Đề thi Olympic 30 tháng 4

Đề Thi Lớp 10 Olympic Miền Nam 30-4 năm 2008 Môn : Toán Thời gian : 180 phút Câu 1: ⎧x + y − z = Giải hệ phương trình : ⎪⎨ x + y − z = 37 ⎪ x3 + y − x3 = ⎩ Câu 2: Cho tam giác ABC có diện tích S Gọi M , N , K điểm nằm BC , CA, AB cho : uuur uuuur uuur uuur uuur uuur ur 30MB + MC = NA + NC = 14 KA + KB = O Gọi D, E , F giao điểm đoạn thẳng AM CK , AM BN , CK BN Tính S ΔDEF theo S Câu 3: Chứng minh ∀n ∈ N * x ∈ ( 0,1) , ta có bất đẳng thức : x n − x ≤ ⎛⎜ 2n ⎞ ⎟ ⎝ 2n + ⎠ n 2n + Câu 4: Tìm tất số nguyên dương m cho : ∀a ∈ Z , ∀b ∈ Z , a ≡ b (mod m) ⇒ a = ±b(mod m) Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn : (C1 ) : x + y = (C2 ) : x + y = điểm A(0;1) Xác định tọa độ điểm B (C1 ) C (C2 ) cho SΔABC đạt giá trị lớn Copyright by Nguyễn Trần Thi ĐH Sư Phạm TPHCM Đề Thi Lớp 11 Olympic Miền Nam 30-4 năm 2008 Môn : Toán Thời gian : 180 phút Bài 1: ⎧⎪2 x + = y − y Giải hệ phương trình : ⎨ x y ⎪⎩3 + x = − Bài 2: Cho dãy số U n xác định : Chứng minh : U1 + U + + U 2008 < ( ) n +1 + n Un = với n ∈ N * 2n + 1004 1005 Bài 3: Cho tứ diện OABC vuông O M điểm thuộc miền tam giác ABC Tìm giá trị lớn : MA2 MB MC + + OA2 OB OC Bài 4: Cho phương trình x + x + x + + nx n = a) Chứng minh phương trình có nghiệm xn > b) Chứng minh tồn lim xn hữu hạn Tìm giới hạn n →∞ Bài 5: Tìm hàm số f : Z → R + thỏa mãn : f (m − 1) f (m) + f ( m) f (m + 1) ≥ f (m − 1) f (m + 1) Copyright by Nguyễn Trần Thi ĐH Sư Phạm TPHCM