KÍNH LÚP TABLE TẬP 1: ĐÁNH GIÁ HÀM ĐƠN ĐIỆU

Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG TƢ DUY CASIO TRONG PT – BPT – HPT VÔ TỶ KÍNH LÚP TABLE VÀ PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI TỐN PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ TẬP 1: ĐÁNH GIÁ HÀM ĐƠN ĐIỆU I Nguyên lý  Nếu hàm số f  x  đơn điệu liên tục tập xác định phương trình f  x   a có tối đa nghiệm (Trong a số cho trước)  Nếu hàm số f  x  đơn điệu không liên tục tập xác định phương trình f  x   a có tối đa n  nghiệm (Trong a số cho trước n số điểm gián đoạn đồ thị hàm số)  Nếu hàm số f  x  đơn điệu tăng liên tục tập xác định D f  a   f  b   a  b với a , b nằm tập xác định hàm số  Nếu hàm số f  x  đơn điệu tăng liên tục tập xác định D f  a   f  b   a  b với a , b nằm tập xác định hàm số  Nếu hàm số f  x  đơn điệu giảm liên tục tập xác định D f  a   f  b   a  b với a , b nằm tập xác định hàm số  Nếu hàm số f  x  đơn điệu giảm liên tục tập xác định D f  a   f  b   a  b với a , b nằm tập xác định hàm số   Việc dự đốn hình dáng đồ thị hàm số phân tích chức TABLE máy tính CASIO Nếu f  x  , g  x  đồng biến, dương liên tục tập xác định D h  x   f  x  g  x  k  x   f  x   g  x  hàm số đồng biến liên tục D  Nếu f  x  , g  x  nghịch biến, dương liên tục tập xác định D h  x   f  x  g  x  hàm số đồng biến liên tục D k  x   f  x   g  x  hàm số nghịch biến liên tục tập xác định D  Nếu f  x  đồng biến, dương g  x  nghịch biến, dương tập xác định D h  x   f  x  g  x  hàm số nghịch biến liên tục tập xác định D Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG II Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình: x3  x2  x  x   Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F X X f X  X  X  X  X   3 1  0.5 0.5 1.5 2.5  START =   END =  STEP = 0.5 Ta có bảng giá trị hình bên Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có nghiệm x  hàm số đồng biến   1;   Do nghiệm phương trình 4  0.852 1.195 3.5676 7.8973 14.498 25.478 40.242 HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: x  1 Nhận xét: x  1 nghiệm phương trình Do xét f  x   x3  x2  x  x    1;   Ta có: f  x   3x  x    x1   0x   1;   Do hàm số f  x  đồng biến liên tục  1;   Vậy f  x  có tối đa nghiệm Mà x  nghiệm nên nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình có nghiệm x  Bài 2: Giải phương trình: 5x   x   x  Sử dụng công cụ Mode (Table) với:    F X X f  X   5X   2X   X  3 0.5 1.5 START = 0.5 END = 4.5 STEP = 0.5 ERROR 2.7442 5.6872 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có nghiệm x  hàm số đồng biến    ;     2.5 3.5 4.5 8.8694 12.285 15.924 19.773 23.821 HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thông qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: x  Ta có: 5x   x   x   5x   x   x     Xét hàm số f ( x)  5x3   x   x   ;   có:     15x f ( x)     0, x   ;     5x3  3 (2 x  1)2 ; Do phương trình f ( x)  có tối đa nghiệm Do f ( x) đồng biến liên tục Vì f (1)  nên x nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình có nghiệm x Bài 3: Giải phương trình:  x2     x   3x  x2       Sử dụng công cụ Mode (Table) với: f  X    2X     X   3X  x2        START =   END =  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy phương trình có nghiệm x  hàm số nghịch biến X 2  1.5 1  0.5 0.5 1.5 F X 44 26.928 14.052 5.3232  5.474  15.66  32.35  56 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thông qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Nghịch biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: Ta có: x2    x2   x2    x2 x2   0 Do đó: x   3x  x2      Để đánh giá sát điều kiện phương trình, ta sử dụng TABLE để khảo sát nhóm biểu thức  3x  x2  Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F X X f  X    3X  2X   START =   END =  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy rõ ràng biểu thức  3x  x2  nhận giá trị dương Vậy để dễ dàng tìm điều kiện x hơn, ta chứng minh:  3x  x   2  1.5 1  0.5 0.5 1.5 19 15.261 11.856 9.2979 12.297 17.856 24.261 31 Ta có: 2x2   3x  x2  3x  x  3x  x  3x  Do x   3x  x2     x    Ta có:  x2     x   3x  x2        3x  x  x x   x    Xét hàm số f ( x)  3x2  x  x x2   x2   0;   ta có:  x2  6x  f ( x)  x    x2     2x2   x2    f '  x   6x   32 x2  x  x2   0x  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Suy hàm số f ( x) ln đồng biến liên tục 0;   Do phương trình f ( x)  có tối đa nghiệm Vì f (0)  nên x  nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  Bài 4: Giải phương trình:  x  1  x   ( x  5) x   3x  31  Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F X X f  X    X  1  X  8.5 9.5 10 10.5 11 11.5 12 ( X  5) X   3X  31 6.8334 2.9418  2.928  5.904  8.946  12.05  15.24  18.5  START =  END = 12  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy nhìn thấy phương trình có nghiệm x  đồng thời hàm số nghịch biến, nghiệm Tuy nhiên vấn đề tốn có chứa nhiều thức khác loại với Chính ta đặt ẩn phụ để giảm thiểu số thức cách tối đa Do ta định hướng đặt t  x  HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Nghịch biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: x  Đặt t  x   x  t    t  Khi ta có:  x  1  x   ( x  5) x   3x  31   t  2t  (t  4) t   3t  28   3t  t  2t  28  (t  4) t   Nhận xét: t  nghiệm phương trình Xét hàm số f (t)  3t  t  2t  28  (t  4) t  f (t )  (9t  2t  2)  3t t    0, t t (t  4) (t  7)   ;  ta có:  0, t    ;  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Do hàm số f (t ) đồng biến liên tục   ;  Do phương trình f  t   có tối đa nghiệm Vì f (2)   t   x  nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x   Bài 5: Giải phương trình:  x  1 x   x   x  (Trích đề thi Học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm 2010) Điều kiện: x  Do x  khơng nghiệm phương trình nên xét x  (1; )   Ta có:  x  1 x   3 x   x   x   3 x   Sử dụng công cụ Mode (Table) với: X6 f  X   X   33 X   X 1  START =  END =  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy hàm số đồng biến phương trình có nghiệm x  x6 x 1 X 1.5 2.5 3.5 4.5 F X ERROR  7.713 2.9053 4.5686 5.716 6.594 7.3109 7.9219 HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm x6 Xét hàm số f  x   x   3 x   (1; ) ta có: x 1 1 f ( x)     0, x  (1; ) x 1 x   x  12 Do hàm số f ( x) đồng biến liên tục (1; ) Vậy phương trình f  x   có tối đa nghiệm Mà x  nghiệm phương trình Do nghiệm Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Bài 6: Giải phương trình: x  x  x2   Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F X X f  X   X  X  X2   2  1.5 1  0.5 0.5 1.5  START =   END =  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy hàm số đồng biến phương trình có nghiệm x   8.165  7.08 6  4.89  2.732  0.715 0.4981 0.874 HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thông qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến tập xác định  Hàm số liên tục  Cắt trục hoành điểm Điều kiện: x  x  x2     x   x2    x  Xét hàm số f  x   x  x  x2   với x  Ta có: f  x  1 3 x2  f ' x  x x2   f ' x  3 x2  x2   x x2  3  0x    x x   x   x   Do f  x  hàm số đồng biến liên tục tập xác định Vậy phương trình  f  x   có tối đa nghiệm Mặt khác f 1  x  nghiệm phương trình Kết luận: Phương trình có nghiệm x  Chú ý: Việc thực phép quy đồng:  x x2   x2   x x2  để chứng minh hàm số f  x  đồng biến công việc thực cách ngẫu nhiên dựa cảm tính Nếu học sinh làm nhiều dạng tập việc phát cách quy đồng khơng khó khăn Tuy nhiên muốn đưa cách thức tổng quát, ta làm sau: Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Xét F  X   X F X X với: X 3  START:  (Vì x  )  END:  STEP: 0,5 Dựa vào bảng giá trị, ta thấy: X Max 1 X2  Do sử dụng phép quy đồng nêu trên, ta chắn chứng minh f  x  đồng biến 2  1.5 1  0.5 0.5 1.5  0.755  0.654  0.5  0.277 0.2773 0.5 0.6546 0.7559 Ghi nhớ:  Nếu tìm MinG  x   a ta có G  x   a   Nếu tìm MaxG  x   a ta có a  G  x   Bài 7: Giải phương trình: x  x  1    x    x  4 Sử dụng công cụ Mode (Table) với: F  X   X  X  1    X   X  4 F X X  START =  END =  STEP = 0.5 Từ bảng giá trị ta thấy hàm số đồng biến phương trình có nghiệm nằm khoảng  3.5;  SHIFT CALC với x  3.8 ta thu nghiệm x  3.791287847 Thay nghiệm x  3.791287847 vào thức ta được: 1.5 2.5 3.5 4.5  16.18  18.02  18.69  17.44  13.52  6.164 5.3725 21.843 44 x   2.791287847  x  Do nhân tử cần xác định x   x  phương trình có  21 Do  2;   hàm số có dấu hiệu tính đồng biến nên nghiệm x   x   x  điều kiện x  ta có khả chứng minh hàm số đơn điệu hàm số cắt trục hồnh điểm HÌNH DÁNG HÀM SỐ Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com [KÍNH LÚP TABLE – TẬP 1] ĐỒN TRÍ DŨNG Thơng qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến  2;     Hàm số liên tục Cắt trục hoành điểm Điều kiện: x  x  1    x    x    x3  x2   x   x     x   x2   x   x     x  Xét hàm số sau: f  x   x3  2x2    x   x  với x  2;   x  Để chứng minh f '  x   hay hàm số f  x  đồng biến điều đơn giản Vì để chắn định hướng tốn ta sử dụng cơng cụ TABLE để khảo sát hàm f '  x   3x2  x  x4: F X X Xét F  X   3X  4X  X  với: 2 0,3257  START: (Vì x  ) 2,5 4,9257  END: 11,031  STEP: 0,5 3,5 18,642 Dựa vào bảng giá trị, ta thấy: 27,757  Hàm số f '  x  hàm số đơn 4,5 38,376 điệu tăng  2;   50,5 5,5 64,126 hàm số không đơn điệu 79,257 tập xác định f '  x   x   Ta có: f '  x   3x2  x  Vậy ta tiến hành xét f "  x  HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thông qua giá trị TABLE, ta thấy hình dáng hàm số có dạng hình vẽ bên:  Đồng biến  2;     Hàm số liên tục Cắt trục hoành điểm Xét f "  x   x   x4  f "  x    x    4x  x4 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE – ĐỒN TRÍ DŨNG – VÍCH BẢO NGUYỄN – BÙI THẾ LÂM – NGUYỄN PHAN KIM HIẾU CHỦ ĐỀ 05 PHƯƠNG PHÁP CASIO VẬN DỤNG CÔNG THỨC CARDANO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC Tác giả: VÍCH BẢO NGUYỄN Nền tảng phương pháp: Sử dụng biến đổi tương đương sau: a3  b3  c  3abc   a  b  c   a2  b2  c  ab  bc  ca  Mục tiêu phương pháp:  Bước 1: Đưa phương trình bậc dạng chuẩn: x3  mx  n  a3  b3  n  Bước 2: Đặt  , ta biến đổi phương  3ab  m  trình dạng: a  b3  c  3abc   a  b  c   a2  b2  c  ab  bc  ca   Bước 3: Tìm a b: Chú ý rằng: 3ab  m m m3 m3 3 n a na b  a3      0   3a 27a3 27 (Ta tìm a, b nghiệm phương trình bậc 2) Cách biến đổi phương trình bậc dạng tổng quát dạng chuẩn: Xét phương trình: ax3  bx2  cx  d  b Để làm biến x , ta đặt ẩn phụ: x  y  k với k  3a Ví dụ 1: Giải phương trình: x3  4x2  5x   1 - Bước 1: Quy dạng khuyết thành phần bình phương : 4 4 Ta có: k    Đặt x  y  phương trình 1 trở 1 3 thành "dạng chuẩn" Để phân tích nhanh chóng 1 theo ẩn x, ta sử dụng casio 13 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE – ĐỒN TRÍ DŨNG – VÍCH BẢO NGUYỄN – BÙI THẾ LÂM – NGUYỄN PHAN KIM HIẾU  Đầu tiên nhập biểu thức x3  4x2  5x  vào máy tính, ta lưu ý sử dụng cơng cụ lưu nghiệm máy tính X,Y, việc ta cần làm la truy tìm biểu thức theo ẩn y:  Công việc khử y hệ số hệ số x , ta trừ để làm : Cịn thành phần thành phần hệ số tự hệ số y  Ta khử thệ số tự cách Calc X= k, toán X= ,Y=0 Như hệ số tự 29 29 ta cộng thêm để 27 27 khử hệ số tự  Việc làm tiếp khử thành phần y, ta Cacl X=1+k,Y=1 với tồn cụ thể X   ;Y  để tìm hệ số y : 14 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE – ĐỒN TRÍ DŨNG – VÍCH BẢO NGUYỄN – BÙI THẾ LÂM – NGUYỄN PHAN KIM HIẾU y Như hệ số y  , ta cộng thêm để 3 làm thành phần y:  Bước cuối kiểm tra lại: Calc X    k;Y   , Bằng tức biểu thức rồi, tức y 29 ta có x3  4x  5x   y3    0, x  y  27 y 29 Tức x3  4x  5x   y3   , x  y  27 15 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE – ĐỒN TRÍ DŨNG – VÍCH BẢO NGUYỄN – BÙI THẾ LÂM – NGUYỄN PHAN KIM HIẾU -Bước 2: Sau quy "dạng chuẩn" x3  mx  n  , a3  b3  n ta đặt  , trường hợp toán phương   3ab m  y 29 trình sau quy dạng y3    , quy 27 y 29 tồn giải phương trình bậc y3   0 27 29  3 a  b  27 Với toán cụ thể đặt  , giải hệ  3ab   3 ta thu a , b nghiệm phương trình bậc 29  93 29  93  A,b3  B 54 54 3 y 28 Như ta được: y3    y3  A  B  3y A B 27 Có nghiệm a3    2   y  A  B y2  A  B  y A  y B  A B  (Vận dụng đẳng thức a3  b3  c  3abc   a  b  c   a2  b2  c  ab  bc  ca  ) -Bước 3: Giải phương trình theo ẩn y: 16 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE – ĐỒN TRÍ DŨNG – VÍCH BẢO NGUYỄN – BÙI THẾ LÂM – NGUYỄN PHAN KIM HIẾU Qua kiểm tra lại cơng cụ EQN thấy phương trình bậc có nghiệm, nên ta có là: y  A  B  29  93 29  93  54 54 -Bước 4: Thế lại tìm x  y  3 A  B  3 Từ rút x  29  93 29  93 ,   54 54 29  93 29  93   54 54 Lưu ý :- Nếu mà giải phương trình bậc khơng tìm a , b3 số xấp xỷ, ta xác định thành phần cách sau : Hay x   A  B  ;B  A  B   A  B  A B Nếu A>B: A   4 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  5x  x   Ta làm lại thao tác VD1 : - Bước 1: Đặt x  y  , ta đưa phương trình "dạng 22 232 chuẩn": y3  y 27 232  3   a b  27 -Bước 2: Đặt  , giải hệ tìm a3,b3 , đến 3ab  22  gặp vướng mắc máy tính khơng nghiệm xác mà dạng làm tròn x1  2,33368277  A;x2  6,258909822  B 2 17 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE – ĐỒN TRÍ DŨNG – VÍCH BẢO NGUYỄN – BÙI THẾ LÂM – NGUYỄN PHAN KIM HIẾU Ta phải xử lý phần Lưu ý, Lưu nghiệm vào A,B Hai nghiệm xác định theo công thức phần lưu ý A  B 116  A  B  104  ;  Ta có : 27 27 116 104 Như ta tìm a3,b3 tương ứng  27 27 116 104 116 1289   27 27 27 729 - Bước 3: Giải phương trình theo ẩn y: Từ bước ta có y   -Bước 4: Từ y rút x: x 116 104 116 104    27 27 27 27 116 104 116 104     27 27 27 27 hay x  116 104 116 104     27 27 27 27 Với máy casio, việc vận dụng phương pháp Cardano giải phương trình bậc dễ dàng với loại phương trình bậc có nghiệm lẻ Hy vọng tài liệu giúp ích bạn ~Ad casiomen Vích Bảo Nguyễn ~ 18 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài Bài 1: Hình vng ABCD Gọi M điểm đoạn thẳng BC IM AN cắt DC kéo dài P N BN cắt PM J Chứng minh CJ  BN B A I M D J C N P Cách 1: Hình học túy Menelaus: Về định lý Menelaus mời bạn đọc xem Wikipedia Google  JB MC PN JB MB PC  JN MB PC   JN  MC PN JB MB2 AB2 BC Ta có:      JN MC2 CN2 CN2  IA MN PC   PC  MA  MB  IC MA PN PN MN MC Tới bạn đọc hồn tồn chứng minh CJ  BN Cách 2: Gọi điểm phụ để chứng minh tứ giác nội tiếp: B A I M D Q C J N Lấy Q cho QC = BM Ta có QIMC tứ giác nội tiếp Do MIC  MQC QC BM AB BC     QCM ∽ BCN Mặt khác MC MC CN CN P Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài Vậy MIC  MQC  CBN  ICJB tứ giác nội tiếp CJ  BN Tuy nhiên khó đoán điểm Q Cách 3: Gán độ dài DC = x, CM = y Ta chứng minh IBJC tứ giác nội y CN CN CM     tan CBN tiếp Thật vậy: BC AB BM x  y Mặt khác: IM2  CM2  CI2  2CM.CI Do đó: cosCIM   y2  x2  xy xy y CI  IM  CM   tan CIM  2CI.IM xy 2y  x2  xy 2 Vậy ta có CBN  CIM  JBIC tứ giác nội tiếp CJ  BN Hay khơng em? Tiếp nhé! Bài 2: Hình chữ nhật ABCD có BH vng góc AC Trên tia đối tia BH lấy E cho BE = AC Chứng minh ADE  450 E Về cách sử dụng hình học túy, xin gợi ý gọi F trung điểm DE Về cách gán độ dài, đặt AD  x,CD  y Ta có: AE2  EH2  AH2 AB4  AE2    AC  BH  AC  AE  x2  2xy  2y2 B A I Mặt khác áp dụng theo định lý hàm số cos ta có: H D C DE2  BD2  BE2  2BD.BE.cosDBE =  x  y  Đến dùng định lý hàm số cos cho tam giác ADE ta có đpcm Bài 3: Tam giác ABC vuông A đường cao AH Gọi F đối xứng với H qua A Gọi I trực tâm tam giác FBC Chứng minh I trung điểm AH Đặt BH  x,CH  y  AH  xy B H E I A C D AI2  AB2  BI2  2AB.BIcosABI  AI2  AB2  BI2  2AB.BIcosACF Mặt khác IH2  BI2  BH2 Giả sử: AI  IH2 AC2  CF2  FA2  AB2  BH2  2AB.BI 2AC.CF F Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE 10 - Kỹ thuật Gán độ dài  AB BI AC2  CH2  4FA2  FA2 AC CF AB BH  AB2  BH2  AC2  CH2  3HA2 AC 2AH  AB2  BH2     Thay: BH  x,CH  y,AH  xy ,AB  x2  xy ,AC  y2  xy ta thấy đẳng thức Vậy ta có điều phải chứng minh Gợi ý cho bạn thử sức chứng minh hình phẳng: Gọi thêm trung điểm BH Q khó lường phải khơng! Bài 4: Tam giác vuông ABC vuông A, trung tuyến AM Lấy D đoạn thẳng MC Gọi E F tâm ngoại tiếp tam giác DAC DAB Chứng minh tứ giác EIMF nội tiếp E A G H F B J I D C K Trước hết dễ dàng chứng minh AHIG hình chữ nhật nên FIE  90 Do ta cần chứng minh FDE  900    Thật vậy, sài tích vơ hướng ta có: DFDE   DI  IF DI  IE   DI2  DI.IF  DI.IE   DI  DI.JI  DI.IK   DI  JI  IK  DJ  IK Chẳng khó khăn tý nào, gán BI  IC  x,ID  y xy x y BI  ID x  y IC  ID  ,IK  ID  DK  y  y  2 2 Vậy ta có điều phải chứng minh LỜI KẾT Trên tơi chứng minh tốn hay khó, kinh điển hình học phẳng Hy vọng sau đọc xong viết này, bạn đọc trở nên tỏa sáng với hình học phẳng hình học phẳng Oxy Thân – Casio Man – Đồn Trí Dũng Ta có: DJ  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE TẬP 11 - KỸ THUẬT CÔ LẬP CĂN CASIO CITIZEN – CỘNG ĐỒNG CASIO Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE TẬP 11 - KỸ THUẬT CƠ LẬP CĂN Cơ lập thức Tác giả: Đồn Trí Dũng A NGUN TẮC CƠ BẢN Nếu phương trình có nghiệm a,b,c, thay vào biểu A  ,, , ta phân tích: thức ta  A   A    A   Ta thấy tốc độ giải nhanh đáng kể  B ÁP DỤNG BÀI 1: Giải phương trình sau tập số thực: 5x2  46x  106  5x  25  5x  16  x  Sử dụng máy tính Casio ta thu nghiệm x  0,x  3   x   5x  16   Xét:  x    5x  16     Xét:  5x  16    x   x    Xét:  x    x      Xét:  x4 2   5x  16   5x  20  5x  16  x  1  x   x  Tách toán nào: 5x2  46x  106  5x  25  5x  16  x       x   x    x   5x  20  5x  16    x4 2   x     x  5  5x  16    5x  16   CASIO CITIZEN – CỘNG ĐỒNG CASIO Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE TẬP 11 - KỸ THUẬT CÔ LẬP CĂN   x  x  3 x4 2     x  1 25x  x   x   5x  16    5x  16  0 Bài 2: Giải phương trình sau tập số thực: x2  3x    x  2 x    x  1 3x   Sử dụng máy tính Casio ta thu nghiệm x  nghiệm vô tỷ thỏa mãn đánh giá: x  x  3,x   3x   x   x   có nhân tử: x   x3  x    3x    x   x   Chú ý với x   3x   xấu    Do ta xét: x   3x   x  1  x    x  1 3x  Như vậy: x2  3x    x  2 x    x  1 3x      x    x  1 3x   3x    x   x     x x3   x     x    x  1 x x3   x    x   3x   x  1  x3 2  x   x    x  1 x   3x  0 Bài 3: Giải phương trình sau tập số thực: x3  4x2  7x  10   x  4x   x    x   2x  Sử dụng máy tính Casio ta thu nghiệm kép x   Xét  x2     Xét  2x    2x  2x    x2   x2  CASIO CITIZEN – CỘNG ĐỒNG CASIO Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE TẬP 11 - KỸ THUẬT CƠ LẬP CĂN Bài tốn địi hỏi phải phân tích cẩn thận Ta tạo lượng nhân tử x2   x2  trước: x3  4x2  7x  10   x  4x   x    x   2x     x3  7x  4x x   4x  10   x   x    x   2x   x  x     x     x   x     x   2x   x  x    x  x   x     x   2x   x  x2    x2     2   x      x   2x      x2     x2   x   x 3 2 2     x  x2  Vì x     2x  1 2x   2x     x  x2    2      2x   2x     2  2x    2x   x2   x  x  Cách 2: Tư Parabol nhỏ: Xét hàm số F  x    x  2 2x  quan sát tập trung vị trí x  Ta thấy hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  2 Vậy  x   2x   có nghiệm kép Ta có: x3  4x2  7x  10   x  4x   x    x   2x  CASIO CITIZEN – CỘNG ĐỒNG CASIO Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com KÍNH LÚP TABLE TẬP 11 - KỸ THUẬT CÔ LẬP CĂN   x     4x   x    x3  4x  7x  12    x   2x    Đến sài CASIO chia máy:  x   2x     2x   2  x   2x   CALC =  , xét   2x    2x  CALC 100 kết x x  4x   x    x  4x  7x  12   x 3 2   4x   x    x  4x  7x  12   x2    CALC 2 Xét tiếp  x  CALC 100 kết 100 Như ta viết lại:  x       4x   x    x3  4x  7x  12    x   2x    x 3 2    x2   x   2  2x    2x   C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: x2  3x  19   x    x  x   Bài 2: 21x2  x    3x  4x   7x    x  1 3x   Bài 3: 2x2  9x    x  2 x   2x   CASIO CITIZEN – CỘNG ĐỒNG CASIO