XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ

Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ Nội dung: 6.1 Chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hoàn 6.2 Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT) 6.2.1 Định nghĩa 6.2.2 Các tính chất DTFT 6.2.3 Mối quan hệ biến đổi DTFT biến đổi Z 6.3 Biểu diễn miền tần số hệ thống LTI 6.3.1 Định nghĩa đáp ứng tần số 6.3.2 Quan hệ miền tần số Bài tập 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ 6.1 Chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hoàn: ™ Giả sử x(n) tín hiệu rời rạc tuần hoàn có chu kỳ N, nghĩa là: x(n) = x(n+N),∀n Æ Công thức khai triển Fourier (chuỗi Fourier): x(n) = N −1 ∑ k =0 ck e j 2π kn / N đó, hệ số Fourier ck xác định sau: ck = N N −1 ∑ x (n )e − j π kn / N , k = , , N − n=0 ™ Nhận xét: ¾ x(n) biểu diễn miền tần số hệ số {ck} ¾ Các hệ số {ck} tuần hoàn với chu kỳ N 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) ™ Mật độ phổ công suất ¾ Công suất trung bình tín hiệu rời rạc tuần hoàn: Px = N N −1 | ( ) | x n ∑ n=0 Æ biểu diễn Px theo hệ số ck ??? N −1 Px = N ∑ n=0 x(n) x (n) = N ⎡1 = ∑ c k* ⎢ k =0 ⎣N N −1 Suy ra: Px = N * N −1 ∑ n=0 n=0 ∑ n=0 ⎡ N −1 * − j π kn / N ⎤ x ( n ) ⎢ ∑ ck e ⎥ ⎣ k =0 ⎦ ⎤ x ( n ) e − j π kn / N ⎥ = ⎦ N −1 ∑ N −1 | x(n ) | = N −1 | | c ∑ k k =0 N −1 ∑ k=0 | c k |2 ¾ Chuỗi |ck|2: biểu diễn phân bố công suất theo tần số Æ đồ thị biểu diễn {|ck|2}: mật độ phổ công suất tín hiệu rời rạc tuần hoàn 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) 6.1 Chuỗi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hoàn: Ví dụ 1: Cho tín hiệu x(n) = {1,1,0,0} tuần hoàn với chu kỳ N = Hãy xác định vẽ phổ; mật độ phổ công suất Lời giải: ¾ Tín hiệu x(n) biểu diễn miền tần số hệ số {ck}: ck * * * * = N N −1 ∑ n=0 k = :c0 = k = : c1 = k = :c2 = k = : c3 = 5/22/2010 x (n )e − j π kn / N ∑ x(n) n=0 ∑ x (n )e − j 2π n /4 x (n )e − jπ n = (1 × e + × e − jπ x (n )e − j 3π n / = (1 × e + × e − j 3π / n=0 ∑ = x ( n ) e − j π k n / ; k = , 1, , ∑ n=0 1 (1 + + + ) = = 1 (1 × e + × e − j π / ) = (1 − j ) = 4 n=0 ∑ n=0 ) = ) = (1 + j ) 4 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) ¾ Vẽ phổ biên độ phổ pha: 2 | c0 |= ;| c1 |= ;| c2 |= 0;| c3 |= ; 4 |cK| 1/2 -1 sqrt(2)/4 ∠ c0 = 0; ∠ c1 = − π ; ∠ c2 = 0; ∠ c3 = π ∠ck Phổ vạch k ; π/4 -1 k -π/4 ¾ Mật độ phổ công suất: 1 2 | c0 | = ;| c1 | = ;| c2 | = 0;| c3 | = ; 8 ¾ Công suất tín hiệu: Px = 5/22/2010 1 1 + +0+ = 8 1/4 |cK|2 1/8 -1 k Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) 6.2 Biến đổi Fourier thời gian rời rạc DTFT (Discrete Time Fourier Transform) ¾ phép biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc không tuần hoàn 6.2.1 Định nghĩa: ™ Giả sử x(n) tín hiệu rời rạc không tuần hoàn Cặp công thức biến đổi DTFT: X (Ω ) = ∞ ∑ x (n )e − ( biến đổi DTFT thuận) jΩ n n = −∞ x(n) = 2π π ∫π X ( Ω )e jΩ n dΩ ( biến đổi DTFT ngược) − ™ Nhận xét: ¾ Phổ tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có dạng liên tục, dạng phức X (Ω) =| X (Ω) | e j∠X ( Ω ) Phổ pha Phổ biên độ 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) ™ Nhận xét (tt): ¾ X( Ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π ¾ Với x(n) thực: X*( Ω) = X(- Ω) , hay: ⎧ | X (Ω) = | X (Ω) | ⎨ ⎩∠X (Ω) = −∠X (−Ω) ™ Điều kiện tồn phép biến đổi Fourier: ∞ ¾ X(Ω) tồn vế phải hội tụ, suy ra: | x(n) ¾ Như vậy, x(n) phải tín hiệu có lượng n = −∞ hữu hạn Ví dụ 2: Cho tín hiệu x(n) =(0.5)nu(n) Hãy xác định phổ X(Ω) ? Lời giải: ¾ Xét điều kiện tồn biến đổi Fourier: ∑ ∞ ∑ n =−∞ ∞ x(n) =∑ (0.5) n = n=0 ¾ Phổ tín hiệu: X (Ω ) = ∞ ∑ n =−∞ 5/22/2010 =21/2, chứa vòng tròn đơn vị: X (Ω ) = X ( z ) 5/22/2010 z = e jΩ = 1 − e − jΩ 15 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) 6.3 Biểu diễn miền tần số hệ thống LTI 6.3.1 Định nghĩa đáp ứng tần số: ¾ Xét hệ thống LTI có đáp ứng xung h(n) Biến đổi DTFT h(n), ký hiệu H(Ω), gọi đáp ứng tần số hệ thống rời rạc ∞ H (Ω ) = ∑ h (n )e − jΩ n n = −∞ ¾ H(Ω) đặc trưng đầy đủ tính chất hệ thống miền tần số, thường số phức: H (Ω) =| H (Ω) | e j∠H ( Ω ) Đáp ứng pha Đáp ứng biên độ ¾ Khi biết đáp ứng tần số, dùng biến đổi DTFT ngược để tìm đáp ứng xung ¾ Điều kiện tồn đáp ứng tần số: ∞ H(Ω) tồn nếu: ∑ | h ( n ) |< ∞ ,nghĩa là: hệ thống phải ổn định n = −∞ 5/22/2010 16 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) Ví dụ 7: Cho hệ thống LTI nhân mô tả phương trình I/O: y(n) = 0.9y(n-1) + 0.1x(n) Xác định đáp ứng biên độ đáp ứng pha hệ thống? Lời giải: ¾ Xác định đáp ứng xung h(n): h(n) = 0.9h(n-1) + 0.1δ(n) n = 0: h(0) = 0.9h(-1) + 0.1δ(0) = 0.1 n = 1: h(1) = 0.9h(0) + 0.1δ(1) =0.9*0.1 n = 2: h(2) = 0.9h(1) + 0.1δ(2) = 0.92*0.1; …………… Æ h(n) = 0.1 (0.9)n.u(n) ¾ Nhận xét: hệ thống ổn định, tồn biến đổi DTFT Do đó, đáp ứng tần số: H (Ω ) = ∞ ∑ n =−∞ h ( n )e − jΩn ∞ = ∑ 0.1× (0.9) n e − jΩn n =0 0.1 = 0.1 = − jΩ − 0.9e − 0.9 cos Ω + j 0.9sin Ω 5/22/2010 17 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) 6.3.1 Định nghĩa đáp ứng tần số (tt): Ví dụ (tt) ¾ Xác định đáp ứng tần số đáp ứng pha | H (Ω) |= 0.1 ; 1.81 − 1.8 cos Ω ∠H (Ω) = − arctg 0.9 sin Ω − 0.9 cos Ω ¾ Vẽ đáp ứng tần số đáp ứng pha: 5/22/2010 18 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) 6.3.2 Quan hệ miền tần số ¾ Xét hệ thống LTI có đáp ứng xung h(n), đáp ứng tần số H(Ω): Tín hiệu vào x(n) Tín hiệu Hệ thống rời rạc y(n)=h(n)*x(n) Y(Ω)=X(Ω)H(Ω) X(Ω) ¾ Đáp ứng tần số hệ thống ghép nối: x(n) x(n) H1(Ω) H2(Ω) y (n) x(n) H1(Ω)H2(Ω) x(n) H1(Ω)+ H2(Ω) y (n) H1(Ω) y (n) y (n) H2(Ω) 5/22/2010 19 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) 6.3.2 Quan hệ miền tần số Ví dụ 8: Cho hệ thống LTI có đáp ứng xung: h(n) = (1/2)nu(n) a Xác định tín hiệu ngõ tín hiệu ngõ vào: x(n) = (1/4)nu(n) Lời giải: ¾ Phổ tín hiệu ngõ vào: n ∞ ∞ X (Ω) = ∑ x ( n)e − jΩn n =−∞ ¾ Đáp ứng tần số hệ thống: H (Ω ) = ¾ Phổ tín hiệu ngõ ra: ∞ ∑ h(n)e − jΩn n =−∞ Y (Ω ) = X (Ω ) H (Ω ) = n ∞ ⎛ ⎞ − jΩn = ∑⎜ ⎟ e = − e − jΩ / n=0 ⎝ ⎠ 1− e ¾ Suy biểu thức tín hiệu miền thời gian: ⎡ ⎛ ⎞n ⎛ ⎞n ⎤ y (n) = ⎢2 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ u (n ) ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎠ 5/22/2010 ⎛ ⎞ − jΩn = ∑⎜ ⎟ e = − e − jΩ / n =0 ⎝ ⎠ − jΩ /2 × 1 − e − jΩ / 20 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) b Xác định tín hiệu ngõ tín hiệu ngõ vào: x(n) = + 12sinπn/2 - 20cos(πn + π/4) Lời giải: ¾ Đáp ứng tần số hệ thống: ⎧ H Ω = | ( ) | ⎪⎪ 1.25 − cos Ω ⇒ H (Ω) = ⎨ − jΩ 1− e / ⎪ 0.5sin Ω ∠H (Ω) = −arctg − 0.5cos Ω ⎩⎪ ¾ Xác định ngõ với tần số ngõ vào: • Các tần số ngõ vào: 0; π/2; π • Thay vào biểu thức đáp ứng tần số đáp ứng pha: ™ Chú ý: Tín hiệu vào x(n)=Acos(Ω0πn+ ϕ) 5/22/2010 Hệ thống rời rạc H(Ω) Tín hiệu y(n)=A|H(Ω0)|cos(Ω0nπ+ ϕ+∠H(Ω0)) 21 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) Ví dụ (tt) • Thay vào biểu thức đáp ứng tần số đáp ứng pha: 1 = =2 * Ω = 0: | H (0 ) |= − ∠ H (0 ) = − a rctg = * Ω =π /2: |H( ∠H ( * Ω =π : ⇒ π π ) |= 1 = = 1 2 − ) = − a rctg = − 5π 1 = = + 1 ∠ H (π ) = − a rctg = | H (π ) |= π ⎤ ⎡π ) | sin ⎢ n + ∠ H ( ) ⎥ 2 ⎦ ⎣2 − | H (π ) | sin [π n + ∠ H (π ) ] y ( n ) = | H (0 ) | + | H ( π = + sin (π n / − π ) − co s π n 5/22/2010 22 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt) Bài tập: 6.1 (bài 6.1.1 trang 223) 6.2 (bài 6.1.6 trang 223) 6.3 (bài 6.2.1 trang 223) 6.4 (bài 6.3.1 trang 225) 6.5 (bài 6.3.3 trang 225) 6.6 (bài 6.3.4 trang 225) 6.7 (bài 6.3.7 trang 226) 5/22/2010 23