 u  v2 u     2v v u  u  v2   u     2v u v  u  v2   0 Gọi tọa độ điểm B thuộc đường x  y   B  b, 2b   , đó: thẳng   8 MB   b  , 2b   Ta có: 5      9   8 MB.MK      b        2b     5   5   b   B 1,  Gọi tọa độ điểm C thuộc đường thẳng x  y    C  c, c   Khi đó, KC   c  9, c   ,  BC   c  1, c   Ta có phương trình:  c   c  1   c   c    c     C  9,  c  Vậy tọa độ điểm B, C B 1,  , C  9,  Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  6,  , điểm M  4;5  nằm đường thẳng chứa cạnh AB Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia | 57 Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng x  y   Viết phương trình AB Lời giải: Lấy điểm N đối xứng với M qua I Suy N thuộc CD  N  8;  1 Điểm E thuộc đường thẳng Suy E(e; 5-e)   EN    e; e       EI    e; e  3 Mà EN  EI Do E trung điểm CD) Suy ra: 8  e   e    e   e  3   E  6; 1 e      e  11  E  11 ;     2   F E     A  2B A2  B M A2  B  B C      vtpt n AB  EI   ;  AB :  2 2 qua M  4;5   x     y  5  2  AB : x  y  29  Vậy phương trình đường thẳng AB y  x  y  29   AB : Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh đường chéo AB : x  y   0,  AB; BD   cos  10     1  A B   A  AB  B     A  B 1 *) Với A  B chọn B  7  A   AC  BD ( loại)   A  2B  A2  AB  B  A2  B I D  21 13  B  AB  BD  B  ;   5  Gọi n AC   A; B  A2  B   10 12  12  22 Khi gọi vecto pháp tuyến đường thẳng AC  n  n1 , n2  dẫn đến: A Lời giải: B giao điểm đường thẳng AB BD nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình sau: 21  x  x  y       x  y  14   y  13  AB; AC  cos   11     TH2:+) E  ;    EI  ;   2 2 2  7.2 M  2;1 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật Khi  TH1: +) E  6;  1 suy EI  0; 3  Vtpt : nAB  EI   0;3 AB :   AB : y  qua M  4;5    Ta có: cos DBA BD : x  y  14  Đường thẳng AC qua *) Với A   B chọn  B  1  A   n AC  1; 1 qua M  2;1 AC   vtpt n AC  1; 1  AC :  x     y  1   x  y   A  AC  AB  tọa độ A x  y 1  x    A  3,   x  y   y  thỏa mãn I  AC  BD  tọa độ I thỏa mãn   x  x  y 1  7 5   I  ;   2 2  x  y  14  y   I trung điểm AC suy C  4;3 Tương tự I trung điểm BD suy  14 12  D  ;   5 58 | Hãy dùng sách hãng để hưởng đầy đủ quyền lợi độc giả Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Vậy tọa độ đỉnh hình  21 13   14 12  A  3,  , B  ,  , C  4,3 , D  ,   5  5 Bài 13: Cho hình hình chữ nhật ABCD có cạnh AB, BC , CD, AD qua điểm M  4,5 , N  6,5 , P  5,  , Q  2,1 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết diện tích 16 Lời giải: Vì AB vuông góc với BC nên ta có: 1 kl   1 1   kl  1  l  k Vì ABCD hình chữ nhật nên: k    4k k 3 AD  d P / AB   k  12 k2 1 Tương tự, ta có: l.2    6l AB  dQ / BC  l  12 1 k 1 1 4 k 1 k k     l2 1 k2 1 k2 1  k2 k2 Theo giả thiết, diện tích hình chữ nhật 16 nên ta k  k 1 có: AD AB   16 k2 1 k2 1 4l  4    k  4k   k  3k  4k      5k  4k    k   l  1   k   l  3  Trường hợp phương trình đường thẳng AB x  y   BC x  y  11  Đường thẳng AD qua điểm Q  2,1 vuông góc với x  y 1  nên có phương Đường thẳng CD qua điểm P  5,  song song với x  y   nên có phương trình x y 3  Điểm C giao điểm CD BC nên tọa độ C nghiệm hệ phương trình sau: x  y   x     x  y  11  y  Điểm D giao điểm CD AD nên tọa độ D nghiệm hệ phương trình sau: x  y   x    x  y   y   Trường hợp phương trình đường thẳng AB x  y  11  BC x  y  23  Hoàn toàn tương tự, ta tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật  29 28   34 13  A 1,  , B  ,  , C  ,  , D  2,1  5   5 Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD A 1,  , B  5,  , C  7,  , D  3,   29 28   34 13  A 1,  , B  ,  , C  ,  , D  2,1  5   5 Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có D  3;  Gọi M trung điểm AD, đường thẳng CM : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết B thuộc đường thẳng x  y   B có hoành độ âm Phân tích: Như trước, tính khoảng cách từ điểm cho trước tới đường cho trước, tìm mối liên hệ khoảng cách từ điểm cho với điểm thuộc phương trình đường thẳng tính chất hình học hình vẽ B A trình  x     y  1   x  y   Điểm A giao điểm AD AB nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình sau: x  y   x    x  y   y  Điểm B giao điểm AB BC nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình sau:  x  y  11  x    x  y   y  M D I C Mình chọn điểm D để tính khoảng cách tới CM, tham số hóa tọa độ điểm B, cách tìm liên hệ khoảng cách dựa vào liên hệ diện tích tam giác chung đáy tính khoảng cách từ B tới AC tìm điểm B Bài toán cho Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia | 59 Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission hoành độ B âm kiện quan trọng chút gọi “lừa” chúng ta, điều kiện B lựa chọn điểm B thỏa mãn, vị trí tương đối B D so với MC khác phía, việc dùng khoảng cách cho điểm B, thực tế có điểm phía với D so với MC (phải loại) điểm khác phía (đây điểm cần tìm) Có B, có D tìm trung điểm I BD để tìm mối liên hệ với AC (vì I thuộc AC) Bây tham số hóa C sử dụng thêm BC BD vuông góc với để giải C Cuối tìm A có I C Lời giải: Ta có: BC  AD  2MD  S MBC  S MDC  d  B; MC   2d  D; MC 1 Gọi: B  b; 3  3b  b   Từ (1) ta được: 2b   3b  3  22  12 2 3.2   22  12  b  2   b  2  B  2;3 b   Gọi AC  BD  I  I trung điểm BD 1 7  I ;  2 2 Gọi   C  c; 2c  1  BC   c  2; 2c   ; DC   c  3; 2c  3 Do ABCD hình chữ nhật dẫn đến:   BC.DC    c   c  3   2c   2c  3  C  0,1 , A 1,  c        11 27   6  11 c  C , ,A ,   5   5   Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật A 1,  , B  2,3 , C  0,1  6   11 27  A  ,  , B  2,3 , C  ,   5 5  Hình thoi B  b,1  b  , C  c, 2c  1 Bài 1: Cho hình thoi ABCD có AC  BD Biết đường thẳng AC có phương trình x  y   B Đỉnh A  3,5 điểm B thuộc đường thẳng d : x  y   Tìm tọa độ đỉnh B, C, D hình thoi ABCD Phân tích: Hai điểm B, C thuộc hai đường thẳng biết phương trình nên ta cần tìm ràng buộc hai điểm Với giả thiết AC  BD , ta biến đổi quan hệ điểm đặt ẩn, điểm có tọa độ phương trình đường thẳng AC là: AC  4d B / AC Với tính chất hình thoi, ta có ràng buộc BI  AC với I trung điểm AC dễ dàng tính theo ẩn tọa độ điểm C Lời giải: *Tìm tọa độ điểm B, C Gọi tọa độ điểm B, C thuộc đường thẳng x  y   0, x  y   A C I D Khi tọa độ tâm I hình thoi trung   c  2c  điểm AC có tọa độ:  ,    Ta có:     c  2b  AC   c  3, 2c   , BI   , b  c  1   AC  BD  BI Từ ta có hệ phương trình sau: 60 | Hãy dùng sách hãng để hưởng đầy đủ quyền lợi độc giả Chinh phục hình học giải tích Oxy    AC.BI    AC  BI B  1,  , C  1, 3 , D  3,     c  2b     2c  6 b  c  1   c  3      2 2   c  2b      b  c 1   c  3   2c  6        c  2b   2b  2c    1  c  3      5c 7c 13  c b b c b         2  4 c      5c b   2  Khi c  ,    2b2  2b  25   b    Khi b   2  Your dreams – Our mission 5c  , 2 c3   c   Bài 2: Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh AC x  y  31  , hai đỉnh B, D thuộc đường thẳng d1 : x  y   0, d : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 đỉnh C có hoành độ âm Phân tích: Tương tự trên, ta đặt hai ẩn tương ứng với tọa độ hai điểm B, D thuộc hai đường thẳng cho trước Vì ABCD hình thoi nên ta sử dụng tính chất cách chọn lọc hình thoi để tìm hai ẩn Và tính chất là: hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường (dễ dàng thấy tứ giác có tính chất hình thoi) Vì đề cho phương trình đường thẳng AC nên ta sử dụng tính chất trung điểm đường chỗlà trung điểm BD nằm AC B 45c 75c 125   4  5 c    3 C A  5  c    c      c3  c    5  c   6  c   3     13 31  13  ,  c  , B  3, 2  C       C  1, 3 , B  1,  c  1 *Tìm tọa độ D Vì I trung điểm chung AC BD nên xI  x A  xC  xB  xD , yI  y A  yC  yB  yD  13 31  Khi C  ,  , B  3, 2    13 xD  x A  xC  xB  , yD  y A  yC  yB  5  Khi C  1, 3 , B  1,  , tương tự ta có xD  3, yD  Vậy tọa độ đỉnh B, C , D hình thoi ABCD  13 31   13  B  3, 2  , C  , ,  , D   5  D Từ ta tính tọa độ B, D Cặp điểm A, C thuộc đường thẳng nên ta cần hai ẩn để mô tả A, C Và ràng buộc lúc bổ sung cho tính chất trung điểm AC trùng với trung điểm BD Kết hợp với diện tích 75 ta tính tọa độ A, C Lời giải: *Tính tọa độ B, D Gọi tọa độ điểm B, D thuộc đường d1 : x  y   0, d : x  y   là: thẳng B  b,8  b  , D  2d  3, d  Từ đó, ta có:   2d  b  d  b   BD   2d  b  3, d  b   , I  ,  2   với I trung điểm BD trung điểm AC Vì ABCD hình thoi nên hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường từ ta có hệ phương trình sau: Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia | 61 Chinh phục hình học giải tích Oxy 7  d  b     d  b     AC  BD    2d  b     d b8  I  AC   7   31   2     13d  8b  13 d    D  1,1  9   b   B  0,8   d  3b   1  Suy tọa độ điểm I I  ,   2 BD   1  2  8  12 5 *Tính tọa độ A, C Gọi tọa độ điểm A, C thuộc đường thẳng x  y  31  A  31  7a, a  , C  31  7c, c  Từ đó, ta tính tọa độ điểm I theo a, c:  a  c a  c  I  31  ,  AC  a  c Ta 2   có hệ phương trình sau: S ABCD 150 30  5 a  c  AC  BD    a  c   2  a  c    a  c  a  c      a  c  3 a  c    a  c   a    A  11,  , C 10,3 c     a   A 10,3 , C  11,    c  Vì điểm C có hoành độ âm nên ta chọn tọa độ điểm C C  11,  Vậy tọa độ đỉnh hình thoi ABCD A 10,3 , B  0,8  , C  11,  , D  1, 1 Nhận xét: Ta đặt lúc ẩn tương ứng với điểm giải hệ phương trình với ẩn Tuy nhiên làm khó theo dõi, khó sửa lỗi Làm bước giúp kiếm phần, tránh trường hợp sai chỗ sai toàn toán Bài 3: Cho hình thoi ABCD có AC : x  y   Điểm E  9,  nằm đường thẳng AB, điểm Your dreams – Our mission F  2, 5  thuộc AD, AC  2 Xác định tọa độ A, B, C , D biết điểm C có hoành độ âm Phân tích: Một tính chất hình thoi (cũng cho tất hình bình hình khác) sử dụng đường chéo từ đỉnh đường phân giác ứng với góc đỉnh Tính chất hữu dụng ta có điểm E nằm tia AB góc BAD với phương trình AC phân giác góc BAD Từ đó, tương tự tập liên quan đến tam giác, ta tính tọa độ điểm đối xứng E qua phân giác AC thuộc AD Từ đó, kết hợp với điểm F thuộc AD biết, ta kẻ đường thẳng AD B E A I C F K D Điểm A giao điểm AD AC Sử dụng thêm kiện khác, ta tìm tọa độ đỉnh khác hình thoi Lời giải: *Tìm tọa độ điểm đối xứng E qua AC Gọi K  k1 , k2  điểm đối xứng E qua phân giác AC góc BAD Khi đó,  EK   k1  9, k2   trung điểm H EK có  k  k2   Ta có hệ phương trình , tọa độ H     EK  AC sau:   H  AC 1  k1     k2    k1  3    k1    k2     k  8            *Tìm tọa độ điểm A, C Đường thẳng AD di qua điểm F  2, 5   có vecto phương FK   1, 3 hay vecto pháp tuyến  3, 1 nên có phương trình:  x     y  5   3x  y   Điểm A giao điểm AD AC nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình: 62 | Hãy dùng sách hãng để hưởng đầy đủ quyền lợi độc giả Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission 3x  y   x    x  y 1  y 1 Gọi tọa độ điểm C nằm đường thẳng x  y   C  c,1  c  Theo đề, ta có: AC   c  2  1  c  12 2 c    c 2 2  C  2,3 c  2 *Tìm tọa độ điểm B, D Gọi tọa độ điểm D thuộc đường thẳng x  y   D  d ,3d  1 Với hình thoi ABCD toán này, thấy đề cho I, cho N thuộc CD nên tìm cách lấy điểm L đối xứng với N qua I L tìm nằm AB Từ điểm L,M thuộc AB, lập AB Tiếp sau khai thác thêm quan hệ độ dài AC=2BD hay AI=2BI Bằng việc đặt BI  a, tính độ dài khoảng cách từ I tới AB theo a dễ dàng tìm a nhờ tính độ dài d  I; AB  Theo cách tính ta BI  5, nên điểm I thuộc đường tròn tâm I bán kính , lập phương trình đường tròn sau giải hệ phương trình tương giao Ta có tọa độ trung điểm I AC I  1,  Khi đường tròn vừa lập phương trình đường  đó, ID   d  1,3d  1 Vì ABCD hình thoi nên: thẳng AB để tìm tọa độ điểm B cần tìm   Lời giải: ID  AC  ID AC    2   d  1   3d  1   d  Gọi L đối xứng với N qua I  L (4; 5) Áp dụng tính chất hình bình hành cho Ta có AB qua hình thoi ABCD:  1 M  0;  ; L  4; 5   AB : x  y   xB  x A  xC  xD  3, yB  y A  yC  yD   3 Vậy tọa độ đỉnh hình thoi ABCD 4.2  3.1   d  I; AB   2 A  0,1 , B  3,  , C  2,3 , D 1,  42  32 Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi Vì AC  BD, nên AI  BI  1 ABCD,có tâm I(2;1)và AC=2BD Điểm M  0;  Đặt BI  a  AI  2a  3 Xét tam giác vuông ABI có thuộc đường thẳng AB Điểm N  0;7  thuộc 1    a   BI  đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có a 4a  d  I ; AB   hoành độ dương Điểm B giao đường thẳng x  y   với Phân tích: Khi thấy toán hình bình hành (hay hình bình hành đặc biệt:hình thoi, hình đường tròn tâm I bán kính  Tọa độ B nghiệm hệ vuông, hình chữa nhật) mà có giao điểm đường chéo, điểm nằm cạnh hình cho, 4 x  y    thường lấy điểm đối xứng qua I để tìm thêm 2  x     y  1  điểm , hữu ích  x  1; y  1 B   x  1; y  1 (vì xB  ) L  x  1 ; y  5  M A C I Vậy B 1; 1 N D Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia | 63 Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Hình vuông d1 : x  y  0, Bài 1: Cho hai đường thẳng d : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d đỉnh B, D thuộc trục hoành Phân tích: Tương tự tam giác, đỉnh hình vuông đường thẳng biết phương trình việc trở nên đơn giản nhiều Việc lại ràng buộc để điểm xác định hình vuông Ta định nghĩa hình vuông tứ giác có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường Lời giải: Gọi tọa độ điểm A, C thuộc đường thẳng d1 : x  y  0, d2 :2x  y 1  A a, a ,C c,1 2c Gọi tọa độ điểm B, D thuộc trục hoành B  b,  , D  d ,  A B  c  a 2  1  2c  a 2   d  b 2   c  a     b  d   *  a  c  b  d 2c  a   Trường hợp c  a  , hệ * trở thành: 1  3c 2   d  b 2 a  c   a  c    d  b     b  d  2c b  d   c   a  c   a  c  1, b  0, d      d  2, b     a  c  1, b  2, d    d  0, b   Trường hợp b  d  không B phải khác D Vậy tọa độ đỉnh hình vuông A, B, C , D  A 1,1 , B  0,  , C 1, 1 , D  2,  A 1,1 , B  2,  , C 1, 1 , D  0,  I Bài 2: Cho hình vuông ABCD có M trung điểm cạnh BC, phương trình đường thẳng DM : x  y   C  3, 3 Biết đỉnh A thuộc D C Từ ta tính được:   AC   c  a,1  2c  a  , BD   d  b,  tọa độ trung điểm I đoạn AC, BD  a  c  2c  a  bd  I1  , ,0  I      Vì ABCD hình vuông nên hai đường chéo nhau, vuông góc với trung điểm đường (tức trung điểm hai đoạn AC , BD trùng nhau) Từ ta có hệ phương trình sau:  c  a   1  2c  a    d  b      AC  BD   c  a  b  d   1  2c  a         AC.BD    a  c  b  d I  I  2  1  2c  a  0  2 2 đường thẳng d : x  y   Tìm tọa độ điểm A, B, D Phân tích: Đề cho ta tọa độ điểm C phương trình đường thẳng DM nên ta cần dùng đến khoảng cách từ C đến DM Nhận thấy tam giác CMD vuông C có hai cạnh góc vuông có độ dài gấp đôi nên ta tính tỉ lệ đoạn thẳng tam giác đó, bao gồm cạnh góc vuông, cạnh huyền, đường cao ứng với cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền B M C H N A 64 | Hãy dùng sách hãng để hưởng đầy đủ quyền lợi độc giả D Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission Với đường cao CH ứng với cạnh huyền vừa tính, ta tính độ dài cạnh tam giác Ta quan tâm tới cạnh CM CD M D hai điểm thuộc đường thẳng biết phương trình Ở ta chọn M Điểm M ta cách C đoạn cho trước thuộc DM nên hoàn toàn xác định điểm M Từ đó, M trung điểm BC nên ta tính tọa độ điểm B Và điểm A giao điểm đường thẳng qua B, vuông góc với BC đường thẳng d cho Lời giải: *Tìm tọa độ điểm M Gọi H hình chiếu C lên MD Khi đó,   3   ta có: CH  dC / DM  2   1 Xét hai tam giác vuông MCH MCD:   CH  CD Vì M trung điểm BC tan CMH MH MC CH CD nên  Áp dụng  suy MH  MC 2 định lý Py-ta-go cho tam giác MCH, ta có: 2 MC  MH  CH  10 Gọi tọa độ điểm M thuộc đường thẳng DM : x  y   M  m, m   Ta có: MC   m  3   m  1  10 2 m   2m  4m     m   M  0, 2    M  2,  *Tìm tọa độ B, A, D  Trường hợp M  0, 2  : Vì M trung điểm đoạn BC nên xB  xM  xC  3, yB  yM  yC  1 Đường thẳng AB qua điểm B  3, 1 có  vecto pháp tuyến BC   6, 2  nên có phương  Trường hợp M  2,  : Vì M trung điểm đoạn BC xB  xM  xC  1, yB  yM  yC  Đường thẳng AB qua điểm B 1,3 có vecto  pháp tuyến BC   2, 6  nên có phương trình:  x  1   y  3   x  y   Điểm A giao điểm AB d nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình sau: 1  x  x  3y      3 x  y    y  13  Ta loại trường hợp 10  10  BC Vậy tọa độ đỉnh A, B, D AB  A  1,5  , B  3, 1 , D  5,3 Bài 3: Cho hình vuông ABCD có A  2,  , đỉnh B thuộc d : x  y   Gọi M , N hai điểm cạnh BC , CD cho BM  CN , Biết  14  AM cắt BN I  ,  Xác định tọa độ điểm C 5  Phân tích: Nếu vẽ hình xác, ta thấy AM vuông góc với BN Việc cần làm chứng minh nhận xét Có nhiều cách đơn giản hết thông qua hai tam giác ABM BCN Đó chìa khóa để giải toán Khi AM vuông góc với BN ta viết phương trình BN dựa tọa độ A, I Từ tìm điểm B điểm C Vì I trung điểm AC BD nên xI  x A  xC  xB  xD hay yD  y A  yC  yB  C I Điểm A giao điểm AB d nên tọa độ A nghiệm hệ phương trình sau: 3 x  y    x  1   3 x  y   y  tương M B trình:  x  3   y  1   3x  y   xD  x A  xC  xB  , nên tự N A D Lời giải: *Chứng minh BN vuông góc AM Hai tam giác vuông ABM , BCN có cạnh góc vuông nhau: Hãy đọc sách Lovebook để đạt kết tốt kỳ thi THPT quốc gia | 65 Chinh phục hình học giải tích Oxy Your dreams – Our mission AB  BC , BM  CN nên hai tam giác nhau, M B   NBC  dẫn đến MAB  phụ với BMA  nên suy Mặt khác, MAB  , tức BIM  phụ với BMA   90o NBC C N *Tìm tọa độ điểm B  14  Đường thẳng BN qua điểm I  ,  có vecto 5    12 16  pháp tuyến AI   ,  hay  3, 4  nên có  5  phương trình: 2 14     x     y     3x  y  10  5 5   Điểm B giao điểm BN d nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình: 3 x  y  10  x    x  y   y  *Tìm tọa độ điểm C Đường thẳng BC qua điểm B  2,  có  vecto pháp tuyến AB   4, 2  hay  2, 1 nên có phương trình:  x     y     x  y  Gọi tọa độ điểm C thuộc đường thẳng x  y  C  c, 2c  Vì ABCD hình vuông nên: BC  AB   c     2c     2       c   c2    c  Vậy tọa độ điểm C C  0,  C  4,8  Bài 4: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A thuộc d : x  y   Đoạn thẳng BC, CD qua M  4,  , N  0,  Biết tam giác AMN cân A, xác định tọa độ đỉnh hình vuông Phân tích: Từ kiện tam giác AMN cân A hay A thuộc trung trực MN, mặt khác A lại thuộc d nên hoàn toàn tìm tọa độ điểm A Do tính đối xứng hình vuông nên điểm C thuộc trung trực MN Tức điểm C tạo với M, N tam giác vuông cân nên ta tìm tọa độ điểm C Cuối cùng, để tìm tọa độ B, D cần áp dụng vài tính chất vuông góc, hình vuông Lời giải: *Tìm tọa độ điểm A D A Gọi tọa độ điểm A thuộc x y40 A  a, a   Theo đề, tam giác AMN cân A dẫn đến: AM  AN  a  2   a  2    a 2   a  2 Ta có:  16a  32  12a  36  a  1 BM  AM  AB  AN  AD  ND  BM  ND  CM  NC Do đó, C cách hai điểm M , N Mặt khác A cách M , N nên C , A nằm đường trung trực MN Suy AC  MN *Tìm tọa độ điểm C Gọi tọa độ điểm C C  c1 , c2    Từ đó: MC   c1  4, c2  , NC   c1 , c2     AC   c1  1, c2   , MN   4,  Ta có hệ phương trình sau:    MC.NC   c1   c1  c2  c2        4  c1  1   c2     AC.MN  2 c  c2  4c1  2c2  1 4c1   2c2  10  c   2c  32  4c   2c  3  1 1 c2  2c1    c1      c1   c  2c   c1  1, c2  1 (1) c  3, c  (2) 1 Ta nhận (2), loại (1) A C phía so với MN *Tìm tọa độ điểm B, D  Trường hợp C  3,3 : Ta có tọa độ tâm I hình vuông: x  xC y  yC  1, yI  A  1 xI  A 2 66 | Hãy dùng sách hãng để hưởng đầy đủ quyền lợi độc giả