toan

các định lý cơ bản về đạo hàm các định lý cơ bản về đạo hàm 1. Cực trị địa phương: Hàm số y=f(x) xác định trên (a,b), x 0 (a,b) gọi là điểm cực đại (cực tiểu) địa phương của y = f(x) trên (a,b) nếu tồn tại >0 sao cho: f(x)f(x 0 ) (a,b) mà | x x 0 | < .( f(x) f(x 0 ) (a,b) mà | x - x 0 | < ). Điểm x 0 tại đó hàm f(x) đạt cực đại (cực tiểu) gọi là điểm cực trị. 2. Định lý (Fecma): Nếu hàm f(x) đạt cực trị địa phương tại x 0 mà tại đó y=f(x) có đạo hàm thì f(x) = 0. Chøng minh Chøng minh Hµm sè f(x) ®¹t cùc ®¹i trªn t¹i x 0 ∈(a,b) => ∀ x∈ (a,b) ta cã f(x)≤f(x 0 ) * Víi a < x < x 0 ta cã * Víi x 0 < x < b ta cã - 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 => khi x x 0 , f'(x ) lim 0 f x f x f x f x x x x x − − ≥ ⇒ → = ≥ − − + 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 => khi x x 0 , f'(x ) lim 0 f'(x ) 0. f x f x f x f x x x x x − − ≤ ⇒ → = ≤ − − ⇒ = 3. Định lý (Rôn) 3. Định lý (Rôn) Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b). Khi đó tồn tại ít nhất 1 điểm c (a,b) để f(c) = 0. Chứng minh: Vì f(x) liên tục trên [a,b] nên theo định lý Vâyơxtrat f(x) đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn [a,b] Nếu m=M thì f(x)= m = M x [a,b], do đó f(x) = 0 x (a,b) . Khi đó lấy c là bất kỳ điểm x (a,b). Nếu m<M thì f(a) # m hoặc f(a) # M giả sử f(a) = f(b) # m. Theo đl Vâyơxtrat tồn tại ít nhất 1 điểm c [a,b] sao cho f(c) = 0 vì c # a và c # b nên c (a,b), theo đl Phecma f(c) = 0 4. Định lý Lagrăng 4. Định lý Lagrăng Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b) và f(a)=f(b). Thì đó tồn tại ít nhất 1 điểm c (a,b) sao cho để f(b)-f(a) = f(x 0 )(b a). Chứng minh: áp dụng định lý Rôn f(x) đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn [a,b] Nếu m=M thì f(x)= m = M x [a,b], do đó f(x) = 0 x (a,b) . Khi đó lấy c là bất kỳ điểm x (a,b). Nếu m<M thì f(a) # m hoặc f(a) # M giả sử f(a) = f(b) # m. Theo đl Vâyơxtrat tồn tại ít nhất 1 điểm c [a,b] sao cho f(c) = 0 vì c # a và c # b nên c (a,b), theo đl Phecma f(c) = 0 Chứng minh: Chứng minh: Vì f(x) liên tục trên [a,b] nên theo đl Vâyơxtrat f(x) đạt giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên đoạn [a,b] Nếu m=M thì f(x)= m = M x [a,b], do đó f(x) = 0 x (a,b) . Khi đó lấy c là bất kỳ điểm x (a,b). Nếu m<M thì f(a) # m hoặc f(a) # M giả sử f(a) = f(b) # m. Theo đl Vâyơxtrat tồn tại ít nhất 1 điểm c [a,b] sao cho f(c) = 0 vì c # a và c # b nên c (a,b), theo đl Phecma f(c) = 0 Các định lý về giá trị trung bình: Các định lý về giá trị trung bình: 3. Định lý (Rôn): Giả sử hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b). Khi đó tồn tại ít nhất 1 điểm c (a,b) để f(c) = 0. Định lý (Lagrăng): Cho hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) và f(a)=f(b). Khi đó tồn tại ít nhất 1 điiểm c (a,b) sao cho f(b) - f(a) = f(c)(b - a)  §Þnh lý (C«si): Cho hµm f(x) vµ g(x) liªn tôc trªn [a,b], kh¶ vi trªn kho¶ng (a,b) vµ g’(x) ≠ 0. Khi ®ã tån t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm c ∈(a,b) sao cho )(' )(' )()( )()( cg cf agbg afbf = − − Quy t¾c L«pitan. Quy t¾c L«pitan. • §Þnh lý : Cho hµm f(x) vµ g(x) liªn tôc trªn (a,b)\{x 0 }, x 0 ∈[a,b] vµ g’(x) ≠ 0 ∀ ∈ (a,b) \{x 0 }. Gi¶ sö r»ng: hoÆc Khi ®ã nÕu giíi h¹n h÷u h¹n hoÆc v« h¹n th× 00 0)(lim)(lim xx xg xx xf → = → = 00 )(lim)(lim xx xg xx xf → ∞= → = 0 )(' )(' xx A xg xf Lim → = 0 )( )( xx A xg xf Lim → =