HH10 PHAN NHAT NAM VECTO VA UNG DUNG

DANAMATH www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang HÌNH HỌC 10 VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG GV:Phan Nhật Nam VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU VỀ VECTƠ I Cơ sở lý thuyết : Các định nghĩa : ĐN 1: Vectơ đoạn thẳng có định hướng  Có điểm đầu điểm cuối  Hướng từ điểm đầu đến điểm cuối hướng vectơ  Độ dài đoạn thẳng gọi độ dài vectơ Ký hiêu : AB : A-điểm đầu, B-điểm cuối AB : Độ dài AB a : vectơ tự (Chỉ biết chiều độ lớn) ĐN 2: Vectơ không vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng  Độ dài  Hướng tùy ý Ký hiệu : ví dụ : AA = ĐN 3: Hai vectơ phướng : CD AB phương AB phương CD ⇔  AB // CD  AB ≡ CD  ĐN 4: Hai vectơ hướng : CD AB hương AB ↑↑ CD ⇔  AB // CD  hai tia AB, CD chi`êu ĐN 5: Hai vectơ ngược hướng : CD AB ngược hương   AB ↑↓ CD ⇔  AB / / CD   hai tia AB, CD không chi`êu ĐN 6: Hai vectơ : CD AB AB = CD GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 ⇔  AB = CD   AB ↑↑ CD www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG ĐN 7: Hai vectơ đối : CD AB đối AB = − CD ⇔  AB = CD   AB ↑↓ CD ĐN 8: Góc hai vectơ : Góc CD AB góc tạo tia Ox Oy hướng với hai vectơ (0 o ≤ ( AB, CD) ≤ 180 o ) Chú ý : Chứng minh vectơ nhau, thông thường ta sử dụng mệnh đề sau:    AB = DC ⇔     AD = BC   ⇔ AM = MB ABCD hình bình hành M trung điểm AB  M , M , , M n ∈ AB  AM 1= M 1M 2= = M n B ⇔      { AB = −CD } { MA = −MB }    AM = M 1M = = MnB II Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B Hỏi có vectơ khác ?     Ví dụ 2: Cho vectơ AB ≠ AC ≠ phương Kết luận điểm A, B, C Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC N trung điểm AC   a Ta có AB = AC hay sai ?   b Chỉ vectơ hướng với AB ? Các vectơ ngược hướng với BC ? c Chỉ tất cặp vectơ ? Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M đoạn AB điểm N đoạn CD cho AM = CN Chỉ cặp vectơ ?giải thích ? Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm AB DC AN CM cắt BD E F    Chứng minh : DE = EF = FB Ví dụ 6: Cho điểm A Tìm tập hợp điểm M cho:  a AM = 4cm    b AM phương với a ≠ cho trước GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD E điểm đối xứng C qua D   Chứng minh : AE = BD Ví dụ 8: Cho lục giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường  kính AD Chỉ vec tơ với BC Ví dụ 9: Cho tam giác ABC M thuộc miền tam giác ABC Gọi A’, B’, C’lần lượt trung điểm BC, CA, AB N, P, Q điểm đối xứng M qua A’, B’, C’     a Chứng tỏ: AQ = CN AM = PC b Chứng tỏ ba đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy Ví dụ 10: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC    MN = AB Chứng minh    ABCD hình bình hành  MN = DC     Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: AB = DC ⇔ AD = BC Ví dụ 12: Cho lục giác ABCDEF có tâm O :   a Tìm vectơ khác phương với OA   b Tìm vectơ vectơ AB , OE Ví dụ 13: Cho tam giác ABC Các đẳng thức sau hay sai?    a AB = BC   b AB = − AC  c AB = AC Ví dụ 14: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Gọi I giao điểm AM BN, K giao điểm DM CN     Chứng minh rằng: AM = NC DK = NI Ví dụ 15: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA     Chứng minh rằng: MN = QP NP = MQ Ví dụ 16: Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Gọi I trung điểm AH, M trung điểm cạnh BC   a Chứng minh : AH = B ' C   b Chứng minh : AI = OM GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com Hướng dẩn giải ví dụ : VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Ví dụ 1:Cho hai điểm A, B Hỏi có vectơ khác ?   Giải:có vectơ AB BA     Ví dụ 2:Cho vectơ AB ≠ AC ≠ phương Kết luận điểm A, B, C Giải:    AB / / AC (loai ) AB AC phương ⇔   ⇔ A, B, C thẳng hàng  AB ≡ AC Ví dụ 3:Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC N trung điểm AC   a Ta có AB = AC hay sai ?   b Chỉ vectơ hướng với AB ? Các vectơ ngược hướng với BC ? c Chỉ tất cặp vectơ ? Giải:     a AB = AC (vì AB AC không chiều)     b NM hướng với AB CB ngược hướng với BC         c AN = NC (hay NA = CN ), BM = MC (hay MB = CM ) Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M đoạn AB điểm N trênđoạn CD cho AM = CN Chỉ cặp vectơ ?giải thích ? M B A D   AB = ABCD hình bình hanh ⇔   =  AD C N   DC = hay BA   BC = hay DA ( (  CD  CB ) )      AM NC = = hay MA CN AMCN hình bình hành ⇔      = = hay NA CM  AN MC      BM ND = = hay MB DN  BM = DN  gt ⇒  ⇔ AMCN hình bình hành ⇔       BM / / DN = = hay NB DM  BN MD GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com  AM = CN gt ⇒  ⇔  AM / / CN ( ( ( ( ) ) ) ) VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm AB DC AN CM cắt BD E F    = EF = FB Chứng minh : DE M A B F E N D  AM = CN Ta có :  ⇔ AMCN hình bình hành C  AM / / CN Theo gt ta có: N trung điểm DC NE // FC ⇒ NE đường trung bình ∆DFC   (1) ⇒ E trung điểm DF ⇔ DE = EF   Tương tự ta có : F trung điểm BE nên EF = FB    Vậy từ (1) (2) ta có: DE = EF = FB (đpcm) (2) Ví dụ 6: Cho điểm A Tìm tập hợp điểm M cho:  a AM = 4cm ⇒ AM = 4cm ⇒ M cách điểm A cố định khoảng không đổi 4cm ⇒ Tập hợp điểm M đường tròn tâm A bán kính R = 4cm     b AM phương với a ≠ ⇒ giá AM đường thẳng d phương   với a ≠ (với d đường thẳng qua A M) Do tập hợp tất điểm M đường thẳng d qua A song song với  giá a Ví dụ 7:Cho hình bình hành ABCD E điểm đối xứng C qua D   Chứng minh : AE = BD C B D A   Vì ABCD hình bình hành nên ta có : BA = CD E (1)   Ta có: E đối xứng C qua D ⇔ D trung điểm CE ⇔ CD = DE     (2) Từ (1) (2) ta có: BA = DE ⇔ ABDE hình bình hành ⇔ AE = BD (đpcm) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Ví dụ 8:Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường  kính AD Chỉ vec tơ với BC Giải: B C Với điểm cho giả thiết ta có:     ABCO hình bình hành ⇔ BC = AO BCDO hình bình hành ⇔ BC = OD   A O D  Vậy có hai vec tơ BC AO OD Ví dụ 9: Cho tam giác ABC M thuộc miền Q tam giác ABC Gọi A’, B’, C’lần lượt trung điểm BC, CA, AB N, P, Q A P B’ C’ M điểm đối xứng M qua A’, B’, C’     a Chứng tỏ: AQ = CN AM = PC B A’ b Chứng tỏ ba đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy Giải: a Từ giả thiết ta có: C’ đồng thời trung điểm AB MQ   ⇔ AMBQ hình bình hành ⇔ AQ = MB (1) A’ đồng thời trung điểm BCvà MN   ⇔ BMCN hình bình hành ⇔ MB = CN   Từ (1) (2) ta có: AQ = CN (đpcm) (2) B’ đồng thời trung điểm AC MP   ⇔ AMCP hình bình hành ⇔ AM = PC (đpcm)   = CN ⇔ ACNQ hình bình hành b Theo câu a ta có: AQ Gọi= I AN ∩ CQ Khi I đồng thời trung điểm AN CQ   Ta có AMBQ hình bình hành nên AM = QB     = PC ⇔ BCPQ hình bình hành mà ta lại có AM = PC ⇒ QB Do I trung điểm BP (vì I trung điểm CQ) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com C N VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Vây AN, BP CQ đồng quy I (với I trung điểm đoạn )      MN = AB Ví dụ 10:    ⇒ AB = DC ⇔ ABCD hình bình hành  MN = DC     Ví dụ 11:= AB DC ⇔ ABCD hình bình hành ⇔ AD = BC Ví dụ 12:Cho lục giác ABCDEF có tâm O :   a Tìm vectơ khác phương với OA   b Tìm vectơ vectơ AB , OE Giải:          a vectơ khác phương với OA : AO, BC , CB, EF , FE , OD, DO         b Có vectơ AB FO, OC , ED Có vectơ OE BO, CD, AF Ví dụ 13:Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Gọi I trung điểm AH, M trung điểm cạnh BC   a Chứng minh : AH = B ' C   b Chứng minh : AI = OM Giải:   a AB = BC (sai vec tơ không phương)     b AB = − AC (sai vec tơ không phương) c AB = AC (đùng   AB = AC ⇔ AB = AC ∆ABC tam giác đều) Ví dụ 14:Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Gọi I giao điểm AM BN, K giao điểm DM CN     Chứng minh rằng: AM = NC DK = NI A I N B K M D C Theo giả thiết ta có: MC // AN MC = AN   ⇒ AMCN hình bình hành ⇒ AM = NC (đpcm) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com  VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG  Ta có : AN = BM ⇒ ANMB hình bình hành ⇒ I trung điểm AM Tương tự ta có K trung điểm DM  IK / / ND  IK = ND   ⇒ IKDN hình bình hành ⇔ DK = NI (đpcm) Do IK đường trung bình ∆AMD ⇒  Ví dụ 15:Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB,     BC, CD, DA Chứng minh rằng: MN = QP NP = MQ Giải: Ta có : M, N trung điểm BA BC B nến MN đường trung bình ∆ABC  Do : MN = AC (1) A  MN / / AC Tương tự ta có N Q   PQ = AC   PQ / / AC  MN / / PQ ⇔ MNPQ   MN = PQ Từ (1) (2) ta có: M (2) D hình bình C P    MN = QP  hành ⇔     NP = MQ (đpcm) Ví dụ 16:Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi B’ điểm đối xứng B qua O Gọi I trung điểm AH, M trung điểm cạnh BC A   a Chứng minh : AH = B ' C   b Chứng minh : AI = OM B’ I O Giải: H a Vì H trực tâm tam giác ABC B ⇒ AH ⊥ BC M Ta lại có BB’ đường kính đường tròn (O)  ' =900 ⇒ AB ' ⊥ BC ⇒ BCB Suy AH // B’C (1) CH ⊥ AB ⇒ CH // AB’ (2)  AB ' ⊥ AB Tương tự ta có:  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com C VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG   Từ (1) (2) ta có: AHCB’ hình bình hành ⇔ AH = B ' C b Ta có O M trung điểm BB’ BC nên OM đường trung bình OM / / B ' C  (3) tam giác BB’C ⇒  OM = B ' C  AI / / BC  Lại có: I trung điểm AH ⇒   AI = BC (4) (vì AHCB’ hình bình hành)    AI / / OM ⇔ AIMO hình bình hành ⇔ AI = OM  AI = OM Từ (3) (4) ta có:  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chú ý: Để chứng minh đường thẳng d qua A cố định ta cần chứng minh đường thẳng d có điểm phân biệt thay đổi thẳng hàng với A  Bổ đề liên quan : (M_tùy ý; α ∈ R)  A,B,C thẳng hàng ⇔ MC = α MA + (1 − α ) MB ĐB : Nếu ≤ α ≤ C thuộc đoạn AB  Cho điểm A, B α , β ∈ R thỏa α + β ≠ Nếu: MN = α MA + β MB MN cắt AB I thỏa α IA + β IB = ĐB : Nếu α = β ≠ I trung điểm AB  Cho điểm A, B, Cvà α , β , γ ∈ R thỏa α + β + γ ≠ Nếu: MN = α MA + β MB + γ MC MN qua I thỏa α IA + β IB + γ IC = ĐB : Nếu α = β = γ ≠ I trọng tâm tam giác ABC Dạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun Phương pháp chung:Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức:       MA1 + MA2 + + MAn= MB1 + MB2 + + MBn Bước 1:Rút gọn đẳng thức để vế chứa vectơ    TH1 : Nếu MA1 + MA2 + + MAn khử hết M(tức số vectơ có      dạng + M số vectơ có dạng − M VD: MA + 2MB − 3MC ) ta phải dựng vec tơ tổng chúng    TH2 : Nếu ta không khử M MA1 + MA2 + + MAn ta cần     dựng điểm I thỏa mãn IA1 + IA2 + + IAn =         MA1 + MA2 + + MA= nMI + IA1 + IA2 + + IA= nMI n n Bước 2:Sử dụng mệnh đề sau để suy quỹ tích điểm cần tìm  AM = k u với k ∈ R A cố định, u không đổi ⇒ {M} đường thẳng qua A phương với u ĐB : + Nếu k > {M} tia Ax hướng u GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 39 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG + Nếu k < {M} tia Ax ngược hướng u + Nếu AM = k AB (k ∈ R ) {M} đường thẳng AB  MA = MB với A, B cố định cho trước {M} trung trực AB  MA = k BC Với A, B, C cho trước {M} đường tròn (A, k.AB) Ví dụ minh họa : Cho ∆ ABC Tìm tập hợp tất điểm M thỏa mãn điều kiện: A MA + MB + MC = MA − MB − MC M Giải: I    Gọi E trung điểm BC ⇒ EB + EC = Khi đó:    2MA − MB − MC =   ( ) ( ) R = AB G   ( MA − MB ) + ( MA − MC )       = − AB + AC = − AB + EB + EC = BA E B C     GA + GB + GC = Gọi G trọng tâm ∆ABC I trung điểm GA ⇒      IA + IG =         Khi đó: 4MA + MB + MC= 6MI + 3IA + IA + IB + IC        = MI + IA + IG + GA + GB + GC = MI ( Do ta có:    MA + MB + MC = ) ( )     MA − MB − MC ⇔ MI =  BA ⇔ IM = Vậy tập hợp tất điểm M đường tròn tâm I bán hình R = AB Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác} Cho vectơ a , b , c ta có  a + b ≥ a + b từ : a + b = c a + b ≥ c  a − b ≤ a −b từ : a – b = c a − b ≤ c GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 40 www.toanhocdanang.com AB II Bài tập áp dụng: VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Bài 1: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF Dựng vectơ EH FG AD , Chứng minh CDEF hình bình hành Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D tùy ý Tính vectơ sau : a v = AB + DC + BD + CA b u = AB + CD + BC + DA Bài 3: Cho hai vectơ a b ( ≠ ) Hãy tìm mối quan hệ a b thỏa điều kiện a a + b = a + b b a + b = a − b Bài 4: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh : AD + BE + CF = AE + BF + CD Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O, I tâm đường tròn qua trung điểm cạnh, M điểm tùy ý chứng minh : a GA + GB + GC = b MA + MB + MC = 3.MG c OA + OB + OC = 3.OG = OH d HA + HB + HC = 3.HG = 2.HO e OH = 2.OI Bài 6: Cho điểm A, B, C, D tùy ý chứng minh : AB + CD = AD + CB Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh : OA + OB + OC + OD = Bài 8: Cho tứ giác ABCD tùy ý M, N trung điểm đường chéo AC BD Chứng minh : AB + CD = 2.MN GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 41 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Bài 9: Cho tứ giác ABCD tùy ý M, N trung điểm AD BC Chứng minh : AB + DC = 2.MN Bài 10: Cho tam giác ABC tam giác A’B’C’ có trọng tâm G G’ a AA' + BB' + CC ' = 3GG ' suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm AA' + BB' + CC ' = b Gọi G1, G2 , G3 trọng tâm tam giác ∆BCA' , ∆CAB' , ∆ABC ' Chứng minh G trọng tâm ∆G1G2 G3 Biết G ≡ G ' Bài 11: Cho hình bình hành ABCD a Cho AB = a, AD = b , I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh : BI = b − a , tính AG theo a, b b G’ trọng tâm tam giác BCI Chứng minh : AG ' = a + b c Trên ∆ABC ,gọi A1, B1, C1 điểm xác định A1 B + A1C = , B1C + 3B1 A = , 2C1 A + 3C1 B = Chứng minh hai tam giác ∆ABC , ∆A1 B1C1 có trọng tâm d Gọi B’, C’ hai trung điểm AC, AB Đặt BB' = u , CC ' = v Tính BC , CA , AB theo u , v Bài 12: Cho điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh rằng: a AB − CD = AC + DB b AD + BE + CF = AE + BF + CD Bài 13: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh : AM + BN + CP = Bài 14: Gọi G, G’ trọng tâm hai tam giác ∆ ABC ∆ A’B’C’ Chứng minh : AA' + BB'+CC ' = 3.GG ' Bài 15: Cho ∆ ABC Gọi M điểm đoạn BC, cho MB = 2.MC Chứng minh : GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 42 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG AM = AB + AC 3 Bài 16: Cho ∆ ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC, cho NC = 2.NA Gọi K trunh điểm MN a Chứng minh : AK = AB + AC b Gọi D trung điểm BC Chứng minh : KD = 1 AB + AC Bài 17: Cho ∆ ABC cạnh a Xác định vectơ AB + AC tính môđun vectơ Bài 18: Cho hình vuông ABCD cạnh a Xác định vectơ ( ) AB + AC + AD tính môđun Bài 19: Cho đoạn thẳng AB hai số m, n không đồng thời Chứng minh : a Nếu m + n ≠ tồn điểm M cho m MA + n MB = b Nếu m + n = không tồn điểm M cho m MA + n MB = c Nếu m + n = v = m MA + n MB không đổi (không phụ thuộc vào vị trí M) d Nếu m + n ≠ với điểm M ta có m MA + n MB = (m + n) MI , I điểm xác định m IA + n IB = e Nếu m + n ≠ với điểm M N xác định MN = m MA + n MB Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 20: Cho hai vectơ a, b(≠ 0) không phương Gọi u, v hai vectơ xác định : u = α a + β1 b , v = α a + β b Chứng minh : α = α a u = v ⇔  β = β b u, v phương ⇔ α β − α β1 = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 43 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Bài 21: Cho hình thang ABCD có đáy AB, CD AB = 2CD Từ C kẻ CI = DA Chứng tỏ I trung điểm AB DI = CB Bài 22: Cho hình thang ABCD, AC cắt BD O Qua O vẽ đường thẳng MN song song đáy AD BC Đặt Chứng minh : MN = a = AB , b = CD b AB + a DC a+b Bài 23: Cho hình bình hành ABCD M, N điểm thỏa mãn AM = DN = AB , DC G trọng tâm tam giác MNB, AG cắt BC I Tính tỷ số AG , BI GI IC Bài 24: Cho đoạn thẳng AB Người ta xét 2n điểm cho chúng n cặp điểm đối xứng qua trung điểm O AB Tiếp người ta đánh dấu đỏ n điểm xanh cho n điểm lại Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm đỏ đến A tổng khoảng cách từ điểm xanh đến B Dạng 2: Biểu diễn vectơ thông qua vectơ cho trước : Bài 1: Cho ∆ ABC Gọi A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, CA, AB Đặt AA' = u , CC ' = v Tính BC , CA, CB theo u, v ( ĐS : BC = ( ) u−v, Bài 2: Cho ∆ ABC Gọi I AB = − ( ) 2.u + v , CA = ( ) u + 2.v ) ∈ BC cho 2CI = 3BI J điểm BC kéo dài cho 5JB = 2JC a Tính AI, AJ theo AB, AC b Gọi G trọng tâm ∆ ABC Tính AG theo AI, AJ (ĐS : AI = AB + AC , AJ = AB − AC , AG = 35 AI − AJ ) 5 48 16 Bài 3: Cho ∆ ABC Gọi G trọng tâm H đối xứng với B qua G a Chứng minh : AH = AC − AB 3 CH = − ( AB + AC ) b Gọi M trung điểm BC chứng minh : GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 44 www.toanhocdanang.com MH = VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG AC − AB 6 Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, Đặt AB = u , AD = v Tính vectơ sau theo u, v a BI với I trung điểm CD b AG với G trọng tâm ∆ BCI ( ĐS : BI = u − v, AG = u + v, ) Bài 5: Cho ∆ ABC Gọi G trọng tâm H đối xứng với B qua G a Chứng minh : HA − HB + HC = b Đặt AG = u , AH = v , tính AB, AC theo u, v 2 ( ĐS : BI = (u + v), AC = u − v, ) Bài 6: Cho ba điểm A, B, C phân biệt α , β , γ ∈ R Chứng minh a Nếu α + β + γ = v = α MA + β MB + γ MC không phụ thuộc vào vị trí M b Nếu α+ β+γ ≠ tồn điểm I thỏa : = α IA + β IB + γ IC c v = α MA + β MB + γ MC = (α + β + γ ) MI (Với α+ β+γ ≠ 0) d Điểm N xác định MN = α MA + β MB + γ MC (Với α+ β+ γ ≠ 0) Chứng minh MN qua điểm cố định Bài 7: Cho tứ giác ABCD, AB CD lấy điểm M,N cho AM = k AB, DN = k DC (k ≠ 1) a Hãy phân tích MN theo AD, BC b Gọi P, Q, I điểm thuộc AD, BC, MN cho AP = l.AD, BQ = m.BC , MI = m.BC Chứng minh P, Q, I thẳng hàng GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 45 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Bài 8: Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp I Chứng minh : a = a.IA + b.IB + c.IC (a, b, c số đo cạnh tam giác) b = tan( A).HA + tan( B ).HB + tan(C ).HC c = S a MA + S b MB + S c MC với M điểm tam giác Sa , Sb , Sc diện tích tam giác: MBC, MCA, MAB Dạng 3: Dựng điểm cố định thỏa đẳng thức vectơ cho trước : Bài 1: Cho ∆ ABC Hãy dựng điểm I, J, K, L, M biết : a IA − IB = b JA + 2.JB = c 2.KA + KB − KC = AB d LA + LB + LC = BC e 3MA − 2.MB + MC = Bài 2: Cho điểm A, B, C, D, E Xác định điểm O, I, K cho a OA + 2.OB + 3.OC = b IA + IB + IC + ID = c KA + KB + KC + 3( KD + KE ) = Bài 3:Cho hình bình hành ABCD tâm O Hãy dựng điểm I, J, K cho a IA + IB + IC = 4.ID b 2.JA + 2.JB = 3.JC − JD c KA + 3KB + KC + KD = Bài 4: Cho ∆ ABC Gọi I điểm định IA − 7.IB − IC = a Chứng minh : GI = AB (G trọng tâm ∆ ABC ) b AI cắt BG O tính OA: OI GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 46 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG c Xác định điểm M thuộc đường thẳng d cho trước cho 5MA − 3MB nhỏ Bài 5: Cho ∆ ABC có G trọng tâm Xác định vị trí M cho a MA + MB + 2MC = b MA − MB + MC = c MA + MB = d MA + MB = CB = Gọi A’ điểm đối xứng A qua B, B’ điểm đối xứng B qua C C’ điểm đối xứng C qua A Chứng minh ∆ ABC ∆ A’B’C’ có trọng tâm Bài 6: Cho ∆ ABC Hãy dựng điểm I, J, K, L biết : a 2.IA − 3.IB = 3.BC b JA + JB + JC = c KA + KB + KC = AB + AC d LA + LB = 2CB + CA Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a, M điểm Chứng minh vectơ sau không đổi Tính môđun chúng a v = 3MA − MB − MC − MD b u = MA − 3MB + MC − MD Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, M điểm tùy ý Trong mổi trường hợp tìm số k điểm cố định I cho đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với M a MA + MB + MC + 3.MD = K MI b 2.MA + MB − MC = k MI c MA + MB + MD = K MI Bài 9: Cho tứ giác ABCD Trong mổi trường hợp tìm số k điểm cố định I cho tổng vectơ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 47 K.MI với điểm M www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG a MA + MB + MC b MA − MB − MC c MA + MB + MC + MD d MA + MB + MC + 3MD Bài 10: Cho tứ giác ABCD Tìm điểm cố định I hệ số k để đẳng thức sau với M a MA + MB + MC = k MI b 2MA + 3MB − MD = k MI c MA − MB − 2MC = k MI d MA + 2MB + 3MC − 4MD = k MI OA + OB + OC + OD = Chứng minh O xác định Với ABCD hình bình hành Vói M, Hãy tìm k điểm I cố định thỏa : a MA + MB + MC + 3MD = k MI b MA + 2MB = k MI c 2MA + MB − MC = k MI Dạng 4: Chứng minh điểm thẳng hàng (đ/thẳng qua điểm cố định) Bài 1: Cho ∆ ABC Gọi I,J điểm định bởi: IA = 2.IB JA + 2.JB = c Tính IJ theo AB, AC d Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 2: Cho ∆ ABC M điểm lưu động Dựng MN = MA + 3MB − MC a Chứng minh MN qua điểm cố định M thay đổi b Gọi P trung điểm CN, Chứng minh MP qua điểm cố định M thay đổi Bài 3: Cho tam giác ABC, M N thay đổi cho MN = MA + 3MB − MC Tìm điểm I thỏa mãn IA + 3IB − IC = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 48 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chứng minh M, N thay đổi đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 4: Cho ∆ ABC Gọi M trung điểm BC, I J điểm xác định AI = α AB AJ = β AC Xác định hệ thức α , β Để AM cặt IJ trung điểm AM Bài 5: Cho ∆ ABC có trọng tâm G Các điểm M,N thỏa mãn hệ thức 3MA + 34MB = , MC = BC Chứng minh MN qua trọng tâm G Bài 6: Cho ∆ ABC I điểm định 3IA − IB − IC = Xác định giao điểm cuarIA BC, IB CA, IC AB Bài 7: Cho ∆ ABC Gọi I, J điểm xác định : IA = 2.IB , JA + 2.JC = a Tính IJ theo AB AC b Chứng minh IJ qua trọng tâm G ∆ ABC Bài 8: Cho tứ giác ABCD Gọi điểm I, J, K định AI = α AB , AJ = β AC AK = γ AD Chứng minh Điều kiện cần đủ để I, J, K thẳng hàng α + γ = β (α , β , γ ≠ 0) Bài 9: Cho ∆ ABC Gọi I,J điểm định bởi: IA + 3.IC = JA + 2.JB + JC = Chứng minh I,J,B thẳng hàng Bài 10: Cho ∆ ABC Gọi M, N, P điểm định bởi: MB = 3MC , NA + NC = PA + PB = a Tính PM , PN theo AB AC b Chứng minh M, N, P thẳng hàng Bài 11: Cho ∆ ABC Gọi M, N điểm định bởi: GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 49 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG 3MA + MB = , CN = BC G trọng tâm ∆ ABC a Chứng minh M, G, N thẳng hàng b Tính AC theo AG AN AC cắt GN P tính PA PC Bài 12:Cho hình tứ giác lồi ABCD, điểm M mặt phẳng thỏa mãn : MN = MA + 2MB − 3MC + MD a Chứng mịnh MN qua điểm cố định M thay đổi b Gọi P trọng tâm tam giác ABN Chứng minh MP qua điểm cố định M thay đổi Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, AB, CD lấy điểm M,N cho : AB = 3AM ; CD =2CN a Tính AN theo AB AC b Gọi G trọng tâm tam giác BMN Tính AG theo AB c Gọi I điểm định BI = k BC AC Tính AI theo AB AC theo k Định k để AI qua G Bài 14: Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD = DE = EC i Chứng minh : AB + AC = AD + AE ii Tính AS = AB + AC + AD + AE theo AI suy A, I, S thẳng hàng Gọi M điểm xác định BM = BC − AB , N xác định CN = x AC − BC i Xác định x để A, M, N thẳng hàng ii Xác định x để MN qua trung điểm I BC Khi tính GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 50 www.toanhocdanang.com IM IN Bài 15: Cho tam giác ABC VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Gọi M trung điểm BC, I J điểm xác định AI = m AB , AJ = n AC Tìm hệ thức liên hệ m,n để AM, IJ cắt trung điểm AM Gọi P điểm lưu động Dựng PQ = PA + 3PB − PC Chứng minh PQ qua điểm cố định P thay đổi H trung điểm CQ Chứng minh PH qua điểm cố định P thay đổi Bài 16: Cho ∆ ABC Gọi E, F điểm định bởi: AE = 1 AB , AF = AC k k +1 (k ≠ k ≠ −1) Chứng minh EF qua điểm cố định k thay đổi Bài 17: Cho ∆ ABC MN = v = MA + 3MB + k MC a Khi k ≠ Chứng minh giá MN qua điểm cố định b Tìm k để MN vectơ không đổi Lấy E, F ∆ ABC cho AE = 1 AC AB , AF = k +1 k (k ≠ 0,−1) Chứng minh EF qua điểm cố định Dạng 5: Tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun Bài 1: Cho ∆ ABC số thực k thay đổi Tìm tập hợp điểm M cho a MA + k MB = k MC b MA + (1 − k ) MB + (1 + k ) MC = c MA + (1 − k ) MB − k MC = Bài 2: Cho ∆ ABC Tìm tập hợp điểm M cho a MA + MB = MB − MC b 2MA + MB = MA + MB + MC c MA + MB − MC = 2MA − MB − MC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 51 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Bài 3: Cho ∆ ABC số thực k thay đổi Tìm tập hợp điểm M cho a MA + k MB + k MC = b k MA + (1 − k ) MB = c MA + (3 − k ) MB + k MC = d Vectơ v = MA + MB + MC phương với vectơ BC e MA − (1 + k ) MB − 3k MC = Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O, M N lưu động xác định bởi: MN = 3MA − MB − MC + MD a Chứng minh MN không đổi Tìm tập hợp tất điểm M biết giá chúng qua O b Tìm tập hợp tất điểm M biết N chuyển động AC Bài 5: Cho điểm A,B cố định Xác định tập hợp tất điểm M cho a MA + MB = MA − MB b MA + MB = MA + MB c MA + MB = MA + MB d MA + MB = MA + MB Bài 6: Cho ∆ ABC Tìm tập hợp điểm M cho a MA + MB + MC = MB + MC b MA + BC = MA − MB c MA + MB = MB − MC d MA + MB + MC = MA − MB − MC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 52 www.toanhocdanang.com VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG Bài 7: Cho hai hình bình hành tùy ý ABCD, A’B’C’D’ điểm M,N,P,Q điểm xác định : MA + k MA' = , NB + k NB ' = , PC + k PC ' = , QD + k QD' = a Chứng minh MNPQ hình bình hành b Xác định quỷ tích tâm MNPQ M chạy AA’ Dạng 6: Bất đẳng thức vectơ {BĐT tam giác} Bài 1: Cho tam giác ABC đường thẳng d Xác định M đường thẳng d cho : MA + MB + MC có giá trị nhỏ Bài 2: Trên đường tròn tâm O bán kính lấy 2n+1 điểm Pi, i = 1,2n + n +1 Ở phía đường kính Chứng minh ∑ OP i =1 i ≥1 Bài 3: Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm I cạnh AB (với I khác A, B) ta có : IC.AB < IA.BC + IB.AC Bài 4: Cho ba vectơ có độ dài không vượt Chứng minh tìm vectơ chúng cho tổng hiệu vectơ có độ dài không vượt GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 53 www.toanhocdanang.com