Oxy full hình học phẳng Oxy bí kíp thế lực

Oxy full hình học phẳng Oxy bí kíp thế lực Oxy full hình học phẳng Oxy bí kíp thế lực Oxy full hình học phẳng Oxy bí kíp thế lực Oxy full hình học phẳng Oxy bí kíp thế lực Oxy full hình học phẳng Oxy bí kíp thế lực Oxy full hình học phẳng Oxy bí kíp thế lực Oxy full hình học phẳng Oxy bí kíp thế lực Oxy full hình học phẳng Oxy bí kíp thế lực

Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Giáo viên: Nguyễn Thế Lực Dạy off lớp 10,11,12 Hà Nội : 0977.543.462 Dạy live lớp 10,11,12 học sinh xa: http://goo.gl/qKu2C4 Khóa luyện thi 8-9: http://goo.gl/WCQmWs I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Định nghĩa: Hệ trục tọa độ đề c|c vuông góc mặt phẳng x ' Ox  y ' Oy Vectơ đơn vị e1  x ' Ox, e2  y ' Oy e12  e22  1; e1.e2  II TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM M ( x; y)  OM  ( x; y)  OM  x.e1  y.e2 Tọa độ c|c điểm đặc biệt  A( x1 ; y1 )  Cho  B( x2 ; y2 )  Trung điểm AB có tọa độ l{: C ( x ; y ) 3  Điểm chia AB tỉ số k l{ điểm thỏa m~n x x y y  I 2;    JA  x  kx2 y1  ky2   k  Tọa độ: J   ;  1 k  JB  1 k  x  x  x y  y  y3  Tọa độ trọng t}m tam gi|c ABC: G  ;  3   III TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ  a  (a1; a2 )  a  a1 e1  a2 e2 Định nghĩa:  Nếu b  ( b ; b )  b  b e  b e   1 2  A( x1 ; y1 ) AB  ( x2  x1; y2  y1 )  B ( x ; y )  2 Phép toán: a  b  (a1  b1; a  b2 );  a   b  ( a1   b1;  a   b2 ) IV TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI   1.a.b  a b cos a, b a  b  a  b a  b  a  b a.b  a1b1  a2b2 a  b  a  b 10 a  b  a  b a  a12  a22 ; b  b12  b22 11 a.b  a b   a  b  (a1  b1 )  (a2  b2 ) 12.cos a, b  a  b  (a1  b1 )  (a2  b2 ) 13.sin a, b    a1b1  a2b2 a12  a22 b12  b22 ; a1b1  a2b2 a12  a22 b12  b22 AB  ( x2  x1 )  ( y2  y1 ) Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực V SỰ THẲNG HÀNG   det a, b  a1 a2 b1 b2    a1b2  a2b1 ; a / /b  det a, b   a1 a2 b1 b2  a1b2  a2b1   A, M, B thẳng h{ng  det AB, AM  VI DIỆN TÍCH TAM GIÁC A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ); C ( x3 ; y3 ) S ABC  1 x2  x1 det AB; AC  2 x3  x2   y2  y1 y3  y1 VII BÀI TẬP MẪU MINH HỌA Bài 1: Cho ABC với A(1; -3); B(3; -5); C(2; -2) Tìm tọa độ M, N l{ giao c|c đường ph}n gi|c v{ ngo{i góc A với đường thẳng BC X|c định tọa độ t}m đường tròn nội tiếp ABC Giải: AM l{ ph}n gi|c tam gi|c ABC suy ra: MB AB 2 7     2  M  ; 3  AC MC 3  AN l{ ph}n gi|c ngo{i tam gi|c ABC suy ra: NB AB    N 1;1 NC AC Gọi I l{ t}m đường tròn nội tiếp ABC suy BI phân giác ABM   IA BA 2     I  15; 3 BM IM 10 Bài 2: Cho A(6; 3), B(-3; 6), C(1; -2) a Tìm tọa độ trọng t}m G, trực t}m H, t}m đường tròn ngoại tiếp I b CMR: H, G, I thẳng hàng Giải: x x x y  yB  yC 4 7 a Tọa độ trọng t}m G: xG  A B C  ; yG  A   G ;  3 3 3 3 + H l{ trực t}m ABC   x   AH  BC  AH BC  4( xH  6)  8( yH  3)     H  H (2;1)   5( x  30  5( y  6)  y  BH  AC BH AC   H H  H     + I l{ t}m đường tròn ngoại tiếp ABC nên: IA = IB = IC  ( xI  6)  ( yI  3)  ( xI  3)  ( yI  6)  ( xI  1)  ( yI  2)  12 xI  yI  45  xI  12 yI  45  2 xI  yI   xI  1; yI   I (1;3) b Phương trình đường thẳng IH l{: x  y 1   2x  y    1 Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Ta có: xG  yG       G  ( IH ) suy G, H, I thẳng h{ng 3 Bài 3: Cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5) Tìm tập hợp c|c điểm M thỏa m~n c|c điều kiện sau:       a 2MA  3MB MA  2MB  b 2MA  3MB MA  MB  MC  BC c.MB  MC  3MB.MC d 2MA2  MB  2MC Giải: Gọi M ( x; y ) suy MA  (1  x;  y), MB  ( x;3  y), MC  (3  x; 5  y) a 2MA  3MB  ( x  2; y  9) MA  2MB  ( x  1; y  6)  2MA  3MB  MA  2MB    ( x  2)( x  1)  ( y  9)( y  6)  2 3  15   10     x     y      2       15  Vậy quĩ tích điểm M l{ đường tròn t}m   ;  bán kính  2 10 b MA  MB  MC  (2  3x; 2  y)  2MA  3MB  MA  MB  MC   BC 2  ( x  2)(2  3x)  ( y  9)(2  y )  73 2 4 25  857 4  25  19     3  x     y     73   x     y    0 3  12 3   36    Phương trình vô nghiệm nên điểm M n{o thỏa m~n yêu cầu  c MB  MC  3MB.MC  MB  MC   MB.MC  BC  MB.MC 3 365    x(3  x)  (3  y )(5  y)  73   x    ( y  1)  2    Vậy quĩ tích điểm M l{ đường tròn t}m   ; 1 bán kính   365 d 2MA2  MB  2MC  (1  x)2  y    x  (3  y)2   (3  x)2  (5  y)2   x  y  16 x  26 y  57   ( x  8)  ( y  13)  290 Vậy quĩ tích điểm M l{ đường tròn t}m (8; 13) b|n kính 290 Bài 4: Cho tứ gi|c ABCD có A(0; 1), B(-2; -1), C(-1; -4), D(1; 0) a Chứng minh rằng: C|c tam gi|c ABD v{ BCD l{ tam gi|c vuông b Tính diện tích tứ gi|c ABCD c Tìm M Oy để diện tích  MBD v{ diện tích  BCD Giải: a Ta có: AB  (2; 2), AD  (1; 1)  AB.AD   AB  AD Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực BC  (1; 3), BD  (3;1)  BC.BD   BC  BD Vậy  ABD vuông A v{  BCD vuông B (đpcm) 1 b S ABD  AB AD  2; S BCD  BC.BD   S ABCD  S ABD  S BCD  2 c Gọi M (0; y )  Oy Sử dụng công thức SMBD  Suy để SMBD  SBCDthì   MB MD  MBMD MB MD  MB.MD    10    ( y  1)2  (1  y )   2  (1  y) y   10  ( y  y  5)( y  1)  ( y  y  2)2  100  y  y  99   3( y  3)(3 y  11)   y   y   11 11   Vậy có điểm M thỏa m~n l{ M(0; 3) M  0;   3  Bài 5: CMR: x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x , x, y, z  R Giải: Ta có: 2 x   z     2 x  xy  y   y     x  ; y  yz  z   y     z         2   xz  x    z  x  , b    y   ; z   a  b   ; ( x  z )  Xét a   y  ; 2    2      ab  ( x  z )2 3( x  z )2   z  zx  x 4 Do a  b  a  b nên x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x2 (đpcm) Dấu “=” xảy a  b  x  z  x 2y  x x 2 y  x y y  x       xy  yz  zx  z 2y  z z 2y yz y k z (k  1) 1 k Cách 2: Trong số x; y; z có số dấu, giả sử l{ x, y Hay x  z   x  kz , y  Lấy c|c điểm O, A, B, C1; C2 cho OA  x , OB  y , OC1  OC2  z BOC1  C1OA  1200 ; AOC2  C2OB  600 Ta có: AB  x  y  xy cos1200  AB  x2  y  xy Tương tự suy ra: BC1  y  z  yz , C1 A  z  x2  zx Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Và BC2  y  z  yz , C2 A  z  x  zx Nếu z dấu với x, y sử dụng AB  BC1  C1 A suy (đpcm) Nếu z tr|i dấu với x, y sử dụng AB  BC2  C2 A suy (đpcm) Dấu “=” xảy  Trong điểm A, B, C có điểm trùng O  số x, y, z có số Trong trường hợp x, z dấu v{ kh|c dấu với y dấu xảy độ d{i đường ph}n gi|c từ đỉnh O tam gi|c OAC l{ OB Phần tập rèn luyện Dạng 1: Xác định tọa độ điểm Bài 1: Cho A(1; -2); B(0; 4); C(3; 2) Tìm D cho: a CD  AB  AC b AD  2BD  4CD  Giải: Gọi D ( x; y ) a) Ta có: CD  AB  AC  ( x  3; y  2)  2(2;6)  3(2;4) )  2;12)  (6;12)  x   8  x  5   x  3; y    (8;0)    y   y  Vậy D(-5; 2) b) Ta có: AD  2BD  4CD   ( x 1; y  2)  2( x; y  4)  4( x  3; y  2)   ( x  1; y  2)  (2 x; y  8)  (12  x;8  y )   x  11  (11  x;  y )    y  Vậy D(11; 2) Bài 2: Cho A(1; -2), B(2; 1), C(-3; 5) Tìm D để tứ giác ABCD hình bình hành Giải: Gọi D ( x; y ) Điều kiện để ABCD hình bình hành là:  x   5  x  4 AD  BC  ( x  1; y  2)  (5; 4)    y   y  Vậy D(-4; 2) Bài 3: Cho A(1; -2) Tìm Ox điểm M để đường trung trực AM qua gốc tọa độ O Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Giải:  x 1  Gọi M ( x;0)  Ox I trung điểm AM  I  ; 1   Vì đường trung trực AM qua gốc tọa độ O nên:  x 1  OI  AM  OI AM    ; 1 ( x  1; 2)    x  ( x  1)     ( x  1)2     x  1 Vậy có hai điểm M thỏa mãn: M1(3; 0) M2(-1; 0) Bài 4: Cho A(-1; -3) , B(3; 3) Tìm M, N để chia AB thành đoạn có độ dài Giải: Theo giả thiết ta có: AM = MN = NB suy ra: 1   x A  xB y A  y B MA   MB  tọa độ M là:  ; 1  1 1  2   1     ; 1   3   x  xB y A  yB    NA  2 NB  tọa độ N là: N  A ;    ;1 1     1 1  5  Vậy M  ; 1 N  ;1 3  3  Bài 5: Giả sử M(1; 2), N(0; 4) chia AB thành đoạn có độ dài Tìm tọa độ A, B Giải: Theo giả thiết ta có: AM = MN = NB suy ra: 1  xM  xN yM  yN  ; AM  AN  tọa độ A  1  1 1  2      2;0    1  xN  xM yN  yM  2 BN  BM  tọa độ A  ; 1  1 1  2      1;6    Vậy A(2; 0) B(-1; 6) Bài 6: Cho A(-2; -6), B(10; 6); C(-11; 0) Gọi M điểm chia AB theo tỉ số (-3) N điểm chia AC theo tỉ số -2 Tìm I  BN  CM Giải: Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực M điểm chia AB theo tỉ số (-3)  x  3xB y A  yB   MA  3MB  M  A ;   M (7;3) 1   1 N điểm chia AC theo tỉ số (-2)  x  xC y A  yC   NA  2 NC  N  A ;  N (8; 2)    1 10  x  y    IB / / IN 4 x  y  14  x   x 8 y  Giả sử I ( x; y )       x  y  11  y   x  11  y  IC / / IM   x  y Vậy I(1; 2) Dạng 2: Sự thẳng hàng Bài 1: Cho A(-3; 12); B(2; -4), C(5; -4); D(5; 5) Tìm AC  BD Giải: Cách 1: Viết phương trình đường thẳng AC BD, từ suy tọa độ giao điểm I  AI  s AC   BI  t.BD  x   8s  x   8s 16  x  y  12  16s  x   3t       Suy hệ phương trình:   x   3t 2 x  y   y    y   9t 3x  y  10   Cách 2: Giả sử tọa độ I ( x; y ) Vậy  16  I  ;   5 Bài 2: Cho A(1; 3), B(5; -5) Tìm M  Ox để (MA + MB) đạt giá trị nhỏ Giải: M  Ox  M ( x;0) Ta có: MA  MB  MA  MB  MA  MB  BA  80  Dấu “=” xảy MA MB phương ngựơc hướng, tức là:  k  1  x  k (5  x)   MA  k MB      k   x  x   5  M  ;0  min(MA + MB) = 2  Bài 3: Cho A(1; 2); B(3; 4) Tìm M  Ox để (MA + MB) đạt giá trị nhỏ Vậy Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Giải: Cách 1: Ta có: MA  MB  ( x  1)2   ( x  3)2  16 u  ( x 1;2); v  (3  x;4)  u  v  (2;6) Chọn  MA  MB  u  v  u  v  10 Dấu “=” xảy  x 1  x 3 x 5  M  ;0  min(MA + MB) = 10 3  Cách 2: Lấy A1 đối xứng với A qua Ox  A1 (1; 2)  MA  MA1 Vậy Ta có: MA  MB  MA1  MB  A1B  22  62  10 x 1  x 3 x Bài 4: Cho A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ) Tìm M   : ax  by  c  để (MA + MB) đạt giá trị nhỏ Dấu “=” xảy M  A1 B  Ox  MA1  k MB  Giải: Đặt f ( x; y )  ax  by  c , ta xét trường hợp sau: TH1: f ( A) f ( B )   A, B nằm phía đt (  )  MA  MB  AB Dấu “=” xảy M  AB  ( ) TH2: f ( A) f ( B )   A, B nằm phía đt (  ) Gọi A1 điểm đối xứng A qua   MA  MA1  MA  MB  MA1  MB  A1 B Dấu “=” xảy M  A1 B   Bài 5: CMR: a  2a   a  a   Giải: Xét u  (a 1;2), v  (a 1;2)  u  v  (2;4) Ta có: u  v  a  2a   a  12a   u  v  (đpcm) Dấu “=” xảy a = Bài 6: CMR: a  2a   a  2a  136  13 Giải: Xét u  (a 1;2), v  (a  6;10)  u  v  (5;12) Ta có: u  v  a  2a   a  12a  136  u  v  13 (đpcm) Dấu “=” xảy a 1 11  a  a 10 Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Bài 7: Cho a, b, c  ab + bc + ca = abc CMR: a  2b b  2c c  2a    ab bc ca Giải: Chọn 1  1  1 2 u   ;  ; v   ;  ; w   ;  b a  c b  a c  1 1 2 2  u  v  w     ;    b c  a b c a Ta có: u  v  w  uvw 2 2 2 1   1   1  2  1 1                    3     b   a   c   b   a   c  a b c a  2b b  2c c  2a     (vì ab + bc + ca = abc) ab bc ca Dấu “=” xảy a = b = c = PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG I VECTƠ ĐẶC TRƢNG CỦA ĐƢỜNG THẲNG Vectơ v  (a1 ; a2 ) vectơ phương (VTCP) ()   // giá v Vectơ n  (a; b) vectơ pháp tuyến (VTPT) ()    giá n Nhận xét: (  ) có vô số vectơ phương vô số vectơ pháp tuyến đồng thời v  n II PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Phương trình tham số: PT đường thẳng (  ) qua M ( x0 ; y0 ) có VTCP v  (a1 ; a2 ) :  x  x0  a1t (t  R)   y  y  a2 t Phương trình tắc: PT đường thẳng (  ) qua M ( x0 ; y0 ) có VTCP v  (a1 ; a2 ) : x  x0 y  y0  a1 a2 Phương trình hệ số góc: PT đường thẳng (  ) với hệ số góc a là: y  ax  b Phương trình tổng quát: PT đường thẳng (  ) tổng quát: Ax  By  C  với A  B  Nhận xét: (  ) Ax  By  C  với A  B  có VTCP 2 v  ( B;  A) n  ( A; B) Phương trình đường thẳng (  ) qua M ( x0 ; y0 ) với hệ số góc k là: y  k ( x  x0 )  y0 Phương trình đường thẳng (  ) qua M ( x0 ; y0 ) với VTPT n  ( A; B) là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  Phương trình đường thẳng (  ) qua M ( x0 ; y0 ) với VTCP v  ( A; B) Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực B( x  x0 )  A( y  y0 )  x  x1 y  y1  x2  x1 y2  y1 Phương trình đường thẳng (  ) qua điểm M ( x1 ; y1 ), M ( x2 ; y2 ) : Phương trình đoạn chắn qua A(0; a), B(0; b) là: x y  1 a b 10 Phương trình chùm đường thẳng: Cho đường thẳng cắt (1 ) : a1 x  b1 y  c1  0; ( ) : a2 x  b2 y  c2  với I  (1 )  ( ) Đường thẳng (  ) qua I là: p(a1 x  b1 y  c1 )  q ( a2 x  b2 y  c2 )  với p  q  III VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG Dạng tham số:  qua  x  x1  a1t M ( x1 ; y1 ) :  (t  R)  y  y1  b1t  x  x2  a2t (t  R)  qua M ( x2 ; y2 ) :   y  y2  b2t • Nếu v1  (a1 ; b1 ) • Nếu v1  (a1 ; b1 ) // v2  (a2 ; b2 ) • Nếu a1b2  a2b1  v1  (a1 ; b1 ) // v2  (a2 ; b2 ) // M 1M   1   a1 ( y2  y1 )  b1 ( x2  x1 )  Dạng tổng quát: a1 b1 D a2 b2 v2  (a2 ; b2 )  a1b2  a2b1  1    I a b  a b  M 1M   2 1 / /  a1 ( y2  y1 )  b1 ( x2  x1 )   1 : a1 x  b1 y  c1  0; n1  (a1; b1 )    : a2 x  b2 y  c2  0; n2  (a2 ; b2 ) ; Dx  b1 c1 b2 c2 ; Dy  c1 a1 c2 a2 ; D D  1    I  x ; y   D D a a c 2 • Nếu D = Dx  Dy     1 / /  b1 b2 c2 • Nếu D   a1b2  a2b1  • Nếu D  Dx  Dy   a1 a2 c1 1     b1 b2 c2 IV GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG Dạng hệ số góc: Cho  a1a2  b1b2 1 : a1 x  b1 y  c1  0; n1  (a1; b1 ) ; cos   a12  b12  a22  b22   : a2 x  b2 y  c2  0; n2  (a2 ; b2 ) V KHOẢNG CÁCH VÀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG PHÂN GIÁC Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến  : ax  by  c  : Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online d ( M , )  ax0  by0  c a  b2 Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 10 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực  B(4;7) B(4; -5) Do d phân giác góc A, nên AB, AD hướng, suy B(4; 7) Do đó, đường thẳng BC có phương trình: x  y  16  Bài 12: (ĐHKD – 2010) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(0; 2)  đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vuông góc A  Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H đến truch hoành AH Giải: Gọi tọa độ H (a; b), ta có: AH  a  (b  2) khoảng cách từ H đến trục hoành b , suy ra: a  (b  2)2  b Do H thuộc đường tròn đường kính OA, nên: a  (b  1)  a  4b   Từ đó, ta có:  2 a  b  2b  Suy ra:  H     2;  H 2 Vậy phương trình đường thẳng  là:   1 x   y    2;   1 x   2y  Bài 13: (ĐHKB – 2011) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng  : x  y   d : x  y   Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho đường thẳng ON cắt đường thẳng  điểm M thỏa mãn OM.ON = Giải: N  d , M   có tọa độ dạng: N(a; 2a – 2), M(b; b – 4) O, M, N thuộc đường thẳng, khi: a (b  4)  (2a  2)b  b(2  a )  4a  b  4a 2a OM ON    5a  8a     a   2  (5a  6a)(5a  10a  8)   5a  6a  a   a   Vậy N (0; 2) 6 2 N ;  5 5 Bài 14: (ĐHKD – 2011) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình: x  y   Tìm tọa độ đỉnh A, C Giải: Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 22 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Gọi D ( x; y ) trung điểm AC, ta có: BD  3GD  x   3( x  1) 7    D  ;1 2   y   3( y  1) Gọi E ( x; y ) điểm đối xứng B qua phân giác d : x  y   góc A Ta có EB vuông góc với d trung điểm I EB thuộc d nên tọa độ E nghiệm hệ: 1( x  4)  1( y  1)  x  y      E (2; 5)  x  y 1 x  y       Đường thẳng AC qua D E, có phương trình: x  y  13  Tọa độ A( x; y ) thỏa mãn hệ: x  y 1   A(4;3) Suy C(3; -1)  4 x  y  13  ĐƢỜNG TRÒN I PHƢƠNG TRÌNH: Dạng tắc: (C ) : ( x  a)  ( y  b)  R  Tâm I(a; b); bán kính R 2 Dạng khai triển: 2 (C ) : x  y  2ax  2by  c   Tâm I(a; b); bán kính R  a  b2  c với a  b  c > II TIẾP TUYẾN: (C ) : ( x  a)  ( y  b)  R  Tiếp tuyến M ( x0 ; y0 )  (C ) : 2 ( x0  a)( x  x0 )  ( y0  b)( y  y0 )  (C ) : x  y  2ax  2by  c   Tiếp tuyến M ( x0 ; y0 )  (C ) : 2 x0 x  y0 y  a( x  x0 )  b( y  y0 )  c  ( D ) : Ax  By  C  tiếp xúc (I; R)  d  I , D  R III PHƢƠNG TÍCH: (C ) : x  y  2ax  2by  c  , điểm M(m, n)  P  M / (C )   m2  n2  2am  2bn  c + P > 0: M nằm + P < 0: M nằm + P = 0: M  (C ) IV TRỤC ĐẲNG PHƢƠNG: 2 (C1 ) : f ( x; y )  x  y  2a1 x  2b1 y  c1   2 (C2 ) : g ( x; y )  x  y  2a2 x  2b2 y  c2  P  M / C1   P  M / C2   f ( x; y)  g ( x; y )  2(a1  a2 ) x  2(b1  b2 ) y  (c2  c1 )  Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 23 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực V CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN A XÁC ĐỊNH PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN THEO CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CHO TRƢỚC Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(4; -1); B(3; 5) Viết phương trình đường tròn qua điểm A(2; 0); B(0; 1); C(-1; 2) Viết phương trình đường tròn qua A(2; 3); B(-1; 1) tâm thuộc đt d: x  y  11  Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 2) tiếp xúc ( D ) : x  y   Viết phương trình đường tròn qua A(1; 2) tiếp xúc ( D ) : x  y   B(-2; -1) 6.Viết phương trình đường tròn qua A(6; 3); B(3; 2) tiếp xúc D : x  y    : x  y   0; R  10 tiếp xúc D : x  y   Viết phương trình đường tròn tâm I(3; 1) cắt  : x  y   đoạn có độ dài = Viết phương trình đường tròn tâm thuộc Viết phương trình đường tròn tâm thuộc  : x  y   tiếp xúc với D1 : x  y   D2 : x  y   10 Viết phương trình đường tròn qua O(0; 0) tiếp xúc với đường thẳng D1 : x  y   D2 : x  y   11 Viết phương trình đường tròn qua A(4; 2) tiếp xúc với đường thẳng D1 : x  y  10  D2 : x  y  18  12 Viết phương trình đường tròn qua A(1; 2) giao điểm D : x  y  10  với (C ) : x  y  x  y  20  B SỰ TƢƠNG GIAO GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN (C ) : x  y  x  y   ( D ) : x  y   (C ) : x  y  x  y    ( D ) : x  y   (C ) : x  y  x  y    ( D ) : x  y   C SỰ TƢƠNG GIAO GIỮA HAI ĐƢỜNG TRÒN (C1 ) : ( I1 ; R1 ) d  I1 I   (C2 ) : 2( I , R2 ) + R1  R2  d  R1  R2 : (C1), (C2) cắt + d = R1 + R2: tiếp xúc +d= R1  R2 : tiếp xúc + d > R1 + R2: +d< R1  R2 : (C1 ) : x  y  x  y     2  (C2 ) : x  y  10 x  14 y  70  (C1 ) : x  y  x  10 y  24   2 (C2 ) : x  y  x  y  12  2 (C1 ) : x  y  x  y  15   2 (C2 ) : x  y  x  y   2  (C1 ) : x  y  x  y    2  (C2 ) : x  y  x  y   D QUỸ TÍCH TÂM ĐƢỜNG TRÒN Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 24 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực (Cm ) : x2  y  4mx  2my  2m   (Cm ) : x2  y  2em x  4em y 1  e2m  (C ) : x2  y  2(cos  2) x  2sin  y   (C ) : x2  y  2(1  cos ) x  2(1  sin  ) y  sin    E ĐƢỜNG THẲNG TIẾP XÚC ĐƢỜNG TRÒN CỐ ĐỊNH ( D ) : ( x  1)cos  ( y  1)sin    ( D ) : xcos  y sin   2cos    ( D ) : x sin   ycos  3sin   cos    ( D ) : xcos  y sin   cos   sin    ( D ) : xcos2  y sin 2  cos    F TIẾP TUYẾN VỚI ĐƢỜNG TRÒN Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C ) : x  y  x  y   với 2 Ox Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C): x  y  x  y  với x  y   2 Viết phương trình tiếp tuyến (C ) : x  y  x  y   // với x  12 y   2 Viết phương trình tiếp tuyến (C ) : x  y  x  y   // với x  y   2 Viết phương trình tiếp tuyến (C ) : x  y  x  y    với x  y   2 Viết phương trình tiếp tuyến (C ) : x  y  x  y   với x  y   2 Viết phương trình tiếp tuyến (C ) : x  y  x  y  19  tạo với đường thẳng 2 d : x  y   góc 450 Viết phương trình tiếp tuyến a Đi qua A(1; -1) đến (C ) : x  y  x  y   2 b Đi qua A(-3; 3) đến: (C ) : x  y  x  y  2 c Đi qua A(1; 3) đến (C ) : x  y  x  y   2 d Đi qua A(3; 4) đến (C ) : x  y  x  y  2 e Đi qua A(5; 7) đến (C ) : x  y  x  y   2 g Đi qua A(4; 7) đến (C ) : x  y  x  y  2 f Đi qua A(-3; -1) đến: (C ) : x  y  x  y  Cho (Cm ) : x2  y  2(m 1) x  2(m  2) y  m2  8m  13  a Tìm quĩ tích tâm I họ đường tròn b Viết phương trình tiếp tuyến qua A(1; 5) đến đường tròn (C 4) 10 Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn: (C1 ) : x  y  x  y  11  a  2 (C2 ) : x  y  x  y   c (C1 ) : x  y  10 x  24 y  56    2  (C2 ) : x  y  x  y  20  Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online (C1 ) : x  y  x  y   b  2 (C2 ) : x  y  x  y   d (C1 ) : x  y  x     2  (C2 ) : x  y  12 x  y  44  Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 25 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực 11 (C) : x2  y 1  0; (Cm ) : x2  y  2(m  1) x  4my   a Tìm quĩ tích tâm I họ đường tròn (Cm) b CMR: có đường tròn họ (Cm) tiếp xúc với (C) Viết phương trình tiếp tuyến chung G ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐƢỜNG TRÒN CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Cho 8a  6b  a  b  16 Tìm Max, S = 4a + 3b 2 Cho a  b   2(a  b) c  d  36  12(c  d ) CMR: 2   (a  c)2  (b  d )2   Cho a  b  c + d =6 Chứng minh rằng: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 c2  d  2ac  2bd  18   x  y  2(m  1)  (*)  ( x  y )    Tìm m để hệ sau có nghiệm phân biệt Chứng minh rằng:  x  my  m   2 x  y  x   x2  x1    y2  y1  Tìm m để hệ sau có nghiệm 1  x  y   2  x  y  m Tìm m để hệ có nhiều nghiệm  x   y    2  x  y  m VI MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN Bài 1: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 1) đường thẳng  : x  y   đoạn có độ dài Giải: Giả sử (C) chắn  dây cung có độ dài Từ I kẻ IH  AB H H trung điểm AB Khi đó: HA  AB  IH  d ( I ; )  Gọi R bán kính (C) ta có: R  IH  HA2    Phương trình (C) là: ( x  3)  ( y  1)  2 Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A(2; 3), B(-1; 1) có tâm nằm đường thẳng  : x  y  11  Giải: Cách 1: Gọi I; R tâm bán kính (C) Ta có: Điểm I    I (3t  11; t ) Điểm A, B  (C )  IA  IB  R  IA  IB Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 26 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực 65 7 5  (3t  9)2  (3  t )2  (3t  12)2  (1  t )2  t    I  ;   , R  2 2 2 2 7   65  Phương trình (C) là:  x     y     x  y  x  y  14  2  2  Cách 2: Giả sử (C): x  y  2ax  2by  c  Tâm I (C) I ( a; b)   2 4a  6b  c  13 (2) A; B  (C )   2a  2b  c  2 (3) 2 Từ (1); (2) & (3) ta có: a  ; b   ; c  14 Vậy (C ) : x  y  x  y  14  2 Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3) Viết phương trình đường tròn (C) qua hai điểm A, B Suy ra: a- 3b – 11 = (1) Ta có: có bán kính R  10 Giải: Gọi I(a; b) tâm (C) Từ giả thiết, ta có: IA = IB = R  10 2 2 2   b  a   IA  IB a  (5  b)  (2  a)  (3  b)     2    a  2a    IA  10 a  (5  b)  10 a  1 a  Vậy có đường tròn cần tìm là:   b  b  (C1 ) : ( x  1)2  ( y  2)2  10; (C2 ) : ( x  3)2  ( y  6)2  10 Bài 4: Viết phương trình đường tròn tâm thuộc  : x  y   0; R  10 tiếp xúc với d : x  y   Giải: • Gọi tâm I(a; 5-a)    10  R  d ( I , d )  3a  (5  a)  10  2a   10 (C1 ) : ( x  4)  ( y  1)  10  a  4; b    2  a  6; b  11 (C2 ) : ( x  6)  ( y  11)  10 Bài 5: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I   : x  y  tiếp xúc với đường thẳng d : x  y  10  điểm A(4; 2) Giải: Cách 1: Ta có tâm I    I (t ; 2t )  IA  5t  20  d ( I , d )  IA  Đường tròn (C) tiếp xúc với d A 3t  2  5t  20  (3t  2)  2(5t  20)  t 12t  36   t   I (6; 12); R  10 2 2 Vậy phương trình đường tròn (C) là: ( x  6)  y  12)  200 2 Cách 2: Gọi I, R tâm bán kính (C) Gọi d’ đường thẳng vuông góc với d A  d ' : x  y  c  A  d '  c  30  d ' : x  y  30  Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 27 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Do (C) tiếp xúc với d A nên I d ' Mặt khác I   nên tọa độ I thỏa mãn hệ 7 x  y  30   I (6; 12)  IA  10  2 x  y  Vậy phương trình (C) là: ( x  6)  y  12)  200 2 Bài 6: Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính R = tiếp xúc với đường thẳng  : x  y  31  điểm A(1; -7) Giải:  x   3t d   A(1; -7) có phương trình tham số (d):   y  7  4t Do (C) tiếp xúc với  A nên có tâm I  d  I (1  3t ; 7  4t ) Đường thẳng Mặt khác: d ( I , )  R  25t t  1  I  (2; 3)   t 1  t   I (4; 11) Vậy có hai đường tròn cần tìm là: (C1 ) : ( x  2)2  ( y  3)2  25; (C2 ) : ( x  4)2  ( y 11)2  25 Bài 7: Viết phương trình đường tròn (C) qua điểm A(6; 4) tiếp xúc với đường thẳng  : x  y   điểm B(3; 1) Giải: Gọi I; R tâm bán kính (C); đường thẳng d   B(3; 1)  d : 2( x  3)  ( y  1)   d : x  y   Do (C) tiếp xúc với  B nên tâm I  ( d )  I (t ; 2t  5) Mặt khác: IA = IB  IA  IB  (6  t )  (9  2t )  (3  t )  (6  2t )  t  2 2 2  I (4;3); R  IA  Phương trình đường tròn (C) là: ( x  4)  ( y  3)  Bài 8: Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I   : x  y   ; tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x  y   0; d : x  y   Giải:  x  1  3t :  y   4t Ta có: I    I (1  3t ;  4t ) Gọi R bán kính (C), (C) tiếp xúc với d1 d2: Phương trình tham số  d  I , d1   d  I , d   R  t 5  t   I (4;6), R   t   5t    t  1  I (2; 2), R  2 5t  Vậy (C ) : ( x  4)  ( y  6)  18 (C ) : ( x  2)  ( y  2)  2 2 Bài 9: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành A(2; 0) khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B(6; 4) Giải: Trang 28 Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Gọi I(a; b) R bán kính (C) Do (C) tiếp xúc với trục Ox A nên ta có: xI  xA   I (2; b); R  b Mặt khác: IB =  IB  25  (6  2)  (4  b)  25  (b  4)  2 2 b   I (2;7), R  Vậy có hai đường tròn cần tìm là:  b   I (2;1), R  (C1 ) : ( x  2)2  ( y  7)2  49; (C2 ) : ( x  2)2  ( y 1)2  Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x  y  10  đường tròn (C ') : x  y  x  y  20  Viết phương trình đường tròn (C) qua điểm A(1; -2) giao điểm đường thẳng d đường tròn (C’) Giải: Đường tròn (C) qua giao điểm d (C’) nên phương trình có dạng: x  y  x  y  20  m( x  y  10)  A  (C )  m   (C ) : x  y  x  y  10  Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C ) : x  y  12 x  y  36  Viết phương trình đường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục Ox , Oy đồng thời tiếp xúc với đường tròn (C) Giải: Đường tròn (C) có tâm I(6; 2), bán kính R = Gọi I1(a; b), R1 tâm bán kính (C1) (C1) tiếp xúc với hai trục Ox , Oy nên ta có: d ( I1; Oy )  d ( I1; Ox)  R1  a  b; R1  a  a  b  R1    a  b; R1  a (C1) tiếp xúc với (C) Trường hợp 1:  II1  R1  R  II12  ( R1  R)2  (a  6)2  (b  2)2  ( R1  2)2 (1) a  b; R1  a (1)  (a  6)2  (a  2)2   a    a2  16a  a  36  a  a    : vô nghiệm a  20a  36  a  12a  36   a  18  I1 (18;18), R1  18   a   I (2; 2); R2  Trường hợp 2: a  b, R1  a (1)  (a  6)2  (a  2)2   a    a  8a  a  36   a   I1 (6; 6), R1  Vậy có đường tròn cần tìm là: Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 29 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực ( x  18)  ( y  18)  324; ( x  2)  ( y  2)  4; ( x  6)  ( y  6)  36 Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm A(-1; 7), B(4; -3), C(-4; 1) Hãy viết phương trình đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC Giải: Gọi I(a; b), R tâm bán kính (C) Gọi M ( x; y ) chân đường phân giác góc A tam giác ABC Ta có: MB AB 5    MB   MC Suy điểm M chia đoạn BC theo tỉ số k   nên ta có tọa độ MC AC xB  kxC   x   k  1 1  điểm M là:   M  1;   2   y  yB  kyC   1 k  IA BA    IA  2 IM I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên IM BM xA  kxM   x   k  1 Suy điểm I chia đoạn AM theo tỉ số k = -2    I  1;   y  y A  kyM  1 k  Phương trình cạnh (AB) là: x  y    R  d  I , AB   Vậy phương trình đường tròn (C) là: ( x  1)  ( y  2)  2 Bài 13: Lập phương trình đường thẳng  qua gốc tọa độ O cắt đường tròn (C): ( x  1)  ( y  3)  25 theo 2 dây cung có độ dài Giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) bán kính R = Phương trình đường thẳng qua O là: ax  by  (a  b  0) 2 Giả sử  cắt (C) theo dây cung AB có độ dài Kẻ IH   H H trung điểm AB  HA  Tam giác IHA vuông H, ta có: d ( I , )  IH  a  3b a b 2 AB  IH  IA2  HA2  25  16  Mặt khác:   (a  3b)2  9(a  b2 )  4a  3ab  a  0; b  Suy ra: 1 : y  0;  : x  y   a  3; b  4 Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 30 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , cho đường tròn (C): x  y   x  y  20  2 điểm A(3; 0) Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A cắt đường tròn (C) theo dây cung MN cho: a MN có độ dài lớn b MN có độ dài nhỏ Giải: a Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = Dây MN lớn MN đường kính (C) Do  đường thẳng qua hai điểm A, I Phương trình  là: b Ta có: x 3 y   x  2y 3  1  IA  (4; 2)  IA  Kẻ IH  MN H Dây MN nhỏ IH lớn Ta có: IH  IA   IHmax  H  A    IA A  qua A nhận IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình: 4( x  3)  2( y  0)   x  y   Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , cho đường tròn (C): x  y  x  y   2 Viết phương trình đường thẳng  // d : x  y   chia đường tròn (C) thành hai cung mà tỉ số độ dài Giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) bán kính R =  / / d   : x  y  c  (c  7) Giả sử  chia hai đường tròn (C) thành hai cung AmB AnB cho:  sđ AnB = 1200  AIB  1200 1 0 Kẻ IH  AB  H , ta có: AIH  AIB  60  IH  IA.cos60  2 c 5 15  c  c  Mặt khác: d ( I , )  IH  2 15  0;  : x  y   Vậy có đường thẳng cần tìm là: 1 : x  y  2 Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , cho đường tròn sđ AmB = 2sđ AnB (C): x  y  x  y   có tâm I(-1; -3) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt (C) hai 2 điểm phân biệt A B cho tam giác IAB có diện tích lớn Giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; -2), bán kính R = Phương trình đường thẳng d qua M có dạng: a( x  1)  b( y  3)  (a  b  0)  ax  by  a  2b  Diện tích tam giác IAB là: S   MaxS  IA.IB sin   , với   AIB   (0;  ) 2  đạt sin      2 Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 31 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Kẻ IH  AB  H , ta có: AIH    AIB   IH  IA.cos  Măt khác: 4 d ( I , d )  IH  2(2a  b)  9(a  b )  7b  8ab  a   b  a  a  7b Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: d1 : x  y   0; d : x  y  10  VII TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƢỜNG TRÒN Cho (C1 ) : ( x  a1 )2  ( y  b1 )2  R12 (C2 ) : ( x  a2 )2  ( y  b2 )2  R22 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) (C2) Phƣơng pháp tổng quát: (C1) có tâm I1(a1; b1) bán kính R1 (C2) có tâm I2(a2; b2) bán kính R2 Xét  : Ax  By  C  ( A  B  0) tiếp tuyến chung (C1) (C2) 2 Aa1  Bb1  C Aa  Bb2  C d ( I , )  R1    R1 ;  R2 A2  B A2  B d ( I , )  R2 Từ suy hệ phương trình ẩn A, B, C Giải ẩn theo ẩn rút gọn (Ví dụ: giải A, C theo B) suy phương trình tiếp tuyến chung (C 1) (C2) Ví dụ: Cho (C1 ) : x2  y  (C2 ) : x2  y  x   Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) Giải: (C1) có tâm I1(0; 0) bán kính R1 = (C2) có tâm I2(3; 0) bán kính R2 = Xét  : Ax  By  C  ( A  B  0) tiếp tuyến chung (C1) (C2) 2 A.0  B.0  C 3A  B.0  C d ( I , )  R1    3; 1 A2  B A2  B d ( I , )  R2 9A  C  C  A2  B (1)  C  A  3C    C  3A  C    2 C   A  C  C   A  A  C  A  B (2)  9A Xét C   Từ hệ thức (1) suy ra:  3A 5  A2  B2  A2  A2  B  A2  B  B   A A0 4 9 Ay  A   x  y    2x  y   2 2 9A Xét C   Từ hệ thức (1) suy ra: 3A   A2  B  A2  A2  B  A2  B   A  B   Vô lý 16 16  : Ax  Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 32 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Phƣơng trình tiếp điểm: Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) M  x0 ; y0   (C1 ) , ( x0  a1 )2  ( y0  b1 )2  R12 (1) Và tiếp xúc  C2   d  I ,    R2  ( x0  a1 )(a2  x0 )  ( y0  b1 )(b2  y0 ) ( x0  a1 )2  ( y0  b1 )2  R2 (2) Từ (1) & (2) 2  ( x0  a1 )  ( y0  b1 )  R1    ( x0  a1 )(a2  x0 )  ( y0  b1 )(b2  y0 )  R1.R2 Giải hệ  tọa độ M  x0 ; y0   Phương trình tiếp tuyến Ví dụ: Cho (C1 ) : x2  y  (C2 ) : x2  y  x  y   Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) Giải: (C1) có tâm I1(0; 0) bán kính R1 = (C2) có tâm I2(1; 1) bán kính R2 = Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) M  x0 ; y0   (C1 ) , x02  y02  (1) Và phương trình tiếp tuyến có dạng:  : x0 x  y0 y   Đường thẳng  tiếp xúc với (C2)  d ( I , )  R2  x0  y0  x02  y02 1  x0  y0   y0   x0  x0  y0   x02  y02      x0  y0   y0   x0 Kết hợp với  x0  2; y0   tiếp tuyến chung là: x  y = x02  y02     x0  0; y0  Phƣơng pháp xét trƣờng hợp vị trí tƣơng đối đƣờng tròn TH1: I1 I  R1  R2  (C1) (C2)  có tiếp tuyến chung - Nếu R1 = R2 tiếp tuyến chung // I1I2, tiếp tuyến chung cắt K trung điểm I 1I2 - Nếu R1  R2 tiếp tuyến chung cắt J tiếp tuyến chung cắt K TH2: I1 I  R1  R2  (C1) (C2) tiếp xúc Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online  có tiếp tuyến chung Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 33 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực - Nếu R1 = R2 tiếp tuyến chung // I1I2, tiếp tuyến chung qua tiếp điểm K trung điểm I 1I2 vuông góc với I1I2 - Nếu R1  R2 tiếp tuyến chung cắt J tiếp tuyến chung qua điểm K TH3: R1  R2  I1I  R1  R2  (C1) (C2) cắt  có tiếp tuyến chung - Nếu R1 = R2 tiếp tuyến chung // I1I2 - Nếu R1  R2 tiếp tuyến chung cắt J TH4: I1I  R1  R2  ( C1) (C2) tiếp xúc  có tiếp tuyến chung - Nếu R1  R2 (C1) (C2) có tiếp tuyến chung tiếp điểm K đường tròn - Nếu R1 = R2 đường tròn trung TH5:  vô số tiếp tuyến chung I1I  R1  R2  (C1) (C2) nằm  tiếp tuyến chung Cách xác định tọa độ điểm J, K: Ta có: KI1 R1 JI1 R R    KI1   KI ; JI1  JI  Tọa độ điểm J, K KI R2 JI R2 R2 Phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) phương trình tiếp tuyến qua J, K (C1) (C2) • Sau tìm tọa độ J, K ta viết phương trình tiếp tuyến chung theo phương pháp sau: Cách 1: Đường thẳng qua J là: Tiếp xúc với  : A( x  xJ )  B( y  yJ )  ( A2  B2  0) (C1 )  d ( I1; )  R1  A(a1  xJ )  B(b  yJ ) A2  B  Tính B theo A tính A theo B, rút gọn   Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online  R1 Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 34 Tọa độ mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Cách 2: Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) M ( x0 ; y0 ) , ( x0  a1 )2  ( y0  b1 )2  R12 (1) Và phương trình  có dạng: ( x0  a1 )( x  x0 )  ( y0  b1 )( y  y0 )  (2) Điểm J    ( x0  a1 )( xJ  x0 )  ( y0  b1 )( y J  y0 )  (3) Từ (1) & (3)  tọa độ M  x0 ; y0   Phương trình tiếp tuyến (C1 ) : x2  y  x   (C2 ) : x2  y  8x  12  Ví dụ 1: Cho Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2) Giải: (C1) có tâm I1(-2; 0); R1 = 1; (C2) có tâm I2( 4; 0); R1 = Ta có: I1 I   R1  R2  (C1 ) (C2 ) nên có tiếp tuyến chung Hai tiếp tuyến cắt J, tiếp tuyến chung cắt K Ta có: KI1 R1 JI1 1    KI1   KI ; JI1  JI  K  O(0;0); J (8;0) KI R2 JI 2 Đường thẳng qua J có phương trình  : A( x  8)  By  ( A  B  0) tiếp xúc với (C1 )  d  I1;     A(2  8)  B.0 A2  B 2 1  A  A2  B  35 A2  B  B   35 A  A  () : A( x  8)  By   A( x  8)  35 Ay   x  35 y   Đường thẳng qua K có phương trình:  : Ax  By  ( A  B  0) tiếp xúc với (C1)  d  I1 ;     A(2  0)  B.0 A2  B 2 1  A  A2  B  A2  B  B   A  A   : Ax  By   x  y  (C1 ) : ( x 1)2  ( y 1)2  ( x  2)2  ( y  3)2  16 Viết phương trình tiếp tuyến chung Ví dụ 2: Cho (C1) (C2) Giải: (C1) có tâm I1(1; 1); R1 = 1; (C2) có tâm I2(-2; -3), bán kính R2 = Ta có: I1 I   R1  R2  (C1 ) (C2 ) tiếp xúc K nên có tiếp tuyến chung Hai tiếp tuyến chung cắt J Ta có: KI1 R1 JI1 1 2 1  7    KI1   KI ; JI1  JI  K  ;  ; J  2;  KI R2 JI 2 5 5  3 Đường thẳng qua J là: Tiếp xúc với (C1)  A B  7   : A( x  2)  B  y    ( A2  B  0) 3   d  I1 ;      A2  B    7 A(1  2)  B 1    3 A2  B 1 B  AB   B   B  24 A Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 35 CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực - Tọa độ mặt phẳng 24 24  7 A  A    : A( x  2)  A  y     x  24 y  30  7  3 Với B =  A    : A( x  2)   x  Với B Đường thẳng qua  1 K  ;  có vectơ pháp tuyến I I1  (3; 4) có phương trình : x  y   5 Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 36 [...]... đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 21 Tọa độ trong mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực  B(4;7) hoặc B(4; -5) Do d là phân giác trong của góc A, nên AB, AD cùng hướng, suy ra B(4; 7) Do đó, đường thẳng BC có phương trình: 3 x  4 y  16  0 Bài 12: (ĐHKD – 2010) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho điểm A(0; 2) và  là đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên  Viết phương trình... Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 19 Tọa độ trong mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực 3 5  11 3  ( x; y)   ;  hoặc ( x; y)   ;   2 2  2 2  11 3   3 5   3 5   11 3  Vậy B  ;  , C  ;   hoặc B  ;   , C  ;   2 2 2 2 2 2  2 2 Giải hệ ta được: Bài 8: (ĐHKD – 2009) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB Đường... Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 20 Tọa độ trong mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực • Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình Suy ra 3x  4 y  7  0  3x  4 y  13  0  10 3  C ;   3 4 Bài 10: (ĐHKA – 2010) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC...Tọa độ trong mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực 2 Cho  1 : a1 x  b1 y  c1  0; n1  (a1; b1 ) cắt nhau thì phương trình 2 đường phân giác   : a x  b y  c  0; n  ( a ; b )   2 2 2 2 2 2 2 a1 x  b1 y  c1 a x  b2 y  c2  2 a12  b12 a22  b22 VI Ví Dụ Bài 1: Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; -2) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm... ;  5 5 Bài 14: (ĐHKD – 2011) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình: x  y  1  0 Tìm tọa độ các đỉnh A, C Giải: Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 22 Tọa độ trong mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Gọi D ( x; y ) là trung điểm của AC, ta... a2 ) x  2(b1  b2 ) y  (c2  c1 )  0 Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 23 Tọa độ trong mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực V CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN A XÁC ĐỊNH PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN THEO CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CHO TRƢỚC 1 Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(4; -1); B(3; 5) 2 Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(2; 0); B(0; 1);... đường tròn cần tìm là: Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 29 Tọa độ trong mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực ( x  18) 2  ( y  18) 2  324; ( x  2) 2  ( y  2) 2  4; ( x  6) 2  ( y  6) 2  36 Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm A(-1; 7), B(4; -3), C(-4; 1) Hãy viết phương trình đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC Giải: Gọi I(a; b),... ra: 1 : y  0;  2 : 3 x  4 y  0  a  3; b  4 Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi THPT QG Online Tổng đài tư vấn: 0977.543.462 Trang 30 Tọa độ trong mặt phẳng CASIO EXPERT: Nguyễn Thế Lực Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , cho đường tròn (C): x  y  2  x  4 y  20  0 2 2 và điểm A(3; 0) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A và cắt đường tròn (C) theo một dây... y  5  0 53 04 Vậy giao điểm I của phân giác ngoài góc BAC với BC là nghiệm của hệ:  x  2 y  5  0  x  17   I (17;6)  y  6 y  6 Một số đề thi đại học cần quan tâm Bài 6: (ĐHK A – 2009) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng  : x ... y – 5 = 0 + x  7  IE  (0; 4) phương trình AB: x  4 y  19  0 Bài 7: (ĐHKB – 2009) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x  y  4  0 Xác định tọa độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18 Giải: Gọi H là hình chiếu của A trên  , suy ra H là trung điểm của BC AH  d ( A, BC )  2S 9 ; BC  ABC  4 2 AH