Chuyên đề thi file word kèm lời giải chi tiết www.dethithpt.com SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN Trường THPT Chuyên ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 2x +1 x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b Đường thẳng ∆: y = – x + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A,B Hãy tính diện tích tam giác OAB (với O gốc tọa độ) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin x + cos x + sin x + = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 3.27 x + 4.18x − 12 x − 2.8 x = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x + 10 x + + (2 − x) − x = e 2015 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 2016 x − ÷ln xdx 1008 x 1 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy góc 450 tạo với mặt phẳng (SAB) góc 300 Biết độ dài cạnh AB = Tính thể tích khối chóp S.ABCD Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, cạnh BC nằm đường thẳng d1 : x − y + = Đường cao tam giác ABC kẻ từ B d : x + y − = Điểm M(1;1) thuộc đường cao kẻ từ C Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh lại tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Có học sinh lớp chuyên Toán, học sinh lớp chuyên Văn, học sinh lớp chuyên Anh, học sinh lớp chuyên Sử xếp ngẫu nhiên thành hàng thẳng Tính xác suất để học sinh lớp chuyên Toán xếp cạnh Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: (2a + b + c) (2b + c + a ) (2c + a + b) + + ≤8 2a + (b + c ) 2b + (a + c) 2c + ( a + b) HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm ĐÁP ÁN Câu a Khảo sát Tập xác định: D = ℝ \ {–1} Sự biến thiên > 0, ∀x ∈ D Chiều biến thiên: y ' = ( x + 1) Hàm số đồng biến khoảng (–∞;–1) (–1;+∞) Giới hạn: lim − y = +∞; lim + y = −∞ => x = −1 tiệm cận đứng x →( −1) x → ( −1) lim y = lim y = => y = tiệm cận ngang x →+∞ x →−∞ Bảng biến thiên: Đồ thị −1 ;0) Giao với Oy (0;1) Đồ thị nhận I(–1;2) làm tâm đối xứng Giao với Ox ( b Tính diện tích tam giác OAB Xét phương trình hoành độ giao điểm ∆ (C): 2x +1 = −x +1 x +1 x ≠ −1 x ≠ −1 x + = (− x + 1)( x + 1) x + 2x = x = x = −2 Giả sử tọa độ giao điểm ∆ (C) A(0;1) B(–2;3) Suy OA ≡ Oy Vẽ BH ⊥ Oy H Ta có: OA = 1; BH = |xB| = Diện tích tam giác OAB: SOAB = OA.BH = (đvdt) Câu sin x + cos x + sin x + = (3sin x − 4sin x) + (1 − sin x) + sin x + = −4sin x − 2sin x + 4sin x + = −2(2sin x + 1)(sin x − 1) = (2sin x + 1) cos x = π x = − + k 2π −1 sin x = 5π + k 2π x = − cos x = x = π + kπ π x = − + k 2π 5π + k 2π (k ∈ Z ) Vậy tập nghiệm phương trình cho x = − x = π + kπ Câu 3.27 x + 4.18x − 12 x − 2.8 x = 0(1) Chia hai vế (1) cho x ta có: 3 (1) 3.( )3 x + 4.( ) x − ( ) x − = 0(2) 2 x Đặt t = ( ) ,t>0, phương trình (2) trở thành: 3t + 4t − t − = (t + 1) (3t − 2) = t = ( Do t>0) 3 ( ) x = x = −1 Vậy tập nghiệm phương trình (1) {–1} Câu x + 10 x + + (2 − x) − x = (1) ĐK: − x ≥ − ≤ x ≤ Với ĐK – x > (1) (2 − x) − x = −(3 x + 10 x + 6) 3 x + 10 x + ≤ 2 2 (4 − x + x )(2 − x ) = (3x + 10 x + 6) (2) (2) 10 x + 56 x + 138 x + 128 x + 28 = 2(5 x + x + 2) ( x + x + 7) = 14243 = ( x + 2) + 3>0 x + x + = x = −4 ± −4 − Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm phương trình (1) Câu e I = ∫ 2016 x 2015 − ÷ln xdx 1008 x 1 e e ln xdx = I1 − I 1008 x = ∫ 2016 x 2015 ln xdx − ∫ e 2015 Tính I1 = ∫ 2016 x ln xdx dx ; dv = 2016 x 2015 => v = x 2016 x e e x 2016 x 2016 e 2016 e 2016 − 2016 2016 I = x ln x − dx = e − =e − Suy 1 ∫1 x 2016 2016 Đặt u = ln x => du = Ta có I = e e ln xdx 1 ln x e = ln xd (ln x ) = = ∫ ∫ 1008 x 1008 1008 2016 Vậy I = I1 − I = 2015.e 2016 2016 Câu Vì SA ⊥ (ABCD) , C ∈ (ABCD) nên góc SA đáy (SC;AC)=SCA=45 (do góc SCA nhọn) Ta có SA ⊥ BC, BA ⊥ BC (do ABCD hình chữ nhật) ⇒ BC ⊥ (SAB) Mà S ∈ (SAB) nên góc SC (SAB) (SC,SB)=BSC=300 (do góc BSC nhọn) Tam giác SAC vuông cân A, đặt AC = SA = x => SC = x Tam giác SBC vuông B: x BC = SC.sin 300 = Tam giác ABC vuông B: AB + BC = AC x ( 3) + ( ) = x => x = => x = => SA = 6; BC = Thể tích khối chóp: 1 VS ABCD = SA.S ABCD = SA AB.BC = (đvtt) 3 Câu B giao điểm d1 d2 nên có tọa độ nghiệm hệ x − y +1 = => B (0;1) x + y − = Vì tam giác ABC cân A nên góc d1, d2 góc d1 MC ur uur Vectơ pháp tuyến d1 d2 n1 (1; −1), n2 (1; 2) Góc d1 d2 (d1;d2)= α ur uur ur uur | n1.n2 | cos a =| cos( n1 ; n2 ) |= ur uur = | n1 | | n2 | 10 Phương trình đường thẳng MC qua M có dạng a ( x − 1) + b( y − 1) = ax+by-a-b=0(d ) uur d3 nhận n3 (a; b) làm vectơ pháp tuyến ur uur Góc d1 d3 (d1 ; d3 ) = β => cos β =| cos( n1 ; n3 ) |= Ta có | a−b| a + b cosα = cos β | a −b | a + b2 = 10 a + b = | a − b | 4a − 10ab + 4b = a = b = a = a = => (d3 ) : x + y − = 0( L) a = => (d3 ) : x + y − = 0(TM ) Phương trình AB qua B vuông góc với d3: x-2y+2=0 2 x + y − = => C ( ; ) Tọa độ C nghiệm hệ 3 x − y +1 = Phương trình AC qua C vuông góc với d2: x − y + =0 Vậy phương trình AB: x-2y+2=0 , phương trình AC: x − y + =0 Câu Gọi A biến cố: “5 học sinh chuyên Toán xếp cạnh nhau” Số phần tử không gian mẫu số hoán vị 20 học sinh, 20! Tính số kết có lợi cho A: Số cách chọn vị trí cạnh hàng thẳng có 20 vị trí 16 Số cách xếp học sinh chuyên Toán vào vị trí 5! Số cách xếp 15 học sinh lại vào 15 vị trí lại hàng 15! Theo quy tắc nhân, số kết có lợi cho A 16.5!.15! 16.5!.15! = Xác suất cần tính PA = 20! 969 Câu x; y; z > 3a 3b 3c ;y = ;z = => Đặt x = a+b+c a+b+c a+b+c x + y + z = Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (2 x + y + z ) (2 y + z + x) (2 z + x + y ) + + ≤8 x + ( y + z )2 y + ( x + z )2 z + ( x + y)2 Vì x + y + z = nên (2 x + y + z ) ( x + 3) x2 + 6x + = = x + ( y + z ) 2 x + (3 − x)2 3x − x + x + x + x + −(x − 1) (2 x + 3) (2 x + y + z ) x2 + 6x + 4x + − = ≤ => ≤ ≤ 3x − x + 3( x − x + 3) x + ( y + z ) 3x − x + Ta có bất đẳng thức tương tự, cộng vế bất đẳng thức thu được, ta có: Xét (2 x + y + z ) (2 y + z + x) (2 z + x + y ) 4( x + y + z ) + 12 + + ≤ =8 x + ( y + z )2 y + ( x + z )2 z + ( x + y)2 ⇒ (*) ⇒ đpcm Dấu xảy a = b = c