Giới Hạn Của Hàm Số

Giới Hạn Của Hàm Số

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Trang Định nghĩa ☺Hđ : Xét hàm số 2x − 2x f ( x) = x −1 Cho biến x giá trị khác bảng sau: x f(x) x =4 x1 = x2 = 3 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x4 ) x4 = f ( x5 ) n +1 xn = n →1 f ( xn ) →? Khi đó, giá trị tương ứng hàm số : f(x1), f(x2),… ,f(xn),…cũng lập thành dãy số Kí hiệu (f(xn)) a,chứng minh 2n + f ( xn ) = xn = n b,Tìm giới hạn dãy số (f(xn)) 2, CMR : với dãy số bất kì(xn), xn#1 có f ( xn ) → xn → , ta ∀n ∈ N * a, xn − xn xn ( x − 1) f ( xn ) = = = xn xn − xn − n +1 Thay xn = n b, (1) 2n + vào (1) ta : f ( xn ) = xn = lim( f ( xn )) = lim xn = ×1 = 2, Dãy số xn , xn#1 xn → x − x x( x − 1) f ( x) = = = 2x = x −1 x −1 Do : lim f ( xn ) → ■ ta có : Ta nói x dần tới hàm số : 2x − 2x f ( x) = x −1 dần tới (Hay giới hạn 2) b/ Định nghĩa : Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số y = f(x) xác định K K\ { x0 } Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn L x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kỳ, xn k\ {x0 } x → x0 , ta có f(xn)  L ký hiệu: lim f ( x) = L hay f ( x) → L x → x0 x → x0 Ví dụ : cho hàm số x2 − f ( x) = x+2 CMR : lim f (x) = −4 x →−2 Giải Hs cho xác định R\ {2} Giả sử (xn)là dãy số kì t/m xn ≠-2, xn → −2 n → +∞ Ta có: xn − ( xn + 2)( xn − 2) lim f ( xn ) = lim = lim = lim( xn − 2) = −4 xn + xn + Do lim f ( x) = −4 x →−2 => đpcm Ví dụ 2: Tính giới hạn lim x = ? x→ lim x = x →2 lim = ? x→ Giải lim = x→ Qua ví dụ ta có nhận xét sau : NHẬN XÉT : lim x = xo x → xo Với c số lim c = c x →x o Ví dụ : cho hàm số sau f ( x) = x + x +1 g ( x) = x−2 Nhóm : Tính lim f ( x) = ? x →1 lim g ( x) = ? x →1 lim( f ( x) + g ( x)) = ? (1) x →1 lim( f ( x) − g ( x)) = ? (2) x →1 lim( f ( x).g ( x)) = ? (3) x →1 f ( x) lim =? (4) x→ g ( x) Nhóm 2: Tính limf(x) + limg(x) = ? x →1 (a) x →1 lim f ( x) − lim g ( x) = ? (b) x →1 x →1 lim f ( x).lim g ( x) = ? x →1 x →1 lim f (x) x→ lim g ( x ) x→ (c) = ? (d) Hãy so sánh kết sau cho nhận xét : (1) với (a) (2) với (b) (3) với (c ) (4) với (d) Định lý giới hạn hữu hạn : Định lý : Giả sử lim f ( x) = L x → x0 lim g ( x) = M x → x0 lim [f ( x) + g ( x)]=L+M x → x0 lim [f ( x) − g ( x)]=L-M x → x0 lim [f(x) ×g(x)]=L ×M x → x0 f ( x) L lim = x → x0 g ( x ) M Nếu M ≠ Khi đó: b) Nếu f(x) > lim x → x0 lim = L L ≥ x → x0 f ( x) = L (Dấu f(x) xét khoảng tìm giới hạn với x ≠ x0 ) Ví dụ 1: x +1 • Cho hàm số f(x) = x giải Tìm lim f ( x) x →3 x +1 x + lim lim f ( x) = lim = x →3 x →3 x →3 x lim x 2 x →3 = lim x ×lim x + lim1 x →3 x →3 x →3 lim × lim x x →3 x →3 ×3 + = = 3 Ví dụ Tính x + x −2 lim x →1 x −1 Giải Vì (x-1) 0 x 1, nên ta chưa thể áp dụng định lý nêu Nhưng với x ≠ 1, ta có: x + x − ( x − 1)( x + 2) = = x+2 x −1 x −1 Do đó: x + x− ( x − 1)( x + 2) lim = lim = lim( x + 2) = x→ x→ x→ x−1 x−1 3/ Giới hạn bên : a) Định nghĩa :  Cho hàm số y =f(x) xác định khoảng (xo; b) Số L gọi giới hạn bên phải với dãy số (xn) hàm số y = f(x) x → x0 bất kỳ, x0