Tổng hợp kiến thức hình học 6 7 8

CC KIN THC HèNH HC C BN LP - - Cỏc gúc: + Gúc vuụng cú s o bng 900 + Gúc nhn nh hn gúc 900 + Gúc bt cú s o bng 1800 + Gúc tự nh hn gúc bt v ln hn gúc 90 + Hai gúc ph cú tng bng 900 + Hai gúc bự cú tng s o bng 180 * Trung im ca on thng l im nm gia v cỏch u u mỳt ca on thng Nu M l trung im ca AB thỡ A B M MA = MB = Tia phõn giỏc ca mt gúc a nh ngha : Tia phõn giỏc ca mt gúc l tia nm gia v to vi cnh ca gúc gúc bng b Tớnh cht: Mi im nm trờn tia phõn giỏc ca gúc thỡ cỏch u cnh ca gúc Nu OM l tia phõn giỏc ca A Thỡ = M O Đờng trung trực đoạn thẳng a Định nghĩa: Đờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm đợc gọi đờng trung trực đoạn thẳng b Tổng quát: a đờng trung trực AB c im nm trờn ng trung trc ca on thng AB thỡ cỏch u u mỳt ca on thng AB v ngc li Hai gúc i nh: + nh ngha: Hai gúc i nh l gúc cú mi cnh ca gúc ny l tia i ca mt cnh ca gúc + Tớnh cht : Hai gúc i nh thỡ bng B A a I Các góc tạo đờng thẳng cắt hai đờng thẳng a) Các cặp góc so le trong: v ; v b) Các cặp góc đồng vị: v ; v v ; v B c) Khi a//b v ; v gọi cặp góc phía bù a A b B 41 Hai đờng thẳng song song a) Dấu hiệu nhận biết - Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với b) Tiên đề Ơ_clít c a b - Qua điểm đờng thẳng có đờng thẳng song song với đờng thẳng M b a c, Tính chất hai đờng thẳng song song - Nếu đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì: Hai góc so le nhau; Hai góc đồng vị nhau; Hai góc phía bù d) Quan hệ tính vuông góc với tính song song - Hai đờng thẳng phân biệt vuông góc với đờng thẳng thứ ba chúng song song với a //b - Một đờng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng song song vuông góc với đờng thẳng ab c b a c ba e) Ba đờng thẳng song song - Hai đờng thẳng phân biệt song song với đờng thẳng thứ ba chúng song song với a//c b//c => a//b Góc tam giác a) Định nghĩa: Góc tam giác góc kề bù với góc tam giác b) Tính chất: Mỗi góc tam giác tổng hai góc không kề với = + a b c A B C Hai tam giác a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tơng ứng nhau, góc tơng ứng ABC = A,B,C, x A B B' A' C C' b) Các trờng hợp hai tam giác *) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh A (c.c.c) - Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác Nu ABC v A,B,C, cú: B AB = A,B, , , , , , AC = A B ABC = A B C (c.c.c) A' , , BC = B C C' B' *) Trờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác Nu ABC v A,B,C, cú: , A B , AB = A B = ABC = A,B,C, (c.g.c) BC = B,C, B' *) Trờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) C A' C C' - Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Nu ABC v A,B,C, cú: = BC = B,C, = ABC = A,B,C, (c.g.c) c) Các trờng hợp hai tam giác vuông Trờng hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông (c.g.c) B B' A C A' C' Trờng hợp 2: Nếu cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông hai giác vuông (g.c.g) B B' A C A' C' Trờng hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C' Trờng hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C' Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) - Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn ABC: Nu AC > AB thỡ A C B - Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn ABC: Nu thỡ 10 Quan hệ đờng vuông góc đờng xiên, đờng xiên hình chiếu Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu đờng xiên Lấy A d, kẻ AH d, lấy B d B H Khi - Đoạn thẳng AH gọi đờng vuông góc kẻ từ A đến đờng thẳng d - Điểm H gọi hình chiếu A đờng thẳng d - Đoạn thẳng AB gọi đờng xiên kẻ từ A đến đờng thẳng d - Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu đờng xiên AB đ.thẳng d : A H B d Quan hệ đờng xiên đờng vuông góc: Trong đờng xiên đờng vuông góc kẻ từ điểm đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vuông góc đờng ngắn Quan hệ đờng xiên hình chiếu: Trong hai đờng xiên kẻ từ điểm nằm đờng thẳng đến đờng thẳng đó, thì: - Đờng xiên có hình chiếu lớn lớn - Đờng xiên lớn có hình chiếu lớn - Nếu hai đờng xiên hai hình chiếu ngợc lại, hai hình chiếu hai đờng xiên 11 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác - Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B C - Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại VD: AB - AC < BC < AB + AC 12 Tính chất ba đờng trung tuyến tam giác Ba đờng trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách A F đỉnh khoảng độ dài đờng trung tuyến qua đỉnh ấy: G B D G trọng tâm tam giác ABC E C 13 Tính chất ba đờng phân giác tam giác Ba đờng phân giác A tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác - Điểm O tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC (lớp 9) O B 14 Tính chất ba đờng trung trực tam giác C Ba đờng trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác A - Điểm O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC O C B 15 Tính chất ba đờng cao tam giác Ba ng cao ca tam giỏc cựng i qua mt im H l trc tõm ca tam giỏc A H C B * Tam giỏc ABC cõn ti A : Hai ng sau trựng : ng trung trc cnh BC, ng trung tuyn, ng cao v ng phõn giỏc cựng xut phỏt t nh A * Nu tam giỏc ABC u thỡ trng tõm, trc tõm, im cỏch u nh v im ( nm tam giỏc) cỏch u cnh l im trựng 16 Phơng pháp chứng minh số toán (sử dụng cách sau đây) a) Chứng minh tam giác cân Chứng minh tam giác có hai cạnh Chứng minh tam giác có hai góc Chứng minh tam giác có đờng trung tuyến vừa đờng cao Chứng minh tam giác có đờng cao vừa đờng phân giác đỉnh b) Chứng minh tam giác Chứng minh tam giác có ba cạnh Chứng minh tam giác có ba góc Chứng minh tam giác cân có góc 600 c) Chứng minh tứ giác hình bình hành Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có cạnh đối hình bình hành Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có góc đối hình bình hành Tứ giác có hai đờng chéo cắt trung điểm đờng hình bình hành d) Chứng minh tứ giác hình thang: Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song e) Chứng minh hình thang hình thang cân Chứng minh hình thang có hai góc kề đáy Chứng minh hình thang có hai đờng chéo f) Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật Hình cân có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có hai đờng chéo hình chữ nhật g) Chứng minh tứ giác hình thoi Tứ giác có bốn cạnh Hình bình hành có hai cạnh kề Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với Hình bình hành có đờng chéo đờng phân giác góc h) Chứng minh tứ giác hình vuông Hình chữ nhật co hai cạnh kề Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc Hình chữ nhật có đờng chéo đờng phân giác góc Hình thoi có góc vuông Hình thoi có hai đờng chéo 17 Đờng trung bình tam giác, hình thang a) Đờng trung bình tam giác Định nghĩa: Đờng trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Định lí: Đờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh A BC // BC, DE = BC E D B C b) Đờng trung bình hình thang Định nghĩa: Đờng trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang Định lí: Đờng trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy B A EF//AB, EF//CD, EF = AB + CD E F D C 18 Tam giác đồng dạng a) Định lí Ta_lét tam giác: Nếu đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ A B' B,C,//BC B C' a C b) Định lí đảo định lí Ta_lét: Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ đờng thẳng song song với cạnh lại tam giác Ví dụ: // BC ; Các trờng hợp khác tơng tự c) Hệ định lí Ta_lét - Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Hệ trờng hợp đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại ( // BC ) A a C' B' A C B a B' C' C B d) Tính chất đờng phân giác tam giác: Đờng phân giác (hoặc ngoài) tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn A A B D C C B D' e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng : Hai tam giác đồng dạng hai tam giác có góc tơng ứng cạnh tơng ứng tỉ l A,B,C, S ABC = k t s ng dng f) Định lí hai tam giác đồng dạng: Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho A MN / /BC => AMNS ABC M *) Lu ý: Định lí trờng hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại B N a C g) Các trờng hợp đồng dạng hai tam giác *)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng A' A C B B' C' Nu A,B,C, v ABC cú thỡ A,B,C, ABC (c.c.c) *)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cạnh hai tam giác đồng dạng A' A C B B' C' Nu A,B,C, v ABC cú thỡ A,B,C, ABC (c.g.c ) (c.c.c) *)Trờng hợp 3: Nếu hai góc tam giác lần lợt hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng; A' A B C B' C' Nu A,B,C, v ABC cú thỡ A,B,C, ABC (g.g ) h) Các trờng hợp đồng dạng hai tam giác vuông *)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có góc nhọn chúng đồng dạng; B' B A C A C' , , , B Ccạnh v góc ABC cú tam giác vuông tỉ lệ với *)Trờng hợp 2: Nu Nếu A hai vuông , , , thỡ ABC ) hai tam giác đồng dạng; hai cạnh góc vuông tamABC giác(g.g vuông B' B C A C' A' Nu A,B,C, v ABC vuụng ti A v thỡ A,B,C, ABC (c.g.c ) *)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông cạnh huyền tam giác vuông tỉ lệ với cạnh góc vuông cạnh huyền tam giác vuông hai giác đồng dạng Nu A,B,C, v ABC vuụng ti A v thỡ A,B,C, ABC (cnh huyn- cnh gúc vuụng ) 19 Tỉ số hai đờng cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng - Tỉ số hai đờng cao tơng ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Tỉ sô diện tích hai tam giác đồng dạng bình phơng tỉ số đồng dạng - Cụ thể : => A 'B 'C' S ABC theo tỉ số k 20 Hệ thức lợng tam giác vuông (lớp 9) b = ab' A c = ac ' 2 a = b +c bc = ah (Pi_ta_go) c h = b' c ' + = 2 b c h 21 Diện tích hình B h b b' c' H a C h b a h a S = a b a S= S= a S= b h E a S= h F h a S = E F h d2 d1 a S=ah S= 22 Học sinh cần nắm vững toán dựng hình (dùng thớc compa) a) Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc; b) Dựng góc góc cho trớc; c) Dựng đờng trung trực đoạn thẳng cho trớc, dựng trung điểm đoạn thẳng cho trớc; d) Dựng tia phân giác góc cho trớc; e) Qua điểm cho trớc, dựng đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc; f) Qua điểm nằm đờng thẳng cho trớc, dựng đờng thẳng song song với đờng thẳng cho trớc; g) Dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh kề góc xen giữa, biết cạnh hai góc kề [...]... ABC M *) Lu ý: Định lí cũng đúng đối với trờng hợp đờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại B N a C g) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác *)Trờng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng A' A C B B' C' Nu A,B,C, v ABC cú thỡ A,B,C, ABC (c.c.c) *)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với... (c.c.c) *)Trờng hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần lợt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng; A' A B C B' C' Nu A,B,C, v ABC cú thỡ A,B,C, ABC (g.g ) h) Các trờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông *)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì chúng đồng dạng; B' B A C A C' , , , B Ccạnh v góc ABC cú của tam giác vuông này tỉ lệ với *)Trờng hợp 2: Nu Nếu... dạng - Cụ thể : => A 'B 'C' S ABC theo tỉ số k 20 Hệ thức lợng trong tam giác vuông (lớp 9) 2 b = ab' A 2 c = ac ' 2 2 a = b +c bc = ah 2 (Pi_ta_go) 2 c h = b' c ' 1 + 1 = 1 2 2 2 b c h 21 Diện tích các hình B h b b' c' H a C h b a h a S = a b a S= S= a S= b h E a S= h F h a S = E F h d2 d1 a S=ah S= 22 Học sinh cần nắm vững các bài toán dựng hình cơ bản (dùng thớc và compa) a) Dựng một đoạn thẳng... *)Trờng hợp 2: Nu Nếu A hai vuông , , , thỡ của ABC ) kia thì hai tam giác đó đồng dạng; hai cạnh góc vuông tamABC giác(g.g vuông B' B C A C' A' Nu A,B,C, v ABC vuụng ti A v thỡ A,B,C, ABC (c.g.c ) *)Trờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai giác đó đồng dạng Nu A,B,C, v ABC vuụng ti A v thỡ A,B,C, ABC (cnh huyn-