NỘI DUNG 7 tìm điểm TRÊN đồ THỊ

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 VII TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Chuyên đề: Hàm số A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x ) xác định tập D Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy ) , tập hợp (C) tất điểm có toạ độ  x; f ( x)  với x  D gọi đồ thị hàm số y  f ( x ) Từ định nghĩa ta có: (C )  M / M ( x; y) vôùi x  D vaø y  f(x) M ( x0 ; y )  (C )  x0  D y  f ( x0 ) Phương pháp chung ♦ Đặt M x0 , y0 C với y0 điểm cần tìm; f x0 ♦ Từ điều kiện cho trước ta tìm phương trình chứa x0 ; ♦ Giải phương trình tìm x0 , suy y0 Ví dụ 1: Cho hàm số y 3x x M x ; y0 f x0 có đồ thị C Tìm điểm M thuộc đồ thị C cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Bài giải ♦ Đồ thị C có tiệm cận đứng :x NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 tiệm cận ngang :y SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 ♦ Gọi M x0 , y0 với y0 C d M, 3x0 x0 x0 2.d M , y x 1 x 1 x0 ♦ Vậy có hai điểm thỏa đề M1 Ví dụ 2: Cho hàm số , ta có: 3 y0 x0 x0 x0 3 3x0 x0 16 x0 x0 16 x0 M 7;5  1;1 có đồ thị C Tìm điểm M C cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  : y  x  Bài giải ♦ Gọi  x 1  M  x0 ;   (C ) x0    Khi ta có: d ( M , )   x0   x0  1 x0  12  22  x0    x0    x02  x0   x0  x0   x0  1  x02  x0   3( x0  1)  x02  x0       x0   x0  x0   3( x0  1)  x0  x0    ♣ Với x0  1 ♣ Với x0  M ( 1; 0) y0 0, ta có y0 3, ta có M  ;  ♦ Vậy có hai điểm thỏa đề 2 M ( 1; 0) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309  M  ;   2  SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Cho hàm số y = x 1 x 3 (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang đồ thị (C)  x 1  Gọi M  x0 ;  , (x0 ≠3) điểm cần tìm, ta có: x 3   Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: y =1 d  x0  x0    x0     x0  x  Với x0  ; ta có M  2; 3 Với x0  ; ta có M  4;5 Vậy điểm M cần tìm M  2; 3 M  4;5 Câu Cho hàm số y  2x  x 1 Tìm điểm M (C) để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng đồ thị (C) khoảng cách từ M đến trục Ox 2x  Gọi M  x ; y0  ,  x  1 , y0  , Ta có x0 1  x0 1  Với x  y x -8 -6 -4 -2 -5 2x    x  1  2x  x0 1 x  1 , ta có : x 02  2x   2x    x0  Suy M  0; 1 , M  4;3 1 , ta có pt x 02  2x   2x   x 02   (vô nghiệm) Vậy M  0; 1 , M  4;3 Với x  NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 x 1 x 1 Câu Cho hàm số y  (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Tìm đồ thị hàm số (1) điểm M có hoành độ âm cho M với hai điểm A 1;0  , B  3;1 tạo thành tam giác có diện tích AB   2;1 , AB  , phương trình đường thẳng AB:  x 1 M  x;   x 1   S MAB y x -8 -6 -4 -2 -5 điểm cần tìm, ta có S MAB  AB d  M ;( AB)  x2  x 1 1  x2  x   x2  x 1 x 1  5  x  3 x 1 x  x    (vì x  0) ĐS: M  3;   2 Câu Cho hàm số y  2x 1 Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm x 1 I (1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn  Nếu M  x0 ;   y2    (C ) tiếp tuyến M có phương trình x0   3  ( x  x0 ) hay x0  ( x0  1) 3( x  x0 )  ( x0  1) ( y  2)  3( x0  1)  Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến d 3(1  x0 )  3( x0  1)   x0  1  Theo bất đẳng thức Côsi x0   ( x0  1)   ( x0  1) 2 ( x0  1)  ( x0  1)   , vây d  ( x0  1) Khoảng cách d lớn  ( x0  1)   x0  1   x0  1  ( x0  1) Vậy có hai điểm M: M 1  3;2  M 1  3;2      NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho hàm số y  x  3x  m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hoành độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB Với x0   y0  m   M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: y  (3x02  x0 )( x  x0 )  m   d: y = -3x + m + - d cắt trục Ox A:  3x A  m   x A  m2  m2  A ; 0   - d cắt trục Oy B: yB  m   B(0 ; m  2) - SOAB  3 m2  | OA || OB | | OA || OB |  m    (m  2)  2 m   m     m   3  m  5 Vậy m = m = - Câu Cho hàm số: y  x2 (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích không đổi a) Tự làm b) Giả sử M  a;  a2   (C) a 1  PTTT (d) (C) M: y  y (a).( x  a)  a2 3 a  4a   y x  (a  1) (a  1) a 1 a5  , B(2a  1;1)  a 1  Các giao điểm (d) với tiệm cận là: A 1;   6   IA  ; IA   0; IB  (2a  2;0)  IB  a    a 1  a 1  Diện tích IAB : S IAB = IA.IB = (đvdt)  ĐPCM NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168 Câu Cho hàm số y  2x  x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ  Giả sử M  x0 ;  x0   , x0   x0  , y '( x0 )  1  x0  2 Phương trình tiếp tuyến () với (C) M: y x0  (x Tọa độ giao điểm A, B () với hai tiệm cận là: A  2; x0) 2x x0 2 x0    ; B  x0  2;2  x0     x0  x x y  yB x0  Ta thấy A B   x0  xM , A   yM suy M trung điểm x0  2 AB Mặt khác I(2; 2) IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích   x0           ( x0  2)   2 S =  IM   ( x0  2)   2 ( x0  2)    x0     Dấu “=” xảy ( x0  2)2   x0  1   ( x0  2)2  x0  Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) Câu Cho hàm số y  2x (C ) tìm điểm M  (C ) cho tiếp tuyến đồ thị hàm x 1 số M cắt hai trục tọa độ A B cho tam giác OAB có diện tích Gọi M ( x0 , y0 )  (C )  y0  x0 , x0  1 y'  ( x  1)2 Tiếp tuyến M có dạng: x0 x02 2 y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  y  ( x  x0 )   y x (d ) ( x0  1)2 x0  ( x0  1)2 ( x0  1) Gọi A  (d )  ox  tọa độ điểm A nghiệm hệ: NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168  2x x y  ( x0  1) ( x0  1)  y    x   x02   A( x02 ,0) y  Gọi B  (d )  oy  tọa độ điểm B nghiệm hệ:  x02 x y  ( x0  1) ( x0  1)  x    x  x02 x02   B(0, ) ( x0  1)  y  ( x0  1) Tam giác OAB vuông O ; OA =  x02  x02 ; OB = x02 x02  ( x0  1) ( x0  1) Diện tích tam giác OAB: S= x04 1 OA.OB =  2 ( x0  1)2   x02  x0   x02  x0   x    y0  2  x  ( x0  1)       x0   x0   x0  1x0  (vn)  x0   y0  2 Vậy tìm hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán: M1 ( ; 2) ; M (1,1) NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ