Đề thi học sinh giỏi môn toán 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 - 2008 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT Bài 1 ( 5 điểm ): Cho biểu thức: P(x) = 15 11 3 2 2 3 2 3 1 3 x x x x x x x − − + + − + − − + a) Rút gọn biểu thức P(x). b) Tính giá trò của x để P(x) = 1 2 . c) Chứng minh rằng P(x) ≤ 2 3 với mọi x ≠ 1 và x ≥ 0 Bài 2 ( 5 điểm ): Cho phương trình có ẩn x (m là tham số): x – mx + m – 1 = 0 1. Chứng tỏ phương trình có nghiệm x 1 , x 2 với ∀ m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trò của m tương ứng. 2. Đặt 2 2 1 2 1 2 6B x x x x= + − a) Chứng minh B = m 2 – 8m + 8 b) Tính giá trò nhỏ nhất của B và giá trò của m tương ứng. Bài 3 ( 4 điểm ): a) tính giá trò của biểu thức: M = x + y, biết: ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2008x x y y+ + + + = b) giải hệ phương trình: 1 1 1 1 x y x y + =    + =   Bài 4 ( 3 điểm ): Cho đường tròn tâm O, dây AB < 2R. Gọi C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây CD và CE cắt dây AB lần lượt tại hai điểm M và N. Chứng minh rằng: a) Tứ giác DENM nội tiếp. b) Cho AN = BM. Chứng tỏ rằng tứ giác DENM là hình thang. Bài 5( 3 điểm ): Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm E ∈ AB, điểm D ∈ AC. Kẻ DF // CE (F ∈ AB), kẻ EM // BD (M ∈ AC). Chứng minh rằng: FM // BC. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Bài 1 (5 điểm): ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 1 0,25 đ a) P(x) = ( ) ( ) 15 11 3 2 2 3 1 3 1 3 x x x x x x x − − + − − − + − + 0,25 đ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15 11 3 2 3 2 3 1 1 3 x x x x x x x − − − + − + − − + 0,25 đ = ( ) ( ) 15 11 3 7 6 2 3 1 3 x x x x x x x − − − + − − + − + 0,25 đ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 5 5 7 2 3 1 3 1 x x x x x x x x − − − + − = + − + − 0,25 đ = 2 5 3 x x − + 0,25 đ b) Để P(x) = thì 2 5 3 x x − + = 0,25 đ  ( ) ( ) 2 5 2 3x x− = + 0,25 đ  -10 - = 3 – 4  -11 = -1 0,25 đ  x = 0,25 đ Vậy khi x = thì P(x) = c) Để P(x) ≤ thì 2 5 2 3 3 x x − ≤ + 0,25 đ  2 5 2 0 3 3 x x − − ≤ + 0,25 đ  ( ) 6 15 6 0 3 3 x x x − − − ≤ + 0,50 đ  ( ) 16 0 3 3 x x − ≤ + 0,25 đ Do x ≥ 0 và x ≠ 1 nên 3( x + 3) > 0 0,50 đ => -16 x ≤ 9 0,25 đ Vậy ( ) 16 0 3 3 x x − ≤ + ∀ x ≠ 1 và x ≥ 0 0,25 đ Bài 2 (5 điểm): Phương trình: x – mx + m – 1 = 0 (*) 1. ∆ = (–m) 2 – 4.1.(m – 1) = m 2 – 4m + 4 0,50 đ = (m – 2) 2 ≥ 0 0,25 đ Vậy (*) luôn luôn có nghiệm x 1 , x 2 ∀ m 0,25 đ * phương trình đã cho có nghiệm kép ⇔ 0 0 a ≠   ∆ =  0,25 đ ⇔ (m – 2) 2 = 0 ⇔ m = 2 0,25 đ Nghiệm kép: x 1 = x 2 = ( ) 2 1 2.1 2 2 m m− − = = = 0,25 đ 2. a) Ta có: 2 2 1 2 1 2 6B x x x x= + − ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 6B x x x x x x= + − − 0,50 đ ( ) 2 1 2 1 2 8B x x x x= + − (1) 0,25 đ Theo đònh lí Vi–ét thì: 1 2 1 2 ( ) 1 1 1 1 m x x m m x x m − −  + = =    −  × = = −   (2) 0,50 đ Thay (2) vào (1) có: B = m 2 – 8(m –1) = m 2 – 8m +8 (đpcm) 0,50 đ b) B = m 2 – 8m +8 = (m 2 – 8m +16) – 8 0,25 đ = (m – 4) 2 – 8 0,25 đ Vì (m – 4) 2 ≥ 0 ⇒ (m – 4) 2 – 8 ≥ –8 0,50 đ Vậy giá trò nhỏ nhất của B là – 8 0,25 đ Dấu “=” xảy ra ⇔ m – 4 = 0 ⇔ m = 4 0,25 đ Bài 3 (4 điểm): a) Ta có: ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2008x x y y+ + + + = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2008 2008 2008 2008 2008x x y y x x x x+ + + + − + = − + 0,50 đ ⇔ ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2008 2008y y x x− + + = − + 0,25 đ ⇔ y = – x + 2 2 2008 2008x y+ − + 0,25 đ Tương tự ta cũng có: x = – y + 2 2 2008 2008y x+ − + 0,25 đ Vậy: x + y = – x + 2 2 2008 2008x y+ − + – y + 2 2 2008 2008y x+ − + 0,25 đ ⇔ x + y = – x – y ⇔ x + y = – (x + y) ⇔ x + y = 0 0,25 đ Vậy: với ( ) ( ) 2 2 2008 2008 2008x x y y+ + + + = thì M = x + y = 0 0,25 đ b) Phương trình: 1 1 1 1 x y x y + =    + =   Giải: Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0 0,25 đ Nhân vế theo vế hai phương trình của hệ đã cho ta được: ( ) 1 1 1x y x y   + + =  ÷   0,25 đ ⇔ (x + y)(x +y) = xy 0,25 đ ⇔ (x + y) 2 – xy = 0 0,25 đ ⇔ x 2 + xy + y 2 = 0 0,25 đ ⇔ 2 2 3 0 2 4 y y x   + + =  ÷   0,25 đ Ta có: 2 2 3 0 2 4 y y x   + + >  ÷   ∀ x ≠ 0, y ≠ 0 0,25 đ Vậy hệ đã cho vô nghiệm. 0,25 đ Bài 4 (3 điểm): Vẽ hình, ghi GT và KL đúng 0,25 đ Ta có: · » ¼ ( ) = + 1 2 DMB sd AC DEB 0,25 đ (Góc có đỉnh bên trong đường tròn) Và · ¼ 1 2 DEN sd DAC= 0,25 đ (Tính chất góc nội tiếp) ⇒ · · » ¼ ¼ 2 AC DEB DAC DMB DEN sd + + + = 0,25 đ Hay · · » » » » » 2 AC DE EB DA AC DMB DEN sd + + + + + = Mà » » AC CB= (gt) 0,25 đ Nên » » » » » ( ) 0 360sd AC DE EB DA AC+ + + + = Vậy · · DMB DEN+ = 180 0 Mà · DMB và · DEN là hai góc đối ⇒ tứ giác DENM nội tiếp. 0,25 đ Do AN = BM (gt) ⇒ AM + MN = BN + MN 0,25 đ ⇒ AM = BN Mà » » AC CB= (gt) ⇒ AC = CB (Quan hệ giữa cung và dây) 0,25 đ ⇒ ∆ CAM = ∆ CBN (c.g.c) 0,25 đ ⇒ · · ACM BCN= (hai góc tương ứng) ⇒ » » AD BE= (tính chất góc nội tiếp của một đường tròn) ⇒ · · BAE DEA= (tính chất góc nội tiếp) 0,25 đ Mà hai góc BAE và DEA ở vò trí so le trong nên AB // DE. Mà MN ∈ AB ⇒ MN // DE 0,25 đ Vậy tứ giác DENM là hình thang 0,25 đ N M C O A B D E N M C O A B D E Bài 5 (3 điểm): Vẽ hình và ghi GT, KL đúng 0,25 đ Do DF // CE (gt) nên AF AD AE AC = (theo đ/l Ta–let) 0,50 đ ⇒ AF.AC = AD.AE (1) 0,50 đ Do EM // BD (gt) nên AE AM AB AD = (theo đ/l Ta–let) 0,25 đ ⇒ AM.AB = AD.AE (2) 0,25 đ Từ (1) và (2) ⇒ AF.AC = AM.AB 0,25 đ ⇒ AF AM AB AC = 0,50 đ ⇒ FM // BC (Đònh lí Ta–lét đảo) 0,50 đ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– M F A B C E D . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 - 2008 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT Bài 1 ( 5 điểm ): Cho biểu. x − ≤ + 0,25 đ Do x ≥ 0 và x ≠ 1 nên 3( x + 3) > 0 0,50 đ => -16 x ≤ 9 0,25 đ Vậy ( ) 16 0 3 3 x x − ≤ + ∀ x ≠ 1 và x ≥ 0 0,25 đ Bài 2 (5 điểm):