pt,bpt chua can thuc(thuy moi)-thuybg

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BPT CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN: KHÁI QUÁT A PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN: Để giải pt chứa ẩn dấu dạng trước tiên ta nâng luỹ thừa làm đưa pt giải Xong Nhưng ta thường gặpcác pt chứa ẩn dấu khơng dạng sau nâng luỹ thừa pt khơng giải thơng thường Khi ta sử dụng phương pháp kỹ thuật khác để đưa chúng dạng I PP giải PT chứa ẩn dưới dấu dạng bản: II.PP giải PT chứa ẩn dưới dấu dạng khác : 1.Phương pháp biến đổi tương đương: Các kỹ thuật: ( kỹ thuật) - Nâng lũy thừa: - Khai - Phân tích thành tích: 2) Phương pháp đặt ẩn phụ: rất đa dạng, cần nhận dạng tốt trước đặt Kỹ thuật: - Đặt ẩn phụ hoàn tồn - Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 2.1) Đặt ẩn phụ hồn tồn: Dạng 1: Phương trình chứa biểu thức căn: Đặt ẩn đưa pt bậc2, bậc cao Dạng 2: Phương trình chứa tổng, tích hai thức Dạng 3: Đẳng cấp bậc hai, bậc 3, bậc n hai biểu thức chứa căn: Đặt ẩn phụ đưa pt bậc 2, 3, bậc n Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Dạng 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ tạm đối xứng loại 2, gần đối xứng loại Dạng 6: Đặt ẩn phụ đưa về pt lượng giác Dạng Đặt ẩn phụ 2.2) Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn: 3) Phương pháp nhân chia biểu thức liên hợp: 4) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số: Dạng Tìm nghiệm nhất của phương trình Dạng Giải phương trình phức tạp: 5) Phương pháp đánh giá( sử dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số): * Kỹ thuật: - Sử dụng bất đẳng thức - Khảo sát biến thiên hàm số để khảo sát miền giá trị( dùng đạo hàm) 6) Phương pháp hình học: III PP giải Pt chứa ẩn dấu có tham số: Dạng Dựa vào tương giao đồ thị, miền giá trị hàm số: - Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai: Dạng Sử dụng điều kiện cần đủ: Dạng 3.Phương pháp hình học NỘI DUNG CỤ THỂ: A PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN: I PP giải PT chứa ẩn dưới dấu dạng bản: * PP: Nâng luỹ thừa để khử bậc hai vế đưa pt giải đơn giản k +1 Dạng 1) k +1 f ( x) = g ( x ) ⇔ f ( x) = [ g ( x) ] 2k  f ( x) = [ g ( x) ] f ( x) = g ( x) ⇔  g ( x) ≥  Dạng 2) 2k Dạng 3) k +1 f ( x) = k +1 g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x)  f ( x) = g ( x ) f ( x) = k g ( x) ⇔   f ( x) ≥ Chú ý: Điều kiện để nâng lũy thừa bậc chẵn hai vế được phương trình tương đương là: hai vế không âm Cần phân biệt giữa điều kiện xác định và điều kiện biến đổi tương đương Nếu điều kiện phức tạp tách riêng PP thực khi: Phương trình sau nâng luỹ thừa pt giải đơn giản 2k Dạng 4) Ví dụ Giải phương trình 1) x − x − = (x – 4) (1) − x + x + = x (nghiệm x = 2) x − ≥ x ≥ x = ⇔  ⇔  Giải Pt(1) ⇔  2 x = x − 2x − = 3(x − 4) 2(x − 11x + 28) = II.PP giải BPT chứa ẩn dưới dấu dạng khác : Để giải BPT chứa ẩn dưới dấu dạng ta phải biến đổi chúng về dạng bản pp sau: (3 phương pháp) 1.Phương pháp biến đổi tương đương: Các kỹ thuật: - Nâng lũy thừa: - Khai - Phân tích thành tích: 1.1) Nâng luỹ thừa để giải pt chứa nhiều thức: Dạng f (x) + g(x) = h(x) ⇔ f (x) g(x) = h(x) − f (x) − g(x) 2) 3x-3 − − x = 2x-4 (khối B – 2005 dự bị 1) Hd: pt ⇔ 3x-3 = − x + 2x-4 ⇔ 3x-3=x+1+2 (5-x)(2x-4) ⇔ (5-x)(2x-4) = x − (cơ bản) x=2, x=4 Dạng f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Ví dụ + Có thể bình phương trực tiếp f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) f ( x ) g ( x ) = h ( x ) k ( x ) + Nếu có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) ta biến đổi phương trình dạng : f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương ,giải phương trình hệ Ví dụ 1: Giải phương trình sau : Giải: Đk x ≥ x+ + 3x+1 = x + x+ Bình phương vế khơng âm phương trình ta được: + ( x + 3) ( 3x + 1) = x + x ( x + 1) , để giải phương trình dĩ nhiên khơng khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : 3x+1 - x+ = x - x+ Bình phương hai vế ta có : x + x + = x + 12 x ⇔ x = Ví dụ 2: Giải phương trình sau : x +1 + x+1 = x - x+1 + x+ x+ Giải: Điều kiện : x ≥ −1 Ta có nhận xét : (2) ⇔ x3 + x + = x − x + x + , từ nhận xét ta có lời giải sau : x+3 x3 + − x + = x2 − x + − x + x+3 x = 1− x3 + = x2 − x −1 ⇔ x2 − 2x − = ⇔  Bình phương vế ta được: x+3  x = + Thử lại : x = − 3, x = + Dạng 3 l nghiệm f (x) + g(x) = h(x) Lập phương hai vế: f (x) + 3( f (x) + g(x)) f (x) g(x) + g(x) = h(x) ⇒ f (x)g(x)h(x) = h(x) − f (x) − g(x) Chú ý: phép biến đổi hệ quả quá trình lập phương thay f (x) + g(x) = h(x) Ví dụ Giải phương trình: x − + x − = x − (1) (đề 113) Giải (1) ⇔ x – + x – + 3 x − x − ( x − + x − ) = 2x – ⇒ 2x – + 3 ( x − 1)( x − 2) x − = 2x – x = ⇔  x = Thử lại vào (1) thấy thỏa mãn  x = 1.2) Khai căn: Ví dụ 1: Giải phương trình: x + + x + − x + = (khối D -2005) Hd: Đk x ≥ −1 , pt ( x + + 1)2 − x + = ⇔ x + = ⇔ x = x+3 Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x − + x − x − = (x = 1, x=5)   x −1 −1 <    x +3 ⇔ x =1  =   x+3  ⇔ Đk : x ≥ , pt x − + + x − − =  x −1 − ≥ x≥2    ⇔ ⇔ x=5   2 x − = x + 4 x − = x +   Kl : x=1,x=5 1.3) Phân tích thành tích: + Đưa về tích: Cần kỹ thuật khéo léo, nên nhẩm nghiệm trước theo đó phân tích( thường thay thế bởi phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn) + Sử dụng đẳng thức u + v = + uv ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b ) ( v − a ) = a = b ⇔ (a − b)(a + b) + Sử dụng pp hệ số bất định: Ví dụ 1.Giải phương trình: 1) x + − x = x − + − x + x − + (khối D – 2006 dự bị 2) 2) x + + x + = + x + 3x + 3) x + + x2 = x + x2 + x 4) x + + x x + = 2x + x2 + x + 5) 2x-1 + x2 − 3x+1=0 (khối D – 2006) 6) x + = x − x − 7) 2x − x − + 6x + 11 = (HKI-lop10-2015) 8) + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) HD: 1) pt: x + − x = x − + − x + x − + (khối D – 2006 dự bị 2) Đưa PT tích ( x − − ) ( x − − − x ) = ĐS: x = 5, x = 2) pt: x + + x + = + x + x + Hd: pt ⇔ ( 3) pt: ( )( x +1 −1 x = x + −1 = ⇔   x = −1 ) x + + x2 = x + x2 + x x +1 − x )( ) x −1 = ⇔ x = x + + x x + = 2x + x2 + x + 4) pt : Hd: dk : x ≥ −1 , pt ⇔ ( x + − 2x x = x +1 −1 = ⇔  x = )( ) 5) 2x-1 + x2 − 3x+1=0 (khối D – 2006) Hd: pt x − (2x − 1) + ( 2x-1 − x)=0 ⇔ (x − 2x-1)(x + 2x-1 − 1) = ⇔ x = 1,x = − 6) pt : x + = x − x − Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : (1+ 3+ x ) x =  x + + = 3x = 9x ⇔  ⇔  x = −5 − 97  x + + = −3 x  18 7) ĐK x ≥ − 11 , pt ⇔ ( 2x + 1) = ( ) 6x+11 − , Nghiệm: x = 8) Hằng đẳng thức: pt : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) −3 + 17 − 65 ;x = 4 ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 2) Phương pháp đặt ẩn phụ: rất đa dạng, cần nhận dạng tốt trước đặt Kỹ thuật: - Đặt ẩn phụ hoàn toàn - Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 2.1) Đặt ẩn phụ hồn tồn: Dạng 1: Phương trình chứa ẩn f (x) ( n f(x) ): đặt t = f (x) (hoặc t = n f(x) ) đưa về phương trình bậc hai ẩn t bậc cao Có thể qua vài bước biến đổi dẫn tới đặt ẩn phụ Dạng đơn giản: +) af(x) + b f (x) + c = 0, đặt t = f (x) ≥ 0, đưa về phương trình bậc hai ẩn t +) f (x) + a ± f (x) = b , đặt t = +) a(α f (x) + đó: α f (x) + f (x) đưa pt dạng t2 + a ± t = b β β2 β ) + b(α f (x) + ) + c = (dạng đối xứng) đặt t = α f (x) + Khi f (x) f (x) f (x) β2 = t2 - α.β , pt trở thành: a(t2 - α.β ) + bt + c = f (x) Ví dụ 1: Giải phương trình: (x + 5)(2 − x) = x + 3x  t = 2(tm) x + 3x ≥ đưa pt: t + 3t -10 = ⇔  t = −5(loai)  Tìm x = 1, x= - Hd: đặt t = 2x-1 + x2 − 3x+1=0 (khối D – 2006)  t = 2t − ⇔ t = ⇔ t = (2t − 1) ⇔  Hd đặt t = 2x-1 , pt  t = −2t + ⇔ t = − 1(t ≥ 0) Tìm x = 1, x = 2- (có thể đưa bậc nhẩm nghiệm) Ví dụ giải phương trình:   1) 2x + −  x + ÷+ = x x  Ví dụ 2: Giải phương trình:   =  2x + − ÷ 2x + 2x +   1 Hd: 1) Đk: x > 0, đặt t = x + (t>0) ⇒ x + = t − , pt trở thành: 2t2 -3t-2 = Đs x = x x 25 − 61 2) t = 2x + − pt: 9t2 – 9t – 40 = Đs: x = 4, x = 2x + 36 2) 18x − 49 + Ví dụ 4: Giải phương trình sau : x + 2x x − = 3x + x Giải: Điều kiện: −1 ≤ x < Chia hai vế cho x ta nhận được: x + x − Đặt t = x − 1 = 3+ x x 1± , ta giải được: t =1 nghiệm: x= x Ví dụ 5: Giải phương trình : x + x − x = 2x +   Giải: x = nghiệm , Chia hai vế cho x ta được:  x − Đặt t= x − 1 ÷+ x − = x x 1± , Ta có : t + t − = ⇔ t = ⇔ x = x Ví dụ 6: Giải bất phương trình: x + 1- x − 4x + = x Hd: Chia hai vế cho x đặt t = x + x 2 Dạng 2: A[ α f(x) + β g(x)] + 2A α β f (x).g(x) + C.( α f (x) + β g(x) ) + D = Đặt t = α f (x) + β g(x) ≥ 0, đưa về phương trình bậc hai ẩn t Chú ý: [ α f(x) + β2 g(x)] = e thì phương trình có dạng A α β f (x).g(x) + C.( α f (x) + β g(x) ) + E = Tóm lại phương trình có chứa α f (x) + β g(x) ( tổng(hiệu) ) và f (x).g(x) (tích) hai bậc hai thì thường đặt tổng bằng t = α f (x) + β g(x) (có thể đặt ẩn phụ đưa hệ) x + + x − = 2x-12+2 x − 16 (2002D-dự bị) ĐK:x≥4 Đặt t= x + + x − ≥0 ⇒ t = x +2 ( x − 4)( x + 4) Phương trình t − t − 12 = giải phương trình ẩn t t=4; t=-3 (loại) Giải x=5 Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x- + x-1 = x- + x - 5x+ (khối B -2006 dự bị 1) Ví dụ 2: Giải phương trình: Hd: Đặt t = x − + x − ≥ ĐS: x = Ví dụ 3: Giải phương trình: + x - - x + 4 - x = 10 -3x (khối B -2011) Đặt t = x + − 2 − x ≥ ĐS: x = Dạng 3: đẳng cấp bậc hai, bậc 3, bậc n: Đặt ẩn phụ đưa pt bậc 2, 3, bậc n *Dạng đơn giản: a.f(x) + bg(x) + c f (x).g(x) = Xét g(x) =0 phương trình tương tương f(x) = Xét g(x) ≠ chia hai vế phương trình cho g(x), đặt t = f (x) ≥ đưa về bậc hai ẩn t g(x) * Đẳng cấp bậc n x y: a1x n + a2 x n −1y + + an −1xy n −1 + an y n = A(x,y) = a1x n + a2 x n −1y + + an −1xy n −1 + an y n (trong x y biểu thức chứa căn) x Phương pháp giải: chia hai vế pt cho yn, đặt t = đưa pt bậc n ẩn t y • A( n f (x) ; n g(x) ) = đẳng cấp của + ta xét g(x) = n f (x) , n g(x) + Xét g(x) ≠ chia cả hai vế pt cho g(x) và đặt f (x) =t g(x) n * Dạng phức tạp: đẳng cấp f)x) g(x), Chú ý: số biểu thức phân tích thành tích: f(x) g(x), x + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( ) x4 + = x2 − x + x2 + 2x + x + = ( x − x + 1) ( x + x + 1) (Nếu phương trình đẳng cấp đặt hai ẩn u, v đưa hệ) ( ) Ví dụ Giải phương trình : x + = x +1 ( pt đẳng cấp ( x + x2 − x + ) ) 2 Giải: Biến đổi pt trở thành: x − x + + 2( x + 1) = (x+1)(x − x + 1) Xét x + = không thỏa mãn Xét x + ≠ , Chia hai vế pt cho (x+1) được: Đặt t = (x − x + 1) ( x + 1) −5 (x − x + 1) ( x + 1) +2=0 t = x2 − x + ± 37 ; Phương trình trở thành : t + t+ = ⇔  Tìm được: x = t = x +1  Ví dụ 2: giải phương trình sau : x + x-1 = x -1 Hd: Đk: x ≥ ( ) Nhận xt : Ta viết α ( x − 1) + β x + x + = ( ( x − 1) ( x + x + 1) ) Đồng thức ta được: ( x − 1) + x + x + = Dễ thấy x ≠ nên chia vế pt cho (x-1) ( x − 1) ( x + x + 1) Đặt t = t = x2 + x + , ta được: + 2t = 7t ⇔  t = x −1  Ví dụ giải phương trình : x + x -1 = Hd: Pt đẳng cấp x2 Ví dụ Giải phương trình sau : Giải: Đk x ≥ (x Ta : x = ± x - x +1 x2 − x + x + x-1 = 3x + x+1 Bình phương vế ta có : + x ) ( x − 1) = x + ⇔ Ví dụ Giải phương trình : (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) x -14 x+ - x - x- 20 = x+1 Giải: Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = ( ) (x − x − 20 ) ( x + 1) 2 Nhận xét : không tồn số α , β để : x − x + = α x − x − 20 + β ( x + 1) ta đặt u = x − x − 20  v = x + ( ) ( 2 Nhưng may mắn ta có : x − x − 20 ( x + 1) = ( x + ) ( x − ) ( x + 1) = ( x + ) x − x − ( ) ) 2 Ta viết lại phương trình: x − x − + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) Đến toán giải Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình  u = m f (x) + Phương trình dạng: A( f (x) ; g(x) ) = 0, thỏa mãn αf (x) + β g(x) = c đặt   v = n g(x) αu m + βv n = c Ta được hệ phương trình:   A(u, v) = m n Ví dụ Giải phương trình: − x = − x − ÑK : x ≥ u = − x u = − v =>  u = 0;1; −2; v = 1;0;3 ⇒ x = 1;2;10  u + v = v = x − 1;v ≥ Ví dụ Giải phương trình: 10 − x + x − = (1) u + v = Hd: Đặt u = 10 − x ,v = x − Ta có hệ  3 u + v = Ví dụ 3.Giải phương trình: 3 x − + − x − = (khối A -2009) u = 3 x − Đặt  ĐS: x = –2  v = − x , v ≥ Dạng 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ tạm đối xứng loại + Dạng: α n ax + b = c(dx + e) n + β ax + b (hoặc dy + e = - n ax + b theo dấu c) đưa về hệ α(dy + e) = c(dx + e) n + β c(dx + e) n = αdy + αe − β ⇔   n ax + b = (dy + e) n   c(dy + e) = cax + bc Hệ đối xứng loại αd = ac αe − β = bc Đặt dy + e = n + Dạng tổng quát cụ thể hơn: n ax + b = c(dx + e) n + αx + β , Đặt: dy + e = n ax + b (hoặc dy + e = - n ax + b theo dấu c) đưa về hệ dy + e = c(dx + e)n + αx + β c(dx + e)n = dy − αx + e − β ⇔  n (dy + e)n = ax+b   c(dy + e) = cax+cb Hệ đối xứng loại thỏa mãn: d = ac + α và e = bc+ β Chú ý: Khi tốn cho điều kiện thỏa mãn dạng Do ta khơng phải kiểm tra điều kiện 29 12x + 61 Ví dụ 1: Giải pt: 3x + x − = 36 Làm nháp: 29 12x + 61 3x + x − = ⇔ 36x + 12x+1-59=2 12x + 61 ⇔ (6x+1)2 − 59 = 12x + 61 36 Giải: Đặt 6y+1= 12x + 61 12x+61 = 36y2 +12y +1 3y2 + y = x +5 (1) Mà theo cách đặt ta có: 3x2 + x = y +5 (2) 3 y + y = x + Từ (1) (2) ta có hệ:  => 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y 3 x + x = y + 5 * Với y = x =>y = x = ,( y ≥ − ) 3x + − ± 126 * Với y = − => x1, = Từ ta tìm y kết luận nghiệm PT cho Ví dụ 2: Giải PT: 9x − = 3x + 2x + Làm nháp: 9x − = 3x2 + 2x + ⇔ 9x − = 9x + 6x + ⇔ 9x − = ( 3x+1) + => 9x – = 9y2 +6y + 9y2 + 6y = 9x – 3y2 + 2y = 3x – (1) Mặt khác ta có: 3x2 + 2x + = 3y +1 3x2 + 2x = 3y – (2) 3 y + y = x − Từ (1) (2) ta có hệ  3 x + x = y − Giải pt vơ nghiệm Ví dụ 3: Giải PT: x − x − 2004 + 16032x = 2004 (Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004) Giải: Đặt x − = y + 1, y ≥ − Làm nháp: x − x − 2004 + 16032x = 2004 ⇔ ( 2x-1) − 8017 = 8016 + 16032x => t2 – t = 4008x, (1) Mặt khác từ PT ta có: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2) Giải: Đặt + 16032 x = 2t − 1, t ≥  t − t = 4008 x Từ (1) (2) ta có hệ PT sau:    x − x = 4008t => (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t) (t – x)[ t + x – + 4008] = t = x t = - x – 4007 * Với t = x ta có: x2 – 4009x = x = x = 4009 Ta có x = khơng thỏa mãn * Với t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) x2 +4007x – 4007.4008 = => PT vô nghiệm KL: PT cho có nghiệm x = 4009 Ví dụ ( Toán học Tuổi trẻ Tháng năm 2001) Giải PT: 81x − = x − 2x + x − Làm nháp: 81x − = x3 − 2x + x − ⇔ 27 81x − = 27x3 − 54x + 36x − 54 3 ⇔ 27 81x − = ( 3x − ) − 50 Giải: Đặt 81x − = y − => 9x = 3y3 – 6y2 +4y,( Biến đổi tương tự ta có hệ) 9y = 3x3 − 6x + 4x => (x – y)( 3x2 +3 xy +3y2 - 6x – 6y + 13) = 0(*),  9x = 3y − 6y + 4y Do 2(3x2 +3 xy +3y2 - 6x – 6y + 13) = 3(x + y)2 + 3(x − 2)2 + 3(y − 2)2 + > , nên từ (*) ta có x = y => 3± 3 Ví dụ 5: Giải PT: x + = 2 x − Hd: Đặt y = x − ⇔ y + = x 9x = 3x3 – 6x2 +4x => x1= ; x2,3 =  x + = y −1 + −1 − ⇒ x = 1; x = ;x =  2  y + = x Ví dụ 6: Giải PT sau: 3x+1 = −4x + 13x-5 Hd: Dễ thấy: 3x+1 = −(−2x+3)2 + x + tm điều kiện hệ số nên đặt: 3x+1 = −2y + 15 − 97 11 − 73 ; 8 Dạng 6: Đặt ẩn phụ đưa về pt lượng giác nếu pt chưa dạng  −π π  + a − [f (x)]2 đặt f(x) = a.sint (hoặc f(x) = accost ) t ∈  ;   2 a π + [f (x)]2 − a đặt f(x) = , t ∈ [ 0; π] , t ≠ cos t −π π   + [f (x)]2 + a đặt f(x) = a.tant, t ∈  ; ÷  2 (a>0) + Phương trình chứa ẩn bậc 2, bậc lập phương vế đưa pt bậc giải pp lượng giác hóa : 4x3 − 3x=a(a ≤ 1) Nghiệm: Ví dụ Giải phương trình sau: 6x + = 2x 5π 7π   π ;cos  mà phương trình Xét : x ≤ , đặt x = cos t , t ∈ [ 0; π ] Khi ta S = cos ;cos 9   3 Giải: Lập phương vế ta được: x − x = ⇔ x − x = bậc có tối đa nghiệm tập nghiệm phương trình   ÷= x −    π π , t ∈ − ; ÷ Giải: đk: x > , ta đặt x = sin t  2 Ví dụ Giải phương trình x  +  cos t = 1 + cot t ) = ⇔  Khi ptt: ( sin 2t = − sin x  Phương trình có nghiệm : x = − + ( ) x + ( x + 1) x +1 = + 2x 2x ( − x2 ) Ví dụ Giải phương trình : Giải: đk x ≠ 0, x ≠ ±1  π π ; ÷  2 Khi pttt: 2sin t cos 2t + cos 2t − = ⇔ sin t ( − sin t − 2sin t ) = Ta đặt : x = tan t , t ∈  − Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x = Dạng Pt A( f (x) , g(x) , h(x) ) = thỏa mãn: f(x) + g(x) + h(x) = B( f (x) , g(x) , h(x) ) (đặt u = f (x) , v = g(x) , w = h(x)  u + v3 + w = B(u, v, w)  Đưa về hệ:  A(u, v, w) = Đưa về tích  3 3 (u + v + w) − (u + v + w ) = 3(u + v)(v + w)(w + u) Ví dụ Giải phương trình x + + − x + x + + x − 8x − = (1) Giải Đặt u = x + , v = − x + x + , w = x − 8x − u + v + w =  3 Ta có u + v + w = (u + v + w ) − (u + v + w ) = 3(u + v)( v + w )( w + u )  u = − v  Từ hệ ⇒ (u + v)(v + w)(w + u) = ⇔ v = − w Đs: x=-1, 0, 1,9 w = − u  Ví dụ Giải phương trình 3 x + + − x + x − − x − = Đặt u = 3 x + 1, v = − x , w= x − Đs: -3, 4, 2.2) Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn: Dạng đơn giản: af(x) + bg(x) f (x) + h(x) = đặt t = f (x) là biểu thức chứa đưa pt về dạng bậc2, bậc cao ẩn t còn x là tham số đưa hệ ẩn x t Giải phương trình, hệ phương trình tìm t theo x đưa về dạng đơn giản Dạng phức tạp pt chứa ẩn g(x) n f(x) Ví dụ 1.Giải phương trình: x + x + = Hd: ĐK:x ≥ -7 Đặt t = x + ≥ ⇒ t = x +  x + t = ⇒ x − t = −( x + t ) ⇔ ( x + t )( x − t + 1) = Phương trình trở thành  t = x + 10 − 29 Ví dụ Giải phương trình: x + Giải x=2; x= x + = (1) (bộ đề 112) x + t = Giải Đặt t = x + (t ≥ 0) Ta có hệ phương trình  t = x + Trừ hai phương trình hệ cho được: (t + x)( x – t + 1) =  x + = −x t = −x ⇔  ⇔  t = x +  x + = x + Ví dụ Giải phương trình: 2x-1 + x − 3x+1=0 (khối D – 2006) 2 2x-1 , x − x − t + t = Ví dụ Giải phương trình: (4x – 1) x + = x + 2x + (1) (đề 78) Hd: đặt t = x + (t ≥ 1) (1) trở thành (4x – 1)t = t + 2x – 1; ∆ = (4 x − 3) (chính phương)  x +1 = (4 x − 1) ± ( 4x − 3)  ⇒ t= ⇔   x + = x − Hd: Đặt t = Ví dụ Giải phương trình: x – 3x + = x 3x − (1) Giải Đặt t = 3x − (t ≥ 0); pt (1) trở thành t + xt – x =  3x − = x − x ± 3x ⇔   3x − = −2 x ( phương trình đẳng cấp ⇒ đặt x = ty) ∆ = x (chính phương) ⇒ t = Ví dụ Giải phương trình : x − 3x + ( x + 2) − 6x = Hd : Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt phương trình bậc x y : x = y x − 3x + y − x = ⇔ x − 3xy + y = ⇔   x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = 2−2 ( ) 2 Ví dụ Giải phương trình : x + − x + x = + x + Hd: t = t = x + , ta có : t − ( + x ) t − + 3x = ⇔ t = x −  3) Phương pháp nhân biểu thức liên hợp(đưa tích): Dạng:  f(x) + a ± f (x) = b  1) f(x) + a ± f (x) = b ⇔  a (đk  f(x) + a m f (x) = b  2) f (x) ± g(x) = a(f (x) − g(x)) ⇔ (f (x) − g(x))( f(x) + a m f (x) ≠ ) − a) = (Đk: ) f (x) m g(x) 3) Dạng khác: - Nếu phương trình có nghiệm x = x0 thì có thể nhân, chia biểu thức liên hợp cho xuất hiện nhân tử 11 x-x0 pt về dạng tích (x-x0) A(x) = 0(1) Bằng cách biến đổi + f (x) - a= + f (x) - + f (x) − a (x − x )h(x) = f (x) + a f (x) + a g(x) = f (x) − b = (với a = f (x ) ) (x − x )h(x) f (x) − g(x) = f (x) + g(x) f (x) + g(x) f (x) − b = (x − x )h(x) [f (x)] + f (x).b + b [f (x)] + f (x).b + b f (x) − g(x) 3 + f (x) − g(x) = [f (x)]2 + f (x) g(x) + [ g(x) ] 3 3 (x − x )h(x) = [f (x)]2 + f (x) g(x) + [ g(x) ] (với (với b = g(x ) = 3 f (x ) , f (x ) ) - Nếu phương trình có nghiệm x = x1 , x = x2 thì có thể nhân, chia biểu thức liên hợp cho xuất hiện nhân tử (x - x1)(x - x2) pt về dạng tích (x - x1)(x - x2) A(x) = (2) Bằng cách biến đổi  f (x1 ) = g(x1 ) f (x) − [ g(x) ] (x − x1 )(x − x )h(x) g(x) = + f (x) = (với  ) f (x) + g(x) f (x) + g(x)  f (x ) = g(x )  f (x1 ) = ax1 + b (tìm g(x) = ax + b bằng đồng nhất thức  ) (ví dụ 4)  f (x ) = ax1 + b * Nx: Phương pháp hiệu pt nhiều bậc lệch phức tạp khó thực pp khác thường có nghiệm  x = x0 pt(1) ⇔  (A(x) đơn giản vơ nghiệm) A(x) = ( liên hợp cho pt nhiều biến) Ví dụ 1: Giải phương trình: 1) x − 3x + + x − 3x + = x +3 2) 4x + − 3x − = Ví dụ Giải phương trình: 1) 3x + − − x + 3x − 14x − = (khối B -2010) 2) x + 12 + = 3x + x + (OLYMPIC 30/4 đề nghị) 3) 3x − + − 5x − = (khối A -2009) 4) 3x − x + = 3x+1 + 5x+4 5) Hd: 1) x+ + 3x+1 = x + x+ x + − − x + x − 14 x − = (khối B -2010) nhẩm nghiệm x = pt ⇔ ( x + − 4) − ( − x − 1) + x − 14 x − =   + + x + 1÷ = Vì − ≤ x ≤ nên pt có nghiệm x = ⇔ ( x − 5)  − x +1  3x + +  2) x + 12 + = x + x + (OLYMPIC 30/4 đề nghị) 12 Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng ( x − ) A ( x ) = , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : Để phương trình có nghiệm : x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ x + 12 − = 3x − + x + − ⇔ x2 − x + 12 + = 3( x − 2) + x2 − x2 + +   x+2 x +1 ⇔ ( x − 2)  − − 3÷= ⇔ x = 2 x +5 +3   x + 12 + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > Dễ dàng chứng minh : 2 x + 12 + x +5 +3 3) nhẩm nghiệm x = -2, pt ⇔ 2( 3 x − + 2) + 3( − x − 4) =    ÷= ⇔ 3( x + 2) −  ÷ − x + ÷ x − − x − + ( )   x + = ⇔ x = −2  ⇔ 3 2( − x + 4) − 5( ( x − ) − x − + 4) = 2( − x + 4) − 5( ( x − ) − 3 x − + 4) = ⇒ Pt: 2 (8 − 3 x − 2) − 53 ( x − ) + 10 3 x − − 12 = ⇔ −5 ( x − ) + 3 x − − = (vô nghiệm) Pt có nghiệm x = -2 4) 3x − x + = 3x+1 + 5x+4 nhẩm hai nghiệm x = 0, x = Khi đó ghép: ax + b − 3x+1;cx + d − 5x+4 và thay x = 0, x = vào pt: ax + b − 3x+1 = 0;cx + d − 5x+4 = tìm được a, b, c, d  3x+1 ≥ ⇔x≥− Lg Đk:  5x+4 ≥ ⇔ 3(x − x) + (x + − 3x+1) + (x + − 5x+4) = ⇔ (x − x)(3 + x + + 3x+1 + x + + 5x+4 )=0  x2 − x = x =  ⇔ ⇔ (tm) 1 + =0 x =1 3 +  x + + 3x+1 x + + 5x+4 4) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số: (trình bày chuyên đề riêng- các trường hợp vẽ hình minh họa) Các kết quả quan trọng: 4.1) Phương trình: f(x) = k thỏa mãn f(x) đơn điệu D nếu phương trình có nghiệm x0 D thì x0 là nghiệm nhất 4.2) Phương trình f(x) = g(x) thảo mãn, f(x) và g(x) đơn điệu D và không cùng chiều biến thiên, nếu x0 là nghiệm của phương trình thì đó là nghiệm nhất 4.3) f(u(x)) = f(v(x))(1), f(u) và f(v) xác định D và f(t) đơn điệu D đó: (1) ⇔ u(x) = v(x) Dạng Tìm nghiệm nhất của phương trình ( áp dụng 3.1, 3.2) Ví dụ Giải phương trình x − + x + + x − + 3x + = 25 (1) 13 Hd: Đặt f(x) = x −1 + x + + x − + 3x + ,xét [ , +∞) 9 ⇒ f(x) đồng biến [ , + ∞ ) ⇒ (1) có nghiệm nghiệm 2 Xét thấy f(5) = ⇒ x = nghiệm Ví dụ Giải phương trình x + + x + + x + = (1) (CĐ GTVT 2003) Hd: Đặt VT(1) = f(x) Có f ’(x) ≥ ∀ x ⇒ (1) có nghiệm có nghiệm Nhận thấy f(– 1) = ⇒ x = – nghiệm Dạng Giải phương trình phức tạp: biến đổi về đơn giản f(u) = f(v) (áp dụng 3.3) Ví dụ Giải phương trình: 4x + x − (x + 1) 2x + = Ta thấy f ’(x) > ∀ x > Hd: pt ⇔ (2x) + 2x = ( ) 2x + + 2x + , f(t) = t3 + t, pt trở thành f(2x) = f( 2x + ) Hàm số f(t) đồng biến (0; +∞) nên pt ⇔ 2x = 2x + Đs: x = Ví dụ Giải phương trình: 8x3 − 60x + 151x-128= x-2 8x3 − 60x + 151x-128=y Hd: đặt y = x-2 , ta có hệ pt:  x=y3 +  1+ Cộng vế với vế ta được: 8x3 − 60x + 152x-128=y3 + y + ⇔ (2x-5)3 + (2x-5)=y + y Xét f(t) = t3 + t, đồng biến R, Phương trình trở thành: f(2x-5) = f(y) ⇔ 2x-5=y ⇒ 2x-5= x-2 Giải x = (có thể đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng) Ví dụ Giải phương trình: x3 − 4x2 -5x+6= 7x +9x-4 (Hsg TPHCM năm 2004 -2005) Hd: Đặt y =  x3 − 4x -5x+6=y , cộng theo vế ta được: 7x +9x-4 , ta có hệ pt:   7x +9x-4=y (x+1)3 + (x+1) = y3 + y f(t) = t3 + t, đồng biến R, pt: f(x+1) = f(y) ⇔ x = y ⇒ x + = 7x +9x-4 ⇔ x = 5,x = −1 ± 5) Phương pháp đánh giá( sử dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số): * Cơ sở: pt f(x) = g(x) + nếu chứng minh được f(x) ≥ g(x) ∀x ∈ D , dấu “=”xảy x = x0, x1, đó pt tương đương với x = x0, x1, ( nghiệm pt) (1)  f (x) ≥ m f (x) = m ⇔ + đối lập:  (2) g(x) ≤ m g(x) = m * Kỹ thuật: - Sử dụng bất đẳng thức - Khảo sát biến thiên hàm số ( dùng đạo hàm) 5.1) Kỹ thuật đánh giá sử dụng bất đẳng thức: + Đưa về tổng các bình phương: [f(x)]2 + [g(x)]2 + [h(x)]2 = + Dùng bất đẳng thức đánh giá: theo (1), (2) 5.2) Kỹ thuật đánh giá sử dụng khảo sát biến thiên hàm số + Dùng đạo hàm: pt f(x) = g(x) khảo sát tìm tập giá trị và đánh giá theo (1), (2) Ví dụ Giải pt: x +12 + x-1 = x x-1 + - x ( Hd: Phương trình tương đương ( x-1 - x ) +( 14 ) ) - x - + x-1 =  x-1 - x =  ⇔  - x - = ⇔ x = (tm) Kl:  x-1 =  Ví dụ Giải pt x-2 + 4-x = x − 6x+11 Hd: Ta có : x- + - x ≤ ,Dấu xảy x = x − 6x+11=(x-3)2 + ≥ ,Dấu xảy x =  vt = ⇔ x = Kl: Pt   vp = + 1+ x Ví dụ Giải pt: 1- 2014 x + 1+ 2014 x = x+1 Gợi ý: Ta có : 1+ 2014 x + 1- 2014 x ≤ Dấu x = x+1 + ≥ , dấu x+1  vt ≤ vt = ⇔ ⇔x=0 x = Ta có   vp ≥ vt = III PP giải pt chứa ẩn dấu có tham số: Dạng 1.Phương pháp sử dụng tương giao đồ thị, miền giá trị hàm số: điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai dựa vào ∆ * Các kết quan trọng: + Điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có k nghiệm D là đường thẳng y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x) k điểm + Điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có nghiệm D là g(m) ∈ F, (F là tập giá trị của f(x) D) hay đường thẳng y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x) + Nếu f(x) liên tục D thì điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có nghiệm D là: f (x) ≤ g(m) ≤ max f (x) D D Chú ý: để pt: f(x) = g(x) có nghiệm nhất thì hai đồ thị cắt tại điểm nhất * Phương pháp: + Biến đổi phương trình, về đúng dạng f(x) = g(m) xét D ( đặt ẩn phụ t = u(x), tìm điều kiện ẩn t ∈ D' , biến đổi pt dạng f(t) = g(m) xét miền D’) + Phát biểu điều kiện tương đương bài toán + lập bảng biến thiên vẽ đồ thị cho f(x) f(t) (dùng đạo hàm) và dựa vào bảng bt đồ thị đó kết luận theo các kết quả Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x (Khối B-2004) Giải: Đặt t = + x2 - - x , - ££x Þ t' = x ( 1 + x2 + - x2 ) =0Û x =0 + x2 - x2 ù t(±1) = 2, t(0) = ịẻ t ộ 0; ự ,"x Î é ê ú ë- 1; û ë û - t2 + t + (18) trở thành m(t + 2) = - t + t Û m = t+ - t2 + t + - t - 4t y = Þ y ' = £ 0, " t Ỵ é 0; ù Xét hàm số ê ú ë û t+ (t + 2) Bảng biến thiên +¥ x - ¥ y’ – y 15 2- Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực Û - £ m £ Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x − + m x + = x − (khối A – 2007) x −1 , ≤ t < PT ⇔ −3t + 2t = m Dùng PP hàm số ĐS: −1 < m ≤ x +1 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: m x − x + + + x (2 − x ) ≤ có nghiệm x ∈ 0;1 +  (khối A -2007dự bị 1) Đặt t = ( ) t2 − Dùng PP hàm số ĐS: m ≤ t +1 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Hd: Đặt t = x − x + 2, ≤ t ≤ BPT ⇔ m ≤ x − 13x + m + x − = (khối B-2007 dự bị 2) Hd: Dùng phương pháp hàm số m = − ∨ m > 12 Ví dụ 5: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x + − x + − x = m (khối A -2008) Dùng phương pháp hàm số f(x)= x + x + − x + − x Đs: + ≤ m < + Ví dụ 6: Cmr với giá trị dương tham số m, phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: x + x − = m( x − 2) (khối B -2007) x ≥ Hd: PT ⇔  Dùng phương pháp hàm số ( x − 2)( x + x − 32 − m ) = Ví dụ 7: Tìm điều kiện m để phương trình Hd :Đặt t = x - ³Þ x+ x- 4+ x+ x = t + Ta có (9) trở thành: x - = m (9) có nghiệm thực t + 4t + + t + + t = m Û t + 2t + = m Lập BBT hàm số y = t + 2t + 6, t ³ ta có m ³ Ví dụ 8: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + mx+2 = 2x+1 (khối B – 2006)  3x + 4x-1 =m  x Hd: Đk toán tương đương  có nghiệm phân biệt  x≥−  Dạng Phương pháp sử dụng điều kiện cần đủ: PP: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm x0, A(x0) nghiệm, để pt có nghiệm x0 = A(x0), suy x0, thay vào pt tìm m Điều kiện đủ: Từ giá trị m tìm thử lại kết luận Chú ý: pt f(x) = thỏa mãn: f(x) = f(ax+b), để pt có nghiệm x0 = ax0 + b Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực nhất: x + - x + 2m x(1 - x) - x(1 - x) = m (*) Hd : Nhận thấy x0 nghiệm (*) – x0 nghiệm (21) Từ đó, để (21) có nghiệm x = - x Û x = Þ m = m Û m = Ú m = ±1 16 Đặt t = x+ (21) trở thành - x ³££Þ 0, x x(1 - x) = t2 - 2(t - 1) = mt + t - m - m 1 Û x = (nhận) 2 2 + m = 1: (21) Û 2(t - 1) = t + t - Û 2(t - 1) = (t - 1)(t + 2) ét = ê ïìï t ³ êïì t > Û í Û êïí ïï 2(t - 1)(t + 1) = (t - 1)2 (t + 2)2 êï t + 3t - 2t - = ỵ ê ëỵï éx = ét = ê é x(1 x) = ét = ê ê ê ê ìï t > êx = (loại) ê Û ê Û Û Û êt = êïí ê ê x(1 - x) = ê êï (t + 3)(t - 2) = ê ë ê ë x = ê ï ê ëỵ ë + m = - : (21) Û 2(t - 1) = (t + 1)(2 - t) ïì £ t £ Û ïí Û t = Û x = (nhận) ïï t - 3t - 2t + = ỵ Vậy m = Ú m = - Ví dụ Tìm m để pt sau có nghiệm nhất: x + − x = m , Hd: xo nghiệm – xo nghiệm Đs: m = Ví dụ Tìm m để pt sau có nghiệm nhất: x + − x + x + − x = m Hd: xo nghiệm – xo nghiệm Dạng PP hình học + m = 0: (21) Û 2(t - 1) = t Û t = Û x(1 - x) = 17 Bài tập vận dụng: Bài Giải phương trình(Bình phương hai vế) 1) x − = x − 6) − x + x − = x − 2) 3x2 − 9x+1 + x − = 7) x − x − = 3) x + + x + − x + = 4) − x2 + 4x + = 2x 5) x + x + 11 = 31 ĐS: 1) x = 6; 2) x = 3, − 3) x(x − 1) + x(x + 2) = x 4) x + − 2x-1 = 3x − 4− x2 x2 = 4 3x+4 − 2x+1 = x + 3 − x + x2 − + x − x2 = 7) 4x+5 + 3x+1 = 2x+7 + x+3 8) 10x+1 + 3x-5 = 9x+4 + 2x-2 6) 11 1± ;2) 2; 3) 0, ;4) 1;5) − ;6) ; 7) x= 1; 8) x = 3 2 x + x −1 − x − x −1 = 3) x + + x + − x + = (D2005) Đs: Bài Giải phương trình(lập phương hai vế) 1) x − + x + = x 2) x + x + = 2x+1 3) x − + x − = 2x − Đs: 1) -1,0,1; 2) -1,0,- x +3 4) x + x −1 + x − x −1 = 5) x + + x +1 + x + − x +1 = 6) x +6 x −9 + x −6 x −9 = x + 23 x+5 4) 2x − + x − = 3x+1 5) 10 − x + x − = ;3) 1,2 ; 4) ;5) 2,9 2 Bài Giải phương trình(Đưa tích) 1) x+2 7-x = x − + − x + 8x-7 + 6) x − = 3x − 12x + (*) 7) x + 3x + = (x + 3) x + (*) x2 − 3x-2 = − x 3x-2 3) 12 x + x − = 3x+9 4) x + + x = + x3 + x 2) 5) 9) 5) Bài Giải phương trình(khai căn): 1) x − + x − − x − − x − = 2) x2 − 2x + = 2x + 14 −3 ± 15 ; 3) x = 3; 4) x = 2; 5) x= ±5 ; 6) x = ; 7) x = ; 8) x = ; 9) x = ±2 Bài Giải phương trình(Bình phương hai vế) 1) 2x+9 = − x + 3x+1 2) 5x-1 − 3x-2 − x − = Đs: 1) 0, 8) 8) (3x + 1) x + x + = 3x + 3x + (*) 9) 16 − 2x = 9x + 8x − 32 (*) 10) 10x + 3x − = 2(3x + 1) 2x − (*) 11) + x − − x + 4 − x = 10 − 3x (B2011) 4x + = 2x − 6x − (*) Đs: 1) x = 4, x = 5; 2) x = 1; 3) x = 1, x = (8 + 13) ; 4) x = x +5 =2 x −6 x −1 Hd: 5) Cách 1: Đặt x + = 2t − 18 ⇔ Cơ sở lí thuyết: x + − x + x + = ⇔ ( x + ) − ( x − 1) + 2 Cách 2: Ptbđ ⇔ ( )( 4x + + 2x −1 ) ( ) 4x + + 2x −1 = 4x + − 2x + = x +5 =2 x −6 x −1 ⇔ α ( x + ) − x + + x − ( + 4α ) x − − 5α = ∆ = −8α x + 4α ( 4α + ) x + 20α + 4α + 1 => ∆ = ( x − 1) => PT có hai nghiệm là: x + = − x , x + = x − 2 x − = x − 12 x + ⇔ α ( x − 1) − x − + ( − α ) x − 12 x + + α = Chọn α = − 6) ∆ , = α ( α − 3) x + 12α x − α − 9α + Chọn α = −1 => ∆ , = ( x − 3) 8) (3 x +1) x +x +2 =3 x +3 x +2 ⇔ α ( x + x + ) − ( 3x + 1) x + x + + ( − α ) x + ( − α ) x + − 2α = ∆ = ( 4α − 12α + ) x + ( 4α − 12α + ) x + 8α − 8α + Chọn α = => ∆ = ( x − 1) 11) +x −6 < B_2011 > −x +4 −x =10 −3 x Cách 1: Đặt 2+ x −2 2− x = t Cách 2: Ptbđ ⇔ 3− 2+ x ( ( ) − x + 10 − 3x − + x = ⇔ α ( − x) + − 2 + x ) − x + ( α − 3) ( x + ) − + x + 16 − 4α = ∆ , = ( + 3α − α ) ( + x ) + ( 3α − 12 ) + x + 4α − 16α + Chọn α = => ∆ , = Bài Giải phương trình(Nhân liên hợp): 1) 4x + 5x + + 4x + 5x + = 2) 3x + 5x + − 3x + 5x-7 = 3) x − 3x + + x − 3x + = 4) - x + x − + x- x = 1 + =1 x+4+ x+2 x+2+ x x +3 6) 4x + − 3x − = 7) 3(2 + x − 2) = 2x + x + 5) Đs: (ý: 1,2,3,4 có dạng f (x) + a ± f (x) = b , đặt t = Bài Giải phương trình(Nhân liên hợp) 2) x − + 3x3 − = 3x-2 4x+5 + 3x+1 = 2x+7 + x+3 3) 3x+1 − 6-x + 3x2 − 14x-8=0 4) x-4 + 6-x = 2x − 13x+17 1) f (x) đưa pt dạng t2 + a ± t = b ) 5) x+4 − 1-x = 1-2x 6) 10x+1 + 3x-5 = 9x+4 + 2x-2 7) x-1 + x3 − x2 +2x-9=0 8) x − = + x − x 9) x − 2x = x −1 − x2 − x −1 Gợi ý: 1) x=1; 2) x = 1; 3) x = 5, kết hợp Đk: − ≤ x ≤ ; 4) x = 5; 5) x = 0; 6) x = 3; 7) x = 2;8) x =2; 9) x= 0, x= Bài Giải phương trình( Đặt ẩn phụ dạng 1- Đưa pt bậc 2,3,4 đơn giản) 2) (x + 1)(2 − x) = + 2x-2x 1) (x + 5)(2 − x) = x + 3x 19 3) 3x + 21x+18+2 x + 7x+7 = 5) (x+4)(x+1) - x + 5x+2 = 6) 18x − 18x+5=3 9x − 9x + 4) 4x + 10x+9=5 2x + 5x+3 1 5 19 , − + 19 Gợi ý: 1) -4, 1; 2) ; 3) -6, -1; 4) -2, − , − − 2 4 4 Bài Giải phương trình( Đặt ẩn phụ dạng 2- Chứa hiệu, tổng, tích) 1) + x − x = x + − x 6) x + − x = 2+3x − x2 2) 2x+3 + x + = 3x+2 2x + 5x+3 − 16 3) 4) x − − x + = x − − 2x+2 x + + − x + (x+1)(4-x) = 5) x + + − x − (x+1)(3-x) = 7) + x − − x + 4-x = 10 − 3x (B2011) 8) 4x + + 2x + = 6x + 8x + 10x + − 16 9) + x + − x − (3 + x)(6 − x) = 10) + x + − x + (1 + x)(8 − x) = 14 ; 7) x = Gợi ý: 2) x = 3; 3) x = 2; 4) x = 0, x = 3; 5) x = -1, x = 3; 6) x = 0, x = 2, x = − − 3 Bài 10 Giải phương trình( Đặt ẩn phụ dạng – Đẳng cấp) 1) 2(x + 2) = x3 + 4) (x + 2)3 +x3 − 3x − 6x = 2) 2x − 3x+2=x 3x-2 5) x + x − = x − x2 + 6) 2(x2-3x+2) = x + 3) 2x +5x-1=7 x3 -1 ± 37 ; 2) x = 1, x = 2; 3) x=4 ± ; 4) x=2, x=2-2 ; 5) x= ± Bài 11 Giải phương trình( Đặt ẩn phụ dạng 4-Đưa hệ pt ẩn mới(hoặc nhân liên hợp)) 1) − x = − x − 5) x + = x − + 2x-3 2) x − 3x+3 + x − 3x+6 = 6) 3x − + − 5x − = Gợi ý: 1) x = 3) x − + x + = 7) x + − x = 4) 18 − x + x − = Gợi ý: 1) x=1, x=2,x=10 ; 2) x = 1, x = 2; 3) x = 3; 4) x = 2, x = 17; 5) x = 2; 6) x = -2; 7) x = Bài 12 Giải phương trình(Đặt ẩn phụ dạng – Đưa hệ đối xứng loại 2) 1) x + x + = 5) x+5 = x2 − 4x-3 6) x = − x + 2) x − 2002 2002x-2001 + 2001 = 7) 3x+1 = −4x2 +13x-5 8) x − = x + 9) 2x + 15 = 32x + 32x − 20 2x − , 4) 3) x3 + = 2x-1 4) 2x-1 + x2 − 3x+1=0 Hd: 1) y = - x + , 2) y = 2002x-2001 , 3) y = 2x − = −(x − 1) + x ⇒ 2x − = −(y − 1) y = 7) 2x − , 5) y – = 3x+1 = −(2x-3)2 + x + ⇒ −2y + = 3x + 8) y = 9) 2x + 15 = 2(4x + 2) − 28 ⇒ 4y + = 2x + 15 Bài 13 Giải phương trình sau(lượng giác) : ( 1) + − x = x + − x ) Đs: x = 4π 4π ;x = Bài 14 Giải phương trình(Đặt ẩn phụ dạng – ẩn) 1) 7x + + − x2 + x + + x − 8x-1 = Đs: -1,0,1,9 2) x3 − 3x= x+2 HD: x = 2cost, Đs: x = 20 x +1 ; x + , 6) y = 2−x , ( Công thức (a+b+c)3 – (a3 + b3 + c3) = 3(a+b)(b+c)(c+a) Bài 15 Giải phương trình(Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn) 1) 6x − 10x+5-(4x-1) 6x − 10x+5 = 5) x + 3x+1=(x+3) x +1 2) (x+3) 10-x = x2 − x-12 6) 2(1-x) x +x+1 = x2 − 3x+1 3) 2(1-x) x + 2x-1 = x − 2x-1 7) (4x-1) x3 +1 = 2x +2x+1 4) (4x-1) x +1 = 2x + 2x+1 8) x − 3x+2=x 3x-2 -3+ 59 1 −1 ± 13 ; 2) x = -3; 3) x=-1 ± ; 4) x= ; 5) x= ± 2 ; 6) x= − 13,x = 10 6 - 7) x = 2, x= ; 8) 1,2 Bài 16 Giải pt(pp hàm số) 7) x+ + x- + x -16 -10 = ( x = 5) 1) x+1 + x+ x+ = ( x=1) đặt ẩn phụ 2) x + x- = - x (x = ) 8) x -1 + x-1 + x = (1) (x=1) 3) x+1 = 1- x+ x - x (x = 0) Gợi ý: 1) x= 9) x + x + x+16 - - x = (x=1) 10) x + x - 1- x + = ( ĐH Ngoại thương 2000) (x= -1) 4) x+1 + x+ + x- = ( x = 3) 5) x- - - x + x -12 = (x=2)có thể l.hợp 6) 3x- - - x + x -8 = (x = 1) Bài 17 Giải pt(pp hàm số: 1) x-1 - x + x-1 = ĐS: x = x+ + x+1 = x +1 + x Đs: ⇔ x = 1, x = − 2) 3) 3x + x + + (4 x+ 2) 4) ( x +1) x+ ( x- 3) ( ) ( ) 1+ x+ x +1 = Đs: x = − 5) - x = ( x = −1 + 21 ) 3 x - x- 3x- + = (x=1, x=2) 6) x - x + x - 3x+1 = 3x+1+ x + 7) 1± 2 x+ - x +1 = x - x+1 Đs: x=1 x= − 2) x +x-1 + -x2 +x+1 = x − x+2 3) x -2x+5 + x-1 = 4) − 2x + + 2x = Bài 18 Giải phương trình( Đánh giá) 1) x-2 + 4-x = x − 6x+11 5) Đs: x= − ; 8) x 3` − x − x + 40 − 4 x + = + x + 64 − x3 = x − x + 28 1  10) − x + − = −  x + ÷ x x  9) − 2x + 2x + + 2x − 2x x + 1− x + x − 1− x = + = x (x = ) 16 x + x + = x +1 11) 2x + 6) x + = 4 + x + x − 7) 16 x + = x3 + x Gợi ý: 1) x = 3; 2) x = 1; 3) x = Bài 19 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 21 12) 13) 4x − + 4x − = 1) x + x + − x − x + = m Đs: (-1