Đáp án toán cao học (ĐHBK TPHCM)

ỏp ỏn ủ thi 2000 ( Cõu a/ y ' + x y = x + x5 Nghim tng quỏt y = e pdx q ( x) e pdx dx + C y = e 3x ( dx ( ( 3x ) ) y = e x e x x3 + C = x3 + Ce x ) ( + x5 e x dx dx + C = e x e x dx3 + x3e x dx3 + C 3 3 ) ) Nghim ca phng trỡnh y = x3 + Ce x b/ Phng trỡnh ủc trng: k + 3k + = k1 = k2 = Nghim ca phng trỡnh thun nht: y0 = C1e x + C2e x ( ) Tỡm nghim riờng: f ( x) = ( x + 3) + 6e x = f1 ( x) + f ( x) , yr = yr1 + yr2 Tỡm yr1 l nghim riờng ca phng trỡnh y '' + y ' + y = x + (1) yr1 = x s e0 x ( Ax + B ) = x 0e0 x ( Ax + B ) , s = vỡ = khụng l nghim ca phng trỡnh ủc trng Thay vo phng trỡnh (1), ủng nht, ta ủc A = 1, B = Tỡm yr2 l nghim riờng ca phng trỡnh y '' + y ' + y = 6e x (2) yr2 = x s e x A = Ax e x , s = vỡ = khụng l nghim ca phng trỡnh ủc trng Thay vo phng trỡnh (2), ủng nht, ta ủc A = yr = x + e x Nghim tng quỏt ca phng trỡnh ban ủu: ytq = y0 + yr = C1e x + C2e x + x + e x a (n + 1) n+1 3n.n ! (n + 1) n Cõu a/ n +1 = n+1 = = + an n (n + 1)! nn 3n n n n an+1 e 1 = lim + = < Chui an hi t theo tiờu chun DAlembert n a n n n lim n n+4 n b/ t X = ( x + 1) Xột chui X n =1 n + 1 Bỏn kớnh hi t: R = , vi = lim n an = R = n n 2n + Xột ti X = Cú chui s: n =1 2n + n n 2n + n S hng tng quỏt ca chui s ny: an = e7 / = + 2n + 2n + Vy chui phõn k theo ủnh lý ủiu kin cn Kt lun: Min hi t ca chui ủó cho: ( x + ) < x + x + < < x < + ( ) ( ) ( ) ( ) Cõu a/ I = e x sin y y dx + e x cos y dy = e x 0 + e x cos dy = C b/ C l na trờn ủng trũn x + y = x ( ) ( ) I = e x sin y y dx + e x cos y dy = C C + OA OA D D Cõu Chia D bi ủng thng y = x lm hai D1 v D2 ( D1 l phn ng vi y x ) ( ) I = e x cos y e x cos y + dxdy 0dx = 1dxdy = S D = I = x y dxdy = x y dxdy + x y dxdy = ( y x)dxdy + ( x y )dxdy D D1 D2 D1 D2 135 / /4 /4 / I = d ( r sin r cos ) rdr + d ( r cos r sin ) rdr = 2 2 + = 3 z x' = x3 xy = Cõu 5a 1/ im dng: ' , cú ủim dng P1 (0, 0); P2 (0, / 3) 2 z y = x + y y = '' '' o hm riờng cp hai: z xx = 12 x y ; z xy = x; z ''yy = y '' '' Xột ti ủim dng P1 (0, 0) : A = z xx ( P1 ) = 0, B = z xy ( P1 ) = 0, C = z ''yy ( P1 ) = = Khụng th kt lun ủc Dựng ủnh ngha ủ kho sỏt z ( x, y ) = z ( x, y ) z (0, 0) = x x y + y y = ( x y )2 y n+ Xột dóy ủim ( xn , yn ) = , (0, 0) Khi ủú z ( xn , yn ) = z , = > n n n 1 n+ 1 Xột dóy ủim xn' , yn' = , (0, 0) Khi ủú z xn' , yn' = z , = < n n n n n Trong mi lõn cn ca (0,0), ủu tn ti nhng ủim m z > v nhng ủim m z < Suy hm khụng cú cc tr ti P1 (0, 0) ( ) ( ) = AC B > '' '' P2 (0, / 3) : A = z xx ( P2 ) = / 3, B = z xy ( P2 ) = 0, C = z ''yy ( P2 ) = A hoc n ln n > 11 Kt lun: Min hi t ca chui ủó cho: 1/ < x 1/ < x 2 x = r cos Cõu 1/ i bin: y = r sin / r / 138 /3 /3 /6 /6 Khi ủú I = d cos rdr = sin r d = d = ( ( ( ) 2/ t u ( x, y ) = x y iu kin: ( h.P ) y = ( h.Q ) x h(u ) x3 + xy ' ' ) ) = ( h(u).( x y y ) ) ' x ' y xh ( x + xy ) + h(3 x + y ) = yh ( x y y ) + h( x y ) ' 2 ' 2 h(4 x + y ) + 2h' ( x y ) = 2h + h' ( x y ) = C h' + h = h = Ce / udu = T h(1) = C = Vy h( x y ) = u u x2 y2 ( Cõu 1/ z x' = 3x2 x3 + y 2/ cos x x sin x e x2 ; z 'y = y2 x3 + y dz (1,1) = 2 ) ( dx + dy ) x4 x3 x4 5x4 = + o( x ) x x + o ( x ) x + + o ( x ) = + o( x ) 3! x x + o( x ) K = lim = lim 64 = x x x x ' f x = x y = Cõu 5a 1/ im dng: ' , cú ủim dng P1 (1, 0) f x y = + + = y o hm riờng cp hai: f xx'' = 2, f xy'' = 2, f yy'' = Xột ti ủim dng = AC B = > '' '' P1 (1, 0) : A = z xx ( P1 ) = 2, B = z xy ( P1 ) = 2, C = z ''yy ( P1 ) = A>0 Hm ủt cc tiu ti P1 , f ct = f (1, 0) = 3 1 I = = + = I1 + I 2/ Xột I1 f ( x) = (4 x x 3)3 = x 1+ 1 2 ( x 1)1/ ( x 1)3 (3 x)3 Tớch phõn I1 hi t Xột I f ( x) = = (4 x x 3)3 ( x 1)3 (3 x)3 Vy tớch phõn ủó cho hi t x 1 2 ( x )1/ Tớch phõn I hi t Cõu 5b 1/ Min xỏc ủnh R y liờn tc trờn [ 1,1] f' = ( 2x +1 ) x2 + x2 + = x = 1/ 2 ; y( ) = ; y( / ) = 2 ti x = ; giỏ tr nh nht l ti x = 1/ Kt lun: Giỏ tr ln nht l y( ) = 139 + 2/ Ta cú tớch phõn e x dx phõn k Dựng qui tc Lụpital ta ủc x t e dt I = lim x + x2 e x e x et = lim = lim = + x + x x + x t + 4t = lim ỏp ỏn ủ thi 2003 ( y = x sin x Nghim tng quỏt y = e pdx q ( x) e pdx dx + C x 1/ xdx dx + C = x ( sin xdx + C ) = x ( C cos x ) x sin x.e Cõu 1/ y ' y = e 1/ xdx ( ) ) y () = = (C cos ) C = Nghim ca phng trỡnh y = x (1 cos x ) 2/ Phng trỡnh ủc trng: k 7k + = k1 = k2 = Nghim ca phng trỡnh thun nht: y0 = C1e x + C2 e6 x Tỡm nghim riờng: yr = x s e0 x ( Ax + Bx + C ) , s = vỡ = khụng l nghim ca PTT yr = Ax + Bx + C Thay vo phng trỡnh ủó cho, ủng nht hai v, ta ủc: A = 1, B = 1, C = Nghim tng quỏt ca phng trỡnh ban ủu: ytq = y0 + yr = C1e x + C2 e6 x + x x Cõu 1/ lim n an n n n + 2) ( = lim n 8.n n 2/ t X = x Xột chui n = e2 lim + = < an hi t theo Cụsi n n (1) n X n Bỏn kớnh hi t: R = , vi = lim n n4 + n2 + (1) n , chui hi t tuyt ủi Xột ti X = Cú chui s: n=0 n + n + Xột ti X = Cú chui s: , chui hi t theo tiờu chun so sỏnh n=0 n + n + n = 3n +1 n an = R = 3 Kt lun: Min hi t ca chui ủó cho: x x /4 x = r cos Cõu 1/ i bin: Khi ủú y = r sin cos r cos /4 6cos cos 6cos / r2 I = d rdr = 2cos /4 /4 0 /4 d = 16 cos d = 8(1 + cos )d = + 4sin = + 2/ Vỡ tớch phõn trờn ủng trũn x + y = , nờn ta cú th thay e ( x + y ) = e1 Ta cú 2 I = e ( x + y ) ( xdy (1 + y )dx ) = e1 ( xdy (1 + y )dx ) = ( (4) ) dxdy e x + y C C 6 I= dxdy = Shỡnh troứn = e x + y e e Chỳ ý: 1/ Nu ủ nguyờn tớch phõn m s dng cụng thc Green thỡ vic tớnh toỏn rt khú khn x = cos t 2/ Cú th vit phng trỡnh tham s ca C: , t1 = 0, t2 = Thay vo tớch phõn ủó cho: y = sin t 2 2 I = e (sin t + cos t ) ( cos t.cos tdt (1 + sin t )( sin t )dt ) = cos t + sin t + sin t dt = e e ( ) 140 '' '' Cõu 1/ z x' = x y ; z 'y = xy + y ; z xx = x; z xy = y; z ''yy = x + 18 y '' d z (1,1) = z xx (1,1) dx + z xy'' (1,1) dxdy + z ''yy (1,1) dy = = 6dx 8dxdy + 14dy 2/ Min xỏc ủnh: x x Vy khụng cú tim cn ủng ( ) ( ) ( ) ( ) x + / x3 | x | / x x + / x3 / x 2 x3 + x lim = lim = lim x + x + x + x x x x + / x3 | x | / x x + / x3 + / x 2 x3 + x lim = lim = lim =3 x x x x x x Cú hai tim cn ngang: y = v y = ' z x = x y = Cõu 5a 1/ im dng: ' , cú ủim dng P1 (0, 0); P2 (1,1) z y = y x = '' '' o hm riờng cp hai: z xx = 20 x3 ; z xy = 5; z ''yy = 20 y '' '' Xột ti ủim dng P1 (0, 0) : A = z xx ( P1 ) = 0, B = z xy ( P1 ) = 5, C = z ''yy ( P1 ) = = AC B = 25 < Vy hm khụng ủt cc tr ti P1 = AC B > '' '' Hm ủt cc tiu ti P2 P2 (1,1) : A = z xx ( P2 ) = 20, B = z xy ( P2 ) = 5, C = z ''yy ( P2 ) = 20 A>0 + dx + e x dx ex > Vỡ tớch phõn phõn k nờn tớch phõn phõn k theo tiờu chun so sỏnh x x x x x et ex dt Lopital, / t J = lim x = lim xx = lim = x + e x + e x + x 2/ f ( x) = Cõu 5b 1/ Min xỏc ủnh R y liờn tc trờn [ 1/ 3, 2] y ' = (6 x x)e x 3 x = x = x =1 y( ) = 1; y( ) = e ; y( ) = e4 ; y( / ) = e 11 / 27 Kt lun: Giỏ tr ln nht l e4 ti x = ; giỏ tr nh nht l e1 ti x = 2/ I = lim ln(1+ x ) e ex x I = e lim x e x x / 2+o ( x ) x x x / 2+ o ( x ) x ee e e.e x / 2+ o ( x ) x x x x ( x / + o( x)) x/2 e = e lim = e lim = x x x x = lim = lim ỏp ỏn ủ thi 2004 dy 1 y = x sin x y ' y = x sin x dx x x pdx q ( x) e dx + C Cõu 1/ Chia hai v cho xdx : Nghim tng quỏt y = e pdx ( ( ) ) y = e 1/ xdx x sin x.e 1/ xdx dx + C = x ( 3sin xdx + C ) = x ( C 3cos x ) 2/ Phng trỡnh ủc trng: k 4k + = k1 = i Nghim ca phng trỡnh thun nht: y0 = e2 x ( C1 cos x + C2 sin x ) Tỡm nghim riờng: yr = x s e0 x ( A sin x + B cos x) , s = vỡ + i = i khụng l nghim ca PTT 141 yr = x e0 x ( A sin x + B cos x) Thay vo phng trỡnh ủó cho, ủng nht hai v, ta ủc: A = 1, B = Nghim tng quỏt ca phng trỡnh ban ủu: ytq = y0 + yr = e x ( C1 cos x + C2 sin x ) + 3cos x sin x Cõu 1a/ lim n n u un + 1/ n 2 = lim = < n hi t theo Cụsi n n (1 + / n ) e (1)n X n 1 Bỏn kớnh hi t: R = , vi = lim n an = R = n n n = (3n 1) 2/ t X = x Xột chui (1) n1 , chui hi t theo tiờu chun Leibnitz n = 3n Kt lun: Min hi t ca chui ủó cho: x x x5 3x3 + x x(2 x x + 2) Cõu 1/ Hm xỏc ủnh vi mi x > y ' = = 2 2 2 2x x +1 2x x +1 Xột ti X = Cú chui s: ( ) ( ) Xột g ( x) = x x + g ' ( x) = x3 x = x(8 x 6) > 0, x > Hm g ( x) ủng bin, x > Suy g ( x) > g (1) = y ' = g > Vy hm ủó cho ủng bin vi x > Tim cn ủng khụng cú, vỡ xột x > a = lim x + y x x2 1 = lim = , x x+ x ( x6 x x3 x x2 x2 x = lim b = lim ( y ax ) = lim x + x + x x + x2 Cú mt tim cn xiờn: y = 2/ z x' = y x2 y y3 x2 y ; z 'y = x x xy x3 x2 y '' ; z xy = ) = , nhõn liờn hip ca t 3x y + x + 3x y + y (1 x y ) '' dz ( 0, ) = 0dx + 0dy; z xx ( 0, ) = cos /2 x = r cos / / 2 Cõu 1/ i bin: Khi ủú I = d rdr = /3 y = r sin r cos ' 2/ iu kin: = Py' Qx' x + y 4axy (x + 2y ) 2 ' ax y bx + y = 2 x + y y x + y x = bx + 2by xy (x + 2y ) 2 x + y 4axy = bx + 2by xy a = , b = Tớch phõn khụng ph thuc ủng ủi Tuy nhiờn khụng th tớnh theo cung AO v OB, vỡ P( x, y ) v Q( x, y ) khụng xỏc ủnh ti gc to ủ I = = + , vi C ,1 C AC CB x/2 /2 1+ y dy + dx = 2 x +1 1+ y Chỳ ý: Cú th tớnh tớch phõn bng cỏch vit phng trỡnh tham s ca cung C, s dng to ủ cc m rng 2/2 I= 142 x = r cos t i bin , x2 + y = r = y = r sin t / x = cos t Phng trỡnh tham s ca C: , t1 = 0, t2 = / 2 y sin t = /2 2 I = cos t sin t ( sin t )dt + cos t + sin t cos tdt 2 /2 I = sin t + cos t dt = z ' = 2e y x ( x + x + xy 1) = x Cõu 5a 1/ im dng: , cú ủim dng P1 (1/ 2, 0) ' y x2 (1 + x + y ) = z y = e '' o hm riờng cp hai: z xx = 2e y x (1 x y x + x3 + x y ) ; '' '' z xy = 2e y x ( x + x + xy 1); z xyy = e y x (3 + x + y ) Xột ti ủim dng 2 P1 (1/ 2, 0) : A = '' z xx ( P1 ) = 6e 1/ ,B = '' z xy ( P1 ) = 2e 1/ ,C = z ''yy ( P1 ) = 2e 1/ = AC B = 8e 1/ > A x2 t t = x + t = x + tdt = xdx dt + 1 t = dt = ln 2 t +1 t 2 t t + + = ln Cõu 5b 1/ Min xỏc ủnh R y liờn tc trờn [ 1,3] ( ( ) ex x2 6x + , x>0 x ( x ) e , x y= y' = e x x 10 x + 24 , x < x x Chui an phõn k theo tiờu chun DAlembert n a n + n + 1 n lim 2/ t X = x Xột chui n=0 Xột ti X = Cú chui s: n=0 Xn Bỏn kớnh hi t: R = , vi = lim n an = R = n 2n + 1 , chui phõn k theo tiờu chun so sỏnh 2n + (1) n , chui hi t theo tiờu chun Leibnitz n = 2n + Kt lun: Min hi t ca chui ủó cho: x < x < 3x x Cõu 1/ Min xỏc ủnh R y ' = = x = ( vỡ xột x > ) 33 3 x x2 Xột ti X = Cú chui s: ( x y' y - ) + 2/3 Hm ủt cc tiu ti x = / , giỏ tr cc ủi y = f (2 / 3) = + 144 Tim cn ủng khụng cú 3 y x x2 a = lim = lim = 1, x + x x + x b = lim ( y ax ) = lim x + x + ( ) x2 x3 x x = lim x + (x x2 ) = + x x3 x + x Cú mt tim cn xiờn: y = x 1/ 2/ z x' = dz ( xy y2 x2 y y3 x2 y ' 2 '' ; z = ln x y ; z = y xx 2 x2 y x2 y2 x y ( ) ) '' 2,1 = 2dx 2dy; z xx ( ( ) ) 2,1 = / x = r cos / / Cõu 1/ i bin: Khi ủú I = d r rdr = / 0r /3 y = r sin ( 2/ iu kin: Py' = Qx' ye xy + e x cos y x 2e + xye e xy xy ( ) ' y x sin y = 2e + xye ae ( xy ) xy Green I = P y dx + Q + x3 dy = + C ) = ( xe x2 + y x (Q ' x xy e x sin y ) ' x sin y = ) + x Py' + y dxdy Vỡ Py' = Qx' , nờn ta cú: ( ) /2 cos / /2 ( cos )4 d = 12 cos4 d = / / /2 x + y dxdy = d 3r rdr = x2 + y x ' z x = y x = Cõu 5a 1/ im dng: , cú ủim dng P1 (1,3) ' zy = x =0 y2 '' 18 '' o hm riờng cp hai: z xx = , z xy = 1, z ''yy = x y Xột ti ủim dng = AC B = > '' '' Hm cú cc tiu ti P1 P1 (1,3) : A = z xx ( P1 ) = 6, B = z xy ( P1 ) = 1, C = z ''yy ( P1 ) = / A>0 + x2 x2 2/ I = dx + dx = I1 + I Tớch phõn I1 l tớch phõn xỏc ủnh, nờn tớnh cht 2 x ( x + 1)( x + 1) x ( x + 1)( x + 1) + hi t ca hai tớch phõn I v I l nh Xột tớch phõn hm khụng õm I = f ( x) = x x( x + 1)( x + 1) x + x2 dx x( x + 1)( x + 1) x = Tớch phõn hi t vỡ = > x x x2 x2 A B Cx + D dx Phõn tớch = + + 2 x( x + 1)( x + 1) x x + x + 1 x ( x + 1)( x + 1) Qui ủng, ủng nht hai v (hoc dựng khai trin Heaviside): A = 3, B = 1, C = 2, D = + 3dx + dx + xdx + dx + I= + + + = 3ln | x | + ln | x + 1| + ln( x + 1) + arctan x x 1 x +1 x +1 x +1 + Tớnh I = ( ) 145 ( + ) | x + ( x + 1) | = ln I = ln arctan x + x Cõu 5b 1/ Min xỏc ủnh R y liờn tc trờn [ 1/ 2,3] y ' = x + x (( x ) x2 ) 2/3 = x = 4/3 Cú mt ủim dng x = / v mt ủim ti hn x = , vỡ khụng tn ti ủo hm ti x = 23 y (0) = 0; y (4 / 3) = ; y (3) = 9; y (1/ 2) = 2 Kt lun: Giỏ tr ln nht l ti x = / ; giỏ tr nh nht l ti x = ( ln(1+ x )1/ x ln e4 ) ( ) 11 11 Xột lim ln (1 + x ) = lim x x + o( x ) = x x x x x x x + o ( x ) x = lim == lim = I = e x x x x 2/ I = e lim x x ỏp ỏn ủ thi 2006 ( Cõu 1/ a/ Nghim tng quỏt y = e pdx q ( x) e pdx dx + C ) 5x4 y = e / xdx x5 e / xdx dx + C = x x3dx + C = x +C ' y ' b/ Py = e = Qx Phng trỡnh vi phõn ủó cho l phng trỡnh vi phõn ton phn ( ) ( ) Nghim ca phng trỡnh: u ( x, y ) = C x y x x0 y0 ( ) y u ( x, y ) = P ( x, y )dx + Q ( x0 , y )dy = e y + sin x dx + cos ydy ( u ( x, y ) = xe y cos x ) x 0 y + sin y = xe y cos x + + sin y Kt lun: Nghim ca phtrỡnh: xe y cos x + sin y = C1 2/ Phng trỡnh ủc trng: k 4k + = k1 = k2 = Nghim ca phng trỡnh thun nht: y0 = C1e x + C2 xe2 x Tỡm nghim riờng: f ( x) = 8e2 x , = 2, Pn ( x) bc yr = x s e x A = Ax e2 x vỡ = l nghim kộp ca PTT, nờn s = Thay vo phng trỡnh ủó cho, ủng nht hai v, ta ủc: A = Nghim tng quỏt ca phng trỡnh ban ủu: ytq = y0 + yr = C1e2 x + C2 xe2 x + x e2 x ( n + 2) ( n + 2) n + 3 Cõu 1a/ lim n an = lim = e < hi t theo Cụsi n n n+2 an +1 1.3.5 (2n 1)(2n + 1) n + 2.4.6 (2n) 6n + 1b/ = = an 2.4.6 (2n)(2n + 2) 1.3.5 (2n 1) 3n+1 2n + a 6n + lim n+1 = lim = > Chui phõn k theo tiờu chun DAlembert n a n 2n + n (1) n 3n +1 X n Bỏn kớnh hi t: R = , vi = lim n an = R = n+ n n=0 n +1 2/ t X = x Xột chui 146 ( 1) n Cú chui s: Hi t theo tiờu chun Leibnitz 3 n = 16 n + Xột ti X = Cú chui s: Phõn k theo tiờu chun so sỏnh 3 n = 16 n + 4 Kt lun: Min hi t ca chui ủó cho: < x < x 3 3 Cõu 1/ Min xỏc ủnh x y ' = + = x = x x x ' + y y Xột ti X = + + Hm ủt cc ủi ti x = , giỏ tr cc ủi y = f (2) = 3x x = Tim cn ủng x = x x x2 3x x lim y = lim = Cú tim cn ngang: y = x x x2 lim y = lim 2/ z x' = xy 3e x y ; z 'y = x y 2e x y '' ; z xy = 18 xy 2e x y + 18 x3 y 5e x y '' dz (1,1) = 6edx + 9edy ; z xy (1,1) = 36e x = r cos / / Cõu 1/ i bin: r 33 y = r sin /3 33 Vy I = d /4 r 3+ r dr = (ủi bin t = + r ) 2/ iu kin: Py' = Qx' emx x.3.cos(3 y ) + e mx cos y ye mx sin y = memx ( x.cos y y sin y ) + emx cos y x cos y y sin y = mx cos y my sin y m = I = ( P + x + y )dx + (Q + y x)dy = + OAB C ( ( Q + y 3x ) ' x ) ( P + x + y )'y dxdy Vỡ Py' = Qx' I = (3 3)dxdy = S OAB = OAB z x' = x y = Cõu 5a 1/ im dng: ' , cú ủim dng P1 (0, 0), P2 (1,1), P3 (1, 1) z y = x + y = '' '' o hm riờng cp hai: z xx = 4, z xy = 4, z ''yy = 12 y Xột tng ủim dng '' '' P1 (0, 0) : A = z xx ( P1 ) = 4, B = z xy ( P1 ) = 4, C = z ''yy ( P1 ) = = AC B = 16 < Khụng cú cc tr ti P1 = AC B = 32 > '' '' Ti P2 (1,1) A = z xx ( P2 ) = 4, B = z xy ( P2 ) = 4, C = z ''yy ( P2 ) = 12 A>0 Hm ủt cc tiu ti P2 Tng t hon ton, hm ủt cc tiu ti P3 (1, 1) 2/ Chỳ ý: phi tỏch lm tớch phõn: I = ( + dx )( 1+ x 1+ x ) + ( dx )( + x + x ) = I1 + I Vỡ I1 l tớch phõn xỏc ủnh thụng thng nờn tớnh cht hi t ca I v ca I tng ủng 147 + Xột I = dx ( )( ( ) + x3 + x ) Ta cú f ( x) = >0, x + ( )( + x3 + x ) +3 x Tớch phõn hi t + > > S nguyờn dng nht = + A B Cx + D dx Tớnh I = Phõn tớch = + + 2 + x (1 + x ) x x +1 + x (1 + x ) x x + (1 + x ) ( ) 1 Qui ủng, ủng nht hai v (hoc dựng khai trin Heaviside): A = B = D = , C = 3 + + + + dx dx ( x 1) dx dx I= + + x + ( x + 1) x x + ( x 1/ ) + / 2 ( ) + + + 1 1 2x + I = + ln |1 + x | ln | x x + 1| + arctan 1+ x 3 ( x + 1) 1 I = + ln x x +1 + + + = + 3 27 Cõu 5b 1/ Min xỏc ủnh R y liờn tc trờn [ 0, 2] y ' = ( x 1)(7 x) = x = x = / (loi) (3 x)( x 1) + y (0) = ln 4; y (1) = 0; y (2) = ln Kt lun: Giỏ tr ln nht l ln ti x = ; giỏ tr nh nht l ti x = 1/ x x 2/ I = lim + x x =e lim x x2 1/ x ln (1+ x ) Xột lim x x 1/ ln (1 + x ) x x x2 x2 x x x2 1/ ln (1 + x ) = ln + + o( x ) = ln + o( x ) = + o( x ) 3 9 x x / + o( x ) x2 / 1/ ln + x = lim = lim = I = e1/ ( ) 2 x x x x 0 x x lim ỏp ỏn ủ thi 2007 y3 dx dy 1 dx dy Cõu 1/ a/ dx x dy = = = + C = +C 2x y2 2x y 2x y iu kin y (4) = C = Nghim ca phtrỡnh: x = y ( b/ Nghim tng quỏt y = e pdx q ( x) e pdx dx + C ( ) ) y = e / xdx x cos x e / xdx dx + C = x ( cos xdx + C ) = x ( sin x + C ) 2/ Phng trỡnh ủc trng: k + 2k = k1 = 1, k2 = Nghim ca phng trỡnh thun nht: y0 = C1e x + C2e x Tỡm nghim riờng: yr = x e3 x ( Ax + B) = e3 x ( Ax + B) vỡ = khụng l nghim ca PTT 1 Thay vo phng trỡnh ủó cho, ủng nht hai v, ta ủc: A = , B = 1 Nghim tng quỏt ca phng trỡnh ban ủu: ytq = y0 + yr = C1e x + C2 e3 x + e3 x x 148 (2 n +1) 1 ( n 1) n +1 1 Cõu 1/a lim n an = lim = e1/ = < an hi t theo Cụsi n n 2n + e a 1.4.9 n (n + 1)2 5n +3 1.3.5 (2n 1) n ! (n + 1)2 = 1b/ n +1 = n+2 an 1.3.5 (2n 1)(2n + 1).(n + 1)! 1.4.9 n 2n + (n + 1) a 5(n + 1) lim n +1 = lim = > Chui an phõn k theo tiờu chun DAlembert n a n n + n Kt lun: chui ( un + ) phõn k Xn 2/ t X = x + Xột chui Bỏn kớnh hi t: R = , vi = lim 4n + n3 + Xột ti X = Cú chui s: Phõn k theo tiờu chun so sỏnh n = 16 n3 + (1)n Xột ti X = Cú chui s: Hi t theo tiờu chun Leibnitz n = 16 n3 + Kt lun: Min hi t ca chui ủó cho: x + < x < x3 Cõu 1/ Min xỏc ủnh x y ' = = x = x x + 10 x ' + y y n=0 n n an = R = 4 + Hm ủt cc tiu ti x = , giỏ tr cc ủi y = f (3) = Khụng cú tim cn ủng ( y x x + 10 = lim = 1, b = lim ( y ax ) = lim x x + 10 x x + x x + x + x + x x + 10 = lim = Cú tim cn xiờn: y = x x + x x + 10 + x 2x 6y u u 2/ u x' = u x' (1,1) = u 'y = u 'y (1,1) = + =2 2 2 x y x + 3y x + 3y a = lim '' u xx = y2 2x2 (x + 3y ) 2 '' u xx (1,1) = '' 12 xy ; u xy = x2 + y ( ) '' u xy (1,1) = ) '' u xx + u ''yy = x = r cos Cõu 1/ i bin: r y = r sin Khi ủú I = d r arctan rdr = 0 ( 3) (tớch phõn tng phn, ủt u = arctan r , dv = rdr ) 2/ iu kin: ( h.P ) y = ( h.Q ) x he y (1 + x + y )e y h = h' (1 x y )e y he y ' ' h' h = h = Ce 1dy = Ce x iu kin h(0) = C = h = e x I = (hPdx + hQdy ) Tớch phõn khụng ph thuc ủng ủi Thay vỡ tớnh tớch phõn trờn cung trũn, ta tớnh C tớch phõn theo ủng thng ủng t A(0,-3) ủn B(0,3) 149 I = e x P ( x, y )dx + e x Q( x, y )dy = (1 y )e y dy = 3e3 + 3e AB ' z x = 3x + x y + = Cõu 5a 1/ im dng: ' , cú ủim dng P1 (0,1), P2 (1, 0) z y = y x = '' '' o hm riờng cp hai: z xx = x + 6, z xy = 3, z ''yy = y Xột tng ủim dng = AC B = 27 > '' '' Hm ủt cc tiu ti P1 P1 (0,1) : A = z xx ( P1 ) = 6, B = z xy ( P1 ) = 3, C = z ''yy ( P1 ) = A>0 '' '' P2 (1, 0) : A = z xx ( P2 ) = 0, B = z xy ( P2 ) = 3, C = z ''yy ( P2 ) = = AC B < Khụng cú cc tr ti P2 x + Tớch phõn hi t vỡ = / > x x x + + + xdx 2t ln , ủt t = x + I = = + arctan I= 24 2 t t 80 x x +1 2/ f ( x) = 3/ ( ) Cõu 5b 1/ Min xỏc ủnh R, y liờn tc trờn [1,3] y ' = ( x 1)2 (12 x) + x( x 1)(12 x) 5( x 1) x = x = x = (loi) x = /10 (loi) y (2) = 4; y (1) = 0; y (3) = 36 Kt lun: Giỏ tr ln nht l ti x = ; giỏ tr nh nht l 36 ti x = x +1 x +1 x + 2/ I = lim x + x + x+5 I = e4 e3 e1 = e8 x+2 x+4 x+5 x+4 = lim x + x+5 x +1 x+5 x+2 x+5 x+4 ỏp ỏn ủ thi 2008 ( Cõu 1/ a/ Nghim tng quỏt y = e pdx q ( x) e pdx dx + C ) 6sin x / xdx y = e / xdx e dx + C = ( 6sin xdx + C ) = ( C cos x ) x x x b/ P ( x, y ) = xy + y Py' = 10 xy + , Q( x, y ) = x y + x Qx' = 10 xy + Qx' = Py' Phng trỡnh vi phõn ủó cho l phng trỡnh vi phõn ton phn Nghim ca phng trỡnh: u ( x, y ) = C u x' = P( x, y ) u ( x, y ) = P ( x, y )dx + g ( y ) = (5 xy + y )dx + g ( y ) = x y + xy + g ( y ) ' u y = Q( x, y ) u 'y = x y + x + g ' ( y ) = Q( x, y ) g ' ( y ) = g ( y ) = C1 2 x y + xy + C1 Kt lun: Nghim ca phng trỡnh: x y + xy = C2 2 2/ Phng trỡnh ủc trng: k 2k = k1 = 1, k2 = Vy u ( x, y ) = Nghim ca phng trỡnh thun nht: y0 = C1e x + C2e3 x Tỡm nghim riờng: f ( x) = e0 x (30 cos 3x + 0.sin 3x), = 0, = 3, Pn ( x) bc 0, Qm ( x) bc yr = x s e0 x ( A cos x + B sin 3x) = x e0 x ( A cos 3x + B sin 3x) vỡ + i = 3i khụng l nghim ca PTT Thay vo phng trỡnh ủó cho, ủng nht hai v, ta ủc: A = 2, B = Nghim tng quỏt ca phng trỡnh ban ủu: ytq = y0 + yr = C1e x + C2e3 x + cos x + sin x 150 vn+1 2.4 (2n + 2)(n + 1)n +1 4.7 (3n + 1) n ! 2n + (n + 1)n = = 4.7 (3n + 4)(n + 1)! 3n + nn 2.4 (2n).n n 2n + 2e = lim (1 + 1/ n) n = > Chui phõn k theo tiờu chun DAlembert n 3n + Cõu 1/ +1 n v n lim n +1 n +1 n +1 n +1 n lim n un = lim = lim n n n + n 4n + = e2 < hi t theo Cụsi Kt lun: chui ( un + ) phõn k 2/ t X = x + Xột chui (n + 2) X n Bỏn kớnh hi t: R = , vi = lim n6 + n+2 Xột ti X = Cú chui s: Hi t theo tiờu chun so sỏnh n = 25 n + ( 1) n n + Xột ti X = Cú chui s: Hi t tuyt ủi n = 25 n + Kt lun: Min hi t ca chui ủó cho: x + x x + Cõu 1/ Min xỏc ủnh x y ' = = x = / ( x 5)2 x x + 10 n = 5n + x y' y + 5/ n an = R = 5 + - - Hm ủt cc ủi ti x = / , giỏ tr cc ủi y = f (5 / 2) = x x + 10 = Tim cn ủng x = x5 lim y = lim x n x x x + 10 | x | / x + 10 / x x / x + 10 / x = lim = lim =1 x + x + x + x + x5 x(1 / x) x(1 / x) Cú tim cn ngang: y = 6x 12 y u u 27 2/ u x' = u x' (2,1) = ; u 'y = u 'y (2,1) = + = 2 2 5 x y 6x + y 6x + y lim y = lim '' u xy = xy (6x + y2 ) '' u xy (2,1) = 12 '' ; u yy = 125 x2 (6x + y2 ) '' u xy (2,1) = 24 72 '' 4u xy + 5u ''yy = 125 125 e x = r cos Cõu 1/ i bin: Khi ủú I = d 2r ln rdr y = r sin r e e = 2 r ln rdr = (2e3 + 1) (tớch phõn tng phn u = ln r , dv = r dr ) 1 ' ' 2/ iu kin: ( h.P ) y = ( h.Q ) x y.h ' + h = 2h y.h' h = h ' h = h = Ce 1/ ydy = Cy y iu kin h(1) = C = h( y ) = y 151 I = (hPdx + hQdy ) Tớch phõn khụng ph thuc ủng ủi Thay vỡ tớnh tớch phõn trờn cung ellipse, ta tớnh C tớch phõn theo ủng thng t A ủn v t ủn B I = y dx + (2 xy y 2e y )dy + y dx + (2 xy y 2e y )dy = y e y dy = 2e2 AO OB z x' = 3x + y = , ' z y = x + y = Cõu 5a 1/ im dng: cú ủim dng P1 (0, 0), P2 (3 / 4, /16) '' '' o hm riờng cp hai: z xx = x, z xy = 3, z ''yy = Xột tng ủim dng '' '' P1 (0, 0) : A = z xx ( P1 ) = 0, B = z xy ( P1 ) = 3, C = z ''yy ( P1 ) = = AC B = < Khụng cú cc tr ti P1 = AC B = > '' '' P2 (3 / 4, /16) : A = z xx ( P2 ) = / 2, B = z xy ( P2 ) = 3, C = z ''yy ( P2 ) = A>0 Hm ủt cc tiu ti P2 x + 2/ f ( x) = x m x + 1 x m+2 / Tớch phõn hi t m + / > m > 1/ + x2 m +1 I= x (1 + x ) dx Tớch phõn Trờbsev: + p = Z t =t n x2 dx = 3t dt x 3dx = t dt x + + / 1/ ((1 + x ) x ) 1/ 3 3 x dx = tdt = 1 Cõu 5b 1/ Min xỏc ủnh R y liờn tc trờn [ 2, 0] I= x / 3 x x / 2 ( ) y ' = 12 x3 24 x 12 x + 24 = x = x = (loi) x = (loi) y (1) = 17; y (1) = 15; y (2) = 42 Kt lun: Giỏ tr ln nht l 42 ti x = ; giỏ tr nh nht l 17 ti x = f x 0+ x 0+ 2/ Ta cú g ( x) 0, f ( x) = x + x + b b lim hu hn thỡ b = x g 1 ( x + 8)2 / f Khi ủú: I = lim = lim x + = x + g x + 18 3e9 x ỏp ỏn ủ thi 2009 y = e / xdx ( ( ( y = 2e2 x x3 Nghim tng quỏt y = e pdx q ( x) e pdx dx + C x 2x / xdx dx + C = x3 2e x dx + C = x3 e2 x + C 2e x e Cõu 1/ a/ y ' ) ( ) ) ) b/ P ( x, y ) = e x sin y + y Py' = e x cos y + , Q( x, y ) = e x cos y + x Qx' = e x cos y + Qx' = Py' Phng trỡnh vi phõn ủó cho l phng trỡnh vi phõn ton phn Nghim ca phng trỡnh: u ( x, y ) = C x y x x0 y0 ( ) ( ) y u ( x, y ) = P ( x, y )dx + Q( x0 , y )dy = e x sin y + y dx + ( cos y + ) dy u ( x, y ) = e x sin y + xy x 0 y + sin y = e x sin y + xy sin y + sin y = e x sin y + xy 2/ Phng trỡnh ủc trng: k + 6k + = k1 = k2 = 152 Nghim ca phng trỡnh thun nht: y0 = C1e x + C2 xe3 x Tỡm nghim riờng: yr = x s e3 x ( Ax + B) = x0 e3 x ( Ax + B) vỡ = khụng l nghim ca PTT Thay vo phng trỡnh ủó cho, ủng nht hai v, ta ủc: A = 1, B = Nghim tng quỏt ca phng trỡnh ban ủu: ytq = y0 + yr = C1e3 x + C2 xe3 x + ( x 1)e3 x un+1 3.5 (2n + 3)(n + 1)! 4.8 (4n) n n 2n + nn 2n + = = = n +1 n un 3.5 (2n + 1).n ! 4n + (n + 1) 4n + (1 + 1/ n) n 4.8 (4n + 4)(n + 1) 2n + 1 = lim = < Chu i un hi t theo tiờu chun DAlembert n 4n + (1 + 1/ n ) n 2e Cõu 1/ un+1 n u n lim 4n lim = lim n n 4n + n +1 n n + = lim n 4n + n +1 n +2 = e3 < hi t theo Cụsi Kt lun: chui ( un + ) hi t (1) n n X n 1 Bỏn kớnh hi t: R = , vi = lim n an = R = 2/ t X = x Xột chui n+1 n n=0 (2n + 1) (1)n n , chui phõn k theo ủnh lý ủiu kin cn n = 2.(2 n + 1) n , chui phõn k theo ủnh lý ủiu kin cn Xột ti X = Cú chui s: n = 2.(2 n + 1) Kt lun: Min hi t ca chui ủó cho: < x < < x < x Cõu 1/ Min xỏc ủnh R y ' = y ' = x = x2 + x + Xột ti X = Cú chui s: ( x y' y ) + + Hm ủt cc ủi ti x = , giỏ tr cc ủi y = f (1) = - Tim cn ủng khụng cú x +1 x(1 + 1/ x) x(1 + 1/ x) lim y = lim = lim = lim =1 2 x + x + x + x + x + x+ | x | + 1/ x + 1/ x x + 1/ x + 1/ x x +1 x(1 + 1/ x) x(1 + 1/ x) lim y = lim = lim = lim = x x x + x + x | x | + 1/ x + 1/ x x+ x + 1/ x + 1/ x Cú hai tim cn ngang: y = x x x 2/ u x' = cos u x' ( / 3, 0) = ; u 'y = cos u 'y ( / 3, 0) = 1+ y 1+ y 1+ y (1 + y ) u u x '' '' +2 = ; u xx = sin u xx ( / 3, 0) = x y (1 + y ) + y ln x = r cos Cõu 1/ i bin: Khi ủú I = d er rdr = (ln 1) y = r sin r ln 2/ iu kin: ( h.P ) y = ( h.Q ) x h( x + 2) cos y = h ' x cos y + h cos y xh' ( x + 1)h = ' ' 153 x +1 1+1/ x ) dx h = h = Ce ( = Cxe x T h(1) = e C = Vy h( x) = xe x x I = (hPdx + hQdy ) Tớch phõn khụng ph thuc ủng ủi Thay vỡ tớnh tớch phõn trờn cung ellipse, ta tớnh h' C tớch phõn theo ủng thng ủng t A ủn B /2 /2 / I = xe x ( x + 2) sin ydx + xe x x cos ydy = e.cos ydy = e.cos ydy = 2e AB Cõu 5a 1/ im dng: ' z x ' z y = y ( x + y ) + + xy = = x( x + y ) + + xy = , tr hai ptrỡnh, cú ủim dng P1 (1, 1), P2 (1,1) '' '' o hm riờng cp hai: z xx = y, z xy = 2( x + y ), z ''yy = x Xột tng ủim dng '' '' P1 (1, 1) : A = z xx ( P1 ) = 2, B = z xy ( P1 ) = 0, C = z ''yy ( P1 ) = = AC B = < Khụng cú cc tr ti P1 '' '' P2 (1,1) : A = z xx ( P2 ) = 2, B = z xy ( P2 ) = 0, C = z ''yy ( P2 ) = = AC B = < Khụng cú cc tr ti P2 2/ Trng hp m > f ( x) = Trng hp m < f ( x) = + I= dx ( x + 1) x x +1 = (x (x x + m ) +1 x x + m ) +1 i bin Euler: x2 1 x m +1 Tớch phõn hi t m + > m > Tớch phõn phõn k x x2 = x + t x = 1+ t2 1 t2 dx = dt 2t t2 1+ t2 (t 1) 2dt +1 = I= = 2 2t 2t (t 1) Cõu 5b 1/ Min xỏc ủnh R y liờn tc trờn [ 2, 0] y ' = x2 + x + = x = x = (loi) ( x + 3) y (1) = 1/ 2; y (0) = 1/ 3; y (2) = / Kt lun: Giỏ tr ln nht l 1/ ti x = ; giỏ tr nh nht l 1/ ti x = f x x 2/ Ta cú g ( x) 0, f ( x) b + lim hu hn thỡ b = x g Khi ủú: I = lim e x 0 sin x ln(1 + sin t )dt ,Lopital = 2sin x cos xesin x sin x cos xesin lim = lim x 3ln(1 + sin x ) x sin 3x x = 3x 154 [...]... theo tiêu chuẩn D’Alembert n→∞ a n→∞ 2n + 2 1 n (−1) n 3n +1 X n 1 3 4 Bán kính hội tụ: R = , với ρ = lim n an = ⇒ R = n+ 2 3 n→∞ ρ 4 3 n=0 4 n +1 ∞ 2/ ðặt X = x − 1 Xét chuỗi ∑ 146 ∞ ( −1) n 3 4 Có chuỗi số: ∑ Hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz 3 3 n = 0 16 n + 1 ∞ 4 3 Xét tại X = − Có chuỗi số: ∑ Phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 3 3 n = 0 16 n + 1 4 4 1 7 Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho:... an phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert n→∞ a n →∞ 2 n + 1 2 1 n ∞ Kết luận: chuỗi ∑ ( un + vn ) phân kỳ 1 Xn ∞ 2/ ðặt X = x + 3 Xét chuỗi ∑ Bán kính hội tụ: R = 1 , với ρ = lim ρ 4n + 2 ⋅ 4 n3 + 1 ∞ 1 Xét tại X = 4 Có chuỗi số: ∑ Phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh n = 0 16 4 n3 + 1 ∞ (−1)n Xét tại X = −4 Có chuỗi số: ∑ Hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n = 0 16 4 n3 + 1 Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi... n→∞   4n + 1     ∞ = e−2 < 1 ⇒ ∑ vn hội tụ theo Côsi 1 ∞ Kết luận: chuỗi ∑ ( un + vn ) phân kỳ 1 ∞ 2/ ðặt X = x + 1 Xét chuỗi ∑ (n + 2) X n Bán kính hội tụ: R = 1 , với ρ = lim ρ n6 + 1 ∞ n+2 Xét tại X = 5 Có chuỗi số: ∑ Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh n = 0 25 n 6 + 1 ∞ ( −1) n n + 2 Xét tại X = −5 Có chuỗi số: ∑ Hội tụ tuyệt ñối n = 0 25 n 6 + 1 Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: −5... ( ) 11 11   Xét lim  ln (1 + 4 x ) − 4  = lim  4 x − 8 x 2 + o( x 2 ) − 4  = x →0 x  x  x →0 x  x  −8 x + o ( x ) −8 x = lim == lim = 8 ⇒ I = e −8 x →0 x → 0 x x 2/ I = e lim x →0 x ðáp án ñề thi 2006 ( Câu 1 1/ a/ Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C )  5x4  y = e ∫ 2 / xdx ∫ 5 x5 ⋅ e− ∫ 2 / xdx dx + C = x 2 ∫ 5 x3dx + C = x 2  +C  4  ' y ' b/ Py = e = Qx Phương... +1   x + 2  2/ I = lim     x →+∞  x + 5   x+5 I = e−4 ⋅ e−3 ⋅ e−1 = e−8 x+2  x+4    x+5 x+4 4   = lim 1 −  x →+∞  x+5 x +1 3   1 −   x+5 x+2 1   1 −   x+5 x+4 ðáp án ñề thi 2008 ( Câu 1 1/ a/ Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C ) 1  6sin x ∫ 3 / xdx  1 y = e − ∫ 3 / xdx  ∫ ⋅e dx + C  = 3 ( ∫ 6sin xdx + C ) = 3 ( C − 6 cos x ) 3 x  x  x...  = ln  1 − + o( x 2 )  = − + o( x 2 ) 3 3 9 9   3 9   1  x − x 2 / 9 + o( x 2 ) − x2 / 9 1 1/ 3 ln 1 + x − = lim = lim = − ⇒ I = e−1/ 9 ( )   2 2 x →0 x 2 x → x → 0 0 3 9 x x  lim ðáp án ñề thi 2007 y3 dx dy 1 −1 1 dx dy Câu 1 1/ a/ dx − x 2 dy = 0 ⇔ 2 = 3 ⇒ ∫ 2 = ∫ 3 + C ⇒ − = +C 2x 2 y2 2 2x y 2x y ðiều kiện y (4) = 2 ⇒ C = 0 Nghiệm của phtrình: x = y 2 ( b/ Nghiệm tổng quát y =... →0+ x →0+ 2/ Ta có g ( x)  → 0, f ( x) = x + 4 − 3 x + b  → 2 − 3 b ðể lim hữu hạn thì b = 8 x →0 g 1 1 0 − ( x + 8)−2 / 3 f 0 1 3 Khi ñó: I = lim = lim 2 x + 4 = 2 x →0 + g x →0 + 18 3e−9 x ðáp án ñề thi 2009 y = e ∫ 3 / xdx ( ( ( 3 y = 2e2 x x3 Nghiệm tổng quát y = e − ∫ pdx ∫ q ( x) ⋅ e ∫ pdx dx + C x 2x 3 − ∫ 3 / xdx dx + C = x3 ∫ 2e 2 x dx + C = x3 e2 x + C ∫ 2e x ⋅ e Câu 1 1/ a/ y ' − )... n→∞  4n + 2  4 n +1 n −4 n + 2  3  3  = lim  1 −   n→∞  4n + 2    −3 4 n +1 4 n  +2    ∞ = e−3 < 1 ⇒ ∑ vn hội tụ theo Côsi 1 ∞ Kết luận: chuỗi ∑ ( un + vn ) hội tụ 1 (−1) n n X n 1 1 Bán kính hội tụ: R = , với ρ = lim n an = ⇒ R = 2 2/ ðặt X = x − 2 Xét chuỗi ∑ n+1 n→∞ ρ 2 n=0 2 (2n + 1) ∞ (−1)n n , chuỗi phân kỳ theo ñịnh lý ñiều kiện cần n = 0 2.(2 n + 1) ∞ n , chuỗi phân kỳ theo