PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TỐN Ngày thi: 18/03/2015 Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang) Bài (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a A = + : − (−3) 2 b B = 3.{5.[(5 + ): 11] - 18 16} + 2015 c C = + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ Bài (4,0 điểm) 1.3 2.4 3.5 2014.2016 a Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50 b Tìm chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; dư c Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn thì p2 - chia hết cho Bài (4,5 điểm) (n ∈ Z , n5≠ 3) a Cho biểu thức : B= n−3 Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là sớ ngun b.Tìm số ngun tố x, y cho: x2 + 117 = y2 c Số viết hệ thập phân có bao 2100 nhiêu chữ sớ Bài (5,0 điểm) · Cho góc = 550 Trên tia Bx; By xBy lấy điểm A; C ≠ ( A B; C B) Trên đoạn thẳng AC ·ABD lấy điểm D cho = 300 a Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm · b Tính số đo DBC · c Từ B vẽ tia Bz cho = 90 DBz ABz Tính số đo Bài (2,0 điểm) a Tìm chữ số a, b, c abbc = ab × ac × khác thỏa mãn: b Cho Chứng minh A A = (7 20122015 − 39294 ) số tự nhiên chia hết cho Hết Họ tên thí sinh: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: Bài (4,5 đ) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP - MÔN : TOÁN NĂM HỌC 2014 - 2015 Nội dung cần đạt a A== 2 2.2 + − 1.3 2 + − + = : − (−3)= = 32 18 6 b B= 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015 =3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012 c C= 22 3 42 2015 + + + = ÷ ÷ ÷ 1 + ÷ 1.32.42.4 1.3 (2.3.4 2015).(2.3.4 2015) 3.53.52014.2016 2014.2016 = 2015.2 2015 (1.2.3 2014).(3.4.5 2016) == 1008 2016 a Biến đổi được: (x3)2=144 (4,0 đ) = 312= 12 = (−12) x = 15 x − ⇔ ⇔ x − = −12 x = −9 2 Vì x là số tự nhiên nên x = -9 (loại) Vậy x = 15 b Do A =chia cho dư x183y x1831 nên y = Ta có A = Điểm 1,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,5đ 0,5 đ 0,5 đ 1.0 đ 0.5 đ 0,5 đ M M Vì A = chia cho dư ⇒ - ⇒x1831 x1830 9 0,5 đ ⇔ x + + + + ⇔ x + 9, Mmà x chữ số nên x = (4,5 đ) 0,5 đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Vậy x = 6; y = c Xét số nguyên tố p chia cho ∈ 3.Ta có: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( kN*) Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho Nếu p=3k+2 thì p2-1 = (3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho Vậy p2-1 chia hết cho a Để B nhận giá trị nguyên thì n - phải là ước của 0,5 đ => n - {-1;1;-5;5} => n{ -2 ; 2; 4; ∈ 8} 0,75 đ Đối chiếu đ/k ta n{ -2 ; 2; 4; ∈ 8} b Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 ⇔ y2 = 121 ⇒ y = 11 (là số nguyên tố) * Với x > 2, mà x số nguyên tố nên x lẻ ⇒ y2 = x2 + 117 số chẵn => y số chẵn kết hợp với y số nguyên tố nên y = (loại) Vậy x = 2; y = 11 c Ta có : 1030= 100010 và 2100 =102410 Suy : 1030 < 2100 (1) Lại có : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125 Nên : 2100< 1031 (2) Từ (1) và(2) suy số 2100 viết hệ thập phân có 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 31 chữ số A x z 0,5 đ D B C y (5,0 đ) (2,0 đ) z, a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C 0,5 đ => AC = AD + CD = + = cm 0,5 đ b) Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC 0,5 đ · · · ta có đẳng thức: 0,5 đ ABC = ABD + DBC 0 · · · => = 55 – 30 = 25 0,5 đ DBC = ABC − ABD c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ 0,5 đ AB nên tia BA nằm hai tia Bz BD ·ABz 90 =− 90 3000 −=·ABD 60 Tính = 0,5 đ , - Trường hợp 2: Tia Bz 0,5đ BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA 0,5đ 0 , · 90 + 30 Tính = 90 + = ABD ABz = 120 a Ta có: (1) abbc = ab × ac × ⇔ 100 + = ⇔ (7 ab bc ac 0,25 đ 100) = ⇔ - 100 = Vì < < 10 nên bc ac < - 100 < 10 100 ab 110 ⇔ 100 < < 110 ⇔ 14 < < ac ac < < 16 0,25 đ Vậy = 15 7 thay vào (1) được1bb5 = 1b × 15 × 0,25 đ ⇔ 1005 + 110b = 1050 + 105.b ⇔ 5b = 45 ⇔ b =9 0,25 đ Vậy a = 1; b = 9; c = 94 2015 2012 92 b) V× 2012 ; 92 20122015 = 4.m ( m ∈ 0,25 đ N⇒* ) ;9296 = 4.n ( n ∈ N * ) bội nên cịng lµ béi cđa 0,25 đ 2012 92 4m 4n m n − = − = ( ) − ( ) = ( 1) − ( 1) = Khi ®ã tøc lµ 20120,25 2012− 3đ92− 3M92 10 cã tËn cïng b»ng hay 2012 DÔ thÊy > mµ 2012− 3−923−923) 92=M10 0,25 đ A = (7 2012 5.k; k ∈ N suy Suy A số tự nhiên chia hết cho 2015 94 2015 2015 20152015 94 94 94 2015 94 94