Học tốt Toán 12 phần 1

chơng I ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Kiến thức cần nhớ 1.1 Tập xác định Khi hàm số đợc cho biểu thức, tập xác định hàm số tập giá trị đối số làm cho biểu thức hàm số có nghĩa Tức tập giá trị đối số cho phép toán có mặt biểu thức hàm số thực đợc Ta đợc học phép cộng (+); phép trừ (-); phép nhân (x); phép chia (:); phép luỹ thừa ( xn ); phép khai ( n x ); phép mũ (ax); phép lôgarit (loga x) Trong số phép chia (:), phép khai bậc chẵn ( 2k x ) phép lấy lôgarit số phải có điều kiện f ( x) f ( x) điều kiện f ( x) ; với biểu thức có điều kiện thực đợc Cụ thể: với biểu thức có dạng f ( x) ; với biểu thức có dạng dạng loga f(x) điều kiện f(x) > Từ đó, ta thờng gặp toán tìm tập xác định hàm số có dạng: y = ; y= f ( x) f ( x) y = loga f(x) Tuy nhiên, tập cho theo dạng đơn tổng hợp dạng nói 1.2 Tập giá trị Cho hàm số y = f(x) (nhìn chung hàm số sơ cấp), ta biết đợc tập xác định hàm số mà m y M , m M hai số thực, ta nói hàm số cho nhận giá trị đoạn [m; M] Lu ý hàm số sơ cấp liên tục tập xác định Chẳng hạn, hàm số y = cosx, nhận giá trị đoạn [-1; 1] Trong số trờng hợp, với yêu cầu tìm tập giá trị hàm số, ta tiến hành theo bớc sau: Tìm tập xác định hàm số.; Đánh giá m y M ; Kết luận 1.3 Tính đơn điệu hàm số Để xét tính đơn điệu hàm số ta dựa vào định lí: Cho hàm số y = f(x) xác định có đạo hàm khoảng (a; b) Nếu f(x) > với x thuộc khoảng (a; b) hàm số đồng biến khoảng Nếu f(x) < với x thuộc khoảng (a; b) hàm số nghịch biến khoảng Chú ý: Hàm số f(x) mà f (x) liên tục khoảng xác định nó, có f(x) giữ nguyên dấu khoảng ( x1 ; x2 ), x1 x2 điểm liền kề làm cho đạo hàm triệt tiêu không xác định 1.4 Cực trị hàm số a) Cho hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a; b) điểm x0 (a; b) số > Khoảng ( x0 ; x0 + ) đợc gọi - lân cận điểm x0 Ta nói hàm số đạt cực đại điểm x0 , ta có f(x) < f( x0 ) với x thuộc - lân cận (chứa khoảng (a; b) ) điểm x0 , x x0 Điểm x0 đợc gọi điểm cực đại hàm số y = f(x), giá trị f( x0 ) đợc gọi giá trị cực đại hàm số kí hiệu f CĐ = f( x0 ), điểm M( x0 ; f( x0 )) gọi điểm cực đại đồ thị hàm số Ta nói hàm số đạt cực tiểu điểm x0 , ta có f(x) > f( x0 ) với x thuộc - lân cận (chứa trongkhoảng (a; b) ) điểm x0 , x x0 Điểm x0 đợc gọi điểm cực tiểu hàm số y = f(x), giá trị f( x0 ) đợc gọi giá trị cực tiểu hàm số kí hiệu f CT = f ( x0 ) , điểm M( x0 ; f( x0 )) gọi điểm cực tiểu đồ thị hàm số Các điểm cực đại cực tiểu đợc gọi chung điểm cực trị Giá trị hàm số điểm cực trị đợc gọi cực trị hàm số b) Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý Fecma: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 đạt cực trị điểm f ( x0 ) = Chú ý: điểm x0 mà f ( x0 ) = đợc gọi điểm tới hạn (hay điểm dừng) Theo Định lí trên, điểm cực trị hàm số y = f(x) điểm tới hạn hàm số ý nghĩa hình học Định lý Fecma: Nếu f(x) có đạo hàm x0 đạt cực trị tiếp tuyến đồ thị điểm M ( x0 ; f( x0 )) song song với trục hoành c) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý: Cho hàm số y = f(x) xác định có đạo hàm khoảng (a;b) đồng thời f ( x0 ) = với x0 (a;b) - Nếu f(x) > khoảng ( x0 - ; x0 ) f (x) < khoảng ( x0 ; x0 + ) x0 điểm cực đại hàm số f(x) - Nếu f(x) < khoảng ( x0 - ; x0 ) f(x) > khoảng ( x0 ; x0 + ) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x) Nói tóm lại: Nếu x qua giá trị x0 mà đạo hàm đổi dấu điểm x0 điểm cực trị Bảng biến thiên dới minh hoạ cho nội dung định lí x f(x) f(x) x0 - + x x0 + x0 - f(x) CĐ x0 - - f(x) CT d) Qui tắc tìm điểm cực trị hàm số ( Quy tắc I) - Tìm tập xác định tính đạo hàm f(x) x0 + x0 + - Tìm điểm tới hạn (là điểm làm cho f(x) = không xác định) - Xét dấu đạo hàm - Từ suy điểm cực trị e) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định tập D A số thực cho trớc - Nếu f(x) A với x thuộc D tồn x thuộc D cho f(x0) = A A đợc gọi giá trị lớn hàm số tập D - Nếu f(x) A với x thuộc D tồn x thuộc D cho f(x0) = A A đợc gọi giá trị nhỏ hàm số tập D - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số dựa vào công cụ đạo hàm Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn [a; b] dựa vào công cụ đạo hàm ta tiến hành theo bớc nh sau: Tìm tập xác định; Tìm điểm cực trị hàm số; So sánh giá trị cực trị hàm số với giá trị hàm số hai biên (giá trị hàm số a b) 1.5 Đờng tiệm cận đồ thị hàm số - Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) M(x; y) thuộc đồ thị Ta nói (C) có nhánh vô cực hai toạ độ x y điểm M(x; y) dần tới Khi ta nói điểm M(x; y) dần tới vô cực a) Tiệm cận đứng [ f ( x)] = - Đờng thẳng x = a tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x) xlim a + [ f ( x)] = xlim [ f ( x)] = xlim [ f ( x)] = xlim a a a Lu ý: + - Đờng thẳng x = a tiệm cận đứng hàm phân thức hữu tỉ y = f ( x) x = a g ( x) nghiệm (bội k) g(x) = không nghiệm nghiệm bội nhỏ k f(x) = f ( x) không suy biến f(x) không chia hết cho g ( x) f ( x) g(x) Hàm phân thức hữu tỉ y = có tiệm cận đứng không suy biến g ( x) - Hàm phân thức hữu tỉ y = g(x) = có nghiệm - Cách tìm tiệm cận đứng hàm phân thức hữu tỉ Bc : Kim tra hm s khụng suy bin.(Tức f(x) khụng chia hết cho g(x)) Bc : Giải phơng trình g(x) = (giả sử có nghiệm x = a) Bc : Kim tra x = a nghiệm bội k phơng trình g(x) = nghiệm bội nhỏ k phơng trình f(x) = Bc : Kt lun Đờng thẳng x = a tiệm cận đứng đồ thị hàm phân thức hữu tỉ y = f ( x) g ( x) b) Tiệm cận ngang [ f ( x) ] = b - Đờng thẳng y = b tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f(x) xlim + [ f ( x) ] = b xlim - Hàm phân thức hữu tỉ y = f ( x) có tiệm cận ngang hàm số không suy biến g ( x) bậc g(x) lớn bậc f(x) - Cách tìm tiệm cận ngang hàm phân thức hữu tỉ Bc : Kim tra hm s khụng suy bin.(Tức f(x) khụng chia hết cho g(x)) Bc : Kim tra bậc f(x) nhỏ bậc g(x) Bc : Kt lun * Nếu bậc f(x) nhỏ bậc g(x) tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= f ( x) có phơng trình y = g ( x) * Nếu bậc f(x) bậc g(x) tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= f ( x) p có phơng trình y = , p, q tơng ứng hệ số ẩn x có bậc g ( x) q cao f(x) g(x) c) Tiệm cận xiên - Đờng thẳng y = ax + b ( a ) tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) [ f ( x) (ax + b)] = xlim [ f ( x) (ax + b)] = xlim + - Hàm phân thức hữu tỉ y = f ( x) có tiệm cận xiên hàm số không suy biến g ( x) bậc f(x) bậc g(x) cộng thêm ( hay bậc f(x) lớn bậc g(x) đơn vị) - Cách tìm tiệm cận xiên f ( x) a = lim x x * Cách 1: Từ định nghĩa có b = lim [ f ( x) ax ] x * Cách 2: Trong trng hp hàm phân thức hữu tỉ m hm s khụng suy bin v bc ca t s ln hn bc ca mu s n v, ú bng cỏch chia t s biểu thức hàm số cho mu s ta c ú bc ca h(x) nh hn bc ca g(x) Khi ú , suy Do ú, theo nh ngha, y = ax + b l tim cn xiờn ca hm s ó cho 1.6 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm đa thức Căn vào kiến thức đợc học sách giáo khoa, bạn tiến hành khảo sát vẽ đồ thị hàm số đa thức (bậc bậc có dạng trùng phơng) theo bớc sau: - Bớc 1: Tìm tập xác định hàm số - Bớc 2: Xét chiều biến thiên Tính y (x) = Tìm giá trị x cho y(x) = Xét dấu y(x) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số Tìm cực trị đồ thị hàm số Xác định nhánh vô cực - Bớc 3: Lập bảng biến thiên - Bớc 4: Vẽ đồ thị b) Khảo sát vẽ đồ thị hàm phân thức Căn vào kiến thức đợc học sách giáo khoa, bạn tiến hành khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = ax + b ax + bx + c (am 0) hàm số y = (am 0) mx + n mx + n theo bớc sau: - Bớc 1: Tìm tập xác định - Bớc 2: Xét chiều biến thiên Tính y (x) = Tìm giá trị x cho y(x) = Xét dấu y(x) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến hàm số Tìm cực trị đồ thị hàm số Xác định nhánh vô cực Tìm tiệm cận - Bớc 3: Lập bảng biến thiên - Bớc 4: Vẽ đồ thị 2.Câu hỏi tập vận dụng 2.1 Tính đơn điệu hàm số Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau a) y = 2x -5 b) y = -3x + c) y = ax + b Hớng dẫn a) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = > với giá trị x, nên hàm số cho đồng biến b) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = - < với giá trị x, nên hàm số cho nghịch biến c) Tập xác định hàm số cho R Khi đó, y(x) = a Nếu a > y(x) = a > với giá trị x, nên hàm số cho đồng biến Nếu a < y(x) = a < với giá trị x, nên hàm số cho nghịch biến Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau a) y = x2 b) y = x2 - 6x c) y = x2 - 4x + d) y = - x2 - 4x + e) y = ax2 + bx + c, với a Hớng dẫn a) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 2x Do y(x) > x > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (0; +) ; nghịch biến khoảng (;0) b) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 2x - Do y(x) > x > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (3; +) ; nghịch biến khoảng (;3) c) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 2x - Do y(x) > x > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (2; +) ; nghịch biến khoảng (; 2) d) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = - 2x - Do y(x) > x < - Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (; 2) ; nghịch biến khoảng (2; +) e) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 2ax + b b Khi hàm số cho đồng biến 2a b b khoảng ( ; +) ; nghịch biến khoảng (; ) 2a 2a b Nếu a < y(x) > x < Khi hàm số cho đồng biến 2a b b khoảng (; ) ; nghịch biến khoảng ( ; +) 2a 2a Nếu a > y(x) > x > Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau a) y = x3 b) y = x3 - 12x c) y = x3 - d) y = x3 - 3x2 + e) y = x3 - 3x + f) y = - x3 + 6x2 - g) y = ax3 + bx2 + cx + d, với a Hớng dẫn a) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 3x với giá trị x y(x) = x = Do y(x) > x Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (0; +) (;0) b) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 3x - 12, x>2 y(x) > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (2; +) x < (; 2) ; nghịch biến khoảng (2; 2) c) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 3x với giá trị x y(x) = x= Do y(x) > x Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (0; +) (;0) d) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 3x - 6x, x > y(x) > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (2; +) x < (;0) ; nghịch biến khoảng (0; 2) e) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 3x - 3, x >1 y(x) > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (1; +) x < (; 1) ; nghịch biến khoảng (1;1) f) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = -3x + 12, y(x) > < x < Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (2; 2) ; nghịch biến khoảng (; 2) (2; +) g) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 3ax + 2bx + c Ta có y ' = b 3ac - Nếu a > y ' < y(x) > với giá trị x Do hàm số cho đồng biến - Nếu a < y ' < y(x) < với giá trị x Do hàm số cho nghịch biến - Nếu a > y ' = y(x) > với giá trị x cho đồng biến khoảng (; b Do hàm số 3a b b ) ( ; +) 3a 3a - Nếu a < y ' = y(x) < với giá trị x cho nghịch biến khoảng (; b Do hàm số 3a b b ) ( ; +) 3a 3a - Nếu a > y ' > y(x) = có hai nghiệm phân biệt, giả sử x < x2 x > x y(x) > Do hàm số cho đồng biến khoảng x < x (; x1 ) ( x2 ; +) ; nghịch biến khoảng ( x1 ; x2 ) - Nếu a < y ' > y(x) = có hai nghiệm phân biệt, giả sử x < x2 y(x) > x1 < x < x2 Do hàm số cho nghịch biến khoảng (; x1 ) ( x2 ; +) ; đồng biến khoảng ( x1 ; x2 ) Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau a) y = x4 b) y = x4 - 4x3 c) y = x4 - 4x d) y = x4 - 8x2 e) y = ax4 + bx2 + c, với a Hớng dẫn a) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 4x 3, y(x) > x > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (0; +) ; nghịch biến khoảng (;0) b) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 4x 12x2, y(x) > x > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (3; +) nghịch biến khoảng (;3) c) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 4x - Do y(x) > x > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (1; +) ; nghịch biến khoảng (;1) d) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 4x3 - 16x, x>3 y(x) > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng < x < (3; +) (2;0) ; nghịch biến khoảng (; 2) (0; 2) e) Tập xác định hàm số cho R Mặt khác, y(x) = 4ax3 + 3bx2 + 2cx = x(4ax2 + 3bx + 2c) Phơng trình 4ax2 + 3bx + 2c = có = 9b 32ac - Nếu a > < y(x) > x > Do hàm số cho đồng biến khoảng (0; +) ; nghịch biến khoảng (;0) - Nếu a < < y(x) > x < Do hàm số cho đồng biến khoảng (;0) ; nghịch biến khoảng (0; +) - Nếu a > = (4ax2 + 3bx + 2c) > với giá trị x 3b Do 8a 3b Nếu a.b > hàm số cho đồng biến 8a 3b 3b khoảng (0; +) ; nghịch biến khoảng (; ) ( ;0) Còn 8a 8a a.b < hàm số cho nghịch biến khoảng (0; +) ; đồng biến 3b 3b khoảng (; ) ( ;0) 8a 8a 3b - Nếu a < = (4ax2 + 3bx + 2c) < với giá trị x Do 8a 3b y(x) > x < x Nếu a.b > hàm số cho nghịch biến 8a 3b 3b khoảng (0; +) ; đồng biến khoảng (; ) ( ;0) Còn 8a 8a a.b < hàm số cho đồng biến khoảng (0; +) ; nghịch biến 3b 3b khoảng (; ) ( ;0) 8a 8a y(x) > x > x - Nếu a > y ' > y(x) = có hai nghiệm phân biệt, giả sử x1 < x2 x>x Nếu < x1 < x2 y(x) > Do hàm số cho đồng < x < x1 biến khoảng (;0) ( x2 ; +) ; nghịch biến khoảng (0; x1 ) Nếu x1 < < x2 x1 < x2 < đợc xét tơng tự - Nếu a < y ' > y(x) = có hai nghiệm phân biệt, giả sử x1 < x2 x>x Nếu < x1 < x2 y(x) < Do hàm số cho nghịch < x < x1 biến khoảng (;0) ( x2 ; +) ; đồng biến khoảng (0; x1 ) Nếu x1 < < x2 x1 < x2 < đợc xét tơng tự Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau x x b) y = x +1 x+2 c) y = x ax + b d) y = , am mx + n a) y = Hớng dẫn > ( x + 1) Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (1; +) (; 1) b) Tập xác định hàm số cho R\{1} Mặt khác, y(x) = < ( x 1) Vậy hàm số cho nghịch biến khoảng (1; +) (;1) n c) Tập xác định hàm số cho R\{ } m an bm Mặt khác, y(x) = (mx + n) n - Nếu an - bm > hàm số cho đồng biến khoảng ( ; +) ; m n (; ) m n - Nếu an - bm < hàm số cho nghịch biến khoảng ( ; +) ; m n (; ) m a) Tập xác định hàm số cho R\{-1} Mặt khác, y(x) = Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau a) y = x 3x + 11 x b) y = x 3x x c) y = x + x 12 x d) y = x + x + x e) y = ax + bx + c , am mx + n Hớng dẫn a) Tập xác định hàm số cho R\{1} Mặt khác, y(x) = x2 x ( x 1) x>4 Do y(x) > Vậy hàm số cho đồng biến khoảng x < (4; +) (; 2) ; nghịch biến khoảng (2; 4) x2 x + > ( x 1) Do đó, hàm số cho đồng biến khoảng (1; +) (;1) b) Tập xác định hàm số cho R\{1} Mặt khác, y(x) = c) Tập xác định hàm số cho R\{1} Mặt khác, y(x) = x2 + x + ( x 1) x>4 Do y(x) > x < Vậy hàm số cho nghịch biến khoảng (4; +) (; 2) ; đồng biến khoảng (2; 4) d) Tập xác định hàm số cho R\{1} x + x 10 Mặt khác,y(x) = < Do đó, hàm số cho nghịch biến ( x 1) khoảng (1; +) (;1) n e) Tập xác định hàm số cho R\{ } m amx + 2anx + (bn mc ) Ta có: y(x) = (mx + n) 2 Mặt khác y(x) = a x + bm an + cm bmn + an suy m m mx + n 2 a m(cm bmn + an ) y(x) = Từ y(x) = m (mx + n) a m(cm bmn + an ) a m(cm bmn + an ) = = m (mx + n) m ( mx + n) (mx + n) = m (cm bmn + an ) a 10 Nếu y(x) = có hai nghiệm phân biệt a.m > đồ thị có dạng -5 10 -2 -4 -6 Nếu y(x) = có hai nghiệm phân biệt a.m < đồ thị có dạng -5 10 -2 -4 2.8 Một số toán thờng gặp đồ thị 2.8.1 Giao điểm hai đồ thị Bài a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x3 3x2 + b) Biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình x3 3x2 + m = Hớng dẫn a) Việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số coi nh tập với bạn -6 59 b) Ta biến đổi phơng trình cho x3 3x2 + = - m (1) Khi y = x3 3x2 + có đồ thị nh hình dới đây: y = x3 3x2 + y=2-m -5 10 -2 -4 Còn y = 2- m đờng thẳng song song với trục Ox Từ đó, số nghiệm phơng trình (1) tơng đơng với số giao điểm hai đồ thị y = x3 3x2 + y = 2- m Từ đó, ta có kết biện luận là: - Nếu m > m < -2 tức m < m > phơng trình (1) có nghiệm (đơn) - Nếu m = m = - tức m = m = phơng trình (1) có nghiệm (trong có nghiệm đơn nghiệm kép) - Nếu - < m < tức < m < phơng trình (1) có nghiệm phân biệt -6 Bài a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x 3x b) Biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình x = x 12 + m Hớng dẫn a) Việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số coi nh tập với bạn b) Ta biến đổi phơng trình cho x 3x = x 12 + m (1) x 3x có đồ thị nh hình bên, y = x 12 + m đờng Khi đó, y = thẳng song song với đờng thẳng y = 6x Từ đó, số nghiệm phơng trình (1) số giao điểm đồ thị vẽ đờng thẳng y = x 12 + m Dựa vào đồ thị, ta có kết biện luận là: Khi m < 0: (1) có nghiệm Khi m = 0: (1) có hai nghiệm (một đơn, kép) 60 Khi < m < 24 : (1) có ba nghiệm Khi m = 24 : (1) có hai nghiệm ( đơn , kép) Khi m > 24 : (1) có nghiệm Chú ý - Điểm M ( x0 ; y ) giao điểm đồ thị (C) hàm số y = f(x) với đồ thị ( C1 ) hàm số y = g(x) ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ phơng trình y = f ( x) Do để tìm hoành độ giao điểm hai đồ thị (C) ( C1 ) ta giải y = g ( x) phơng trình f(x) = g(x) - Để biện luận phơng trình đồ thị bạn cần biến đổi phơng trình cho dạng f(x) = m f(x) = g(m) y = f(x) có đồ thị mà bạn biết (hoặc khảo sát nhanh để có đợc đồ thị nó) Khi đó, số nghiệm phơng trình số giao điểm hai đồ thị đồ thị hàm số y = f(x) đồ thị y = m y = g(m) 2.8.2 Phơng trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bài 1.Viết phơng trình tip tuyn vi th hm s ti im nm trờn th v cú honh x = 2, ta làm nh sau: Hớng dẫn Ta cú x0 = 2, ú y0 = y(2) = Mt khỏc y(x) = , nờn y(2) = - T ú, cú phng trỡnh tip tuyn l : y = - (x - 2) Bài Viết phơng trình tip tuyn vi th hm s v song song vi ng thng d cú phng trỡnh y = 9x + 11, ta làm nh sau: Bài làm Ta cú = y(x0) T ú tỡm c cỏc tip im l (-1 ; - 4) v (3 ; 0) Suy phng trỡnh tip tuyn l : y + 4= (x +1) y - = 9(x - 3) Bài Viết phơng trình tip tuyn vi th hm s ti im thuc th v cú tung y = - 2, ta làm nh sau: Bài làm Phng trỡnh Khi ta tớnh c y(1) = - cũn y(- 2) = Suy phng trỡnh tip tuyn l : y + = y + = - 3(x - 1) Chú ý 61 Ta bit rng tip tuyn ti im M(x ; y0) thuc th hàm số y = f(x) cú phng trỡnh l y y0 = y(x0)(x-x0)(*) T ú xỏc nh phng trỡnh tip tuyn ti im thuc th ta cn bit yu t l x0, y0, v y(x0) Trong bi thng ngi ta cho trc mt ba yu t ú Từ ta thờng gặp dạng toán phơng trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số nh sau : Bi toỏn thuc dng cho trc x0, ú bn cn xỏc nh y0 v y(x0) L trỡnh viết phng trỡnh tip tuyn dng ny l : hoc Bi toỏn thuc loi cho bit k = y(x0), bn cn bit x0 bng cỏch gii phng trỡnh k = y(x0), sau ú tỡm y0 L trỡnh viết phng trỡnh tip tuyn dng ny l: Bi toỏn l dng toỏn cho bit y 0, trớc hết bn cn bit x0 bng cỏch gii phng trỡnh y0 = y(x0), sau ú tớnh y(x0) L trỡnh viết phng trỡnh tip tuyn dng ny l: số tập ôn tập chơng I Bài Cho họ đờng cong có phơng trình y = x3 (m 1)x + 4m 9, m tham số a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm giá trị m để hàm số cho đồng biến c) Tìm mặt phẳng toạ độ điểm mà họ đờng cong qua Hớng dẫn a) Bạn đọc tự làm b) Yêu cầu toán 3x2 - 2(m -1) > với x 02 4.3.[-2(m - 1)] < m < c) Gọi điểm M(x; y) điểm mà họ đờng cong qua, toạ độ điểm M thoả mãn phơng trình họ đờng cong, với giá trị m Tức y = x2 (m 1)x + 4m với m 2m( - x) + (x2 + 2x - y) = với m x = x = x + x y = y = Vậy, điểm mà họ đờng cong qua M(2 ; 5) Chú ý Với toán: Cho họ đờng cong y = f(x, m) với m tham số Tìm mặt phẳng toạ độ điểm mà đồ thị qua (hay gọi điểm cố định) ta thờng làm nh sau: Bớc 1: Gọi điểm M(x; y) điểm mà họ đờng cong qua, toạ độ điểm M thoả mãn phơng trình họ đờng cong, với giá trị m Tức y = f(x, m) với m Bớc : Biến đổi phơng trình y = f(x, m) phơng trình với biến số m Thông thờng tập cho m có số mũ (hoặc 2), tức ta thờng có phơng trình 62 với m dạng : am + b = (hoặc am2 + bm + c = 0) Khi đó, yêu cầu toán tơng đơng với : am + b = với m (hoặc am2 + bm + c = với m ) a = a = Bớc : Giải hệ phơng trình (hoặc b = ) b = c = Bớc 4: Kết luận a = a = Nếu hệ phơng trình (hoặc b = ) có nghiệm (x; y) M(x; y) điểm b = c = cần tìm a = a = Nếu hệ phơng trình (hoặc b = ) vô nghiệm (x; y) điểm b = c = M thoả mãn toán Nếu câu hỏi là: Tìm đờng thẳng d, d đờng thẳng có phơng trình dạng x = a y = b y = ax + b, điểm mà đồ thị qua (hay gọi điểm cố định) ta thờng gọi điểm M(x; y) điểm thuộc đờng thẳng d mà họ đờng cong qua, điểm M có toạ độ M(u; v) toạ độ điểm M phải thoả mãn phơng trình họ đờng cong, với giá trị m Tức v = f(u, m) với m Sau tiếp tục tiến hành tơng tự nh ta có đáp số Bài Cho họ đờng cong có phơng trình y = x2 (m 1)x + 4m 3, m tham số Tìm mặt phẳng toạ độ điểm mà họ đờng cong không qua Hớng dẫn Gọi điểm M(x; y) điểm mà họ đờng cong cho không qua, toạ độ điểm M không thoả mãn phơng trình họ đờng cong, với giá trị m Điều tơng đơng với: Toạ độ điểm M làm cho phơng trình y = x2 (m 1)x + 4m vô nghiệm với giá trị m Tức y = x2 (m 1)x + 4m 3, vô nghiệm , với m 2m( - x) + (x2 + 2x - y) = 0, vô nghiệm , với m x = x = x + x y y Vậy, điểm cần tìm nằm đờng thẳng có phơng trình x = bỏ điểm M(2 ; 5) Chú ý Với toán: Cho họ đờng cong y = f(x, m) với m tham số Tìm mặt phẳng toạ độ điểm mà đồ thị không qua ta thờng làm nh sau: Bớc 1: Gọi điểm M(x; y) điểm mà họ đờng cong không qua, toạ độ điểm M không thoả mãn phơng trình họ đờng cong, với giá trị m Điều tơng đơng với: Toạ độ điểm M làm cho phơng trình y = f(x, m) vô nghiệm với giá trị m Bớc : Biến đổi phơng trình y = f(x, m) phơng trình với biến số m Thông thờng tập cho m có số mũ (hoặc 2), tức ta thờng có phơng trình với m dạng : am + b = (hoặc am2 + bm + c = 0) 63 Khi đó, yêu cầu toán tơng đơng với : am + b = vô nghiệm, với m (hoặc am2 + bm + c = 0, vô nghiệm, với m ) a = a = Bớc : Giải hệ (hoặc b = ) b c Bớc 4: Kết luận a = x = (hoặc b = cho kết ) y c = điểm cần tìm thuộc đờng thẳng x = bỏ điểm M( ; ) a = a = Nếu hệ phơng trình (hoặc b = ) vô nghiệm điểm M b = c = a = x = Nếu hệ cho kết b y thoả mãn toán Với câu hỏi: Tìm đờng thẳng d, d đờng thẳng có phơng trình dạng x = a y = b y = ax + b, điểm mà đồ thị không qua ta thờng gọi M(x; y) điểm thuộc đờng thẳng d mà họ đờng cong không qua, điểm M có toạ độ M(u; v) toạ độ điểm M không thoả mãn phơng trình họ đờng cong, với giá trị m Tức v = f(u, m) vô nghiệm với m Sau tiếp tục tiến hành tơng tự nh ta có đáp số Bài Cho họ đờng cong có phơng trình: y = x + 3mx + ( m 1) x + m3 3m , m tham số a) Khi m = 1, khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tìm giá trị m để họ đờng cong cho nhận điểm I(2; -3) tâm đối xứng c) Với giá trị m phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x + 3mx + ( m 1) x + m3 3m = Hớng dẫn a) Bạn đọc tự làm b) Bạn đọc tự tiến hành tơng tự theo cách dẫn phần c) Gọi y = x + 3mx + 3( m 1) x + m 3m Khi yêu cầu toán tơng đơng với y = có nghiệm phân biệt Đồ thị hàm số cho cắt trục Ox điểm phân biệt Yêu cầu xảy đồ thị hàm số cho có cực trị (tức có đại cực tiểu) đồng thời giá trị cực trị trái dấu (hay yCĐ.yCT < 0) Nh thế, yêu cầu toán tơng đơng với y '( x ) = có hai nghiệm phân biệt x1 x2 y ( x1 ) y ( x2 ) < Ta có: y(x) = có hai nghiệm phân biệt x + 6mx + ( m 1) = có hai nghiệm phân biệt Dễ thấy điều xảy với giá trị m, ' = m (m 1) = 1, m 64 -2 Tức y(x) = có hai nghiệm x1 = - m x2 = - m + ( ý x1 + x2 = m x1.x2 = m x1< x2) Theo định lí Viet ta có: Lấy y(x) chia cho y(x) ta có: y ( x) = x + Sử dụng điều tính đợc: m ữ y '( x) ( x + m ) y ( x1 ) y ( x1 ) = 4[ x1.x2 + m ( x1 + x2 ) + m ] = 4[(m 1) + m ( m ) + m ] = 4(m 1) Nên y ( x1 ) y( x2 ) < m < < m < Vậy giá trị cần tìm -1 < m < Chú ý * Phơng trình bậc ba ax3 + bx2 +cx + d = (a 0) có nghiệm phân biệt Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục Ox điểm phân biệt Đồ thị hàm số có cực trị đồng thời giá trị cực trị trái dấu (hay yCĐ.yCT < 0) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 y '( x ) = y ( x1 ) y ( x2 ) < có hai nghiệm phân biệt x1 x2 3ax + 2bx + c = y ( x1 ) y ( x2 ) < *) Phơng trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = (a 0) có nghiệm dơng phân biệt Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ dơng (nh hình bên) đồ thị hàm số có cực trị đồng thời giá trị cực trị trái dấu (hay yCĐ.yCT < 0) điểm cực trị có hoành độ dơng có hai nghiệm dơng phân biệt x1 x2 y '( x ) = y ( x1 ) y ( x2 ) < ad < 3ax + 2bx + c = 0có hai nghiệm dơng phân biệt x1 x2 y ( x1 ) y ( x2 ) < ad < Bài Cho hàm số y = x x + 11 x -2 -4 a) Khảo sãt vẽ đò thị hàm số b) Tìm đồ thị hàm số điểm đối xứng qua đờng thẳng d có phơng trình y = x - 11 Hớng dẫn a) Bạn đọc tự làm b) Tập xác định hàm số cho R\ { 1} Gọi d đờng thẳng vuông góc với d, d có phơng trình dạng: y = - x + m 65 Để d cắt đồ thị cho hai điểm A, B phân biệt (nh hình bên) khi: x 3x + 11 = x + m có hai nghiệm phân biệt x x (4 + m) x + (11 + m) = 0(*) có hai x y O -10 w( x) = -x-18 x u( x) = x-11 -5 nghiệm phân biệt d m>6 2.1 (4 + m).1 + (11 + m) m 72 > m < (**) Với điều kiện (**), gọi x1, x2 hai nghiệm 10 A t( x) = ( x2-3x) +11 4+m phơng trình (*) thì: x1 + x2 = -10 I -15 x-1 B -20 Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB, x +x 4+m xI = xI = yI = xI + m yI = xI + m d' -25 Từ A, B đối xứng qua đờng thẳng d điểm I thuộc đờng thẳng d, tức phải có: 4+m 4+m 4+m xI = xI = xI = + m m + 11 = m = 18 m + 11 y = x + m x 11 = x + m x = I I I I I yI = xI 11 yI = xI 11 y = x I I 11 Với m = - (thoả mãn điều kiện (**)) phơng trình (*) 2x2 + 14x -7 = 0, có 63 x1 = hai nghiệm là: x = + 63 2 63 x1 = Vậy, điểm cần tìm có hoành độ là: x = + 63 2 Chú ý Hai điểm A B đối xứng qua đờng thẳng d đờng thẳng AB vuông góc d đồng thời đờng thẳng AB cắt d I I phải trung điểm đoạn thẳng AB Bài Cho hàm số y = x x + 11 x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 66 b) Với giá trị tham số m đờng thẳng d có phơng trình y = (m - 1) x + 2m + cắt đồ thị vẽ câu a) hai điểm thuộc hai nhánh khác c) Tìm hàm số mà đồ thị đối xứng đồ thị hàm số cho qua đ ờng thẳng d có phơng trình y = - Hớng dẫn Bạn đọc tự làm a) Đờng thẳng d có phơng trình y = (m - 1) x + 2m + cắt đồ thị vẽ câu b) a) hai điểm thuộc hai nhánh khác phơng trình x 3x + 11 = ( m 1) x + 2m + có hai nghiệm thoả mãn x < < x2 x (m 2) x + 2(m + 3) x (2m + 14) = có hai nghiệm thoả mãn x1 < < x2 (m 2) [ (m 2) + 2(m + 3) (2m + 14) ] < ( m 2)( m 10) < < m < 10 c) Tập xác định hàm số cho R\ { 1} Khi y = x 3x + 11 = x + x x 15 (1) t( x) = Lấy điểm M(x ; y) thuộc đồ thị (1), ta có : y = x2+ x-1 10 ; x x y Gọi M(X; Y) đối xứng điểm M qua đờng thẳng y = - (nh hình bên), rõ ràng với điểm m cho ta điểm M điểm M chạy đồ thị cho điểm M vẽ nên đồ thị cần tìm Gọi I giao điểm đờng thẳng MM với đờng thẳng d I trung điểm đoạn thẳng MM Ta tìm đợc I(x; -2), theo công thức toạ độ trung điểm ta có : M (x ; y) O x 10 I q 1( x) = -2 -5 x=X x=X (2) y +Y y = Y = Chú ý điều kiện x X -10 Thay (2) vào (1) có M'(X ; Y) -15 9 y = x2+ ; x Y = X + x X Y = X X 15 Nh vậy, toạ độ điểm M thoả mãn phơng trình Y = X ( x2-3x) +11 t( x) = X ( x2-3x) +11 x-1 10 y Do đó, hàm số cần tìm Y = X (đồ X M (x ; y) thị nh hình bên) -10 O x 10 I q 1( x) = -2 -5 67 -10 -15 M'(X ; Y) r ( x) = -x-21 x-1 Chú ý Bằng cách tơng tự nh ta suy đờng cong có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số y = f(x) cho trớc có phơng trình y = - f(x) Từ suy ra: Cho trớc đồ thị hàm số y = f(x) ta suy đồ thị hàm số y = |f(x)| cách giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trục Ox, phần đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dới trục Ox lấy đối xứng qua trục Ox Ví dụ: Ta có đồ thị hàm số y = | x x + | nh hình bên f( x) = ( x2-4x) +3 Bài a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x x + x +1 g ( x) = ( x2-4x) +3 b) Tìm đồ thị vẽ điểm đối xứng qua đờng thẳng y = x + c) Biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình sau: | x2 7x + | = m | x + 1| Hớng dẫn a) Bạn đọc tự làm b) Bạn đọc tự làm theo cách hớng dẫn c) Dễ thấy giá trị x = - không nghiệm phơng trình cho -2 Khi x -1 phơng trình cho tơng đơng với: m = x2 x + x +1 Gọi y = x x + đồ thị (đã đợc khảo sát vẽ câu a)), từ suy x +1 đồ thị hàm số : y = x2 x + x +1 25 nh hình bên Căn đồ thị ta có kết biện luận là: - Khi m < phơng trình vô nghiệm - Khi m = (6 + 14 ) > m > (2 14 - 6) phơng trình có hai nghiệm - Khi m = (6 + 14 ) m = (2 14 - 6) phơng trình có ba nghiệm - Khi m > (6 + 14 ) < m < (2 14 - 6) phơng trình có bốn nghiệm 20 t( x) = ( x2-7x) +6 15 x+1 10 -20 -10 10 -5 -10 u( x) = ( x2-7x) +6 x+1 -15 -20 -25 68 20 Bài Cho hàm số y = mx + 3mx + 2m + , x m tham số Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho có cực trị điểm cực trị nằm phía trục hoành Hớng dẫn Tập xác định hàm số R\ {1} Yêu cầu toán tơng đơng với y(x) = có hai nghiệm phân biệt y(x) = vô nghiệm (nh hình bên) Ta có y ' = 10 -10 mx 2mx 5m , y(x) = có hai ( x 1) 10 -5 nghiệm phân biệt mx 2mx 5m = có hai m>0 nghiệm phân biệt m < Ta có y(x) = vô nghiệm mx + 3mx + 2m + = m > m 4m < m < -10 -15 vô nghiệm m>4 Từ đó, yêu cầu toán tơng đơng với m < Chú ý Muốn tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c , ( am 0) có cực trị điểm mx + n cực trị phía, khác phía trục Ox hay Oy bạn sử dụng đồ thị để điều kiện thích hợp Bài Cho hàm số y = x x + 11 x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tìm đồ thị hàm số điểm có tổng khoảng cách đến hai đờng tiệm cận nhỏ Hớng dẫn a) Bạn đọc tự làm b) Tập xác định hàm số cho R\ { 1} Khi y= x x + 11 = x 3+ x x Dễ dàng kiểm tra đợc đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng đờng thẳng có phơng trình x = có tiệm cận xiên đờng thẳng có phơng trình x y = 69 Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị hàm số cho, ta có y0 = x0 + hay x0 y0 = Gọi d1 = Gọi d1 = d1 khoảng 1.x0 + y0 d2 12 + 02 , x0 x0 12 + (1) từ điểm M đến tiệm cận đứng, ta có từ điểm M đến tiệm cận xiên, ta có = x0 khoảng 1.x0 y0 cách , x0 x0 = cách 1 x0 y0 = = x0 2 x0 Khi đó, d1 + d2 = x0 + x0 Do (d1 + d2 ) = x0 = ( x0 1) = x0 = 32 x0 Vậy, điểm cần tìm có hoành độ x0 = 32 Chú ý Bạn tiến hành tơng tự nh với toán: Tìm đồ thị hàm ax + b phân thức dạng y = ax + bx + c , ( am 0) y = , (am 0) điểm có mx + n mx + n tổng khoảng cách đến đờng tiệm cận nhỏ (hoặc số p cho trớc) Bài Cho hàm số y = x x + 11 x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tìm đồ thị hàm số nhánh điểm cho khoảng cách chúng nhỏ Hớng dẫn Tập xác định hàm số cho R\ { 1} Khi y = x x + 11 = x + x x Dễ dàng kiểm tra đợc đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng đờng thẳng có phơng trình x = , x1 x1 , x2 Gọi N(x2; y2) điểm thuộc đồ thị hàm số cho, ta có y2 = x2 + x2 Gọi M(x1; y1) điểm thuộc đồ thị hàm số cho, ta có y1 = x1 + Khi đó, M N thuộc hai nhánh khác chúng hai phía tiệm cận đứng đồ thị Giả sử có x < < x2, tức x1 = a x = a , a > 0; b > x2 x1 = b + a x2 = + b x2 = b 8 8 y2 y1 = ( x2 + ) ( x1 + ) = ( x2 x1 ) + ( + ) = (a + b)(1 + ) x2 x1 b a ab 70 Từ MN2 = 2 16 64 ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) = (a + b) + (a + b).(1 + ) = (a + b) + (1 + ) = ( a + b) 2 + + ab ab ab (ab) Suy 16 16 64 64 32 MN = (a + b) + + ab + + = ab + + 2 8 + 32 = 64(1 + 2) ab ( ab ) ab ( ab ) ab Do a = b > MN = + 32 a = b = 32 ab = ab Vậy, điểm cần tìm có hoành độ x = 32 Chú ý Bạn tiến hành tơng tự nh với toán: Tìm đồ thị hàm ax + b phân thức dạng y = ax + bx + c , ( am 0) y = , (am 0) nhánh mx + n điểm cho khoảng cách chúng nhỏ Bài 10 Cho hàm số y = mx + n x x + 11 x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Tìm đồ thị hàm số điểm mà khoảng cách từ điểm đến giao điểm hai đờng tiệm cận nhỏ Hớng dẫn Tập xác định hàm số cho R\ { 1} Khi y = x x + 11 = x + x x Dễ dàng kiểm tra đợc đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng đờng thẳng có phơng trình x = có tiệm cận xiên đờng thẳng có phơng trình y = x - Suy ra, giao điểm hai đờng tiệm cận I(1; - 2) Gọi M(x0; y0) điểm thuộc đồ thị hàm số cho, ta có y0 = x0 + suy y0 + = x0 + , x0 , x0 , x0 x0 Khi khoảng cách từ điểm M đến giao điểm hai đờng tiệm cận MI = 64 2 2 MI = ( x0 1) + ( y0 + 2) = ( x0 1) + x0 + = 16 + 2( x0 1) + x ( x 1) 0 64 2 16 + 2.64 = 16(1 + 2) Từ MI = 16 + 2( x0 1) + ( x0 1) Do MI = + 2( x0 1) = 64 ( x0 1) = 32 x0 = 32 ( x0 1) Vậy, điểm cần tìm có hoành độ x0 = 32 71 Chú ý Bạn tiến hành tơng tự nh với toán: Tìm đồ thị hàm ax + b phân thức dạng y = ax + bx + c , ( am 0) y = , (am 0) điểm có mx + n mx + n khoảng cách đến giao điểm đờng tiệm cận nhỏ (hoặc số p cho trớc) Bài 11 (là câu Đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông năm học 2002 2003) Khảo sát hàm số y = x2 + x x2 2 Xác định m để đồ thị hàm số y = x (m 4) x + m 4m có tiệm cận x+m2 trùng với tiệm cận tơng ứng đồ thị hàm số khảo sát Hớng dẫn 1) Việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số cho coi nh tập với bạn Sau hoàn thành bạn kiểm tra lại đồ thị hàm số vẽ đ ợc có trùng với đồ thị sau không? 10 f( x) = ( -x2+4x) -5 x-2 -5 2) Tập định x m có 10 hàm số Khi đó, ta -2 -4 -6 -8 y = x + + m 6m x+m2 Đồ thị hàm số (2) có tiệm cận đứng x = m m2 6m - m 10 m + 10 Với điều kiện m đồ thị hàm số (2) có tiệm cận xiên y = - x + 2, 2 lim[ y ( x + 2)] = lim m 6m = lim [ y ( x + 2)] = lim m 6m = x x x+m2 x 72 x x+m2 Từ đó, tiệm cận đứng x = m trùng với tiệm cận đứng x = đồ thị hàm số m 10 khảo sát m + 10 m = m = Vậy với m = đồ thị hàm số (2) có tiệm cận trùng với tiệm cận đồ thị câu 73 [...]... = = (9sin2 x 12 sinx + 4) + 2| (3sinx 2).(3cosx 2)| + (9cos2 x 12 cosx + 4) = 17 12 ( sinx + cosx) + 2| 9sinx.cosx 6(sinx + cosx) + 4| 2 Gọi z = y2, gọi t = sinx + cosx thì 2 t 2 và sinx.cosx = t 1 , khi đó 2 23 2 z = 17 - 12 t + | 18 t 1 - 12 t + 8 | = 17 - 12 t + | 9t2 - 12 t - 1 | 2 2+ 5 t 3 17 12 t + (9t 2 12 t 1) khi 2 5 Từ đó z = t 3 2 5 2+ 5 17 12 t (9t 2 12 t 1) khi t 3 3... = 0 , tức là m = - 1 hoặc m = 1 x2 1 ( x 1) ( x + 1) suy ra = 2 x + 2x + 1 ( x + 1) 2 ( x 1) ( x + 1) ( x 1) ( x + 1) lim+ y = lim+ = và lim y = lim = + nên x = -1 là một 2 x 1 x 1 x 1 x 1 ( x + 1) ( x + 1) 2 Khi m = -1 ta y= có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Vậy giá trị m = -1 vừa tìm đợc bị loại x2 1 ( x 1) ( x + 1) suy ra = 2 x 2x + 1 ( x 1) 2 ( x 1) ( x + 1) ( x 1) ( x + 1) lim+ y = lim+ =... số đã cho là R\ {1} 2 Khi đó y = x 3x + 6 = x 2 + 4 x 1 x 1 12 y Y 10 g ( x) = 8 ( x2-3x) +6 x -1 6 4 (1) 2 Tịnh tiến hệ trục xOy sang hệ trục XIY, trong đó I (1; 0), nh hình vẽ, ta có: x = X +1 (2) y = Y 1 x -5 5 -2 -4 -6 Thay (2) vào (1) ta có: -8 -10 -12 29 I 10 X 4 4 Y = X + ( X + 1) 1 X Từ x 1 suy ra X 0, khi đó, dễ dàng kiểm tra đợc hàm số Y(X) là hàm số lẻ, do Y 1 = ( X + 1) 2 + đó đồ thị... nên x = 1 là một 2 x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1) ( x 1) 2 Khi m = 1 ta y= có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Vậy giá trị m = 1 vừa tìm đợc bị loại - Nếu > 0 , tức là m , -1 hoặc m > 1, thì x 2 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm là x1 = m m 2 1 và x2 = m + m 2 1 Trong trờng hợp này đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận đứng cả x1 và x2 đều là nghiệm của phơng trình x2 m m 2 1 = 1 m m 2 1 = 1 1=0 ... có - 1 t 1 với mọi giá trị của x Khi đó, xét y = 4 3 2 1 t + t + với - 1 t 1 3 2 y(t) = 4t2 + 2t y(t) = 0 khi t = 0 hoặc t = - 1 2 Xét bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [ -1 ; 1] : x -1 y(x) y + 1 2 0 0 - 0 7 12 +1 + 17 6 1 6 1 2 Căn cứ bảng biến thiên ta có y > 0 với mọi giá trị của t trong đoạn [ -1; 1] Vậy y > 0 với mọi giá trị của x, có điều phải chứng minh 2.2 Cực trị của hàm số Bài 1 Dùng... tiệm cận đứng của (1) Tơng tự: x3 4 x 2 7 x + 10 ( x 1) ( x 5)( x + 2) ( x 5)( x + 2) = lim+ = lim+ = 3 2 x 1 x 1 ( x 1) ( x 1) ( x + 3) x 1 ( x 1) ( x + 3) x + x 5x + 3 x3 4 x 2 7 x + 10 ( x 1) ( x 5)( x + 2) ( x 5)( x + 2) lim 3 = lim = lim = + 2 x 1 x 1 ( x 1) ( x 1) ( x + 3) x 1 ( x 1) ( x + 3) x + x 5x + 3 lim+ nên đờng thẳng có phơng trình x = 1 là tiệm cận đứng của (1) Ta cũng dễ dàng... = ( X + a ) 4 4( X + a )3 2( X + a ) 2 + 12 ( X + a ) 5 = X4 + 4X3a + 6X2a2 + 4Xa3 + a4 30 - 4X3 - 12 X2a - 12 Xa2 - 4a3 - 2X2 - 4Xa - 2a2 + 12 X + 12 a - 5 Hay Y = X4 + 4(a - 1) X3 + 2(3a2 - 6a - 1) X2 + 4(a3 - 3a2 a + 3)X + ( a4 - 4a3 - 2a2 + 12 a - 5) Từ đó, đồ thị của hàm số đã cho có trục đối xứng là đờng thẳng x = a khi và chỉ khi 4(a 1) = 0 a = 1 a =1 2 2(a 3a a + 3) = 0 0 = 0 Y(X) phải là... = = sin 6 t + cos6 t = 1 sin 2 2t 2 3 1 (1 + tan t ) 4 ( 2 )3 cos t 2 Do 0 sin 2t 1 nên : 2 tan t maxy = 1 khi và chỉ khi sin22t = 0 = 0 tan t = 0 x = 0 1 + tan 2 t 3 1 miny = 1= khi và chỉ khi sin2 4 4 tan t = 1 x =1 cos 2 2t = 0 tan 2 t = 1 tan t = 1 x = 1 2.4 Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ toạ độ 27 2t = 1 Bài 1 Cho hàm số y = f(x) = x 2 2x + 3 (1) Tìm hàm số Y = f(X) uur... ta có m m2 m m2 m m2 1 = 0 1= x1 2 = ( x1 2) 2 ( x1 2) 2 x1 2 m m2 m m2 m m2 Và 1 = 0 1= x2 2 = ( x2 2) 2 ( x2 2) 2 x2 2 m m2 Khi đó: y ( x1 ) = x1 + 2(m 1) + = x1 + 2(m 1) + ( x1 2) = 2 x1 + 2m ( x1 2) m m2 y ( x2 ) = x2 + 2( m 1) + = x2 + 2(m 1) + ( x2 2) = 2 x2 + 2m ( x2 2) Từ đó suy ra hai điểm phân biệt A(x 1; y1) và B(x2; y2) có toạ độ thoả mãn phơng trình y ( x) =... 1 + 10 + 2 y 3 2 3 y 9 + 6 2 2 Bài 9 Cho y = 1+ x Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho (1 + x 2 ) 3 6 Hớng dẫn Cách 1 Dễ thấy hàm số đã cho xác định với mọi giá trị của x Đặt t = x 2 0, khi đó, hàm 1+ t3 1 t + t2 t2 t +1 với t 0 Dễ thấy = lim y = lim =1 x x t 2 + 2t + 1 (1 + t )3 (1 + t ) 2 3(t 2 1) 3(t 1) Mặt khác y '( x) = , suy ra y(x) = 0 khi t = 1 hoặc t = -1