Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 35 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Tốn – Ơn tập học kỳ II CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CẦN NHỚ ax + by = c , a ≠ ( D ) Cho hệ phương trình: a ' x + b ' y = c ', a ' ≠ ( D ') a b ⇔ Hệ phương trình có nghiệm ≠ a' b' a b c ⇔ Hệ phương trình vơ nghiệm = ≠ • (D) // (D’) ⇔ a' b' c' a b c ⇔ Hệ phương trình có vơ số nghiệm = = • (D) ≡ (D’) ⇔ a' b' c' II BÀI TẬP VẬN DỤNG x + y = m Bài tập 1: Cho hệ phương trình (1) 2 x − my = Giải hệ phương trình (1) m = –1 Xác định giá trị m để: a) x = y = nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vơ nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = HD: Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2a) Hệ (1) có nghiệm x = y = m = 1 m a b c ≠ ⇔ = = ≠ 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: −m a' b' c' 1 = − m m = − ⇒ ⇒ ⇒ m = – 2: Hệ (1) vô nghiệm m ≠ 1 ≠ m 2m m2 Hệ (1) có nghiệm: x = ;y= m+2 m+2 • (D) cắt (D’) ⇔ 2m m2 + =1 m+2 m+2 ⇔ m2 + m – = ⇔ m = 1(thỏa ĐK cónghiệm ) m = − 2(không thỏa ĐK cónghiệm ) Vậy m = 1, hệ( có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = x + y = k + Bài tập 2: Cho hệ phương trình (1) 2 x + y = − k Giải hệ (1) k = Tìm giá trị k để hệ (1) có nghiệm x = – y = Tìm nghiệm hệ (1) theo k HD: Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = ⇔ Tốn – Ơn tập học kỳ II Hệ (1) có nghiệm x = –8 y = k = – 5k − − 3k Hệ (1) có nghiệm: x = ;y= 2 x + y = Bài tập 3: Cho hệ phương trình (1) 2 x − my = 1 Giải hệ phương trình (1) m = –7 Xác định giá trị m để: a) x = – y = nghiệm hệ (1) b) Hệ (1) vơ nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m HD: Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 y = m = − 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 3m +1 Hệ (1) có nghiệm: x = ;y= m+2 m+2 mx − y = −1 Bài tập 4: Cho hệ phương trình (1) 2 x + y = 1 Giải hệ phương trình (1) m = 2 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = − y = 3 Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m HD: Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x = − ; y = 13 13 2 2a) Hệ (1) có nghiệm x = − y = m = − 3 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2 −1 m+2 Hệ (1) có nghiệm: x = ;y= 3m + 3m + x + y = Bài tập : Cho hệ phương trình (1) 2 x + y = m Giải hệ phương trình (1) m = –1 x > Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa y < HD: Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 y = – Tìm: • Nghiệm hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – x > 12 − m > m < 12 ⇒ ⇔ ⇔ m < • Theo đề bài: y < m − < m < 2 x + y = 3m + Bài tập 6: Cho hệ phương trình 3 x + y = 2m − Tốn – Ơn tập học kỳ II Giải hệ phương trình m = – x < Với giá trị m hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa y < HD: Khi m = – , hệ pt có nghiệm: x = y = – Tìm: • Nghiệm hệ (1) theo m: x = 4m + ; y = – – 5m x < m < − ⇒ ⇔ –3< m < –1 • Theo đề bài: y < m > − − 2mx + y = mx + y = Bài tập 7: Cho hệ phương trình : (1) Giải hệ (1) m = Xác định giá trị m để hệ (1): a) Có nghiệm tìm nghiệm theo m b) Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = HD: Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – ; y = x = − m 2a) Khi m ≠ 0, hệ (1) có nghiệm: y = 2b) m = − mx − y = m −2 x + y = m + Bài tập : Cho hệ phương trình : ( m tham số) (I) a) Khi m = – 2, giải hệ phương trình phương pháp cộng b) Tính giá trị tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm tính nghiệm theo m HD: a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x = ;y= 3 b) • Hệ (I) có nghiệm m ≠ • Khi hệ(I) có nghiệm nhất: x = 3m + m + 3m y = ; m−4 m−4 CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a ≠ 0) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hàm số y = ax (a ≠ 0): Hàm số y = ax2(a ≠ 0) có tính chất sau: • Nếu a > hàm số đồng biến x > nghịch biến x < • Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > Tốn – Ơn tập học kỳ II Đồ thị hàm số y = ax2(a ≠ 0): • Là Parabol (P) với đỉnh gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng • Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành điểm thấp đồ thị • Nếu a < đồ thị nằm phía trục hoành điểm cao đồ thị Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0): • Lập bảng giá trị tương ứng (P) • Dựa bảng giá trị → vẽ (P) Tìm giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a ≠ 0) (D): y = ax + b: • Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (D): cho vế phải hàm số → đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = • Giải pt hoành độ giao điểm: + Nếu ∆ > ⇒ pt có nghiệm phân biệt ⇒ (D) cắt (P) tại điểm phân biệt + Nếu ∆ = ⇒ pt có nghiệm kép ⇒ (D) (P) tiếp xúc + Nếu ∆ < ⇒ pt vô nghiệm ⇒ (D) (P) không giao Xác định số giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a ≠ 0) (Dm) theo tham số m: • Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (D m): cho vế phải hàm số → đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = • Lập ∆ (hoặc ∆ ' ) pt hoành độ giao điểm • Biện luận: + (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt ∆ > → giải bất pt → tìm m + (Dm) tiếp xúc (P) tại điểm ∆ = → giải pt → tìm m + (Dm) (P) khơng giao ∆ < → giải bất pt → tìm m II BÀI TẬP VẬN DỤNG x2 Bài tập 1: Cho hai hàm số y = có đồ thị (P) y = -x + m có đồ thị (Dm) Với m = 4, vẽ (P) (D4) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hồnh độ b) (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm HD: Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) (– ; 8) 2a) m = 2 2b) ∆ ' = + 2m > ⇒ m > − 2c) m = − 1 → tọa độ tiếp điểm (-1 ; ) 2 Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) y = – 3x + m có đồ thị (Dm) Khi m = 1, vẽ (P) (D 1) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) qua điểm (P) tại điểm có hồnh độ − b) (Dm) cắt (P) tại điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm Tốn – Ơn tập học kỳ II HD: Tọa độ giao điểm: ( ; − ;) (1 ; – 2) 2a) m = – 9 2c) m = → tọa độ tiếp điểm ( ; − ) 8 2b) m < Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) Vẽ (P) hệ trục tọa độ vng góc Gọi A( − ; −7 ) B(2; 1) a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB (P) Tìm điểm (P) có tổng hồnh độ tung độ – HD: 2a) Đường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5 2b) Tọa độ giao điểm: (1;– 2) ( − ; − 25 ) Gọi M(xM; yM) điểm (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 2 Mặt khác: M(xM; yM) ∈ (P) ⇒ yM = – xM nên: xM + yM = – ⇔ xM + (– xM ) = – x1 = ⇒ y1 = − ⇔ – x + xM + = ⇒ x2 = − ⇒ y2 = − 2 Vậy có điểm thỏa đề bài: M1(2; – ) M2( − ; − ) 2 Bài tập 4: Cho hàm số y = − x2 có đồ thị (P) y = – 2x + có đồ thị (D) 2 M Vẽ (P) (D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) Tìm tọa độ điểm (P) thỏa tính chất tổng hồnh độ tung độ điểm – HD: Tọa độ giao điểm: ( ; − ) (1 ; − ) Gọi M(xM; yM) điểm (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – Mặt khác: M(xM; yM) ∈ (P) ⇒ yM = − 3 xM nên: xM + yM = – ⇔ xM +( − xM2 ) = – 2 x = − ⇒ y = − 1 ⇔ − xM + xM + = ⇒ 3 x2 = ⇒ y2 = − Vậy có điểm thỏa đề bài: M1( − ; − ) M2(2; – 6) Bài tập 5: Cho hàm số y = 2 x có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) 3 Vẽ (P) (D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) Tốn – Ơn tập học kỳ II x A = xB Xác định tọa độ A B 11 y A = yB Gọi A điểm ∈ (P) B điểm ∈ (D) cho HD: Tọa độ giao điểm: ( −1 ; 25 ) ( ; ) Đặt xA = xB = t 2 2 xA = t 3 5 B(xB; yB) ∈ (D) ⇒ yB = xB + = t + 3 • A(xA; yA) ∈ (P) ⇒ yA = • • • • t1 = 2 22 40 Theo đề bài: 11 y A = yB ⇔ 11 t = 8.( t + ) ⇔ t − 8t − = ⇒ 10 3 3 t2 = − 11 8 x A = ⇒ y A = ⇒ A( 2; ) Với t = ⇒ x = ⇒ y = 11 ⇒ B( 2; 11) B B 3 10 200 10 200 xA = − ⇒ y A = ⇒ A( − ; ) 10 11 363 11 363 ⇒ Với t = − 11 x = − 10 ⇒ y = 25 ⇒ B( − 10 ; 25 ) B B 11 33 11 33 Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) B(–2; 3) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A, B Gọi (P) đồ thị hàm số y = –2x2 a) Vẽ (P) mặt phẳng tọa độ cho b) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) 3 1 Tọa độ giao điểm: (1; –2) ( − ; − ) 18 HD: Phương trình đường thẳng AB: y = − x − Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –2x2 mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy Gọi (D) đường thẳng qua điểm A(–2; –1) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng (D) b) Tìm k để (D) qua B nằm (P) biết hoành độ B HD: 2a) • Phương trình đường thẳng (D) có dạng tổng quát: y = ax + b • (D) có hệ số góc k ⇒ (D): y = kx + b • (D) qua A(–2; –1) ⇒ –1 = k.( –2) + b ⇒ b = 2k – • Phương trình đường thẳng (D): y = kx + k – 2b) • Điểm B(xB; yB) ∈ (P) ⇒ B(1; – 2) • (D) qua B(1; –2) nên: –2 = k.1 +2k – ⇒ k = − Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (D) Vẽ (P) và(D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Toán – Ôn tập học kỳ II Gọi A điểm thuộc (D) có hồnh độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A, B Tìm tọa độ điểm I nằm trục tung cho: IA + IB nhỏ HD: Tọa độ giao điểm: (2; 4) (–1; 1) Tọa độ A(5; 7) B(– ; 4) • I(xI, yI) ∈ Oy ⇒ I(0: yI) • IA + IB nhỏ ba điểm I, A, B thẳng hàng 34 • Phương trình đường thẳng AB: y = x + 7 34 34 34 ⇒ I(0; • I(xI, yI) ∈ đường thẳng AB nên: yI = + = ) 7 7 Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) y = x – có đồ thị (D) a) Vẽ (P) và(D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (D) phương pháp đại số b) Gọi A điểm thuộc (D) có tung độ B điểm thuộc (P) có hồnh độ – Xác định tọa độ A B c) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành cho MA + MB nhỏ HD: a) Tọa độ giao điểm: (2; – 4) (–1; 1) b) Tọa độ A(3; 1) B(– ; – 1) c) • yA = > 0, yB = – < ⇒ A, B nằm khác phía trục Ox MA + MB nhỏ M, A, B thẳng hàng ⇒ M giao điểm AB với truc Ox • Đường thẳng AB có dạng: y = ax + b Đường thẳng AB qua hai điểm A, B a= 1 = 3a + b 1 → ⇒ ⇔ Đường thẳng AB: y = x – 2 −1 = − a + b b = − 1 y = y = x − 2 ⇔ • Tọa độ M nghiệm hệ pt: x = y = • Vậy: M(1; 0) Bài tập 10: Cho (P): y = x2 (D): y = – x + Vẽ (P) (D) cùng hệ trục tọa độ vng góc Oxy Gọi A B giao điểm (P) (D), xác định tọa độ A, B Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trục số cm) CMR: Tam giác AOB tam giác vuông HD: Tọa độ giao điểm: (1; 1)và (– 2; 4) Gọi H, K hình chiếu A, B trục Ox, ta có: 1 • ∆ OHA vng tại H ⇒ SOHA = OH.OA = 1 = (cm2) 2 1 • ∆ OKB vng tại K ⇒ SOKB = OK.KB = = (cm2) 2 • Gọi I giao điểm (D) với trục Ox ⇒ yI = ⇒ xI = ⇒ I(2; 0) Tốn – Ơn tập học kỳ II 1 BK.KI = 4 = (cm2) 2 • SOAB = SIKB – (SOHA + SOKB ) = – ( + 4) = 3,5 (cm2) • ∆ IKB vng tại K ⇒ SIKB = • Phương trình đường thẳng OA: y = a’x (D’) • (D’) qua A(1; 1) ⇒ a = ⇒ (D’): y = x • (D) có a = – (D’) có a’ = → a a’ = – ⇒ (D) ⊥ (D’) ⇒ OA ⊥ AB ⇒ ∆ OAB vuông tại A CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) a) Nhẩm nghiệm: x1 = • a + b +c = ⇒ pt (1) có nghiệm: c x2 = a x1 = − • a – b +c = ⇒ pt (1) có nghiệm: c x2 = − a b) Giải với ∆ ' : b Nếu b = 2b’ ⇒ b’ = ⇒ ∆ ' = (b’)2 – ac −b ' + ∆ ' −b ' − ∆ ' • Nếu ∆ ' > ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = a a −b ' • Nếu ∆ ' = ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a • Nếu ∆ ' < ⇒ phương trình vơ nghiệm c) Giải với ∆ : Tính ∆ : ∆ = b2 – 4ac −b + ∆ −b − ∆ • Nếu ∆ > ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = 2a 2a −b • Nếu ∆ = ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a • Nếu ∆ < ⇒ phương trình vô nghiệm Hệ thức Vi ét ứng dụng: a) Định lý: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình ax + bx + c = (a ≠ 0) ta có: b S = x1 + x2 = − a P = x x = c a u + v = S u.v = P b) Định lý đảo: Nếu Tốn – Ơn tập học kỳ II ⇒ u, v nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (ĐK: S2 – 4P ≥ 0) * Một số hệ thức áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 • Tổng bình phương nghiệm: x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S2 – 2P 1 x +x S • Tổng nghịch đảo nghiệm: x + x = x x = P 2 1 x12 + x22 S2 − 2P + = = x12 x22 ( x1 x2 )2 P2 • Tổng nghịch đảo bình phương nghiệm: • Bình phương hiệu nghiệm: ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S2 – 4P 3 • Tổng lập phương nghiệm: x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ( x1 + x2 ) = S3 – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá trị biểu thức sau: a) x12 + x22 b) 1 + x1 x2 c) ( x1 − x2 )2 d) x13 + x23 Giải: Phương trình có ∆ ' = > ⇒ pt có nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): b S = x1 + x2 = − a = 12 P = x x = c = 35 a a) x1 + x22 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74 1 x1 + x2 S 12 = = b) + = x1 x2 x1 x2 P 35 c) ( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = S2 -4P = 122 – 4.35 = d) x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468 3.Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào tham số) * Phương pháp giải: • Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm ( ∆ ' ≥ ; ∆ ≥ hoặc a.c < 0) • b S = x1 + x2 = − a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình P = x x = c a • Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S P → Đó hệ thức độc lập với tham số Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) (m tham số) CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Gọi x1, x2 nghiệm pt (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào m Giải: Phương trình (1) có ∆ = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + = (2m – 3)2 ≥ 0, ∀ m Vậy phương trình (1) ln có nghiệm với m Tốn – Ơn tập học kỳ II b − 2m + S = x1 + x2 = − a = 2S = − 2m + ⇔ • Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): 2 P = m − P = x x = c = m −1 a 2S = − 2m + ⇔ ⇒ 2S + 4P = -1 Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây hệ thức cần tìm P = m − Tìm hai số biết tổng tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm nó: * Phương pháp giải: u + v = S ⇒ u, v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (*) u v = P • Nếu số u v c ó: • Giải pt (*): u = x1 u = x2 hoặc v = x2 v = x1 b' b' + Nếu ∆ ' = (hoặc ∆ = 0) ⇒ pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = − Vậy u = v = − a a + Nếu ∆ ' < (hoặc ∆ < 0) ⇒ pt (*) vơ nghiệm Vậy khơng có số u, v thỏa đề + Nếu ∆ ' > (hoặc ∆ > 0) ⇒ pt (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 Vậy Ví dụ 1: Tìm số u,v biết u + v = 11 u.v = 28 Giải: Theo đề ⇒ u, v hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = ⇔ x2 – 11x + 28 = 0(*) x1 = Phương trình (*) có ∆ = > ⇒ ∆ = ⇒ u = u = hay v = v = Ví dụ 2: Cho hai số a = +1 b = – x2 = Vậy: Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm a b Giải: • a + b = ( +1) + (3 – ) = • a.b = ( +1) (3 – ) = Suy ra: a, b nghiệm phương trình: x – Sx + P = ⇔ x2 – 4x + = 0: Đây pt cần tìm Chứng minh phương trình bậc hai ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biến đổi ∆ ' đưa về dạng : ∆ ' = (A ± B)2 + c > 0, ∀ m (với c số dương) • Kết luận: Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với tham số m Chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biến đổi ∆ ' đưa về dạng : ∆ ' = (A ± B)2 ≥ 0, ∀ m • Kết luận: Vậy phương trình cho nghiệm với tham số m Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) 10 Tốn – Ơn tập học kỳ II c) (O,R) có: · » BAC n.tiếp chaén BC 1· · ⇒ BAChơn = BOC (nhỏ c) Góc nội tiếp · » BOC tâm chắn BC 900) có số đo d) (O,R) có: · nửa số đo góc BAC nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm chắn cung · đường kính BC ⇒ BAC = 900 d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng (O,R) có: · tạo tia tiếp tuyến dây BAx · cung chắn »AB ⇒ BAx = sđ »AB Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: * Định lý: Trong đường trịn, số đo góc (O,R) có: tạo tia tiếp tuyến dây · tạo tt & dc chaén AB » BAx · · cung nửa số đo ⇒ BAx = ACB ·ACB » cung nộibị tiếchắn p chắn AB * Hệ quả: Trong đường (O,R) có: trịn, góc tạo tia tiếp BEC · có đỉnh bên đường trịn tuyến dây cung góc · » » ) ⇒tiếp BEC = (sñ BC + sđ cung AD nội chắn Góc có đỉnh bên (O,R) có: đường trịn: · * Định lý: Góc có đỉnh BEC có đỉnh bên ngồi đường trịn · » trịn » ) bên ⇒ BEC = đường (sñ BC − sñ AD nửa tổng số2 đo hai cung bị chắn Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: * Định lý: Góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn 21 Tốn – Ơn tập học kỳ II Cung chứa góc: · · · * Tập hợp điểm a) ADB = AEB = AFB = α nhìn nhìn đoạn thẳng AB đoạn AB ⇒ A, B, D, E, F thuộc góc α khơng đổi hai đường trịn cung trịn chứa góc α * Đặc biệt: a) Các điểm D, E, F thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, nhìn đoạn AB góc khơng đổi ⇒ Các đểm A, B, D, E, F thuộc đường tròn · · b) ACB = ADB = ·AEB = ·AFB = 90 nhìn đoạn AB ⇒ A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn đường kính AB b) Các điểm C, D, E, F * Tứ giác ABCD có A, B, C, D ∈ (O) nhìn đoạn AB ⇔ ABCD tứ giác nội tiếp (O) góc vng ⇒ Các đểm A, B, C, D, E, F thuộc đường trịn đường kính AB * Tứ giác ABCD nội tiếp (O) Tứ giác nội tiếp: * Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm dường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn * Định lý: Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 * Định lý đảo: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn µ = 1800 A +C µ ⇔ µ µ B +D = 180 * Tứ giác ABCD có: µA + C µ = 1800 ⇔ ABCD tứ giác n.tiếp Hoặc: µ +D µ = 1800 ⇔ ABCD tứ giác B n.tiếp C = 2π R =π d Độ dài đường tròn, cung tròn: * Chu vi đường trịn: 22 Tốn – Ơn tập học kỳ II * Độ dài cung tròn: Diện tích hình trịn, hình quạt trịn: * Diện tích hình trịn: π Rn d S l= =π R =0 π π180 R n l 4R S = = 360 Sviên phân = Squạt - SABC * Diện tích hình quạt trịn: S = π ( R12 − R22 ) * Diện tích hình viên phân: S xq = 2π Rh Stp = Sxq + 2.Sđáy * Diện tích hình vành khăn: HÌNH KHƠNG GIAN 1.Hình trụ: * Diện tích xung quanh: Stp = 2π Rh + 2π R V = S h = π R 2h S: diện tích đáy; h: chiều cao * Diện tích tồn phần: S xq = π R.l * Thể tích: 2.Hình nón: * Diện tích xung quanh: Stp = Sxq + Sđáy Stp = π Rl + π R Vnón = * Diện tích tồn phần: V = * Thể tích: Vtrụ π R 2h S: diện tích đáy; h: chiều cao, l: đường sinh l = h2 + R 23 Toán – Ôn tập học kỳ II S xq = π ( R1 + R2 )l Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ Stp = π ( R1 + R2 )l + π ( R12 + R22 ) Hình nón cụt: * Diện tích xung quanh: 2 + R 22 + R1 R2 ) VS== 4ππhR( R = π d * Diện tích tồn phần: V = π R3 * Thể tích: Hình cầu: * Diện tích mặt cầu: * Thể tích: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Các phân giác góc ·ABC , ·ACB cắt đường trịn tại E, F CMR: OF ⊥ AB OE ⊥ AC Gọi M giao điểm của OF AB; N giao điểm OE AC CMR: Tứ giác AMON nội tiếp tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác Gọi I giao điểm BE CF; D điểm đối xứng I qua BC CMR: ID ⊥ MN · CMR: Nếu D nằm (O) BAC = 600 HD: 24 Tốn – Ơn tập học kỳ II CMR: OF ⊥ AB OE ⊥ AC: + (O,R) có: ·ACF n.tiếp chắn »AF · » » » BCF n.tiếp chắn BF ⇒ AF = BF ⇒ OF ⊥ AB ·ACF = BCF · (CF làphân giác) + (O,R) có: · ABE n.tiếp chắn »AE ·CAE n.tiếp chắn CE » » » ⇒ AE = CE ⇒ OE ⊥ AC · · ABE = CAE (BE làphân giaùc) CMR: Tứ giác AMON nội tiếp: · OF ⊥ AB taïi M ⇒ OMA = 900 · · ⇒ OMA + ONA = 180 ⇒ Tứ AMON nội tiếp · OE ⊥ AC N ⇒ ONA = 90 * Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AMON: 2 OA π R OA Tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính OA ⇒ S = π = π = ÷ 4 CMR: ID ⊥ MN: + I D đối xứng qua BC ⇒ ID ⊥ BC (1) + (O,R) có: OF ⊥ AB taïi M ⇒ MA = MB = AB ⇒ MN đường trung bình ∆ ABC ⇒ MN // BC (2) OE ⊥ AC taïi N ⇒ NA = NC = AC Từ (1) (2) ⇒ ⇒ ID ⊥ MN · CMR: Nếu D nằm (O) BAC = 600: + I D đối xứng qua BC ⇔ BC đường trung trực ID, suy ra: · · • ∆ IBD cân B ⇒ CBD ( BC đường trung trực đồng thời đường cao) = CBE · · • ∆ ICD cân C ⇒ BCD ( BC đường trung trực đồng thời đường cao) = BCF + Khi D nằm (O,R) thì: · » • CBD n.tiếp chắn CD ·CBE n.tiếp chắn CE » ⇒ CD » = CE » » = CD » ⇒ »AE = EC » » Mà: CE = AE (cmt ) · · CBD = CBE (cmt ) » + CD » = ACD ¼ ⇒ CD » = ACD ¼ • Mặc khác: »AE + EC (1) · » • BCD n.tiếp chắn BD ·BCF n.tiếp chắn BF » ⇒ BD » = BF » » » » ⇒ AF = FB = BD » » Mà: BF = AF (cmt ) · · BCD = BCF (cmt ) 25 ... tốc xe I xe II (x, y > 0) • Sau hai xe gặp nên tổng quãng đường hai xe đoạn đường AB, ta có pt: x + y = 90 (1) 90 (h) x 90 Thời gian xe II hết đoạn đướng AB: (h) y 90 9 90 Vì xe II tới A trước... CMR: Tứ giác AMON nội tiếp: · OF ⊥ AB taïi M ⇒ OMA = 90 0 · · ⇒ OMA + ONA = 180 ⇒ Tứ AMON nội tiếp · OE ⊥ AC taïi N ⇒ ONA = 90 * Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tứ giác AMON: 2 OA π R... 27 phút = h nên ta có pt: – = (2) y x 20 20 y = 90 − x (a ) x + y = 90 Từ (1) (2) ta có hệ pt: 90 − 90 = ⇔ 10 − 10 = (b) x x y 20 90 − x 20 • Thời gian xe I hết đoạn đướng AB: