Ung dung So phuc giai bai toan Vat ly

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TỐN VẬT LÍ Phần thứ 2: Nội dung 2.1 Cơ sở lí thuyết * Khái niệm số phức + Số phức có dạng: x = a + bi y Trong a phần thực, b phần ảo + Biểu diễn số phức mặt phẳng phức r = a + b , tan ϕ = a b + Dạng lượng giác số phức x = a + bi = r(cosϕ + i.sinϕ) a = r cos ϕ  b = r sin ϕ Theo công thức Ơle cosϕ + isinϕ = ⇒ e iϕ b r ϕ a x = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ y * Biểu diễn hàm điều hoà dạng số phức  Ax Hàm điều hoà: x = Acos(ωt +ϕ) biểu diễn dạng véc tơ quay thời điểm t = 0:    A = A A  ϕ = (A,0 x ) ta thấy b ϕ a = A cos ϕ  b = A sin ϕ Vậy t = hàm điều hồ biểu diễn số phức x = Acos(ωt + ϕ) t =0 x = a + bi = A(cos ϕ + i sin ϕ) = A.e iϕ ←→ với a = Acosϕ, b = Asinϕ , tan ϕ = b , A = a + b2 a 2.2 Nội dung cụ thể 2.2.1 Ứng dụng số phức dao động điều hồ 2.2.1.1 Viết phương trình dao động điều hồ a x Ta có pt dđđh: a = x x = A cos ϕ x = A cos(ωt + ϕ)  t =0 → ⇒  v0 v = −Aω sin(ωt + ϕ) v = −Aω sin ϕ b = − ω  Vậy x = Acos(ωt + ϕ ) a = x  ←→ x = a + bi,  v0 b = −  ω t =0 + Thao tác máy tính (VD: máy fx570es) - Shift/Mode/4 để chuyển hệ sang đo góc rad - Mode/2 để chuyển hệ sang CMPLX - Để hiển thị biên độ pha ban đầu Shift/2/3 máy A∠ϕ + Ví dụ 1: Treo lắc lị xo thẳng đứng nơi có gia tốc trọng trường g = 10 = π2 m/s2, vị trí cân lị xo dãn cm Ban đầu người ta kéo vật xuống cho lò xo dãn cm truyền cho vật vận tốc 40π cm/s hướng lên Chọn gốc toạ độ VTCB, chiều dương hướng xuống dưới, gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật Viết phương trình dao động Giải: - k g π2 ω= = = = 10π m ∆l 0,01 - Vì x0 = cm , v0 = - 40π cm/s nên a = , - Ta ấn máy + 4i Shift/2/3 máy hiển thị ⇒ π  x = cos10πt +  4  (rad/s) b=− v0 =4 ω 2∠ π cm + Ví dụ 2: Một vật m gắn vào đầu lị xo nhẹ dao động với chu kì s Người ta kích thích dao động cách kéo vật m khỏi VTCB ngược chiều dương đoạn cm thả nhẹ Chọn gốc toạ độ VTCB, gốc thời gian lúc thả vật Viết phương trình dao động Giải: - ω= 2π = 2π T rad - ta có x0 = - cm, v0 = - Ấn máy -3 Shift/2/3 → 3∠π ⇒ x = cos(2πt + π) cm + Ví dụ 3: Cho lắc lị xo vật nhỏ có khối lượng m = 250 g, độ cứng K = 25 N/m Từ vị trí cân người ta truyền cho vật vận tốc 40 cm/s theo chiều dương Viết phương trình dao động vật chọn gốc toạ độ VTCB, gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật k 25 = = 10 rad/s m 0.25 ω= Giải: - - Ta có x0 = 0, v0 = 40 cm/s ⇒ b=− - Ấn máy: -4i Shift/2/3 Máy hiển thị b = −4 ω 4∠ − π π ⇒ x = cos(10t − ) 2 cm 2.2.1.2 Tìm điều kiện kích thích ban đầu + Ví dụ 1: Một vật dao động điều hồ với phương trình x = 4cos(4πt- π) cm Tìm điều kiện kích thích ban đầu Giải: Để nhập x0 − v0 i ω 4∠ − π ấn 4/Shift/(-)/-π/= Máy hiển thị -4 so sánh ⇒ x0 = -4, v0 = -Ta có kết luận ban đầu kéo vật tới vị trí có li độ -4 cm thả nhẹ + Ví dụ 2: Một vật dao động điều hồ với phương trình π x = cos(10t + ) cm Tìm điều kiện kích thích ban đầu Giải: Để nhập 4∠ π ấn 4/Shift/(-)/ v π /= Máy hiển thị 4i so sánh x − i ω ⇒ x0 = 0, v0 = -4.ω = - 40 cm/s Vậy ta có kết luận ban đầu vị trí cân người ta truyền cho vật vận tốc 40 cm/s theo chiều âm + Ví dụ 3: Một vật dao động điều hồ với phương trình π x = cos(πt − ) cm Tìm điều kiện kích thích ban đầu Giải: Để nhập 2∠ − π ấn /Shift/(-)/- v π /= Máy hiển thị 4- 4i so sánh x − i ω ⇒ x0 = 4, v0 = 4.ω = 4π cm/s Vậy ta có kết luận ban người ta kéo vật tới li độ cm truyền cho vật vận tốc 4π cm/s theo chiều dương 2.2.1.3 Tổng hợp dao động điều hồ Ví dụ 1: Một vật thực hai dao động điều hoà phương tân số với phương trình π x = cos(2πt + π)(cm), x = cos(2πt − )(cm) Viết phương trình dao động tổng hợp Giải: Để nhập 1∠π + Ta ấn = máy hiển thị 3∠ − − − 3i π ta ấn máy 1/shift/(-)/π /+/ ấn shift/2/3 máy hiên thị Vậy phương trình dao động tổng hợp là: / shift /( −) / − π 2 2∠ − π x = cos(2πt − 2π ) (cm) Ví dụ 2: Một vật thực đồng thời ba dao động điều hoà phương tần số với phương trình: π x = cos(πt − ) cm, π x = cos(πt + ) cm, x = cos(πt ) , cm Viết phương trình dao động tổng hợp Giải: x = 4∠ − π π + 6∠ + 2∠0 = + 2i 2 Vậy phương trình dao động tổng hợp: ta ấn shift/2/3 máy hiển thị π x = 2 cos(πt + ) 2∠ π cm Ví dụ 3: Tìm dao động tổng hợp bốn dao động phương sau: π π x = 10 cos(20πt − )(cm), x = cos(20πt − )(cm) π 5π x = cos(20πt + )(cm), x = cos(20πt + )(cm) Giải: x = 10∠ − π π π 5π + 3∠ − + 3∠ + 8∠ = 3 + (5 − )i 6 Ấn Shift/2/3 máy hiển thị 7,49∠ − 0,8 Vậy phương trình dao động tổng hợp là: x = 7,49 cos(20πt − 0.8)(cm) Ví dụ 4: Một vật thực đồng thời hai dao động điều hồ phương, tần số với phương trình π x = a cos(πt + )(cm) x2 Biết phương trình dao động tổng hợp π x = 2a cos(πt + )(cm) Xác định dao động thành phần x2 Giải: x2 = x – x1 = π π 2∠ − 1∠ = Vậy x = a cos(πt ) Ví dụ 5: Hai chất điểm M1, M2 chuyển động hai đường thẳng song song gần (coi trùng trùng với trục Ox) có phương trình π x = cos(2πt − )(cm), x = 3 cos(2πt )(cm) Xác định khoảng cách lớn hai chất điểm trình dao động Giải: M 1M = ∆x = x − x mà ∆x = 3∠0 − 3∠ − π π = 6∠ π M 1M = cos(2πt + ) (cm) ⇒ khoảng cách lớn cm 2.2.2 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU - Cơ sở lí thuyết: Với dịng điện xoay chiều xét giá trị tức thời điểm dịng điện chạy theo chiều áp dụng cơng thức dịng điện chiều cho giá trị tức thời + Vd: đoạn mạch RLC nối tiếp - i = iR = iL = iC - u = uR + uC + uL - Z = R + (ZL – ZC)i (i phần ảo Z L,ZC y UL nằm trục ảo, R nằm trục số thực) + Vd: đoạn mạch song song (chúng ta không xét đây) U ULC 2.2.2.1 Bài toán cộng điện áp đoạn mạch xoay chiều: ϕ Ví dụ 1: Cho đoạn mạch AM chứa R,C mắc nối tiếp với đoạn mạch MB chứa cuộn dây không cảm Biết biểu thức UC UR x π π u AM = 100 cos(100πt − )(V) , u MB = 100 cos(100πt + )(V) Viết biểu thức hai đầu đoạn mạch Giải: Vì AM nối tiếp MB ⇒ u = uAM + uMB = 100 u = 200∠ − π 12 2∠ − Vậy biểu thức hai đầu đoạn mạch: π π + 100 2∠ u = 200 cos(100πt − π ) (V) 12 Ví dụ 2: Đặt vào hai đầu đoạn mạch xoay chiều chứa điện trở cuộn cảm điện áp π u = 100 cos(100πt + )(V) , điện áp hai đầu điện trở có biểu thức u R = 100 cos(100πt )(V) Viết biểu thức điện áp hai đầu cuộn cảm Giải: π π u L = u − u R = 100 2∠ − 100∠0 = 100∠ Vậy biểu thức hai đầu cuộn cảm là: π u L = 100 cos(100πt + )(V) Ví dụ 3: Đặt vào hai đầu đoạn mạch chứa hai phần tử R,C điện áp có biểu thức π u = 100 cos(100πt − )(V) , biết biểu thức hai đầu điện trở u R = 100 cos100πt Viết biểu thức điện áp hai đầu tụ điện Giải: u C = u − u R = 100 2∠ − π π − 100∠0 = 100∠ − Vậy biểu thức hai đầu tụ điện là: π u C = 100 cos(100πt − ) 2.2.2.2 Tìm biểu thức u,i mạch điện xoay chiều Ví dụ 1: Mạch điện xoay chiều gồm điện trở R = 50 Ω, cuộn dây cảm có hệ số tự cảm L = (H) , π tụ điện có điện dung 2.10 −4 C= ( F) Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp π π u = 220 cos(100πt + )(V) Viết biểu thức cường độ dòng điện hai đâu đoạn mạch Viết biểu thức điện áp hai đầu cuộn cảm Viết biểu thức điện áp RC Giải: - 1 ZC = = = 50(Ω) Z L = Lω = 100π = 100(Ω) , 2.10 − ωC 100π π π - π u u = 4,4 i= = = Z R + ( Z L − Z C )i 50 + (100 − 50)i 220 2∠ Vậy biểu thức cường độ dòng điện: i = 4,4cos(100πt) u L = Z L i = (100i).i = (100i).4.4 = 440i hai đầu cuộn cảm π u L = 440 cos(100πt + ) shift/2/3 máy tính hiển thị 440∠ π Vậy biểu thức điện áp (V) u RC = Z RC i = (50 − 50i).4.4 = 220 − 220i là: π u RC = 220 cos(100πt − )(V) ấn Shift2/3 máy hiển thị 220 2∠ − π Vậy biểu thức Ví dụ 2: Khi đặt hiệu điện không đổi 30 V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở mắc nối tiếp với cuộn dây cảm có độ tự cảm áp L= (H) 4π u = 150 cos(120πt )(V) Giải: R= cường độ dịng điện (A) Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch điện biểu thức cường độ dịng điện mạch xác định nào? U = 30(Ω) , Z L = L.ω = 120π = 30(Ω) 4π I i= u 150 2∠0 π = = 5∠ − Z 30 + 30i Vậy bt: π i = cos(120πt − )(A) Ví dụ 3: Một đoạn mạch gồm cuộn dây cảm có cảm kháng 10 (Ω) mắc nối tiếp với tụ điện có dung kháng 50 (Ω), biết biểu thức cường độ dòng điện mạch π i = 2 cos(100πt + )(A) Viết biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch Giải: π u = i.Z = ( 2∠ ).(10 − 50)i = 40 − 40 2i bt là: π u = 80 cos(100πt − )(V) Ấn shift/2/3 máy thị 80 2∠ − π Vậy 2.2.2.3 Bài tốn hộp đen Ví dụ 1: Một hộp đen chứa hai ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều π u = 100 cos(100πt + )(V) cường độ dịng điện qua hộp đen i = 2cos(100πt)(A) Đoạn mạch chứa phần tử nào? Giá trị đại lượng Giải: Z= u = i 100 2∠ 2∠0 π = 50 + 50i Mà Z = R + ( Z L − Z C )i nên hộp đen chứa R = 50 Ω , chứa L với ZL=50 Ω Ví dụ 2: Một hộp đen chứa hai ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều π u = 100 cos(100πt − )(V) cường độ dòng điện qua hộp đen i = 2cos(100πt)(A) Đoạn mạch chứa phần tử nào? Giá trị đại lượng Giải: Z= u = i 100 2∠ − 2∠0 π = 50 – 50i Vậy hộp đen chứa R = 50 Ω, ZC = 50 Ω Ví dụ 3: Một hộp đen chứa hai ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều π u = 200 cos(100πt + )(V) cường độ dòng điện qua hộp đen π i = 2 cos(100πt − ) (A) Đoạn mạch chứa phần tử nào? Giá trị đại lượng π u = 86,6 + 150i = 50 + 150i Z= = i 2∠ − π 200 6∠ Giải: Vậy đoạn mạch chứa R = 50 Ω, ZL = 150 Ω Ví dụ 4: Cho đoạn mạch hình vẽ: A C= 10−4 ( F) ; L = (H) Đặt vào hai đầu đoạn mạch π π M C N X L B điện áp xoay chiều uAB = 200cos(100πt) (V) biểu thức cường độ dòng điện mạch i = 4cos100πt (A) X ba phần tử R0,L0,C0 mắc nối tiếp Xác định phần tử hộp X giá trị Giải: ZC = = ωC Z= = 100(Ω) , Z L = Lω = 100π = 200(Ω) 10 −4 100π π π u 200 = = 50 − 50i i 2∠ + π ⇒ ZNB = Z – ZAN =50 – 50i – (200-100)i = 50 – 150i Vậy X chứa R = 50 Ω, ZC = 150 Ω 2.2.2.4 Bài tốn tổng hợp Ví dụ 1: Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM MB nối tiếp, đoạn mạch AM gồm điện trở R = 60 (Ω) mắc nối tiếp với tụ điện 10 −3 C1 = ( F) , đoạn mạch MB gồm hộp kín X chứa hai ba phần tử R,L,C 6π mắc nối tiếp Biết π π u AM = 120 cos(100πt − )(V), u MB = 120 cos(100πt + )(V) Xác định phần tử hộp X giá trị ZC = Giải: i= u AM Z AM Z MB = 20 (Ω) ωC π = 2∠ − π = 60 − 20 3i 120 6∠ − π u = 20 + 20 3i = MB = π i 2∠ − 120 2∠ Vậy R = 20 (Ω), Z L = 20 (Ω) Ví dụ 2: Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM MB nối tiếp, đoạn mạch AM gồm R 1=90 Ω mắc nối tiếp với cuộn cảm ZL1 = 90 Ω, đoạn mạch MB chứa hai ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu AB điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng khơng đổi π u AM = 180 cos(100πt + )(V); u MB = 60 cos(100πt )(V) Tìm cơng suất tiêu thụ đoạn mạch Giải: i= u AM Z AM π = 2∠ π = 90 + 90i 180 2∠ π u = u AM + u MB = 180 2∠ + 60 2∠0 = 268,328∠1,249 P = UIcosϕ = 268,328cos(1,249-π/4)=240 W Chú ý: với thao tác máy ta nhớ u vào A Khi lấy biên độ abs(A), lấy góc arg(A)  ... = π π 2∠ − 1∠ = Vậy x = a cos(πt ) Ví dụ 5: Hai chất điểm M1, M2 chuyển động hai đường thẳng song song gần (coi trùng trùng với trục Ox) có phương trình π x = cos(2πt − )(cm), x = 3 cos(2πt )(cm)... = R + (ZL – ZC)i (i phần ảo Z L,ZC y UL nằm trục ảo, cịn R nằm trục số thực) + Vd: đoạn mạch song song (chúng ta không xét đây) U ULC 2.2.2.1 Bài toán cộng điện áp đoạn mạch xoay chiều: ϕ Ví... điện xoay chiều gồm điện trở R = 50 Ω, cuộn dây cảm có hệ số tự cảm L = (H) , π tụ điện có điện dung 2.10 −4 C= ( F) Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp π π u = 220 cos(100πt + )(V) Viết biểu thức