PROJECT 3: RECONSTRUCTION OF SIGNALS FROM SAMPLES

PROJECT 3: RECONSTRUCTION OF SIGNALS FROM SAMPLES EXERCISE 3.1: Fitting a Sine Wave Gỉa sử tín hiệu x(t)=Acos(ωt+φ) ,ta biết giá trị x(0),x(1),x(2).Dựa vào đồ thị ta có hệ phương trình : 2 = Acosφ  1 = A cos(ω + φ ) − = A cos(2ω + φ )  Từ hệ phương trình ta có :  φ = ± arccos + k1 2π A   ω = ± arccos ± arccos + k 2π A A  ω = π + k 2π  3ω + 2φ = π + k 2π Nhận thấy hệ phương trình luôn giải được.Gỉa sử với A=1 ta có 2=cos(φ) (vô lý) Với A=2 hệ có vô số nghiệm.Ta đưa nghiệm có dạng (ω1=π/3, φ1=0) (ω2=π/3+2π, φ2=0) ta có với nghiệm thứ : xlabel('Nghiem 1'); grid; t=0:0.01:2; x1=2*cos((pi/3)*t); % ham omega=(1/3)pi plot(t,x1,'g'); Với nghiệm thứ : xlabel('Nghiem 2'); grid; t=0:0.01:2; x2=2*cos((2*pi+pi/3)*t); % ham omega=(2+1/3)pi plot(t,x2); EXERCISE 3.2: Linear and Polynomial Interpolation A.Kết nối tín hiệu mẫu đề hàm plot.thời gian delta t =0.01s x=[0,1,2]; y=[2,1,-1]; plot(x,y);hold on; stem(x,y); B.Nhân chập mẫu cho với xung tam giác ,sử dụng đáp ứng xung (0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,0.8,0.6,0.4,0.2),chèn điểm vào tín hiệu a=0:0.2:2 b=1-abs(a-1); x=[0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2]; y=[2,0,0,0,0,1,0,0,0,0,-1]; conv(b,y); plot(conv(b,y));grid;hold on; stem(conv(b,y)) Nội suy tuyến tính với giả thiết mẫu t=-1 t=3 x=-1:1:3; y=[0 -1 0]; plot(x,y); Ta thấy kết hoàn toàn giống C.Từ điểm cho,ta xác định đa thức bậc t=([0 2]); x=([2 -1]); p=polyfit(t,x,2); k=-5:0.1:5; y=p(1)*k.^2+p(2)*k+p(3); plot(k,y); grid; EXERCISE 3.3: Ideal Low-Pass Filtering Ta có hàm cửa sổ miền tần số hàm sin(x)/x miền thời gian.Do công thức nhân chập công thức nhân chập miền thời gian tín hiệu x(tl) với tín hiệu mạch lọc thông thấp lí tưởng để thu tín hiểu khôi phục ,từ khôi phục lại tín hiệu gốc Ta có hàm truyền đạt : ezplot('sin(pi*(x)/(1/10))/(pi*(x)/(1/10))',[-2,2]),axis([-2 -1 1]);grid; đồ thị hàm sin(x)/x cho 1l chạy tu -10 tới 10 với tín hiệu ban đầu a=sin(2*pi*t+pi/4) Dùng công thức nhân chập đề với fs=10Hz hold on ezplot('sin(2*pi*1*(-10)/10+pi/4)*sin(pi*(x 10*1/10)/(1/10))/(pi*(x 10*1/10)/ (1/10))+sin(2*pi*1*(-9)/10+pi/4)*sin(pi*(x 9*1/10)/(1/10))/(pi*(x 9*1/10)/ (1/10))+sin(2*pi*1*(-8)/10+pi/4)*sin(pi*(x 8*1/10)/(1/10))/(pi*(x 8*1/10)/ (1/10))+sin(2*pi*1*(-7)/10+pi/4)*sin(pi*(x 7*1/10)/(1/10))/(pi*(x 7*1/10)/ (1/10))+sin(2*pi*1*(-6)/10+pi/4)*sin(pi*(x 6*1/10)/(1/10))/(pi*(x 6*1/10)/ (1/10))+sin(2*pi*1*(-5)/10+pi/4)*sin(pi*(x 5*1/10)/(1/10))/(pi*(x 5*1/10)/ (1/10))+sin(2*pi*1*(-4)/10+pi/4)*sin(pi*(x 4*1/10)/(1/10))/(pi*(x 4*1/10)/ (1/10))+sin(2*pi*1*(-3)/10+pi/4)*sin(pi*(x 3*1/10)/(1/10))/(pi*(x 3*1/10)/ (1/10))+sin(2*pi*1*(-2)/10+pi/4)*sin(pi*(x 2*1/10)/(1/10))/(pi*(x 2*1/10)/ (1/10))+sin(2*pi*1*(-1)/10+pi/4)*sin(pi*(x 1*1/10)/(1/10))/(pi*(x 1*1/10)/ (1/10))+sin(2*pi*1*(0)/10+pi/4)*sin(pi*(x-0*1/10)/(1/10))/(pi*(x-0*1/10)/(1/10)) +sin(2*pi*1*(1)/10+pi/4)*sin(pi*(x-1*1/10)/(1/10))/(pi*(x-1*1/10)/(1/10)) +sin(2*pi*1*(2)/10+pi/4)*sin(pi*(x-2*1/10)/(1/10))/(pi*(x-2*1/10)/(1/10)) +sin(2*pi*1*(3)/10+pi/4)*sin(pi*(x-3*1/10)/(1/10))/(pi*(x-3*1/10)/(1/10)) +sin(2*pi*1*(4)/10+pi/4)*sin(pi*(x-4*1/10)/(1/10))/(pi*(x-4*1/10)/(1/10)) +sin(2*pi*1*(5)/10+pi/4)*sin(pi*(x-5*1/10)/(1/10))/(pi*(x-5*1/10)/(1/10)) +sin(2*pi*1*(6)/10+pi/4)*sin(pi*(x-6*1/10)/(1/10))/(pi*(x-6*1/10)/(1/10)) +sin(2*pi*1*(7)/10+pi/4)*sin(pi*(x-7*1/10)/(1/10))/(pi*(x-7*1/10)/(1/10)) +sin(2*pi*1*(8)/10+pi/4)*sin(pi*(x-8*1/10)/(1/10))/(pi*(x-8*1/10)/(1/10)) +sin(2*pi*1*(9)/10+pi/4)*sin(pi*(x-9*1/10)/(1/10))/(pi*(x-9*1/10)/(1/10)) +sin(2*pi*1*(10)/10+pi/4)*sin(pi*(x-10*1/10)/(1/10))/(pi*(x-10*1/10)/(1/10))',[1,1]) ta thu tín hiệu khôi phục: B.Ta có tín hiệu đầu vào xung Durac,để tính tín hiệu đầu ta thực sau: nhân chập miền thời gian nhân thường miền tần số Trong miền tần số xung durac đường thẳng có tung độ 1,do nhân thường miền thời gian xung durac với hàm cửa sổ hàm sổ đó,còn chuyển sang miền tần số hàm dạng sin(x)/x C.Từ điểm đưa 3.1 : x(0)=2;x(1)=1;x(2)=-1 với tần số lẫy mẫu f=1 Hz ezplot('2*sin(pi*x)/(pi*x)+1*sin(pi*(x-1))/(pi*(x-1))+-1*sin(pi*(x-2))/(pi*(x-2))', [0,2]) Ta nhận thấy tín hiệu sau khôi phục gần giống với tín hiệu khôi phục nghiêm 3.1 với việc chọn tần số lẫy mẫu hợp lí (thỏa mãn định lí lấy mẫu shannon) EXERCISE 3.4: Choice of Assumed Bandwith Ta có với lọc thông thấp lí tưởng có tần số cắt fB tín hiệu có tần số fmax=fB lọc cho qua hoàn toàn,nên tín hiệu khôi phục hoàn toàn t=-1:0.1:1; nn=-42:0.1:42; y=zeros(1,10); for i=-10:9 y=[y, 1-abs(t), zeros(1,19)]; end y=[y,1-abs(t),zeros(1,10)]; size(y); stem(nn,y); plot(nn,y);axis([-42 42 -1 1]);grid; xlabel('XUNG TAM GIAC') sau biến đổi fourier ngược sang miền thời gian tín hiệu trở thành : Tần số fB=1Hz f=-1:0.01:1 y=1-abs(f); a=ifft(y,202); plot(a,f); [...]...C.Từ 3 điểm được đưa ra trong bài 3. 1 : x(0)=2;x(1)=1;x(2)=-1 và với tần số lẫy mẫu là f=1 Hz ezplot('2*sin(pi*x)/(pi*x)+1*sin(pi*(x-1))/(pi*(x-1))+-1*sin(pi*(x-2))/(pi*(x-2))', [0,2]) Ta nhận thấy tín hiệu sau khi khôi phục gần giống với tín hiệu khôi phục của nghiêm 1 bài 3. 1 với việc chọn tần số lẫy mẫu hợp lí (thỏa mãn định lí lấy mẫu shannon) EXERCISE 3. 4: Choice of Assumed Bandwith