ĐỒN TRÍ DŨNG
(THÁM TỬ CASIO - CASIO MAN)
KÍNH LÚP TABLE
TẬP 1: ĐÁNH GIÁ HÀM ĐƠN ĐIỆU Tài liệu tham khảo cho các em học sinh
Tài liệu tham khảo cho các thầy cô giáo Fài liệu ôn thi Trung học phố thông Quốc gia
TỦ SÁCH CASIO
GROUP VIDEO BÀI GIẢNG CASIO MEN
Trang 2TU DUY CASIO TRONG PT - BPT - HPT VO TY KÍNH LÚP TABLE VA PHUONG PHAP HAM SO TRONG
GIAI TOAN PHUONG TRINH VO TY TAP 1: DANH GIA HAM DON DIEU I Nguyén ly co ban
Nếu hàm sé f(x) don điệu và liên tục trên tập xác định của nó thì phương trình f(x)=a có tối da mt nghiém (Trong dé a 1a hằng số cho
trước)
Nếu hàm số ƒ (x) đơn điệu và không liên tục trên tập xác định của nó thì
phương trình f(x)=a c6 t6i da n+1 nghiém (Trong d6 a 1a hang s6 cho
trước và ø là số điểm gián đoạn của đồ thị hàm số
Nếu hàm số f(x) đơn điệu tăng và liên tục trên tập xác định D thì
f(a) > f(b) <azb voi ab nam trong tập xác định của hàm số
Nếu hàm số F(x) đơn điệu tăng và liên tục trên tập xác định D thì
f(a)> f(b) <a>b véi a,b nam trong tập xác định của hàm số
Nếu hàm số ƒ (x) đơn điệu giảm và liên tục trên tập xác định D thì f(a)> ƒ(b)>a<b voi a,b nam trong tập xác định của hàm số
Nếu hàm số ƒ(x) đơn điệu giảm và liên tục trên tập xác định D thì
f(a)> f(b) <a<b véi a,b nằm trong tập xác định của hàm số
Việc dự đoán hình dáng của đồ thị hàm số có thể được phân tích bằng
chức năng TABLE trong máy tính CASIO
Nếu ƒ(),s(x) cùng đồng biến, dương và liên tục trên cùng một tập xác định D thì h(x) = F(x).g(x) va k(x) = f(x) + g(x) là các hàm số đồng
biến và liên tục trên D
Nếu ƒ (x).s(x) cùng nghịch biến, dương và liên tục trên cùng một tập
Trang 3IL Bai tap van dung Bài 1: Giải phương trình: xÌ+x?+x+3Ÿx+1 =3 Sử dung céng cu Mode 7 (Table) véi: x F(X) f(X)=X8+X724+X+3YXK41-3 1 "4 « START=-1 -0.5 — 0.852 e END=3 0 0 « STEP=0.5 0.5 1,195
Ta có bảng giá trị như hình bên Từ bảng 1 3.5676
giá trị này ta thấy phương trình có 1.5 7.8973
nghiệm x=0 và hàm số đồng biến trên 2 14.498
Trang 4Từ bảng giá trị này ta thấy phương trình 25 8.8694 có nghiệm x=1 và hàm số đồng biến 3 12.285 biên [ 1 | 88 15.924 ye) 4 19.773 4.5 23.821
HINH DANG HAM SO
Thông qua cac gia tri cua TABLE, ta thấy hình dáng của hàm số có | dạng như hình vẽ bên: 10} « Đồng biến trên tập xác định | e Hàm số liên tục ——— e Cắt trục hoành tại duy nhất | 1 điểm ` š 1 Điều kiện: x>-= 5 Ta có: j5x)—1+Ÿ2x—1+x=4<>\5x)—1+Ÿ2x—1+x—4=0 Xét hàm số ƒ(x)= Ý5x)—1+ÄŸ2x—1+x—4 trên [£:=) Có: sain ee) com 5 oanguyendream@gmailcom] mã gmail 15x? a © 2\5x”—1 ‘Teor 1)?
Do đó ƒ(x) đồng biến và liên tục trên
fanpage VIE &
GROUP VIE SHARE }A1= ^*4 * số —=ễ ' Ì > Ú, vee( Je 1 ix #5 1 am}
Do đó phương trình ƒ(x)=0 có tối đa một nghiệm
Trang 5(KINH LUP TABLE - TAP 1] [Baley Warm une
HINH DANG HAM SO
Thong qua cac gia tri cua TABLE,
ta thấy hình dáng của hàm số có
dạng như hình vẽ bên:
« Nghịch biến trên tập xác định
e Ham sé lién tuc
e Cắt trục hoành tại duy nhất 1 điểm Bao 2 Điều kiện: Ta có: (242+1-1=- 11-1 „ 2—— >ọ Ý2x2+1+1 V2x74+141 _ Do đó: x(txax+adx +1)>0, Để đánh giá sát sao điều kiện của phương trình, ta sử dụng TABLE để khảo sát nhóm biểu thức 1+3x+8\2x? +1 Sử dung céng cu Mode 7 (Table) véi: x F(x) f(X)=14+3X +8V2X? +1 -2 19 * START=~-2 =15 15.261 "` -1 11.856 © STEP=0.5 ~0.5 9.2979
Từ bảng giá tri nay ta thấy rõ ràng rang 0 9
biểu thức 1+3x+8\2x2 +1 luôn nhận giá Đo ch
Trang 6Suy ra hàm số ƒ(x) luôn đồng biến và liên tục trên [0;+s)
Do đó phương trình ƒ(x)=0 có tối đa một nghiệm
Vì ƒ(0)=0 nên x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=0 Bài & Giải phương trình: Ä(x~1)” ~2ÄŸx—1 ~(x~5)ÑÏx~8 ~3v+31=0 Sử dụng công cụ Mode 7 (Table) uới: X F(X) f(X)= Wx-ÿ ~2ÑŸX~1 8 6.8334 -(X—5)X~8~3X+31 S a ` ` 95 -2.928 ` _ 10 ~5.904 « STEP=0.5 % bả 2 se VU v Ấ x ` x 10.5 -8.946 Từ bảng giá trị này ta thấy nhìn thấy ` a a ee 11 —12.05 phương trình có một nghiệm duy nhất đó Ts 1524 là x=9 đồng thời hàm số nghịch biến, do a — 1R 5
đó đây chính là nghiệm duy nhất
Tuy nhiên vấn đề là bài toán có chứa rất nhiều căn thức và khác loại với
nhau Chính vì vậy ta có thể đặt một ẩn phụ để giảm thiểu số căn thức một
Trang 7[KÍNH LÚP TABLE - TẬP 1]
Do đó hàm số ƒ() đồng biến và liên tục trên ;¬] Do đó phương trình f(t) =0 có tối đa một nghiệm
Vì ƒ(2)=0—t=2©x=9 là nghiệm duy nhất của phương trình
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =9 Bài 5: Giải phương trình: (x - 1)(2Ve -1+3Ÿx+ 6) =x+6 (Trích đề thi Học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm 2010) Điều kiện: x >1 Do x=1 không là nghiệm của phương trình nên chỉ xét xc(1;+) Ta co: (x-1)(2 x~1+3ÄÏx+6]=x+6 Ằ©œ2dz-1+3Wy+6-#16 œ~1 Sử dung céng cu Mode 7 (Table) voi: x F( x) F(X) =2VX-1+39x+6 -X*8 1 ERROR xã 15 =7.713 e START=1 2 0 « END=5 + STEP=05 2.5 2.9053 i 2 ig 8 ie ` Q 4.5686 Từ bảng giá trị này ta thấy hàm số đồng, BI aad š * v8 a 3.5 5.716 biến và phương trình có nghiệm duy nhất đó là x=2 4.5 : 7.3109 6.594 2 7.9219
HINH DANG HAM SO
Thông qua các giá trị của TABLE, ta thấy hình dáng của hàm số có đạng như hình vẽ bên: ¢ Đồng biến trên tập xác định e Hàm số liên tục s _ Cắt trục hoành tại duy nhất 1 điểm Xét hàm số f(x)=2 >x—1+3Ÿx+ x- 6 trén (1;-+00) ta cd: f(x)= 1 th 1 + 7 >0, Vx €(1;+00) x-1 Yx+6 (x-Ÿ
Do đó hàm số ƒ(x) đồng biến và liên tục trên (1;+œ)
Vậy phương trình ƒ(x)=0 có tối đa một nghiệm
Mà x=2 là một nghiệm của phương trình Do đó đây là nghiệm duy nhất
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=2
Trang 8Bài 6: Giải phương trình: 2Ÿx +x=xlx2+3+1 Sử dụng công cụ Mode 7 (Table) uới: X F(X) f(X)=29K +X-VXx? 43-1 -2 ~8.165 © START=-2 ~15 ~7.08 « END=2 -1 =6 « STEP=0.5 —0.5 —4.89
Từ bảng giá trị này ta thấy hàm số đồng 0 -2.732 biến và phương trình có nghiệm duy nhất 0.5 ~0.715 đó là x=1 1 0 1 0.4981 2 0.874
HINH DANG HAM SO
Thông qua các giá trị của TABLE, ta thấy hình dáng của hàm số có dạng như hình vẽ bên: se Đồng biến trên tập xác định e Hàm số liên tục e _ Cắt trục hoành tại duy nhất 1 điểm Điều kiện: 2Ÿš+x=sÈ +3+1>0= (ih? +2)>0 x>0 Xét hàm số ƒ(x)=2ÄXÈ+x—x? +3~1 với x>0 Ta có: f(s)= 2 41-—* f'(x)= 2 Nat 43-3 {| = = Tanpage VIE see has aie? Va? 43 esi 2 3 @ f'(x)=—= +$ — + > 0vx>0 3Ÿ v2 +3(db2+3++)
Do đó ƒ(x) là hàm số đồng biến và liên tục trên tập xác định Vậy phương trình ƒ(x)=0 có tối đa 1 nghiệm
Mặt khác ƒ(1)=0 do đó x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x =1
vx? +3—x
Chú ú: Việc thực hiện phép quy đồng: 1T——-*"— —* chứng minh
Vx? +3 Vx7+3
hàm số ƒ (x) đồng biến không phải là một công việc được thực hiện một cách
ngẫu nhiên dựa trên cảm tính Nếu học sinh đã làm nhiều dạng bài tập trên thì
Trang 9[KÍNH LÚP TABLE - TẬP 1] Xét F(X)= Š— với: X F(x) X?+3 -3 ~0.755 e START: -2(Vì x>2) -15 —0.654 e END:2 =1 -0.5 « SIEP:0,5 —0.5 —0.277 Dựa vào bảng giá trị, ta thấy: 0 0 Max-_~Ä—«<1 0.5 0.2773 X?+3 1 0.5 Do đó nếu sử dụng phép quy đồng đã 1.5 0.6546 nêu trên, ta chắc chắn chứng minh 2 0.7559 được ƒ (x) đồng biến Ghỉ nhớ:
se Nếu tìm được MinG(x)=a ta sẽ có G(x)-a>0
* Néu tim duge MaxG(x)=a ta sé cé a-G(x)>0 Bài 7: Giải phuong trinh: x(x- 1) = (vx +44 I(x +4) Sw dung céng cu Mode 7 (Table) voi: x F(X) F(X)=X(X~1}`~[WX+4+1)(X+4) 1 —1618 e START=1 1.5 — 18.02 e END=5 2 —18.69 « STEP=0.5 25 -17.44
Từ bảng giá trị này ta thấy hàm số đồng 3 -13.52 biến và phương trình có nghiệm duy nhất 3.5 ~6.164
nằm trong khoảng (35:4) 4 5.3725
ea 45 21.843
SHIFT CALC voi x=3.8 ta thu được nghiệm x ~ 3.791287847 5 m
Thay nghiệm x ~ 3.791287847 vao can thire ta duge: vx +4 = 2.791287847 = x-1 Do dé nhan tir can xac dinh 1a x-1-Vx+4 va phương trình có một 34/21 nghiệm duy nhat dé la x-1=Vx+4 x= 5
Do trong (2;+=) hàm số có dấu hiệu của tính đồng biến nên nếu chỉ ra được điều kiện x>2 ta có khả năng chứng minh được hàm số đơn điệu và
hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất
HÌNH DÁNG HÀM SỐ
Trang 10Thông qua cac gia tri cua TABLE, ta thấy hình dáng của hàm số có 100 dạng như hình vẽ bên: se Đồng biến trên (2;-+00) =10 —100 | | | | | ~200 e Hàm số liên tục e Cắt trục hoành tại duy nhất 1 điểm Điều kiện: x(x~ TỶ =(x+4+1)(x+4) e3) ~24) =(x+4)VX+4+4 =(#-2)x” =(x+4)Jx+4+4>0=x>2 Xét hàm số sau: ƒ{x)=x)~24°~4-(x+4)Äjx+4 với xe(2;+») : Ta có: f'(x)=30 4-3 Để chứng minh ƒ'{x)>0 hay hàm số f(x) đồng biến không phải là một điều đơn giản
Vì vậy để chắc chăn định hướng của bài tốn ta sử dụng cơng cụ TABLE để khảo sát hàm f'(x)=3x? -4x- V4: Xét F(X)=3X?~4x~ŠJX+4 với: x 2 He) 0,3257 + START:2(Vì x>2) s5 4/9257 + END6 3 11,031 * STEP: 0,5 35 18,642 Dựa vào bảng giá trị, ta thấy: Hà 6 f(x) TA ha 6 di 4 271/0: « Hàm số ƒ!{x) là hàm số đơn + 38.376 điệu tang trén (2;+00) mae di 5 50,5
Trang 1116x\x + 4 16xjx+4~3 _„ 2(x-2) 256x° + 1024x* -9 <= f"(x)=2(x-2)+ {Se ( ) ( ie 4dx+4 4\jx+4(16xjx+4 +3] Vì x>2 nên 256x” >9=256x +1024x?—~9>0 do đó ƒ"(x)>0Vx >2 Khi đó ƒ'{x) là hàm đơn điệu tăng và liên tục trên (2;+œ}
Do vay ƒ{x)>/ƒ'(2)= — 9, Vay f(x) là hàm đơn điệu tăng và liên tục trên (2+) Mặt khác ta có 8a cho nên x= tui là nghiệm duy nhất của phương trình Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x= pl h Eai-siy- J0) Bài 8: Giải phương trình: ¥x+1-2V4-x = TT 2x”+
(Trích đề thi thử Đại học Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2013)
Sử dụng công cụ Mode 7 (Table) uới: X F(X) f(X)= IX41-2V4-X- bung) 3) =1 -3.472 * +18 =0:5 — 2.589 e START = —-1 0 — 2.166 * END 0.5 ~1841 « SIEP=U.5 1 1.549 Nghiệm: Phương trình có nghiệm duy 15 _1247 nhất x8, co oo 2 — 0.904 Tính đơn điệu: Hàm số đơn điệu tăng 25 —0.496 3 0 3.8 0.6482 4 2.136
HINH DANG HAM SO
Trang 133 3 1 Do dé g'(x)=0 Sx= #9 =*—1 ay -Lập bảng Lập bảng biến thiên > abe aps ¢(x)=>¢ >— Cách 2: Sử dụng đánh giá bất đẳng thức AM - GM: 1 1 2 te et 2vx+1 V4—-x \2jx+14-x Cũng theo bat dang thtre AM - GM ta cé: 2V¥x+1V4—x <14+x4+4-x=5 1 + 1 2 2 en ==> 2 1 avx+1 V4—-x JoleatJa—-x V5 2
Nhận xét: Đánh giá bằng bất đẳng thức rất ngắn và đơn giản, tuy nhiên với
những học sinh yếu bất đẳng thức vẫn có thể giải quyết được bằng phương pháp
đánh giá tính đơn điệu của hàm số và lập bảng biến thiên Theo bất đẳng thức AM - GM ta có: Do đó: Ching minh danh gid (**): 2x! +46 x3 + 1206 se ét —+ 10(x*-6x-9) 944 4 46x? — 60x +72 5 = 23) 5 23 >0 2 (2x? +18) (2x? +18) (2x? +18) 2 =: Vậy f'(x)= ` Real slice! 2Vx+1 [s-& (2x? +18) Do dé f(x) la ham sé dong bién va lién tuc khi x (-1;4)
Vay phuong trinh f(x) =0 có tối đa một nghiệm
Mặt khác ƒ(3)=0 do vậy x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x=3
Bài 9: Giải phương trình: yx? +15 =3x-2+Vx° +8
Trang 14[KÍNH LÚP TABLE - TẬP 1] HÌNH DÁNG HÀM SỐ Thơng qua các giá trị của TABLE, ta thấy hình đáng của hàm số có dạng như hình vẽ bên: « Đồng biến trên tập xác định
e Ham sé lién tuc
e Cắt trục hoành tại duy
nhất 1 điểm
Điều kiện: == ,ơ ằẳằơỐƠƠĨ