TỔNG hợp CHUYÊN đề ĐẲNG THỨC TOÁN

Chuyên đề Diễn đàn Toán học Chuyên đề ĐẲNG THỨC TỔ HỢP Vol.1 Chế Hoàng Xuân Thanh [hxthanh] Trần Quốc Nhật Hân [perfectstrong] Trần Trung Kiên [Ispectorgadget] Nguyễn Bảo Phúc [dark templar] Diễn đàn Toán học Lời giới thiệu Bạn đọc thân mến! Đại Số Tổ Hợp ngày trở thành môn học thiếu chương trình trung học phổ thông Khi nói toán Tổ hợp, không nhắc tới dạng toán hay quen thuộc là: Đẳng thức tổ hợp Đẳng thức tổ hợp (ĐTTH) đẳng thức có chứa hệ số nhị thức thường phát biểu dạng tính tổng Có thể nói ĐTTH đề tài khó hấp dẫn Đại Số Tổ Hợp Việc ĐTTH xuất thường xuyên kỳ thi Đại Học, học sinh giỏi năm gần đây, dấu hiệu cho thấy quan tâm đầu tư cách tích cực vấn đề Nhân kiện đón xuân Quý Tỵ kỷ niệm tròn năm Diễn đàn Toán học khai trương trang chủ (16/01/2012 - 16/01/2013), nhóm biên tập nhiều thành viên tích cực diễn đàn chung tay biên soạn chuyên đề gửi đến bạn đọc Với số phương pháp từ đến nâng cao Đại Số Tổ Hợp nói chung ĐTTH nói riêng, chúng tôi, người thực chuyên đề này, mong muốn đem đến cho bạn đọc chút mẻ toán ĐTTH, chẳng hạn phương pháp Sai Phân, Sai phân phần, v.v Bạn đọc tìm thấy chuyên đề số dạng toán quen thuộc nhìn nhận tiếp cận theo phong cách hoàn toàn mới, qua ví dụ tập điển hình i ii Chuyên đề tập hợp viết tác giả: Trần Quốc Nhật Hân (perfectstrong), Bùi Đức Lộc (supermember), Hoàng Xuân Thanh (hxthanh), Lê Kim Nhã (gogo123), Nguyễn Bảo Phúc (Dark Templar), Trần Trung Kiên (Ispectorgadget), Lưu Giang Nam (namheo1996), Hoàng Minh Quân (batigoal), Nguyễn Hiền Trang (tranghieu95) góp sức nhiều thành viên tích cực khác Diễn đàn Toán học thầy Châu Ngọc Hùng (hungchng), Lê Hữu Điền Khuê (Nesbit), Đinh Ngọc Thạch (T*genie*), HeilHittler, trungpbc, Chuyên đề gồm chương Chương tóm tắt Tổng quan hệ số nhị thức Phương pháp cân hệ số khai triển nhị thức quen thuộc nghiên cứu chương Tính tổng Sai Phân Sai Phân Từng Phần chiếm vị trí chương Chương viết Hàm Sinh ứng dụng mạnh mẽ chứng minh ĐTTH Chương Một số ứng dụng nhị thức toán Số Học Khép lại chuyên đề chương Phương pháp đếm hai cách Những phương pháp tập giới thiệu chuyên đề chưa phải hay nhất, chưa phải tổng quát Nhưng hy vọng bạn đọc tiếp tục nghiên cứu, sáng tạo Đó tinh thần học toán mà chuyên đề muốn mang tới Tài liệu thay cho lời chúc mừng năm Diễn đàn Toán học gửi đến quý bạn đọc! Do thời gian chuẩn bị gấp rút, số nội dung chưa đầu tư cách tỉ mỉ tránh khỏi sai sót, mong bạn đọc thông cảm Mọi ủng hộ, đóng góp, phê bình độc giả nguồn động viên tinh thần to lớn cho ban biên tập tác giả để phiên cập nhật sau chuyên đề tốt Mọi trao đổi góp ý xin gửi địa email : contact@diendantoanhoc.net Trân trọng! Nhóm biên tập Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Mục lục i Lời giới thiệu Chương Tổng quan hệ số nhị thức 1.1 1.2 Một số khái niệm Các tính chất Chương Phương pháp cân hệ số chứng minh đẳng thức tổ hợp 11 2.1 2.2 Khai triển số thực 12 Ứng dụng số phức 22 Chương Tính tổng, chứng minh ĐTTH phương pháp Sai phân phần 41 3.1 Sai Phân (Difference) 42 iii iv Mục lục 3.2 3.3 3.4 Sai Phân Từng Phần 43 Một số toán Ví dụ minh hoạ 44 Bài tập tự luyện 68 Chương Sử dụng hàm sinh chứng minh đẳng thức tổ hợp 71 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Thay lời mở đầu 72 n 74 k Những dạng khai triển hàm sinh cần biết 75 Những định lý tính tổng dùng hàm sinh 76 Bài tập minh họa 81 Các toán không mẫu mực 108 Bài tập tự luyện 121 Những biến đổi đại số thường gặp với Chương Ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào Số học 125 5.1 5.2 5.3 5.4 Định lý 125 Một số hệ thức Các toán 127 Bài tập 148 126 Chương Kỹ thuật đếm hai cách chứng minh đẳng thức tổ hợp 151 6.1 6.2 Diễn đàn Toán học Nguyên lí đếm hai cách 152 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 153 Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Mục lục v 6.3 6.4 6.5 171 Ứng dụng phương pháp đếm giải toán đồ thị 165 Ứng dụng đếm hai cách giải toán rời rạc 167 Bài tập 169 Tài liệu tham khảo Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học Chương Tổng quan hệ số nhị thức 1.1 1.2 Một số khái niệm Các tính chất Hoàng Xuân Thanh (hxthanh) Tóm tắt nội dung Đẳng thức tổ hợp (ĐTTH) giới thiệu viết hiểu đẳng thức có chứa hệ số nhị thức (binomial coefficient) n ĐTTH đề tài hay khó, với nhiều k phương pháp tiếp cận khác cho toán Trong phần này, tác giả hệ thống cho bạn đọc số khái niệm công thức thường sử dụng 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Hệ số nhị thức Định nghĩa 1.1 (Hệ số nhị thức) n Hệ số nhị thức ký hiệu hệ số xk khai triển nhị thức k 1.1 Một số khái niệm n (1 + x)n = k=0 n k n k x k đọc số tổ hợp n chập k (n choose k) Lưu ý rằng, số quốc gia Châu Á có Việt Nam, thường ký hiệu tổ hợp n chập k kn n Trong toàn chuyên đề sử dụng ký hiệu quốc tế k Tính chất 1.1 (Quy ước)– n = k > n ≥ k < ≤ n k Định lý 1.1 (Công thức giai thừa)– Với số nguyên không âm n k ta có n k = n! k!(n − k)! (1.1) với n! = 1.2 n quy ước 0! = 1.1.2 Luỹ thừa giảm, lũy thừa tăng Định nghĩa 1.2 (Luỹ thừa giảm) Lũy thừa giảm n x xn = x(x − 1) (x − n + 1) n nhân tử Quy ước x0 = Định nghĩa 1.3 (Luỹ thừa tăng) Lũy thừa tăng n x (x)n = x(x + 1) (x + n − 1) n nhân tử Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 1.1 Một số khái niệm Quy ước (x)0 = n k Tính chất 1.2– 1.1.3 = nk (n − k + 1)k (−1)k (−n)k = = k! k! k! Khai triển nhị thức suy rộng với số mũ thực Định lý 1.2– Với số thực x s ta có ∞ (1 + x)s = k=0 = 1+ s k x k (1.2) s1 s2 sk x + x2 + · · · + xk + · · · 1! 2! k! (1.3) Chứng minh Đặt f (x) = (1 + x)s , áp dụng khai triển Maclaurin cho f (x), ta có f (0) = (1 + x)s f (0) = s(1 + x) f (0) = s2 (1 + x=0 s−1 = s0 = s1 x=0 x)s−2 x=0 = s2 ··· = ··· f (k) (0) = sk Do ∞ f (x) = k=0 f (k) (0) k ·x = k! ∞ k=0 sk k ·x k! Vì lý nên người ta mở rộng hệ số nhị thức cho “cơ số” thực s sau: Định nghĩa 1.4 Với s ∈ R k ∈ N s k s k = sk s(s − 1) (s − k + 1) = k! k! xác định gọi hệ số nhị thức mở rộng Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 157 Ví dụ 6.5 Với n nguyên dương cho trước Chứng minh rằng: n k=0 2k k 2n − 2k n−k = 4n Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc: Một đoạn thẳng có độ dài n tô màu, D, X, V, T • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Ta chọn tập cách tô màu D X cho D + X = k k i k 2k số cách chọn = k k−i k i=0 số cách chọn đoạn màu V, T k n−k n−k 2n − 2k = j k−j n−k j=0 • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Rõ ràng ta có 4n cách Do với k cố định ta số cách tô n Cho k chạy từ đến n ta số cách tô màu i=0 2k k 2k k 2n − 2k n−k 2n − 2k n−k Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.6 n 4n−k k=0 4n 2n + 2k 2n + 2k k = 8n ; n ∈ N∗ 2n Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc: Xét 8n viên bi Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 158 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Cho 8n viên bi vào 4n hộp, hộp có viên: Đầu tiên chọn k hộp cho hộp có viên bi lấy – Số cách chọn 2n − 2k hộp 4n hộp 4n 2n − 2k – Trong hộp 2n − 2k hộp ta chọn bi, viên bi có hộp, nên số cách chọn 22n−2k = 4n−k – Chọn 2k viên bi lại 2n+2k hộp lại cho 2n + 2k hộp có bi chọn k hộp nên có k cách chọn • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Ta đếm số cách chọn 2n viên bi từ 8n viên bi có 8n cách 2n Từ suy số cách chọn 2n 8n viên bi theo cách đếm thứ n 4n 2n + 2k 4n−k 2n + 2k k k=0 Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.7 Chứng minh rằng: k−1 Ak−i k 1k + 2k + + nk = i=0 n+1 k−i+1 với k = 1, 2, 3, Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc: Từ tập số nguyên dương A = {1, 2, , n + 1}, ta chọn thứ tự (x1 , x2 , , xk+1 ) thỏa mãn điều kiện: Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 159 xk+1 > max {x1 , x2 , , xk } Hỏi có cách chọn? • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Ứng với xk+1 = i + 1, (1 ≤ i ≤ n), ta có i chọn x1 , i cách chọn x2 , ; i cách chọn xk Do đó, số cách chọn là: S = 1k + 2k + + nk • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Ta chọn k + số từ n + số, số lớn nhất, ta chọn làm xk+1 , số lại, ta sếp thứ tự xong Gọi i(0 ≤ i ≤ k) số phần tử nhóm x1 , x2 , , xk n+1 Chọn k − i + số khác từ n + số, ta có cách k−i+1 Xếp thứ tự k − i số khác vào k chỗ trống (các chỗ trống lại, hiển nhiên dành cho i số nhau), ta có Ak−i cách k Vậy số cách chọn là: k−1 Ak−i k S= i=0 n+1 k−i+1 Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.8 n 2k k=0 n k n−k n−k = 2n + n Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc Thầy Thế, GVCN lớp 10A gồm n học sinh nam n học sinh nữ Tối nay, Rạp chiếu phim quốc gia, chiếu phim hay, thầy định tổ chức cho lớp xem Cuối thầy Thế mua n vé Thầy suy nghĩ: Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 160 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Thầy ghép n học sinh nam n học sinh nữ thành n đôi (việc làm coi thực từ đầu không ảnh hưởng đến cách chia vé thầy) n cách chọn k (vì đôi có vé nên k đôi có 2k kết cục khác nhau), lại n − k vé n − k đôi lại Thầy tiếp tục chọn n−k n−k cách đôi chia cho đôi vé - có n−k 2 - Chọn k đôi chia cho đôi vé - có 2k n−k vé S = n − k số chẵn (khi n vé chia hết) S = n − k số lẻ (khi vé lại dành cho thầy) - Bây thầy lại S = n − k − - Dễ thấy k nhận giá trị từ đến n • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Nếu n vé chia ngẫu nhiên cho 2n học sinh 2n + xảy trường hợp n n 2k Do đó, theo cách chia thầy ta có tất cả: k=0 n k n−k n−k cách chia n vé cho 2n + người Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.9 Tính n (k − 2)(k − 1)k k=3 n k Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc Giả sử có n bạn tham gia thi hội khỏe Phù Đổng vòng sơ tuyển cần chọn số bạn vào vòng chung kết Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 161 • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Sau chọn bạn cho ba vị trí nhất, nhì, ba, , bét tổng cần tính số cách chọn • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Chọn hạng nhất, nhì, bét từ n bạn bổ sung thêm số bạn n − bạn lại để thi vòng chung kết Nếu chọn kiểu này có n(n − 1)(n − 2)2n−3 giải pháp số bạn chọn theo cách tập n − cô lại Từ có kết cần tìm n(n − 1)(n − 2)2n−3 Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.10 Chứng minh rằng: k n n 2k = 3n k Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc Có n gia đình công ty, gia đình có người Nhân ngày trung thu, công ty tổ chức phát quà cho cháu có kết học tập cao, gia đình cháu nhận quà Hỏi có cách phát quà? • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) + Nếu gia đình có nhận quà có n 20 cách phát quà n + Nếu có gia đinh có nhận quà có 21 cách phát quà + Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp Diễn đàn Toán học 162 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp + Nếu tất gia đình có nhận quà có n 2n cách phát quà n n Vậy tổng cộng có k=0 n 2k cách phát quà k • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Mỗi gia đình có cách (cả quà, có quà, đứa có quà đứa quà) Như có tất 3n cách phát quà Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.11 Chứng minh rằng: n k=1 n+k−1 2k −  √ 1+ =√  √ 2n+1 − 1− 2n+1   Lời giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc Một lớp học có n học sinh dã ngoại Cô giáo chia thành số nhóm nhóm chọn nhóm trưởng để tiện quản lí Hỏi có tất cách chia? • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Xét số nhóm k Mô hình hóa toán sau: Ta cho trưởng nhóm cầm cột, nhóm có cột nên có tất 2k − cột n + k − vị trí n+k−1 Do với k nhóm có cách chia 2k − n n+k−1 Như có tất cách chia 2k − k=1 Diễn đàn Toán học Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp 163 • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Gọi xn số cách chia thỏa mãn toán với n học sinh Xét xn+1 Giả sử nhóm chia cuối có k người, có k cách chia nhóm ( thực k cách chọn nhóm trưởng), gn+1−k cách chia n − k người trước, nên có k.gn+1−k cách chia Quy ước g0 = 1, ta có: g1 = n ⇒ gn+1 = kgn+1−k k=0 ⇒ gn+1 = 3gn − gn−1 Kết hợp với  g0 = 1, g1 = ta được: √ 2n+1 √  1+ 1− gn = √ − 2 2n+1   Như ta có điều phải chứng minh Ví dụ 6.12 Tính tổng: n+1 i=0 n−i+1 i Lời giải • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Ta đếm số tập có i phần tử tập hợp (1; 2; 3; ; n) mà không chứa hai số nguyên liên tiếp Gọi A họ tất tập có tính chất nêu B tất tập tập hợp 1; 2; ; n − (r − 1) Xét ánh xạ f : A → B sau: f : a1 ; a2 ; ; ar → b1 ; b2 ; ; br với bi = − i + 1, i = 1; r n−i+1 Dễ thấy f song ánh nên |A| = |B| = i n+1 ⇒ i=0 n−i+1 i Chuyên đề Đẳng Thức Tổ Hợp số tập 1; 2; ; n Diễn đàn Toán học 164 6.2 Ứng dụng chứng minh đẳng thức tổ hợp • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Gọi an số tập tập (1; 2; ; n) mà không chứa số nguyên liên tiếp Xét an+1 Nếu phần tử cuối n + phần tử liền trước n, nên có an−1 tập Nếu phần tử cuối n + có an tập ⇒ an+1 = an + an−1 Dễ thấy a0 = 1; a1 = nên √ √ n √ √ n 5+3 1+ 5−3 1− an = + 10 10 Như vậy: n+1 i n−i+1 i=0 √ 5+3 = 10 √ 1+ n √ 5−3 + 10 √ 1− n Ví dụ 6.13 Cho k1 ; k2 ; ; kn số nguyên dương lớn Chứng minh rằng: n 1≤i