CHUONG IV CAC KHOAN THANH TOAN THEO CHU KY (ANNUITIES) 4.1, KHAI NIEM PHAN LOAI CHUOI TIEN TE (CASHFLOW) 4.1.1 Khái niệm
Chuỗi tiền tệ là một loạt các khoản tiền phát sinh theo chu
kỳ, là những khoản tiền sẽ được nhận hoặc sẽ chỉ trả cách đều
nhau theo thời gian (vì vậy chuỗi tiền tệ còn được gọi là các
khoản tiền thanh toán theo chu kỳ)
Khoảng thời gian không đổi giữa các chu kỳ thu nhập hoặc chỉ trả được gọi là chu ky, chu kỳ có thé 1a: ngày, tháng, năm
Thời gian từ đầu chu kỳ thứ nhất đến cuối chu kỳ cuối cùng
gọi là kỳ hạn của chuỗi tiền tệ
Một chuỗi tiền tệ hình thành khi đã xác định được các yếu to sau:
Số kỳ thanh toán: n
Số tiên thanh toán mỗi chu kỳ: PMTyvới k= 1 n
Độ dài của một chu kỳ: khoảng cách thời gian giữa hai
lần thanh toán (1 năm, | thang, 1 quý )
Ngày thanh toán đầu tiên
4.1.2 Phân loại chuỗi tiền tệ
- Căn cứ vào số tiền thanh toán : hai trường hợp
Chuỗi tiền tệ cô định: Số tiền thanh toán ở các kỳ luôn bằng nhau
Chuỗi tiền tệ biến đổi: Số tiền thanh toán ở các kỳ là khác nhau
- Căn cứ vào thời gian : ba trường hợp
Thời gian thanh toán và số kỳ thanh toán đã được ấn định trước Ví dụ: Một số nợ phải thanh toán là mười hai kỳ vào đầu tháng,
mỗi kỳ là 200 000 đồng từ 1/1/2006 đến 1/12/2006 Số chu kỳ
và thời gian thanh toán đã được ấn định trước vào lúc ký khế ước
Ví dụ: Tiền hưu trí, tiền bảo hiểm nhân thọ
Trang 2Ví dụ : Gửi tiền vào ngân hàng dé nhận tiên lãi
4.2, CHUÔI TIÊN TE PHAT SINH CUOI KY
Goi: PMT, (k = 1 n) là giá trị các khoản thanh toán vào
cuối mỗi kỳ
r : lãi suất áp dụng của | chu ky n : số chu kỳ thanh toán FV PV t PMT; PMT? _ PMT) pr, t t T † T > 0 1 2 " n- n
4.2.1 Tong giá (rị tương lai (giá trị cuối —Definitive value)
của các khoán tiên thanh toán cuỗi chukỳ
Gọi FV là tông trị giá tương lai của chuỗi tiên tệ thanh
tốn ci kỳ tại thời điểm n, ta có: FV = PMT¿.(1 +r)"!+PMT¿.(1+r)" + + PMT,,1.(1 +r) + PMT, n Téng quat: FV = »; PMT,(1+r)"* k=1 Nếu các khoản tiền thanh toán bằng nhau (chuỗi tiên tệ cô định) <>PMT, = PMT) = = PMT,.; = PMT, = PMT, Ta có: FV = PMT + PMT (ltr) + PMT(l+r)) + + PMT.(1+n)"? + PMT.(1+1r)™!
Về phải của đẳng thức là dang tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là a và công bội là (1+r), do vậy:
FV=PMT,€®2—
Trang 3Ví dụ 4.1 : Để có được một số vốn, ông A mở một tài khoản tại ngân hang ANZ, cir cuối mỗi năm ông gửi vào tài khoản một số tiên không đổi là 100 triệu đồng Hãy cho biết số đư trong tài khoản vào lúc ông A rút tiền sau năm năm, nếu lãi suất ngân hàng là 10% /năm Giải Ta có: FV = PMT aah s @ — FVs=100 “CAE * = 610,51
Vậy, số dự tài khoản của ông A sau năm năm sẽ là 610, 51 triệu đồng 4.2.2 Tổng giá trị hiện tại của các khoản tiền thanh toán
cuối chu kỳ
Gọi PV là tổng giá trị hiện tại của các khoản tiền thanh toán cuối chu kỳ được xác định tại thời điểm 0, ta có: PV = PMT,(I + ry! + PMT;(l + r” + + PMT,.(1+r)” > PV = à PMT,(1+r)"* Néu PMT; = PMT? = = PMT, = PMT và có thời hạn Ta có: PV=PMT( +7 + PMT.(1 +1)? + + PMT(1 +r)"
PV la tong các sô hạng của một cấp số nhân với số hạng đầu
là PMT.(I+r)” và công bội của cấp số nhân là (1+r)
do đó:
— -(+ r)"~ 1
PV = PMT 1 +1) qua
Trang 4> PV = PMT, tn
Vi du 4.2 : Một chuỗi tiền tệ phát sinh cuỗi kỳ gồm tam ky khoản bằng nhau và bằng 20 triệu đồng, lãi suất áp dụng 10% /kỳ Hãy xác định hiện giá của chuỗi tiền tệ
Giải
1-(1+r) "
Áp dụng công thức: PV = PMT
Ta có : PV=20 ome = 106,698524 %
Hiện giá của chuỗi tiền tệ trên là 106.698.524 đồng
Néu PMT, = PMT; = = PMT, = PMT va dai vé thoi han
(Perpetuity)
Ta co:
PV =PMT.(1 +r)'+PMT.(1 +r)”+ + PMT.(1 +r)”
Đây là dạng tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là a.(1 + r}! và công bội là q = (1 + r)', do vay: _ PMT(1+r) 1 _ PMT(1+r)” PMT PV = 1~q 1-(1+r) 1 “Ae (+r)"1|(1+r) rò PV=— T
Vi du 4.3 : Hãy xác định hiện giá của cô phiếu ưu đãi nêu cô tức cổ phiếu được trả cố định là 1 triệu đồng/năm với lãi suất bình
quân 1a 10% /năm
Giải
Gọi PV là giá của cổ phiếu ưu đãi hiện tại, ta có :
Trang 5r 10%
Vậy, hiện giá của cổ phiếu ưu đãi là 10 triệu đồng
4.2.3 Kỳ hạn trung bình (Average fcrm) cúa các khoản tiền
thanh toán cuối chu kỳ
Kỳ bạn trung bình của các khoản tiền thanh toán cuối chu kỳ là hạn kỳ mà tại thời điểm đó tổng trị giá của các khoản tiền thanh
toán bằng với tổng số mệnh giá của các khoản tiền thanh toán
Nếu xem các khoản tiền thanh toán cuối chu kỳ như những thương phiếu với:
- Mệnh giá của mỗi thương phiếu là PMT¡, PMT¿ .PMT¡
- Kỳ hạn của mỗi thương phiếu là 1, 2 n kỳ
Trang 6> PMT lo so Spm)" Hay: jodie) P=
Trường hợp chuỗi tiền tệ có dinh (PMT; = PMT) = = PMT,), thi sạn kỳ trung bình được tính như sau: Vp = PMT ASE! 1 + np = nPMT po —_—_ 2 d9) n 1-(itrj7" , | es _ oan ( | > P log(I+r}
Ta nhận thấy hạn kỳ trung bình độc lập với trị giá của các khoản tiền thanh toán
Ví dụ 4.4 - Tính hạn kỳ trung bình của chuỗi tiền tệ mười lăm kỳ phát sinh cuối kỳ với lãi suất áp dụng 10% /kỳ
Trang 7Giải _ oe net log(l+r) 10% log} 15 ce mm log(1+10%) si Áp dụng công thức : p Tacé: p= 4.2.4 Một số công thức khác áp dụng cho chuỗi tiền tệ cỗ định phát sinh cuồi ky 4.2.4.1 Tính kỳ khoản PMT (I+r}'—1 r Từ công thức: FV = PA r > PMT = FY,—_— (I+r} —1 Hoặc từ công thức: PV = pưrLrũ+r}* r ¬ Ơ 1-(l+r)”
Vĩ đụ 4.5: Ơng A gửi ngân hàng mỗi quý một số tiền bằng nhau liên tiếp trong ba năm với lãi suất 8% /nam thì rút được I 609 450 đồng Xác định số tiền ông A gửi mỗi quý
> PMT = PY
Trang 8Giai Áp dụng công thie: PMT = FV.— (l+ry'-1 8% Ta có : PAT =1609450.———®———— =120000 0, (1+ 5} -1 4 Vậy, mỗi quý ông A gửi vào ngân hàng 120 000 đồng 4.2.4.2 Tính lãi suất r Từ công thức: ev = pur {try a1 > FV _(+rƑ-1 PMT r
Ta có thể tính được lãi suất r dựa vào bảng tài chính số 3 và áp dụng công thức nội suy.(xem phương pháp nội suy cuối chương IV)
Ví dụ 4.6 - Hãy xác định lãi suất của một chuỗi tiền tệ gồm mười kỳ khoản phát sinh cuối kỳ, giá trị mỗi kỳ khoản là 16 triệu, giá
Trang 9, > rị= 4,5% <r <r¿= 5% Áp dụng công thức nội suy : S-S, Sy - 5; r=7+(,-n) & 7 =4,5%+(5%- 4,5%) 125 = 12, 288209 _ = 4.87% 12,577893 — 12,288209 Vậy lãi suất của chuỗi tiền tệ trên là 4,87% /kỳ Từ công thức: PV = pưrJ~t+}” ; Py 1-(+r}” PMT r >
Ta có thể tính được lãi suất r đựa vào bảng tài chính số 4 va ap dụng công thức nội suy.(xem phương pháp nội suy cuối chương
4)
Ví dụ 4.7 : Hãy xác định lãi suất của một chuỗi tiền tệ gồm mười
Trang 10Áp dụng công thức nội suy : S-S, 5, ~ 5; r=r,—Í„—đ) Ẳœr= 10% ~ (10% ~9,5%) Oe SE = 961% Vậy lãi suất của chuỗi tiền tệ trên là 9,61% /kỳ 4.2.4.3 Tính số kỳ thanh tốn n Từ cơng thức: ev = pur ttn! ; Eï r log) - +1 + _ \PMT log(t+r} Ta có thể tính được n bằng công thức trên hay bằng cách tra bảng tải chính 3 Tuy nhiên, nếu n không phải là một số nguyên chúng ta phải biện luận
a Phuong pháp biện luận tông quát
Giả sử ta tính được n là một số dương, lẻ
Với nụ, nạ là số nguyên và (nạ — nị) = 1, sao cho; nị<n<n; Ta sẽ biện luận với :
+ Giả định n = nị
Goi: FV, la giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ với số chu kỳ nị
Thì : FV> FVI
Muốn đạt được giá trị FV thì chúng ta có thể lựa chọn các cách sau : - Thay đôi các kỳ khoản
- Giữ nguyên các kỳ khoản và chỉ thay đổi kỳ khoản cuối cùng bằng cách tăng kỳ khoản cuối cùng lên thêm một khoản
(V-FV))
Trang 11hay : PMT, = PMT, + (FV - FVỊ)
- Giả định n = nạ
Gọi : FV; là giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ với số chu kỳ nạ
thi: FV <FV,
Muốn đạt được giá trị FV thì chúng ta có thể lựa chọn các cách sau : - Thay đổi các kỳ khoản
- Giữ nguyên các kỳ khoản và chi thay đổi kỳ khoản cuối cùng bằng cách giảm kỳ khoản cuối cùng xuống một khoản
(FV;- FV)
hay : PMTn, = PMT, — (FV2— FV)
+ Giả định n = nị và đợi một thời gian để vốn tiếp tục sinh
lợi đến khi đủ số vẫn cân thiết
Gọi m là thời gian cần để cho số vốn sinh lời theo lãi kép Lúc này ta có : FV =FV(l+r)" m EV l+r] =—— © (+r) FV, FV log] — ¬— log(t +)
Ví dụ 4.8 : Công ty Anpha cần một số vốn là 500 000USD Cuối mỗi năm, công ty gửi vào ngân hàng 50 000USD Với lãi suất ngân hàng là 10% /năm thì sau bao nhiêu năm công ty có được
s6 von trén
Trang 12Áp dụng công thức: n= 500000 10% 08 Soo00 =7,273 log (1+ 10%) Biện luận n nguyên : 7<n < 8 + Chn n = 7 âđ n= (1+10%) -1 0 Ta có : FY, = 50000 = 474358,55 Chênh lệch tại n: Ay = FV — FV7 = 500 000 — 47435855 = 25.641 ,45 Công ty có thê lựa chọn các phương án : Thay đổi PMT PMT' = 500 000.——— ——= 52 702,74985 USD (1+ 10%)7— 1
Cuối mỗi năm công ty sẽ gửi vào ngân hàng một khoản tiền
bằng nhau và bằng 52 702,74985 USD thì đến cuối năm thứ bảy công ty sẽ có số vốn là 500 000 USD
- Thay đổi PMT¡:
PMT; = PMT + Ay = 50 000 + 25 641,45 = 75 641,45 USD
sáu năm đầu, công ty gửi vào ngân hàng mỗi năm 50 000 USD, cuối năm thứ bảy công ty gửi vào ngân hàng 75 641,45 USD thì
công ty sẽ có được số vốn 500 000 USD
Trang 13+ Chọnn= 8 Ta có : FVạ = 50 000 Chênh lệch tại n: Av=FVs- FV = 571 794,405 — 500 000 = 71 794,405 Công ty có thê lựa chọn các phương án : - Thay đối PMT PMT”' = 500 000 —” —=43 722,00879USD ° (1+10%)8— 1
Cuối mỗi năm công ty sẽ gửi vào ngân hàng một khoản tiền
bằng nhau và bằng 43 722,00879.USD thì đến cuối năm thứ tám
công ty sẽ có số vôn là 500 000 USD
- Thay đổi PMT,:
PMTs = PMT - Ay = 50 000 — 71 794,405 <0
© Khơng cân biện luận trường hợp này, hay nói cách khác, công ty không cần gửi vào ngân hàng khoản tiền thứ tám để có số vôn 500 000 USD mà có thể đợi thêm một thời gian để khoản tiền gửi của bảy kỳ sinh lãi
+ Chọn n = 7 và đợi sinh lãi : Tacó: - FV;¡=474.358,55 Thời gian sinh lãi của số vốn FV; để có được FV là : log( 500 000 ) im = 2438855" = 055235 log (14+10%) (1+10%)8~ 1 = $71 794,405 10%
Vậy, công ty sẽ có số vốn 500 000 USD tại thời điểm bảy năm
Trang 14Ta có thể tính được n bằng công thức trên hay bang cach tra bang tai chinh 4
b Phương pháp biện luận tông quát
Giá sử ta tính được n là một số dương, lẻ
Với ny, nạ là số nguyên và (nạ — ny) = 1, saocho: n¡<n <nạ
Ta sẽ biện luận với : + Giả định n = nị Gọi : PV;là giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ với số chu kỳ nụ Thi: PV>PV Muốn đạt được giá trị PV thì chúng ta có thể lựa chọn các cách SaU :
- Thay đổi các kỳ khoản
- Giữ nguyên các kỳ khoản và chỉ thay đổi kỳ khoản cuối cùng bằng cách tăng kỳ khoản cuối cùng lên thêm một khoản: (PV-PVJ)(1+r)m hay : PMT,,= PMT, + (PV - PVI)(4 +r )m + Giả dinh } H=Hạ Gọi : PV; là giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ với số chu kỳ nạ Thi: PV <PV2
Muốn đạt được gid tri PV thi chúng ta có thể lựa chọn các cách sau : Thay đổi các kỳ khoản
Giữ nguyên các kỳ khoản và chỉ thay đối kỳ khoản cuối cùng bằng cách giảm kỳ khoản cuối cùng xuống một khoản
(PV;~— PV)(1 + r )?2 hay : PMT„,= PMTụ + (PV; - PV)(1 + r)”?
Ví dụ 4.9: Công ty Anpha mua một tài sản, gia ban trả ngay là 200 000USD với hình thức trả góp : Cuối mỗi năm, công ty trả cho doanh nghiệp bán tài sản 50 000USD với lãi suất thoả thuận là 10% /năm thì sau bao nhiêu năm công ty thanh toán xong
khoản nợ trên
Giải
Trang 15PV or log| 1- — —- Ap d lụng côn ông thức: C: 2 = > PMT P cụng cong log(i+r) 200000.10% loge 5 ng 536 > =— " log(+10%) Biện luận n nguyên : 5 <n < 6 + Chọn n= Š$ 1- (1+ 10%)? = 189539,3385 10% Tacé: PV’ =50000 Chênh lệch tại 0 : Av: = PV -PV’= 200.000 — 189.539,3385 = 10.460,6615 Công ty có thể lựa chọn các phương án : + Thay đổi MPT 90 PV’ = 200000 —1% = 52759 ,49616 USD 1~(1+10%)°
Cuối mỗi năm công ty thanh toán một khoản tiền bằng nhau và bằng 52 759,49616 USD thi đến hết năm thứ năm công ty sẽ thanh toán hết nợ
+ Thay đổi PMT,:
'Ta phải tính chênh lệch Ay: về thời điểm n :
Ava = Ay-(1 41)" = 10 460,6615(1+10%)° = 16 847 USD Khoản thanh toán cuối cùng sẽ là :
PMTs = PMT + Ava: = 50 000 + 16 847= 66 847 USD
Vậy, bốn năm đầu, công ty thanh toán mỗi năm 50 000 USD, cuối năm thử năm cơng ty thanh tốn nốt 66 847 USD thì hết nợ
Trang 16+ Chọn n= 6 1-(14+10%)* 9 Tacó: PV"= 50000 Chênh lệch tại 0: Ay = PV” — PV = 217 763,035 — 200 000 = 17 763,035 Công ty có thể lựa chọn các phương án : + Thay đổi PMT = 217763,035 0 PMT "'= 200000 10% = 45921 ,47607 USD 1-(1+10%)°
Cuối mỗi năm công ty sẽ thanh toán một khoản tiền bằng nhau và băng 45 921,47607 USD thì đên hệt năm thứ sáu công ty sẽ thanh toán hết nợ + Thay đổi PMT¡: Ta phải tính chênh lệch Av- về thời điểm n: Avan = Av +r)" = 17 763,035(1+10%)° = 31 468 USD Khoản thanh toán cuối cùng sẽ là : PMT, = PMT - Avn- = 50 000 — 31 468 = 18 532 USD năm năm đầu công ty sẽ thanh toán một khoản tiền bằng nhau và
bằng 50 000 USD, cuối năm thứ sáu cơng ty thanh tốn khoản cuối cùng 18 532 USD thì hết nợ
4.3 CHUOI TIEN TE PHAT SINH DAU KY
Trang 174.3.1 Giá trị tương lai của các khoán tiền thanh toán đầu kỳ Gọi PV' là tổng trị giá tương lai của các khoản tiền thanh toán đầu chu kỳ tại thời điểm n, ta có: FV’= PMT} dl +r)" + PMT>.(1 +1)! + PMT3.(1 +t it PMT,.\.(1 + 1)? + PMT,.(1 + r) Tổng quác | PW'= » PMT, (1+ ry"** k=1 Nếu các khoản tiền thanh toán bằng nhau (chuỗi tiền tệ cố định) PMT) = PMT¿ = = PMTạ = PMTn = PMT Ta có: FV’ = PMT (1 +5"+ PMT (lL +9"! + PMT (1+ n+ + PMT (1 +1) + PMT (1 +r) =PMT (1 +r)+ PMT (1 +rỷŸ+ + PMT (1 +1)"
Đây là dạng tổng các số hạng của một cấp số nhân với số hạng đầu tiên là PMT(1+r) và công bội là q = (1+r), do đó: 1-(1+r)8 1-(1+r) FV? = PMT ij = PMT.(1+r) > FV, = PMT.(itr pet
Nhận xét : Giá trị tương lai của các khoản thanh toán đầu kỳ
tang (1+ r) lần so với giá trị tương lai của các khoản thanh tốn ci kỳ nêu các nhân tô khác là như nhau
Ví dụ 4.10 : Đề có được một số vốn, ông A mở một tải khoản tại ngân hàng ANZ, cur đầu mỗi năm ông gửi vào tài khoản một số tiên không đổi là 100 triệu đồng Hãy cho biết số dư trong tài khoản vào lúc ông A rút tiền sau năm năm, nếu lãi suất ngân
hàng là 10% /năm
Trang 18Giai PMT PMT PMT PMT PMT EVs I } | | L | TL | Í | J > q T T T T T Ỉ † T { T 0 1 2 3 4 5 Áp dụng công thức: FV’ = PMT +)? & FV’ =100(1+10%) 222" 67, 561
Vậy, số dư tài khoản của ông A sau năm năm sẽ là 671,561 triệu đồng
4.3.2 Hiện giá của các khoản tiền thanh toán đầu kỳ
Gọi PV' là tổng trị giá hiện tại của các khoản tiền thanh
Trang 19Nhén xét : Giá trị hiện tại của các khoản thanh toán đầu kỳ tăng (1+ r) lần so với giá trị hiện tại của các khoản thanh toán cuối kỳ nếu các nhân tố khác là như nhau
Ví dụ 411: Một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ gồm tám kỳ
khoản bằng nhau và bằng 20 triệu đồng, lãi suất áp dụng 10% /kỳ
Hãy xác định hiện giá của chuỗi tiền tệ Giải £ 1-(1 _n Áp dụng công thức: PV' = PMT(1+)—C2— Ta có : - 1-(14+10%) 8 PV?= 20(1+10%) —~———"—- = 117,383 10% 76
Hiện giá của chuỗi tiền tệ trên là 117 368 376 đồng
4.3.3 Kỳ hạn trung bình của các khoản tiền thanh toán đầu kỳ
Trang 20Hay: (+r?= Ve = PMT , k=l PV PV PB log(I+r) PMI, k=l PV 1 og— oy ; i oO g log(i+r) P= > PMI, k=l log-——“”—————— > PMT, (+r) kel log(l+r) Nến các khoản tiền thanh toán bằng nhau, Taco: (1+ r ptl - =n————a r ) 1-(1+r)7® 1-(1 on Vv; = PMT (144) = (1+ 1)? = 1 PMT r _ log (ea ) P= log(1+r)
_ Ta thấy hạn kỳ trung bình độc lập với trị giá của các khoản tiên thanh toán
Trang 21Vi du 4.12 “Tính hạn kỳ trung bình của chuỗi tiền tệ mười lăm
kỳ phát sinh đầu kỳ với lãi suất áp dụng 10% /kỳ Giải 1—(1+r) log(1+r) tog(15 trữ an) , log(n- Ap dung công thức: p = Ta có : _ “1-(1+10%)—15 l= P log (1+10%) I 6,125 4.3.4 Một số công thức áp dụng cho chuỗi tiền tệ cố định đầu kỳ 4.3.4.1 Tính kỳ khoản PMT (1+r.)P—1 r Từ công thức: FV = PMT.(1+r) r => PMT “Van _ ~n Hoặc từ công thức: PV = PMT(1+r)^—€=2—~ = r PMT PV n-gain
Vi du 4.13: Ong A gửi ngân hàng đầu mỗi quý một số tiền bằng nhau liên tiếp trong ba năm với lãi suat 8% /năm thì rút được
Trang 228% PMT = 1 641 639 783 aga ee = 120 000 000 (+)|e+2)5E1 Vậy, đầu mỗi quý, ông A gửi vào ngân hàng 120 000 000 đồng 4.2.4.4.Tính lãi suất r Từ công thức: FV = PMT(1+r),C=— tt = FV _ (1+r)" '-1~r _ Genet ¬ PMT T r FV 1+r)"†1!—1 — +] = +1 PMT r
Ta có thể tính được lãi suất r dựa vào bảng tài chính số 3 và
áp dụng công thức nội suy.(xem Phương pháp nội suy cuối chương IV)
Trang 2313,5—13,486351 r=4%+(4,5%-4%)———”—— 13,841179—13,486351 n9 — =4,02% Vậy lãi suất của chuỗi tiền tệ trên là 4,02% /kỳ 1-(1+r)n Từ công thức: PV= PMT (1+r) — ~n+1 — —nt+t > Py _ 1+r-(1+r) =1+ 1-(1+r) PMT r r — —n+ c> _PV _ l= 1-(1+r)~n+1 PMT r
Ta có thể tính được lãi suất r dựa vào bảng tài chính số 4 và áp dụng
công thức nội suy (xem Phương pháp nội suy cuối chương IV)
Vi dụ 4.15: Hãy xác định lãi suất của một chuỗi tiền tệ gồm
mười kỳ khoản phát sinh đầu kỳ, giá trị mỗi kỳ khoản là
Trang 244.3.4.3 Tính số kỳ thanh tốn n Từ cơng thúc: FV =PMT (lI+r) FVn.r _ log (aaets+t) log(1+r) ==
Ta có thể tính được n bằng công thức trên hay bằng cách tra bang tài chính 3 Tuy nhiên, nêu n không phải là một số nguyên chúng ta phải biện luận
a Phương pháp biện luận tông quát
Giả sử ta tính được n là một số đương, lẻ
Với nị, nạ là số nguyên và (nạ — mì) = 1, sao cho: nị< n<nạ Ta sẽ biện luận với :
+ Giả định n = nạ
Goi: FV, la gia tri tương lai của chuỗi tiền tệ với số chu kỳ nụ
thì: FVn> FVni
Muốn đạt được giá trị lạ thì chúng ta có thể lựa chọn các cách sau:
- Thay đôi các kỳ khoản
- Giữ nguyên các kỳ khoản và chỉ thay đổi kỳ khoản cuối
cùng bằng cách tăng kỳ khoản cuối cùng lên thêm một khoản (FVạ- FVa) hay: — PMTạ, = PMTạ + (FV¿— FV:,)( +r)”° + Giả định n — nạ Gọi : FVụ là giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ với số chu kỳ nạ thì: FV„<FVạ, Muốn đạt được giá trị (FV) thì chúng ta có thể lựa chọn các cách sau: -
- Thay đôi các kỳ khoản
- Giữ nguyên các kỳ khoản và chỉ thay đổi ,kỳ khoản cuối cùng bằng cách giảm kỳ khoản cuối cùng xuống một khoản 105
Trang 25FV, — FV +r)"
hay : PMTạ,= PMTạ— (EV¿, - FV2)(1+r)"1
+ Giả định n = mị và đợi một thời gian để vốn tiếp tục sinh lợi đến khi đu số von cân thải ;
Gọi m là thời gian cần dé cho số vốn sinh lời theo lãi kép Lúc này ta có : FVạ = FVị (1+)? Fy’ Ẳ© (try l+ry™ = ST FV O m= loz(gy—) log (1+r)
Ví dụ 4.16: Công ty Anpha cần một số vốn là 500 000USD Đầu
mỗi năm, công ty gửi vào ngân hàng 50 000USD Với lãi suất
Trang 26Công ty có thể lựa chọn các phương án :
- Thay déi PMT
10%
“(1+10%){(1+10%)5—1] = 58 912,44562USD PMT’= 500 000
Cuỗi mỗi năm công ty sẽ gửi vào ngân hàng một khoản tiền
bằng nhau và bằng 58 912,44562 USD thì đến cuối năm thứ sáu công ty sẽ có số vốn là 500 000 USD
- Thay déi PMT,:
PMT, = PMT + Avra = 50 000 + 68 764,95455 = 118 764,9545 USD năm năm đầu, công ty gửi vào ngân hàng mỗi năm 50 000 USD,
đầu năm thứ sáu công ty gửi vào ngân hàng 118 764, 9545 USD
thì công ty sẽ có được số vôn 500 000 USD vào cuối năm thứ sáu - Chọn n= 7 Ta có : FV; = 50 000(1+10%) Chênh lệch tại n: Ay = FV7— FV = 521 794,405 - 500 000 = 21 794,405 © Chênh lệch tại (n-L) : Ay;_ =21 794,405(1+10%)'= 19 813,09545 Công ty có thể lựa chon các phương án : - Thay đổi PMT (1+10%)7—1 = 521 794,405 10% PMT” =500000.———————=47911,59077 USD (14+10%)[(1+10%)7—1]
Dau mỗi năm công ty sẽ gửi vào ngân hàng một khoản tiền
bằng nhau và bằng 47 911,59077 USD thì đến cuối năm thứ bảy
công ty sẽ có sô vốn là 500 000 USD
- Thay đổi PMT,:
Trang 27sáu năm đầu, công ty gửi vào ngân hàng mỗi năm 50 000 USD,
đầu năm thứ bảy công ty gửi vào ngân hàng 30 186, 90455 USD
thi công ty sẽ có được sô vốn 500 000 USD vào cuối năm thứ bảy
- Chon n = 6 va dot sinh lãi : Ta có : FVạ = 424 358.55 Thời gian sinh lãi của số vốn FV6 để có được FV là : log( 500 000 ) m= 424 358,55) _ 1721 log (1+10%)
Vậy, công ty sẽ có số vốn 500 000 USD tại thời điểm bảy
Trang 28-b Phương pháp biện luận téng quát :
Giả sử ta tính được n là một số dương, lẻ
Với nj, nạ là số nguyên và (nạ — n¡) = 1, sao cho: nị<n <1
Ta sé biện luận với : + Giả định n = nị Goi: PVo, là giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ với số chu kỳ nị thì : PV > PVo, Muốn đạt được giá trị PVọ thì chúng ta có thê lựa chọn các cách sau :
- Thay đổi các kỳ khoản
Giữ nguyên các kỳ khoản và chỉ thay đổi kỳ khoản cuối cùng bằng cách tăng kỳ khoản cuối cùng lên thêm một khoản: (PV -PVp +n"? hay : PMT,,,= PMT, + (PV + PVg, J+ ry"? + Giả định n= =n Goi : PV, la gia tri tuong lai của chuỗi tiền tệ với số chu kỳ nạ thì: PV < PVn,
Muốn đạt được giá trị PV thì chúng ta có thể lựa chọn các cách sau : - Thay đôi các kỳ khoản
- Giữ nguyễn các kỳ khoản và chỉ thay đổi kỳ khoản cuỗi cùng bằng cách giảm kỳ khoản cuối cùng xuống một khoản
(PVạ, - PV)(1+r)2 `
hay : PMTạ,= PMT„ - ( PVạ, - PV)(1 + r)”› "
Vi du 4.17: Một chuỗi tiền tệ đều PMT = 50 000 đồng, phát sinh đầu kỳ với giá trị hiện tại là 200 000 đồng Tính n với lãi suất áp dung 1a 10% /ky
Trang 29Áp dụng công thức: n= _ 50000(I+10%) ( 200000 10% log] 1 —— = 4,74 log(I+10%) ® n=— Biện luận n nguyên : 4 < n < 5 + Chọn n = 4 1— (1+10%) Ta có : PVạ, = 50 000—————————— = L7 43425995 1 10% Chênh lệch tại 0 : Ay:=PV-— PVạ, =200 000 ~ 17 434.25995 = 182 565,74005 Có thể lựa chọn các phương án : + Thay đôi PMT 9 PMT '= 200000 (L+10%)|I — (+ 10%) 10% 1 = 57358 ,32794
- Thay đổi ay:
Trang 30Có thê lựa chọn các phương án : - Thay d6i PMT 10% PMT "= 200000 (1 + 10%) = 58035 ,44577 1-(1+10%) - Thay đổi PMTh:
Ta phải tính chênh lệch Av về thời điểm (na-l) :
Ayy= Ayn (1+ rye = 8 493,2723(1+10%)* #13 678,5 Khoản phát sinh cuối cùng sẽ là :
PMTs = PMT - Ay = 50 000 — 13 678,5 = 36 321,5
4.4 CAC CHUOI TIEN TE DAC BIET
4.4.1 Các chuỗi tiền tệ biến đối theo cấp số cộng
4.4.1.1 Các khoản thanh toán cuối kỳ
Cho một chuỗi gồm n khoản thanh toán PM với k = I n là
đạng của một cập sô cộng có :
- Khoản thanh toán đâu tiên là a
- Công sai d (nghia la: PMT, = PMT,.; + d) - Lãi suat ho - Có thê biêu diễn băng sơ đô như sau: PV PMT+(n-1)d PMT PMT+d PMT+2d PMT+(n-2)d _ 4 + Tf f | 0 I 2 3 tà n-l n
Tổng trị giá tại thời điểm n (Giá trị tương lai) của chuỗi tiền
tệ biến đổi theo cấp số cộng phát sinh cuối chu kỳ Tại n ta có:
FV = > PM, (I+r}”
Trang 31= PMT\(1 +1"! +PMT(1 +n) + + PMT oil +8 +PMT, =_PMT(I + r)"” + (PMT + đ\(1 + r)"2 + + [PMT + (n-2)đ](1 + r) + [PMt + (n—1)d] =_PMT(I + r)"! + PMT(1 + r2 + + PMT(I +r)+ PMT] + [d(1 +r)"“+ 2d(1 +r)") + .+(-2)đ(1+r) + (n—1)đ] Đặt: X= PMT(I +r)"!+PMT(I +r)"2+ + PMT(1 +r)+ PMT Y= d(l +0"? + 2d +1)" + + (n-2)d(1+r) +(n-I)d FV= X+ Y
Trang 32Tổng trị giá tại thời điểm 0 (giá trị hiện tại) của chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng phát sinh cuối kỳ Tại 0 ta có: PV = PMY, (l4r)" kel hay: PV = FV( 4H)" d.1-(1+r)" nd ° PV =(PMT +9) = tr) « PV= (nurs) =e mt (1 +r) uo nd r ," r Fr r > PV [par Al suất: (ler) nd r r r r _ n d = PV=(PMT += 44 ng) m r
Vi dy 4.18: Một chuỗi tiền tệ phát sinh cudi kỳ gồm năm kỳ
khoản, kỳ khoản đầu tiên 100 triệu đồng và kỳ khoản sau tăng
hơn kỳ khoản trước đó 20 triệu dồng Hãy xác định giá trị trong lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ trên với lãi suất áp dụng là 10% /ky
Giải
Ta thay dây là một chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng phát
sinh cuôi kỳ nên †a có thé áp dụng công thức sau :
Trang 33Vậy, giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ là 831 530 000 déng va
hiện giá là 516 314 708 đồng
4.4.1.2 Các khoản thanh toán đầu kỳ
Tổng trị giá tại thời điểm n (Giá trị tương lai) của chuỗi tiền tệ biến đi theo cấp số cộng phát sinh đầu kỳ
Nếu gọi : Vạ là giá trị tương lai của các khoản thanh toán dầu kỳ Vụ là giá trị tương lai của các khoán thanh toán cudi ky
Ta co: FV, = FV(ltr)
c> | FVA= ni
Trang 34Đối với chuỗi gửi tiền : Đây là chuỗi tiền gửi phát sinh đầu kỳ theo cấp số
cộng với PMT =5 triệu, d= I triệu,n= 5 vàr = 10%
Nếu gọi : FVạ là giá trị tương lai tại thời điểm cuối năm thứ năm của chuôi Áp dụng công thức : ev] rar AEP nie, r r r Ta có : 10%} ~ FV, = (s+ 4h) 10% 10% at 21 la410%) 10% = 45,73415 trigu = 45 734 150 déng Đối với chuỗi rút tiền : Đây là chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ đều với : Giá trị hiện tại của chuỗi rút tiền tại thời điểm cuối năm thứ năm la FVé = 45 734 150 đồng , n= 3 ,r= 10% và kỳ khoản X Ap dụng công thức : py = pur (+r) te)” Taco: í FV¿= X(t+ l0)1=Ê 652” - 45734150 > = 16 718 526 déng
Vay mỗi năm ông ta vit ra một khoản tiền là 16 718 526 đồng
Tổng tri gia tai thoi diém 0 (Giá trị hiện tại) của chuỗi
tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng phát sinh đầu kỳ
Nếu gọi : PV' là hiện giá của các khoản thanh toán đầu kỳ PV là hiện giá của các khoản thanh toán cudi ky Ta có: PV= PV(l+r)
Trang 35r r r
= PV's [ nu +44 nd} Cer) | B (l+r)
Ví dụ 4.20: Ông A mua trả góp xe găn máy với phương thức thanh toán như sau :
- Trả lần đầu 10% giá trị xe ngay khi mua
- Sau đó sẽ thanh toán tam lần vào đầu mỗi quý với khoản thanh toán tiếp theo tăng theo cấp số cộng cơng sai Ì triệu
Tính giá bán xe gắn máy mà ông A mua nếu lãi suất áp dụng là 16% /năm Giải Áp dụng công thức : pr“~|[ mu sŸ caó) tle r r 16% với: PMT=10%.PV';d=l;r=———=4%;n=9 Ta có _ 0 PV'= [rov.rr + 49.1] ee F114 40) 4% 4% 4% > PV'xl27,525683 triệu
Vậy, xe gắn máy mà ông A mua có giá bán là : 127 525 683 đồng 4.4.2 Các chuỗi tiền tệ biến đối theo cấp số nhân
4.4.2.1 Các khoản thanh toán cuỗi kỳ
Cho một chuỗi gồm n khoản thanh toán PMTL với k = 1 n la dạng của một cấp số nhân có :
- Giá trị kỳ khoản đầu tiên là PMT
- Công bội q (nghĩa là: PMT¿ = PMT(.4.q = PMT).q*')
- Lãi suất r
Trang 36FV PV n-| PMT PMT.q My g ree E, 0 1 2 3 : nm on Ta có: FV = Š`PMT,(L+r}” k=l
Tổng trị giá tại thời điểm n (Giá trị tương lai) của chuỗi tiền
tệ biển đối theo cẤp số nhân phát sinh cuối kỳ
FV = PMT(I+r)" + PMT-q(I+r}” + + PMT.q"®(1+r) + PMT.qg""
FV=PMT4*!+PMTq d®)+ + PMTa(t+r)}"” + PMI(I+?” ()
(1) là đạng tông sô của một cập sô nhân với sô hạng đầu tiên là PMT.q"' và công bội là ( + rg (xem các công thức toán cơ bản áp dụng) Nên: FV = pur gr: Kiera] =! - (l+r)g'-1 (+ryiqgi-q"' PMT *c—————x——— EMMI:R o|FV= PMT q{tr}-4 (+r)- 4
Vĩ dụ 4.21: Một người dự định gửi tiên tiết kiệm chuẩn bị cho con
học đại học, ông ta tính như sau ; nếu cuối mỗi quý ông gửi vào tài khoản 1 triệu đồng và cứ quý sau gửi nhiều hơn quý trước l.5 lần thì sau ba năm ông ta sẽ có đủ tiền cho con đi học Hãy tính số tiễn ông ta cần cho con, nếu lãi suất ngân hàng là 8% /năm
Giải
Áp dụng công thức: FV = PMT (try 4" (I + r)- q
Trang 370 12
[1+ th) ~1,5”
Fy =1\ 42s 967 ,6627
Vay 6 ông ta dự tính số tiền cần cho con đi học là 267 662 700 đồng Tổng trị giá tại thời điểm 0 (Giá trị hiện tại) của chuỗi
tiền tệ biến đối theo cấp số nhân phát sinh cuối kỳ
PV = FV(+r)"= pur Lt) =a" G4 pyr (l+7r)- q
> |PV= PMT I=q"(l+r)"
(1 + r)— qd
Ví dụ 4.22: Công ty X vay ngân hàng một khoản vốn, trả nợ dần năm năm theo phương án:
Ba năm đầu trả cuối năm với kỳ trả đầu tiên sau khi vay một năm là 200 triệu và năm sau tăng hơn năm trước [0%
- Từ năm thứ tư, công ty trả nợ vào cuối mỗi quý với kỳ trả
thứ nhất là 50 triệu và kỳ trả quý sau tăng hơn quý trước 20% Hãy tính số vốn mà công ty X vay ngân hàng, Nếu lãi suất ngân hàng là 12% /năm Giải
Đây là các chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ theo cấp số nhân Gọi: PV là số vốn công ty vay ngân hàng
PW, là hiện giá của chuỗi tiền tệ phát sinh ba năm đầu tại thời điểm vay
PV,, là giá trị của PV' tại thời điểm vay
PV la giá trị của chuỗi tiền tệ phát sinh theo quý trong hai năm
sau tại thời điểm đầu năm thứ tư Ta có sơ đồ sau :
Trang 38PV, PV’ 2 7 PVo1 PMT, PMT;.q; PMT1-q1 PMT 3 PMT;q; PMTạq;” " | | HỸ]- + > 1 2 Kỳ thanh toàn theo năm Ty thanh toán theo q (®T Các kỳ thanh tốn theo năm: Với : PMT¡=200; qị = 1,1 ; nị =3 và r= 124 Áp dụng công thức : PV = PMT 1-z(+r}" (I + r) -q Ta có : 1—1(+12%) (I+12%)- 1 Các kỳ thanh toán theo quý: PY,, = 200 = 526,204902 12% Với PMT? = 50 ; qạ= 1,2 ; nạ= 8 và r= =3% Ta có : 1-1,25(14+3%)* (I+3%)—1,2 PV op = PVạ(I+r}”= 704,210357(1+12%)? = 501,243023 OPV = PVo1t+PVo2 = 526,204902 + 501,243023 = 1027,447925 triệu đồng
Số vốn công ty vay ngân hàng là : 1 027 447 925 đồng 4.4.2.2 Các khoản thanh toán đầu kỳ
Tổng trị giá tại thời điểm n (giá trị tương lai) của chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân phát sinh đầu kỳ
Ta có: FV'=FV(Itr)
PỰ =50 + 704,210357
Trang 39> | FV’=PMT (sr) a" ¢ +r) (1 + r)-q
Tong tri gia tai thoi diem 0 (gia trị hiện tại) của chuỗi tiền tệ biến đôi theo cấp số nhân phát sinh đầu kỳ Ta có: PV' = PV (I+r) t I—g (+r}” PVW'ˆ= PMT ——„——.——^—( > p ((+r)- 4 + z)
Ví dụ 4.23: Ông A mua trả gop xe gan may voi giá 40 triệu đồng, phương thức thanh toán như sau :
- Trả lần đầu 20% giá trị xe ngay khi mua
- Sau đó sẽ thanh toán bốn lan vào đầu mỗi quí với khoản
thanh toán tiếp theo tăng theo cấp số nhân cong sai 1,05 Tinh lai suat tra góp áp dụng Giai , l-q"(l+ry" Ap dung cong thie: PV' =r—*+ (1+r) (l+r)-g Với : PV'=40;PMT=8;qg= 1,05 và n=5 5 -5 Taco: 40=g1—E05 tr} du ) (I+r)-I.05 © 1,051 +r)'+ 4r— 1,25 =0 (®) Đặt : Y = 1,05°(1+ r)'+ 4r - 1,25 Sử dụng phương pháp thử các nghiệm : Voi: r=1% tacó Y =1,05” (1+ 0,01)" + 4.0,01 — 1,25>0 Thử tương tự với r = 2%; r= 3% Ta thấy : Nếu r=5%tacó: Y = 1,05°(1+ 0,05)*+ 4.0,05 — 1,25 =0 > r = 5⁄4 là nghiệm của (®)
Vậy, lãi suất áp dụng đối với việc mua trả góp là 5% /quý
Lưu ý : Trên đây là trường hợp đặc biệt ta có được nghiệm
Trang 40ngay, hay nói cách khác ta có nghiệm r nguyén © Y(r) = 0
Nếu thử nghiệm không có trường hợp r nguyên mà có YŒ) > 0
và Y(r) < 0 thi: Y)>0> Y@;)
Ta chọn rị và rạ sao cho : rạ - rị = 1% và L
Sau đó sử dụng công thức nội suy dé tính r` Yến)<0< Yœ)
4.4.2.3 Trường hợp đặc biệt
Ta nhận thây, các công thức xác định giá trị của chuỗi tiền tệ biến đồi theo cấp số nhân có mẫu số bằng : (+ r) ~ q
Vậy, nếu trong trường hợp công bội của cấp số nhân q=(Irn
thì các công thức trên sẽ không áp dụng được để xác định giá trị
chuỗi tiền tệ
O đây ta có trường hợp đặc biệt của chuỗi tiền tệ biến đổi
theo cấp số nhân