Sinh viên kinh tế quốc dân Sửa một số bài tập chương 1 1.4 a) Gọi H1 là biến cố quả thứ 1 là trắng H2 là biến cố quả thứ 2 là đen A là biến cố quả thứ 2 là trắng H1 và H2 là một nhóm đầy đủ các biến cố nên theo công thức XS đầy đủ có: PA=PH1×PAH1+P(H2)×P(A|H2) =aa+b a1a+b1+ ba+b aa+b1 = aa+b b) Gọi B là biến cố quả cuối cùng là trắng Số kết cục duy nhất đồng khả năng của việc lấy ra a+b quả cầu là m=(a+b) Có a cách chọn quả cuối cùng là trắng và (a+b1) cách lấy những quả còn lại • n=a(a+b1) Vậy P(B) = mn = a×(a+b1)(a+b) = aa+b
Sinh viên kinh tế quốc dân Sửa số tập chương 1.4 a) Gọi H1 biến cố thứ trắng H2 biến cố thứ đen A biến cố thứ trắng H1 H2 nhóm đầy đủ biến cố nên theo công thức XS đầy đủ có: PA=PH1×PAH1+P(H2)×P(A|H2) =aa+b a-1a+b-1+ ba+b aa+b-1 = aa+b b) Gọi B biến cố cuối trắng Số kết cục đồng khả việc lấy a+b cầu m=(a+b)! Có a cách chọn cuối trắng (a+b-1)! cách lấy lại • n=a*(a+b-1)! Vậy P(B) = m/n = a×(a+b-1)!(a+b)! = aa+b 1.91 Gọi Hi biến cố lúc đầu hộp có I sản phẩm tốt ( i=0,n ) Do giả thiết trạng thái cấu thành ban đầu hộp đồng xác xuất nên P(Hi)= 1n+1 Gọi A biến cố lấy sản phẩm tốt • P(A/Hi) = i+1n+1 H0, H1,…, Hn nhòm đầy đủ biến cố nên Theo công thức xác xuất đầy đủ: P(A) = i=0nP(Hi)×P(A|Hi) =1n+1 ( 1n+1 + 2n+1+…+n+1n+1 ) =n+22(n+1) 1.27 a) Vì năm có 366 ngày khác ( tính 29/2) nên số kết cục đồng khả ngày sinh người chỉnh hợp lặp chập 366 phần tử: n = 366^3 Gọi A biến cố người có ngày sinh khac Số kết cục thuận lợi cho A là: A3663 • P(A) = m/n ≈ 0.992 b) Gọi B biến cố người có ngày sinh trùng => m = 366 => P(B) = 366/(366^3) ≈ 7.5×10^- 1.28 Ta có: sản phẩm vỡ nắp sản phẩm sứt voì sản phâm mẻ miệng… a Số sản phẩm bị khuyết tật là: 9+ 6+3+6+2+4+1= 31 Tổng số sản phẩm 100 nên: Pa = 0.31 b m = => Pb = 0.06 c Gọi H1 biến cố sản phẩm bị vỡ nắp H2 biến cố sản phẩm bị sứt vòi C biến cố sản phẩm bị sứt vòi biết bị vỡ nắp => C=H2/H1 =>P(C) = P(H2/H1) = 7/20 = 0.35 ( trường hợp xác xuất có điều kiện ) 1.32 ( cách khác) Số kết cục đồng khả để 10 người vào quầy chỉnh hợp lặp chập 10 = 3^10 Gọi A biến cố có người vào quầy => số kết cục thuận lợi cho A :C103.27 Vậy P(A) = C103×27310 1.34 Gọi Ak biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu ( k=1,3 ) a) A1A2 A3 biến cố có người thức bắn trúng mục tiêu b) c) bạn trước làm d) A1 A2 A3 biến cố có người bắn trúng mục tiêu 1.43 Gọi A biến cố sau gia công chi tiết có khuyết tật Xác xuất để chi tiết công đoạn thức i khuyết tật 1- P i ( i=1,k ) Vậy P(A) = 1- P(A ) = 1- i=1k(1-Pi) 1.44 ( cách khác dễ hiểu ) Sau lấy k bỏ lại vào hộp n-k bóng Số cách lấy tiếp k bóng là: Cn-kk Tổng số cách lấy tiếp k bóng là: Cnk => P= Cn-kkCnk 1.81 a) Để chia hộp thành phần nhau, ta có : C9 3C63C33=1680 cách Gọi A biến cố cầu đỏ phần => số kết cục thuận lợi cho A là: 3.C63C33=60 Vậy P(A)= 60/1680≈ 0.036 b) Gọi B biến cố phần có cầu đỏ => số kết cục thuận lợi cho B là: 3!.C62C42C22=540 Vậy P(B)= 540/1680≈ 0.321 Chương I: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài 1.1: a) Gọi A biến cố “xuất mặt sáu chấm gieo xúc xắc” Số kết cục đồng khả n = Số kết cục thuận lợi cho biến cố A m =1 Vậy: P(A)= = b) Gọi B biến cố “mặt có số chẵn chấm xuất hiện” Số kết cục thuận lợi cho B n = Vậy: P(B) = = = 0.5 Bài 1.2: a) Gọi A biến cố “lấy bìa có xuất chữ số 5” biến cố không xuất chữ số Vì số kết cục đồng khả 100, số kết cục thuận lợi cho A 19, nên số kết cục thuận lợi cho 81 Vậy P ( ) = 0.81 b) từ đến 100 có 50 số chẵn nên có 50 số chia hết cho Có 20 số chia hết cho 5, 10 số vừa chia hết cho vừa chia hết cho Do số kết cục thuận lợi cho biến cố lấy lên bìa có số chia hết cho 2, chia hết cho 5, chia hết cho 50 +20-10 = 60 Vậy P(A)= =0.6 Bài 1.3: a) A = “quả cầu thứ trắng” Số kết cục đồng khả tất phương pháp để lấy cầu khỏi (a+b) cầu Vậy n = a+b Số kết cục thuận lợi lấy cầu thứ màu trắng a Vậy xác suất P(A) = b) Nếu thứ trắng chọn thứ a+b-1 kết cục đồng khả Số kết cục thuận lợi để thứ màu trắng a-1 Vậy xác suất P(B) = c) tương tự câu b), thứ hai trắng nên số kết cục đồng khả chọn thứ a+b-1 số kết thuận lợi a-1 Vậy P(C) = Bài 1.4 a) Số kết đồng khả thực hoán vị a + b cầu nên m = (a+b)! cầu thứ trắng số kết thuận lợi cho biến cố chỉnh hợp chập a+b-1 phần tử a+b phần tử Vậy xác suất P(A) = b) gọi B biến cố cầu cuối trắng Khi tương tự câu a), ta có xác suất P(B) = Bài 1.5 Sấp (S) Ngửa (N) Sấp (S) SS NS Ngửa (N) SN NN a) Dựa vào bảng trên, thấy số kết cục đồng khả Số kết cục thuận lợi cho biến cố A = “Hai mặt sấp xuất hiện” Vậy P (A) = = 0,25 b) Số kết cục thuận lợi cho biến cố B = “Một sấp ngửa” Vậy xác suất P(B) = = 0,5 c) Số kết cục thuận lợi cho biến cố C = “Có mặt sấp” Vậy P(C) = 0,75 Bài 1.6 Gieo đồng thời xúc xắc số kết cục đồng khả 6.6=36 a) có kết cục thuận lợi cho biến cố A=”hai mặt có tổng số chấm 7” cặp 1&6, 2&5, 3&4, 4&3, 5&2, 6&1 nên P(A) = = b) B = “hai mặt có tổng số chấm nhỏ 8” Bi =”hai mặt có số chấm nhỏi i”, với i=2,3,…7 (nhỏ 2) B2 có kết cục thuận lợi B3 có kết cục thuận lợi B4 có kết cục thuận lợi B5 có kết cục thuận lợi B6 có kết cục thuận lợi B7 có kết cục thuận lợi Vậy số kết cục thuận lợi biến cố B 21 Nên P(B) = = c) D = “ hai mặt có mặt chấm” số kết cục thuận lợi cho D 11 Vậy P(D) = Bài 1.7 Số cách trả mũ xảy A =6 d) Để người trả mũ có kết cục thuận lợi nên P(D)= c) Không thể có khả có người trả mũ, chắn người thứ mũ, nên P( C) = b) số kết cục thuận lợi để có người trả mũ Vậy P(B) = = 0,5 a) xác suất để người bị trả sai mũ là: P(A) = - - 0,5 = Bài 1.8 Ta có biểu đồ tập hợp sau: a) Số học sinh học ngoại ngữ 50% + 10% + 15% + 5% = 80% Vậy xác suất biến cố P(A) = 0,8 b) Số học sinh học tiếng Anh tiếng Đức 10% Vậy P(B) = 0,1 c) Số học sinh học tiếng Pháp 15% Vậy xác suất P( C) = 0,15 Bài 1.9 Số kết cục đồng khả chỉnh hợp chập 10 số tự nhiên, nên m = A = 720 Chỉ có kết cục thuận lợi cho việc gọi điện số điện thoại, xác suất P= Bài 1.10 Số kết cục đồng khả thực phép thử lấy ngẫu nhiên sản phẩm tổ hợp chập 15 phần tử, n = C = 455 a) A = “ chi tiết lấy đạt tiêu chuẩn” số kết cục thuận lợi cho A C =120 P(A) = = 0,264 b) B = “chỉ có chi tiết đạt tiêu chuẩn” số kết cục thuận lợi cho B C = 225 P (B) = = 0,495 Bài 1.11: Số kết đồng khả năng: P(6) = 6! A= “Xếp chữ NGHÊNH” Chữ N có cách chọn Chữ H có cách chọn Chữ G, Ê, N chữ có cách chọn Số kết đồng khả xảy A là: m = 2.2.1.1.1 = P(A) = = Bài 1.12 a) Mỗi khách có khả để tầng lại tòa nhà Do số kết cục đồng khả n = 63 =216 A = “Tất tầng 4”, m=1 P(A) = b) B= “Tất tầng” Tất có khả để tầng lại tòa nhà Do đó: P(B) = 6P(A) = = c) C = “Mỗi người tầng khác nhau” P(C) = = Bài 1.13 Số khả xảy ra: P(12) =12! A = “Các tập xếp thứ tự từ phải sang trái hặc từ trái sang phải” nên m = P(A) = Bài 1.14 Số khả xảy ra: a) A= “Lấy quân át” m= =4 = 22100 P(A) = = b) B= “Lấy quân át” P(B) = = = Bài 1.15 Chia ngẫu nhiên lô hàng thành phần tức lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ 10 sản phẩm Do số khả xảy là: n = = 252 Mỗi phần có số phẩm tức phần có phẩm, phế phẩm Do đó, m = = 120 A = “Mỗi phần có số phẩm nhau” P(A) = = Bài 1.16 Mỗi vị trí nhận giá trị từ đến 10 Số khả xảy là: n = 105 a) A= “Có chữ số khác nhau” P(A) = = 0.3024 b) B= “Có chữ số lẻ” vị trí nhận giá trị 1, 3, 5, ,9 Do đó: m= 55 P(B) = =0.03125 Bài 1.17 Số khả xảy ra: P(5) = 120 a) A= “C ngồi giữa” m=1.P(4) = 24 P(A) = = 0.2 b) B= “A B ngồi đầu ghế” P(B) = = 0.1 Bài 1.18 Số khả xảy ra: A= “Lấy có số hiệu nhỏ k có số hiệu lớn k” m= P(A) = = 1.19 Số kết đòng khả là:n= 6n A = “Tổng số chấm n+1” Số kết thuận lợi cho A m=n P(A) = Bài 1.20 f= 0,85 n=200 → k = f.n = 0,85 200 =170 Bài 1.21 Gọi A biến cố “ Sinh trai” Theo ta được, xác suất sinh trai : P ( A) = Bài 22: Lần tung 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 45600 = 0,517 88200 Kết mặt xuất 5 3 4 2 5 4 1 5 6 3 1.71, A= “chỉ câu cá lần câu” Hi= “người ngồi chỗ thứ i”, i = 1,2,3 A xảy đồng thời với biến cố tạo nên nhóm biến cố đầy đủ Theo công thức Bayes ta có: P( H1 / A) = P( H1 ).P( A / H1 ) ∑ P( H ).P( A / H ) i =1 i i Trong đó: P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3 P(A/H1) = 0,6.0,42 = 0,096 P(A/H2) = 0,7.0,32 = 0,063 P(A/H3) = 0,8.0,22 = 0,032 Do đó, ta có: 0,096 96 P ( H / A) = = ≈ 0,5026 0,096 + 0,063 + 0,032 191 Đáp án: 0,5026 1.72, Xác suất biến cố A 0,7 Điều có nghĩa tỉ số kết cục thuận lợi cho A tổng số kết cục đồng khả xảy thực phép thử 0,7 1.73, A = “có hộp có phế phẩm” Giả sử hộp phân biệt với Số kết cục đồng khả xảy xếp 30 sản phẩm vào hộp cho hộp có 10 sản phẩm là: 10 10 10 C30 C20 C10 Xét biến cố A = “cả phế phẩm nằm hộp” + Nếu phế phẩm nằm hộp 10 10 Số kết cục thuận lợi C 27 C 20 C10 + Với trường hợp phế phẩm nằm hộp 2, ó chung kết Vậy, số kết cục thuận lợi cho biến cố A là: 10 10 3.C27 C20 C10 Do đó, 3.C 27 P ( A ) = 10 C30 Suy ra, 3.C 27 P( A) = − P( A ) = − 10 ≈ 0,91133 C30 1.74, a, A= “Mỗi người khách xỏ đôi giày mình” Số kết cục thuận lợi đồng khả : (N!)2 (Do có N đôi giày, số cách N đôi giày cho chân trái hay chân phải N người N!) Số kết cục thuận lợi là: Do đó: P ( A) = ( N !) b, B= “Mỗi người khách xỏ hai giày đôi giày đó” Số kết cục thuận lợi đồng khả : (N!)2 Số kết cục thuận lợi N! Do đó: P( B) = 1.75, N! = ( N !) N ! A= “ Sản phẩm sản xuất phẩm” B= “ Sản phẩm sản xuất phế phẩm” H1= “Sản phẩm thiết bị kết luận phẩm” H2= “Sản phẩm thiết bị kết luận phế phẩm” Ta có: P(A) = 0,95 P(B) = 0,05 P(H1/A) = 0,04 P(H2/B) = 0,01 a, X = “Sản phẩm kết luận phẩm thực phế phẩm” Ta có: X = BH1 P(X) = P(B) P(H1/B) = 0,05.0,01 = 0,0005 Vậy: Tỉ lệ sản phẩm bị kết luận phẩm thực tế phế phẩm 0,05% b, Y= “Sản phẩm kết luận phế phẩm thực phẩm” Ta có: Y =AH2 P(Y) = P(A).P(H2/A) = 0,95.0,04 = 0,038 Vậy: Tỉ lệ sản phẩm kết luận phế phẩm thực phẩm 3,8% c, Tỉ lệ sản phẩm bị thiết bị kiểm tra kết luận nhầm là: 3,85% 1.76, a, A= “Lấy nam sinh viên” P ( A) = 400 + 800 = 0,6 2000 b, B= “Lấy sinh viên học kinh tế” P( B) = 400 + 500 = 0,45 2000 c, C= “Lấy nam sinh viên, học kinh tế” P (C ) = P( A + B ) = P( A) + P( B ) − P( AB ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A).P ( B / A) = 0,6 + 0,45 − 0,6 d, D= “Lấy nam sinh viên học kinh tế” D = AB P ( D) = P ( AB ) = P ( A).P ( B / A) = 0,6 400 = 0,85 400 + 800 400 = 0,2 400 + 800 e, E= “Lấy sinh viên kinh tế người nam sinh viên” P ( E ) = P( B / A) = 1.77, 400 = 400 + 800 a, Trước mở kiện hàng, xác suất để kiện hàng xí nghiệp là: P( A) = 60 = 100 b, X= “Sản phẩm lấy phế phẩm” H1 = “Sản phẩm xí nghiệp A” H2 = “Sản phẩm xí nghiệp B” Ta có: P( H / X ) = P( X / H ).P( H ) P( X / H ).P( H ) + P( X / H ).P( H ) Trong đó: P(H1) = 0,6; P(H2) = 0,4 P(X/H1) = 0,3; P(X/H2) = 0,1 Do đó: 0,6.0,3 P( H / X ) = = ≈ 0,81 0,6.0,3 + 0,4.0,1 11 c, Y = “Cả sản phẩm phế phẩm” P( H / Y ) = P(Y / H ).P( H ) P(Y / H ).P( H ) + P(Y / H ).P ( H ) Giả sử: Lô hàng kiểm tra có 10N sản phẩm C 32N C N2 P(Y / H ) = ; P(Y / H ) = C10 N C10 N Do đó: C 32N P( H / Y ) = C N + C N2 1.78, X= “vợ thường xem chương trình thể thao” Y= “chồng thường xem chương trình thể thao” P(X) = 0,3; P(Y) = 0,5; P(Y/X) = 0,6 a, A = “Cả hai xem chương trình thể thao” A = XY P(A) = P(X).P(Y/X) = 0,3.0,6 = 0,18 b, B = “Có người thường xem” B=X+Y P(B) = P(X+Y) = P(X) + P(Y) – P(XY) = 0,3 + 0,5 – 0,18 = 0,62 c, C = “Không có thường xem” P(C) = 1-P(B) = 0,38 d, D = “Nếu chồng xem vợ xem cùng” P( D) = P( X / Y ) = P (Y / X ).P ( X ) 0,6.0,3 = = 0,36 P (Y ) 0,5 e, E = “Nếu chồng không xem vợ xem” P( E ) = P( X / Y ) = P(Y / X ).P ( X ) [1 − P (Y / X )].P ( X ) (1 − 0,6).0,3 = = = 0,24 P (Y ) − P(Y ) − 0,5 1.79, Hi = “ Bán hàng lần thứ i” Ta có: P(H1) = 0,8 P(H2/H1) = 0,9; P(H3/H2) = 0,9 P ( H / H ) = 0,4; P ( H 3/ H ) = 0,4 a, A= “Cả lần bán hàng” P(A) = P(H1.H2.H3) = P(H1).P(H2/ H1).P(H3/ H2 H1) = = 0,8.0,9.0,9 = 0,648 b, B = “Có lần bán hàng” P ( B) = P ( H H H + H H H + H H H ) = P ( H ).P ( H / H ).P ( H / H H ) + P ( H ).P ( H / H ).P ( H / H H ) + P ( H ).P ( H / H ).P ( H / H H ) = 0,2.0,4.0,9 + 0,8.0,1.0,4 + 0,8.0,9.0,1 = 0,176 1.80, E1 = “Cặp sinh đôi đồng trứng” E2 = “Cặp sinh đôi khác trứng” P(E1) = P; P(E2) = 1- P A = “Cặp sinh đôi có giới tính” P ( E1 / A) = P ( A / E1 ).P ( E1 ) 1.P 2P = = P ( A / E1 ).P ( E1 ) + P ( A / E2 ).P ( E2 ) 1.P + (1 − P) P + Vậy: Nếu cặp trẻ sinh đôi có giới tính xác suất để chúng cặp sinh đôi giới tính là: 2P P +1 1.81 3 Ω = C9 C6C3 a ⇒ P ( A) = Gọi A = “Một phần gồm cầu đỏ” 3 CCC = 1680 b Gọi B = “Mỗi phần có cầu đỏ” Như cầu lại phần cầu xanh 2 2 + + ⇒ P( B) = C C C C C C CCC 3 = 58 1680 1.82 a A= “Hệ thống phun nước bị hỏng” ⇒ P( A) = 0,1 B= “Hệ thống báo động bị hỏng” ⇒ P( B) = 0,2 C= “Có hệ thống hoạt động bình thường” C = AB ⇒ P (C ) = P( AB ) = 0,04 ⇒ P (C ) = − P (C ) = 0,96 b D= “Cả hệ thống hoạt động bình thường” D = A + B , A,B không xung khắc ⇒ P ( D) = P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) − P( AB ) = 0,26 ⇒ P ( D) = − 0,26 = 0,74 1.83 H= “Chai rượu lấy thuộc loại A” A= “3 người kết luận chai rượu thuộc loại A” B= “1 người kết luận chai rượu thuộc loại B” ⇒ P ( A / H ) = C 0,8 3.0,2 = 0,4096 P ( B / H ) = C 0,2.0,8 = 0,4096 P ( A / H ) = C 0,2 3.0,8 = 0,0256 P ( B / H ) = C 0,8.0,2 = 0.0256 (0,4096) P ( H ) P ( AB / H ) P ( H / AB) = = = 0,996 P ( H ) P( AB / H ) + P ( H )P ( AB / H ) (0,4096) + (0,0256) 2 1.84 a A= “2 mẫu hàng loại” A1= “2 mẫu hàng loại A” A2= “2 mẫu hàng loại B” ⋅ = 0,18 10 10 P ( A2 ) = ⋅ = 0,28 10 10 A = A1 + A2 , A1 , A2 P ( A1 ) = A1, A2 xung khắc ⇒ P ( A) = P ( A)1 + P ( A2 ) = 0,18 + 0,28 = 0,46 b H1= “Mẫu lấy hộp 1” H2= “Mẫu lấy hộp 2” B= “Mẫu lấy thuộc loại B” P(H1)=0,45 P(H2)=0,55 P(B)=P(H1)P(B/H1)+P(H2)P(B/H2)=0,45.0,4+0,55.0,7=0,565 C= “Mẫu lấy thuộc loại A” P( H 1) P( A / H 1) 0,45.0,6 = = 0,62 P( H 1) P( A / H 1) + P( H 2) P ( A / H 2) 0,435 P ( H 2) P ( A / H 2) 0,55.03 P( H / A) = = = 0,38 P( H 2) P( A / H 2) + P( H 1) P( A / H 1) 0,435 ⇒ P( H / A) = Vậy mẫu nhiều khả thuộc H1 1.85 ok H1= “Chiếc lấy đôi không hỏng” H2= “Chiếc lấy đôi có hỏng” H3= “Chiếc lấy đôi có hai hỏng” ⇒ P(H1)=.9, P(H2)=0.08,P(H3)=0.02 A= “Chiếc lấy bị hỏng” B= “Chiếc hai lấy bị hỏng” P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)(A/H2)+P(H3)P(A/H3) =0,9.0+0,08.0,5+0,02.1=0,06 P(B)=P(H3/A)= P ( H 3) P ( A / H 3) 0,02 = = P ( A) 0,06 Bài 1.86:ok a Gọi X biến cố rút phải đĩa bị lỗi biến cố X xảy với giả thuyết : H1 đĩa rút cửa hàng A H2 đĩa rút cửa hàng B P(X)=P(H1).P(X/H1)+ P(H2).P(X/H2)=0,6.0,1+0,4.0,2=0.014 b.P(H1/X)=P(H1).P(X/H1)/P(X)=0,6.0,1/0,014=0,4285 Bài 1.87: a Gọi A biến cố sản phẩm lấy xấu Ā biến cố sản phẩm lấy có sản phẩm tốt B biến cố sản phẩm lấy xấu Biến cố B xảy với giả thuyết: H1: sản phẩm máy H2: sản phẩm máy P(B)=P(H1).P(B/H1)+ P(H2).P(B/H2)=0,01.0,4+0,02.0,6=0,016 P(H1/B)=P(H1).P(B/H1)/P(B)=o,01.0,4/0.016=0,25 P(H2/B)=P(H2).P(B/H2)/P(B)=0,75 P(A)=P(H1/B).P(A/H1B)+ P(H2/B).P(A/H2B)=0,25.0,01+0,75.0,02=0,0175 P(Ā)=1-P(A)=0,9825 b.P(B̅)=1-P(B)=0,984 P(H1/B̅)=P(H1).P(B̅/H1)/ P(B̅)=0,4.0,99/0,984=0,402 P(H2/ B̅)= P(H2).P(B̅/H2)/ P(B̅)=0,598 Gọi C biến cố sản phẩm thứ tốt P(C )= P(H1/B̅).P(C/ H1B̅)+ P(H2/B̅).P(C/ H2B̅)=0,402.0,99+0,598.0,98=0,98402 P(H1 B̅/C)= P(H1/B̅).P(C/ H1B̅)/P(C)=0,404 P(H2B̅/C)= P(H2B̅).P(C/ H2 B̅)/P(C)=0,596 Gọi D biến cố sản phẩm thứ sản phẩm tốt P(D)= P(H1 B̅/C).P(D/ H1 B̅C)+ P(H2B̅/C).P(D/ H2B̅C) =0,404.0,99+0,596.0,98=0,98404 P(H1 B̅C/D)= P(H1 B̅/C).P(D/ H1 B̅C)/P(D)=0,406 P(H2 B̅C/D)= P(H2 B̅/C).P(D/ H2 B̅C)/P(D)=0,594 Gọi E biến cố sản phẩm thứ sản phẩm tốt P(E)= P(H1 B̅C/D).P(E/ H1 B̅CD) + P(H2 B̅C/D).P(E/ H2 B̅CD) =0,406.0,99+0,594.0,98= 0,98406 Bài 1.88: ok Gọi A biến cố nhà sau Biến cố A xảy với giả thuyết: H1 : theo đường ngầm H2 : qua cầu P(A)=P(H1).P(A/H1)+P(H2).P(A/H2)=1/3.0,25+2/3.0,3=17/60 P(H2/A)=P(H2).P(A/H2)/P(A)=0.706 Bài 89: Gọi A biến cố sp có phế phẩm Hi (i=1,2,3) biến cố 8sp người thứ I làm P(Hi)=1/3 P(A/H1)= P(A/H2)= C68.0,96.0,12 P(A/H3)= C68.0,86.0,22 P(A)=P(H1).P(A/H1)+ P(H2).P(A/H2)+ P(H3).P(A/H3)=0,2 P(H1/A)= P(H1).P(A/H1)/P(A)= 0,25 P(H2/A)= P(H2).P(A/H2)/P(A)=0,25 P(H3/A)= P(H3).P(A/H3)/P(A)=0,5 Gọi B biến cố sp sau có phẩm P(B)= P(H1/A).P(B/ H1A)+ P(H2/A).P(B/ H2A)+ P(H3/A).P(B/ H3A)=0,23 Bài 90: Gọi A biến cố lấy phẩm phế phẩm B biến cố lấy phế phẩm phẩm Hi biến cố sp có i phẩm P(A)= P(H3).P(A/H3) + P(H4).P(A/H4)+ P(H5).P(A/H5)+ P(H6).P(A/H6 )+ P(H7).P(A/H7) =1/9.(1.5/C48+ C34.4/C48+ C35.3/ C48 + C36.2/ C48+ C37.1/ C48 ) =0,2 B xảy i=4,5 P(H4/A)= P(H4).P(A/H4)/P(A)=0,127 P(H5/A)= P(H5).P(A/H5)/P(A)=0.238 P(B)= P(H4/A).P(B/ H4A)+ P(H5/A).P(B/ H5A) =0,127.C23/C34 + 0,238.C12/ C34=0,214 Bài 1.91 Gọi A biến cố “lấy sản phẩm tốt” Hi biến cố “lúc ban đầu hộp có i sản phẩm tốt” i = 0, n P ( Hi ) = i n P ( A \ Hi ) = i +1 n +1 Vì bỏ vào hộp có n sản phẩm sản phẩm sau lấy ngẫu nhiên sản phẩm nên áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: n P ( A) = ∑ P ( Hi ) P ( A \ Hi ) i=0 n+2 Ta P( A) = 2(n + 1) n+2 Đáp số: 2(n + 1) Bài 1.92 Gọi A biến cố k sản phẩm lấy phẩm Hi biến cố hộp có i phẩm, với i=1,2,…6 Theo công thức Bayes thì: P(Hi/A) = Vì ta lấy ngẫu nhiên k sản phẩm theo phương thức có hoàn lại nên tổng số kết cục đồng khả xảy số chỉnh hợp lặp chập k n, tức nk Mặt khác, hộp chứa i phẩm, có C cách xảy ( có C cách chọn i sản phẩm n sản phẩm), với cách thế, số cách để lấy k phẩm số i phẩm theo phương thức có hoàn lại ik Vậy P(Hi).P(A/Hi) = P(Hn/A) = =1 P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) +…+P(Hn).P(A/Hn) = + +….+ =( n + 2k + 3k +…+ nk) / nk Vậy, P(Hn/A) = Bài 1.93 TH1) H1 = “ A thắng chung ván” P(H1) = C 12 p(1-p) + C 22 p2 = 2p(1-p) + p2 TH2) H2 = “A thắng chung ván” P(H2) = C 24 p2(1-p)2 + C 34 p3(1-p) + C 44 p4 = 6p2(1-p)2 + 4p2(1-p) +p4 Để A thắng chung ván dễ ván P(H1) > P(H2) 2p(1-p) + p2 > 6p2(1-p)2 + 4p3(1-p) + p4 ( 0 6p(1-p)2 +4p2(1-p) + p3 (p-1)2(p- ) < p − 23 p>0 Vậy để A thắng chung ván dễ ván > p>0 Bài 1.94 Gọi A biến cố sản phẩm thứ phế phẩm B biến cố sản phẩm thứ phế phẩm VẬy biến cố sản phẩm mua có sản phẩm phế phẩm biến cố tổng A + B Đây nhóm biến cố xung khắc nên xác suất tổng tổng xác suất Gọi H1, H2 biến cố sản phẩm mua thuộc day chuyền số 1, số • Ta tính P(A )trước P (H1) = P(H2) = 0,5 P(A) = 0,5.0,2 +0,5.0,03 = 0,025 Sau A xảy xác suất H1, H2 thay đổi theo công thức Bayes sau: P(H1/A) = = P(H2/A) = = P( /A ) = 0,98 + 0,97 = 0,974 Vậy P(A, ) = 0,025.0,0974 = 0,02435 • Tính P( , B) Tương tự, P( ) = 0,5.0,98 + 0,5.0,97 = 0,975 P(H1/ ) = = P(H2/ ) = = P(B/ ) = 0,02 + 0,03 = Vậy P( , B) = 0,975 = 0,02435 Vậy P = 0,02435 + 0,02435 =0,0487 1.95 Co cac truong hop xay la: Goi x la so lan nem trung ro cua nguoi 1, y la so lan nem trung ro cua nguoi a co cac truong hop thoa man la: (2,1);(2,0);(1,0)( cac truong hop la xung khac), xac suat nem trung cua nguoi va nguoi la hoan toan doc lap Theo becnuli va quy tac nhan: 1 P(a)= c (0.6)^2* c 0.7*0.3+ c 0.6*0.4*0,3^2+0,6^2*0,3^2=0,2268 b tuong tu co cac cap thoa man la` (2,2),(1,1),(0,0) 1 P(B)=0,6^2.0,7^2+ c 0,6.0,4 c 0,7.0,3+0,4^2.0,3^2=0,3924 Bài 1.96 giả sử lần rút thứ i người rút trắng lần 1: P= a/(a+b) lần 2: P= b/(a+b) b/(a+b) a/(a+b) = [ b/(a+b)]^2 a/(a+b) lần 3: P= [ b/(a+b)^4 a/(a+b) p xác xuất để người thứ rút trắng trước P= a/(a+b) + [b/(a+b)] ^2 a/(a+b) + [ b/(a+b)] ^4 a/(a+b) + P= a/(a+b) { [ + [b/(a+b)]^2 đặt [b/(a+b)]^2 = X + [b /(a+b)]^4 } ta có ( [ + [b/(a+b)]^2 + [b /(a+b)]^4 } ) = + X + X^2 + X^3 + = 1/(1-X) (dãy cấp số nhân lùi vô hạn: co so la X < 1) = P= a/(a+b) 1/ (1 - X) = (a+b) / (a+2b) Bài 1.97: Trong rạp có n chỗ đánh số , n người có vé vào ngồi cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để có m người ngồi chỗ Yêu cầu toán tìm xác suất để m người ngồi chỗ (n- m) người lại ngồi sai chỗ A= “m người ngồi chỗ’’ m Số trường hợp đồng khả xảy xếp m người vào n vị trí An Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A mA= m Vậy P(A) = C A n m = n C m n m! B= “n- m người lại ngồi sai chỗ” C= “Có người n- m người lại ngồi chỗ n- m vị trí lại” Ta có P(B)= P(C) Ai= “Người thứ i ngồi chỗ” Với i= 1, n − m P(Ai)= C= n−m n−m ∑A i i =1 Vì biền cố Ai không xung khắc với nên P(C)= ∑ P( A ) i i ∑ P( A A ) + + (-1)n-1P(A1A2 An-m) - Có n-m chỗ nên i i< j j ∑ P( A ) =(n-m) i i =1 n−m Vì Ai, Aj biến cố có điều kiện nên 1 n − m n − m −1 1 P ( Ai A j ) = ∑ = C n − m i< j n − m n − m − 2! Tương tự P(A1A2 An-m)= (n − m)! n−m n −m n−m 1 1 P(C)= 1- 2! + 3! + + (−1) (n − m)! = ∑ (−1) (n − m)! i =1 P(AiAj)= P(Ai)P(Aj/Ai)= P(B)=1-P(C) = 1- n−m ∑ (−1) i =1 n − m (−1) =∑ (n − m)! h =0 h! h n −m Theo định lí nhân xác suất, A, B độc lập n −m (−1) P(AB)= P(A)P(B)= m! ∑ h! h=0 h Bài 1.98: Một hệ thống kĩ thuật gồm n phận với xác suất hoạt động tốt phận p Hệ thống ngừng hoạt động có phận bị hỏng Để nâng cao độ tin cậy hệ thống người ta dự trữ thêm n phận theo phương thức( hình vẽ SBT/T37) Hỏi phương thức dự trữ đem lại độ tin cậy cao cho hệ thống? Độ tin cậy hệ thống dự trữ theo phương thức a: Pa = [1- (1-p)2]n = pn(2-p)n (Vì: (1-p)2 xác suất phận nhóm bị hỏng, hệ thống bị hỏng) Độ tin cậy hệ thống dự trữ theo phương thức b: Pb = 1- (1-pn)2 = pn(2-pn) (Vì (1-pn)2 xác suất mà hai nhánh, nhánh có phận bị hỏng) Ta cần chứng minh: Pa>Pb hay (2-p)n > (2-pn) ⇔ (2-p)n + pn > Đặt q = 1-p ta có: (1+q)n + (1-q)n >2 (đúng theo khai triển nhị thức Newton) Vậy: phương thức dự trữ a mang lại độ tin cậy cao cho hệ thống Bài 1.99 Hai nguoi choi toi da la m+n-1 van thi moi biet duoc minh thang hay thua Xet cac truong hop thang cho nguoi thu nhat: Ta phan cac truong hop nguoi phai danh lan luot la : m, m+1, m+2,….,m+n-1 tran moi biet minh thang( so thu tu cau van thang cuoi cung lan luot la m, m+1, m+2,….,m+n-1) Cac truong hop lan luot xung khac Ap dung becnuli P(m)=(1/2)^m m −1 P(m+1)= c m (1/2)^(m-1).1/2.1/2=1/2 c m (1/2)^m P(m+2)= c m+1 (1/2)^(m-1).(1/2)^2.1/2=1/2^2 c m+1 (1/2)^m m −1 ………… m −1 n P(m+n-1)= c m+ n −2 (1/2)^(m-1).(1/2)^(n-1).1/2=(1/2)^n c m+ n−2 (1/2)^(n-1) Nen xac suat nguoi thu nhat: P(1)= (1/2)^m(1+1/2 c m +1/2^2 c m+1 +….+ (1/2)^(n-1) c m+n−2 ) n Hoan toan tuong tu cho nguoi thu ti le chia tien la p(1)/p(2) Bài 1.100: Một người bỏ bao diêm vào túi, bao có n que diêm Mỗi hút thuốc người rút ngẫu nhiên bao đánh que Tìm xác suất để người phát bao hết diêm bao lại r que diêm Người phát bao hết bao lại r que diêm nên người lấy diêm 2n-r+1 lần ( lần phát bao hết nên ko lấy diêm!) Số trường hợp đồng khả : 22n-r+1 (vì có bao nên lần rút diêm có khả năng) có bao lại r que diêm nên 2n-r+1 lần lấy diêm phải có r lần không lấy phải bao Số trường hợp để r lần lấy ko vào bao đó: C 2rn− r +1 Vậy xác suất để người phát bao hết diêm bao lại r que diêm : C 2rn − r +1 P = n −r +1 [...]... + P (2) = C 0.05 0.95 + C 0.05 0.95 + C 0.05 0.95 = 0.9804 1.60 Coi việc trả lời câu hỏi là 1 phép thử thì ta có 10 phép thử độc lập Trong mỗi phép thử chỉ có 2 khả năng đối lâp: hoặc trả lời đúng hoặc trả lời sai Xác suất để trả lời đúng 1 câu hỏi là ( vì mỗi câu có 5 cách trả lời, trong đó chỉ có 1 cách trả lời đúng) Vậy bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli Gọi A là biến cố “người đó thi đỗ”,... cách lấy nhưng chỉ có n-k cách để lấy ra quả mới hay cách khác số kết cục đồng khả năng của biến cố A 1 là n và số kết cục thuận lợi là n-k, vậy P(A1) = Lấy quả thứ 2 thì số kết cục đồng khả năng là n-1 và số kết cục thuận lợi là n-k-1 nên P(A2) = Tương tự P(A3) = … P(Ak) = Xác suất để k quả bóng lấy ra chơi đều là mới bằng tích xác suất để quả thứ 1, thứ 2, thứ 3,… thứ k đều là quả mới Hay: P = P(A1).P(A2)…P(Ak)... đều nằm trong hộp 1 7 10 10 Số kết cục thuận lợi là C 27 C 20 C10 + Với trường hợp cả 3 phế phẩm cùng nằm trong hộp 2, hoặc 3 đều ó chung một kết quả như trên Vậy, số kết cục thuận lợi cho biến cố A là: 7 10 10 3.C27 C20 C10 Do đó, 7 3.C 27 P ( A ) = 10 C30 Suy ra, 7 3.C 27 P( A) = 1 − P( A ) = 1 − 10 ≈ 0,91133 C30 1.74, a, A= “Mỗi người khách xỏ đúng đôi giày của mình” Số kết cục thuận lợi đồng khả năng... và 5 chiếc không mở được Lần thử thứ tư mở được Vậy biến cố A 4 có xác suất: P(A4/A1A2A3)=1/6 Vậy xác suất để mở được cửa kho ở lần thứ 4 là P(A)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2).P(A4/A1A2A3)=8/9.7/8.6/7.1/6=1/9 Kết luận xác suất để mở được cửa kho ở lần thứ 4 là 1/9 Bài 1.51: bằng cách vẽ sơ đồ ven ra, ta có hình 15% 24% 10% Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 khách hàng biết thông tin về sản phẩm của công... vậy ta có : n = C12 3 = 220 Số kết cục thuận lợi cho A xảy ra bằng số tổ hợp chập 3 ( bóng điện tốt) từ 8( trong 1 hộp có 4 bóng điện bị hỏng) Vậy m= C83 = 56 Do đó xác suất để một hộp bóng đèn được chấp nhận trong đó có 4 bóng bị hỏng là : P ( A) = 56 = 0, 254 220 Bài 1.26 Ta có n=8 kết cục khả năng là GGG, GGT, GTG, TTT, TGG, TGT, TTG a Gọi A là biến cố ‘’ Gia đình có hai con gái’’ Có 3 kết quả thuận... 1.72, Xác suất của biến cố A là 0,7 Điều đó có nghĩa là tỉ số giữa kết cục thuận lợi cho A và tổng số các kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử đó là 0,7 1.73, A = “có một hộp nào đó có 1 phế phẩm” Giả sử 3 hộp này phân biệt với nhau Số kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi xếp 30 sản phẩm vào 3 chiếc hộp sao cho mỗi hộp có 10 sản phẩm là: 10 10 10 C30 C20 C10 Xét... có xác suất là: Pa = 1 - P(A) = 0,784 Vậy Pa = 0,784 b) Nếu muốn xác suất thu được thông tin lên 0,9 thì biến cố nguồn không thu được tín hiệu phải có xác suất là 0,1 Số lần phải phát là n sao cho 0,6n = 0,1 => n =log 0,6 0,1 = 4,5 Vậy phải phát ít nhất 5 lần Bài 1.46: Gọi xác suất bắn trúng đích của người thứ nhất là a Theo bài ra ta có: 0,2.a + 0,8.(1-a) = 0,38 ⇒ 0,6a = 0,42 ⇒ a = 0,7 Vậy xác suất. .. Số kết cục thuận lợi là: 1 Do đó: P ( A) = 1 ( N !) 2 b, B= “Mỗi người khách xỏ đúng hai chiếc giày của một đôi giày nào đó” Số kết cục thuận lợi đồng khả năng là : (N!)2 Số kết cục thuận lợi là N! Do đó: P( B) = 1.75, N! 1 = ( N !) 2 N ! A= “ Sản phẩm sản xuất ra là chính phẩm” B= “ Sản phẩm sản xuất ra là phế phẩm” H1= “Sản phẩm được thiết bị kết luận là chính phẩm” H2= “Sản phẩm được thiết bị kết... Khi đó xác suất để lấy ra 2 bi cùng màu từ 2 hộp khác nhau là: P= P(A)+P(B)+P(C) = Vậy P = C 31 C10 1 + C 71 C 61 + C15 1 C 91 207 = 625 625 207 625 Bài 1.42: a Gọi A là biến cố: “ Người thứ nhất bắn trúng mục tiêu” ⇒ P(A) = 0,8 Gọi B là biến cố: “ Người thứ hai bắn trúng mục tiêu” ⇒ P(B) = 0,9 Do chỉ có một người bắn trúng mục tiêu Suy ra nếu A bắn trúng thì B ko bắn trúng và ngược lại Vậy xác suất để... nhiên một người của công ty thì a Xác suất để được một nhân viên từ 40 tuổi trở xuống là : 120 + 170 + 260 + 420 = 0, 61 1600 b Xác suất để được một nam nhân viên trên 40 là : 400 = 0, 25 1600 c Xác suất để được một nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống là : 170 + 420 = 0,37 1600 Bài 1.25 Gọi A là biến cố ‘ 3 bóng điện được lấy ra trong hộp có 4 bóng hỏng đều tốt ’’ Số kết hợp đồng khả năng xảy ra là số tổ