Bài giảng tóm tắt: CHƯƠNG 2: ðỊNH THỨC ðịnh nghĩa ñịnh thức cấp n: ðịnh nghĩa 1: Cho A ∈ Mn, ñịnh thức A số thực n ∑ ( −1) 1+ j (1) a1 j M j j =1 Ký hiệu ñịnh thức ∆ = det A = aij ðịnh thức M1j định thức ma trận có từ A cách xóa hàng cột j Ví dụ: 1 3 A = 6 M 13 = 7 ðịnh nghĩa: phần phụ ñại số phần tử hàng 1, ký hiệu A1j, qua định thức M1j cơng thức: 1+ j A1 j = ( −1) M j (2) Khi định thức ma trận vng cấp n A là: n ∆ = ∑ a1 j A1 j (3) j =1 Công thức (3) gọi công thức khai triển định thức theo phần tử dịng ðịnh lý (ðịnh lý Laplace): Cho A ∈ Mn ðịnh thức cấp n A tổng tích phần tử hàng cột với phần phụ ñại số tương ứng: a) Hàng i: n ∆ = det A = ∑ aij Aij (4) j =1 b) Cột j: n ∆ = det A = ∑ aij Aij (5) i =1 Aij phần phụ đại số tính tương tự (2): Aij = ( −1) Các tính chất định thức: Tính chất 1: Nếu A ∈ Mn det(A) = det(AT) Tính chất 2: Nếu A ∈ Mn có dịng dịng det(A)=0 i+ j M ij Tính chất 3: Cho A ∈ Mn Nếu A’ nhận từ A cách hốn đổi dịng i ≠ j det(A’) = –det(A) Tính chất (Hệ tính chất 3): Nếu hai dịng A ∈ Mn có hệ số tương ứng det(A) = Tính chất 5: Nếu nhân dịng A ∈ Mn với số α det(A) tăng lên α lần Tính chất 6: (Hệ tính chất 5) Nếu hai dịng A ∈ Mn có hệ số tương ứng tỉ lệ det(A) = Tính chất 7: Cho A=(a)ij ∈ Mn Nếu phần tử dòng i A có dạng aij=bj+cj , j = 1, n , det ( A) = det ( B ) + det ( C ) với B C hai ma trận có từ A cách thay dịng i A giá trị bj cj tương ứng Tính chất 8: (Hệ tính chất 7) Nếu định thức có hàng tổ hợp tuyến tính hàng khác định thức Tính chất 9: Cho A ∈ Mn Nếu A’ có từ A qua phép biến đổi sơ cấp dòng loại (III) (thay dòng cách lấy dịng cộng với α lần dịng khác) det(A’) = det(A) Tính chất 10: (Hệ tính chất 9) Nếu A’ có từ A qua số hữu hạn phép biến ñổi sơ cấp dịng loại (III) det(A’) = det(A) Nhận xét: Vì det(A) = det(AT) nên tính chất từ (2) đến (9) ta thay chữ “dịng” chữ “cột” ðịnh thức tích hai ma trận ðiều kiện cần đủ để ma trận vng khả nghịch ðịnh lý: Nếu A, B ∈ Mn AB = A B Hệ quả: Nếu A, A1 , A2 , , Ak ∈ M n i) A1 A2 Ak = A1 A2 Ak ; m ii) Am = A , ∀m ∈ N iii) Nếu A khả nghịch A−1 = A −1 ðịnh lý: (ðiều kiện cần ñủ ñể ma trận A khả nghịch) ðể ma trận A khả nghịch, ñiều kiện cần ñủ ñịnh thức A khác không Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ma trận liên hợp: Giả sử det(A) ≠ (A khả nghịch) Lập ma trận liên hiệp ma trận A ký hiệu AV Trước tiên ta thay phần tử ma trận A phần phụ ñại số tương ứng, sau ta chuyển vị ma trận: A11 A21 ⋯ An1 A A22 ⋯ An 12 V A = (6) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A1n A2 n ⋯ Ann Ma trận khả nghịch A là: A−1 = AV (7) ∆ Các phương pháp tính định thức a) Sử dụng phép biến đổi sơ cấp dịng (cột) loại (III) để triệt tiêu tất phần tử dòng (cột) trừ phần tử dịng (cột) b) Dẫn ñịnh thức ma trận tam giác: ñó ñịnh thức tính theo cơng thức: A ma trận tam giác (trên dưới) cấp n, có phần tử đường chéo aii, n det(A) = ∏a ii = a11a22 … ann (8) i =1 Quy tắc Cramer giải hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn n phương trình (ðọc thêm) Hạng ma trận A ∈ M m× n Lấy từ A k dòng k cột bất kỳ: phần tử giao k hàng k cột tạo thành ma trận vuông cấp k ðịnh thức ma trận gọi ñịnh thức cấp k A Ma trận A có định thức từ cấp ñến cấp min(m,n) Giữa ñịnh thức khác khơng A có ñịnh thức cấp lớn ðịnh nghĩa (hạng ma trận): Cấp lớn định thức khác khơng ma trận ñã cho gọi hạng ma trận * Tính chất: phép biến đổi sơ cấp dịng khơng làm thay đổi hạng ma trận * Phương pháp tìm hạng ma trận: - Dùng phương pháp Gauss đưa ma trận cần tìm dạng bậc thang - Số dịng khác khơng ma trận sau biến đổi hạng ma trận ðịnh nghĩa (ma trận bậc thang): Nếu ma trận có dịng khác nằm dịng 0, đồng thời dịng khác ta có phần tử khác dịng nằm bên phải phần tử khác dịng ma trận gọi ma trận bậc thang Quy tắc tổng qt giải hệ phương trình đại số tuyến tính: Xét hệ: AX = B (*): A ∈ M m×n , B, X ∈ M n×1 ðịnh lý (Kronecker - Capelli): Hệ phương trình (*) tương thích r Aɶ = r ( A ) ( ) * Biện luận số nghiệm hệ phương trình tương thích: ðịnh lý: Hệ AX = B , Aɶ = [ A | B ] r Aɶ = r ( A ) r Aɶ = r ( A ) + , nữa: ( ) ( ) ( ) ii) r ( Aɶ ) = r ( A ) = n : hệ có nghiệm iii) r ( Aɶ ) = r ( A ) < n : hệ có vơ số nghiệm i) r Aɶ = r ( A ) + : hệ vô nghiệm ðịnh lý: A ∈ M n : ñiều sau tương ñương: i) r ( A) = n ii) Hệ AX = B có nghiệm iii) Hệ AX = có nghiệm tầm thường