Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn V SỐ PHỨC Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 2i i i 2i a/ Z = i + (2-4i) + (3 – 2i) b/ Z = c/ Z = (2 – 3i)(2 + 3i) e/ Z = ( 3i) d/ Z = i(2 – i)(3 + i) f/ Z = (2 – 3i)3 g/ Z = i i 1 i i ĐS: a/ 5; e/ -7; h/ Z = + (1 + i) + (1+i)2 +… +(1 + i)20 b/ 3/26; - 67/26 c/ 13; f/ -46; g/ d/ 1; 2 1 ; h/ -1024; 1025 2 Bài 2: Chứng minh số phức sau số thực: z 2i 3 2i 3i 3i Bài 3: Cho số phức z = x + iy Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a/ u = z2 – 2z + 4i ĐS: a/ x2 – y2 – 2x; 2xy – 2y + Z i iZ i xy y2 x2 1 ; b/ x ( y 1) x ( y 1) b/ V = Bài 4: Phân tích biểu thức sau thành thừa số phức a/ 2a2 với a R b/ 4a2 9b2 với a, b R ĐS: a/ ( 2a 3i)( 2a 3i) b/ (2a 3bi)(2a 3bi) Bài 5: Cho hai số phức z a bi w c di a/ Tìm phần thực phần ảo số phức z.w b/ Tìm phần thực phần ảo số phức z w ĐS: a/ Phần thực: ac – bd; Phần ảo: ad + bc b/ Phần thực: ac bd ac bd ; Phần ảo: 2 c d c d2 Bài 6: Tìm phần thực phần ảo ( dạng đại số ) số phức sau : a/ ( + 2i ) + 5( – i ) – 2( – i ) b/ ( + i )2 – ( – i )2 c/ i i i 1 i ĐS: a/ Phần thực : 2; Phần ảo : -1 b/ Phần thực : 0; Phần ảo : c/ Phần thực : 1 ; Phần ảo: Bài 7: Cho hai số phức z = a + bi w = c + di Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn a/ Tìm điều kiện a, b, c, d để z + w ảo b/ Tìm điều kiện a, b, c, d để z.w số thực ĐS: a/ a + c = b + d b/ ad + bc = Bài 8: Tìm số thực x,y biết: a/ ( 2x -3 )- (3y+1)i = ( 2y+ 1) + (3x -7) b/ x(1+2i) +y(2 – i) = 2x + y +2yi +ix ĐS: a/ x = 2; y = b/ x = y = Bài 9: Thực phép tính: a/ (11 – 6i) – (2 – 4i)2 c/ b/ (2 4i )(3 i) 2i 2i d/ (1 – 2i)2 – (2 – 3i)(3 + 2i) i 2 i c/ d/ -15 + i 2 5 Bài 10: Cho số phức: z1 3i ; z i ; z3 3i ; z 1 ĐS: a/ 23 + 10i b/ i a/ Biểu diễn số phức lên mặt phẳng phức b/ Tính mơđun tìm argumen số phức c/ Tìm số phức liên hợp,số phức đối, số phức nghịch đảo số phức ĐS: a/ A(1;-3); B(1;1); C(0;- ); D(3;0) b/ z1 có mơđun r1=2; argumen = z3 có mơđun r3= ; argumen = z4 có mơđun r4=1; argumen = z2 có mơđun r2= ; argumen = c/ z1 3i; z1 1 3i; z11 (1 3i); z2 i; z2 1 i; z2 1 (1 i) z3 3i; z3 3i; z31 3i; z4 1; z4 1; z4 1 1 ) Bài 11: Tìm bậc hai số phức sau: a/ -15+8i b/ -i d/ -4 e/ 1+4 i ĐS: a/ (1 4i) (1 i ) e/ 2 3i b/ c/ 4i f/ 4+6 5i c/ 2(1 i) d/ 2i f/ 3 5i Bài 12: Giải phương trình sau: a/ x2 – 2x + = b/ x2 + (1 + i)x – (1 – i) = c/ x2 – 6x + 25 = d/ x2 – 4x + = e/ x3 + = f/ z2 + (3 – 2i)z + – 5i = g/ 3x + (2 + 3i)(1 – 2i) = + 4i h/ z2 = z + i/ x4 – 3x2 + = j/ (z2 + i)(z2 – 2iz – 1) = Gia sư Thành Được ĐS : a/ x = 2i d/ x = 3i www.daythem.com.vn b/ x = (1 i ) ( 2 i 2) e/ Z = -2; Z = 3i i 7 i ); x = ( i) i/ x = ( 2 2 g/ x = + c/ x = 4i f/ Z = -1 +3i; Z = -2 – i 2 2 j/ Z = (1 – i); Z = (-1 +i); Z =i 2 h/ Z = Bài 13: Lập phương trình bậc hai có nghiệm : a/ i i b/ a + bi a – bi ĐS: a/ x2 (1 2)(1 i) x 3i b/ x2 2ax a2 b2 Bài 14: Tìm số phức B để phương trình : z2+ Bz +3i =0 có tổng bình phương hai nghiệm ĐS: B (3 i) Bài 15: Biết z1, z2 nghiệm phương trình : 2x2 3x Tính z14 z24 ĐS: 16 Bài 16: Tìm số phức z biết: a/ Z z số ảo b/ Z phần thực hai lần phần ảo ĐS: a/ z = 2i b/ z = (2 i 5) Bài 17:Tìm hai số phức biết tổng chúng – i tích chúng 5( –i) ĐS: 3+ i – 2i Bài 18: Giải phương trình sau: 2i 3i Z 1 i 2i d/ Z + Z a/ b/ [( i) Z i](iZ )0 2i e/ Z2 + Z f/ (Z – i)(Z2 + 1)(Z3 + i) = g/ (Z2 + Z)2 + 4(Z2 + Z) – 12 = ĐS: a/ Z = 22 i 25 25 b/ Z = -1 + i; Z = c/ Z + Z = – 4i h/ Z4 – Z3 + i 2 i f/ Z = i; Z = -i; Z = 1 i h/ Z = i ; Z = d/ Z = 0; Z = - 1; Z = Bài 19: Trong Z, giải phương trình sau : a/ ( + 3i )z = z – b/ (2 i) z c/ (iz )( z 3i) d/ z2 + = c/ Z = Z2 +Z + = 2 4i e/ Z = 0; Z = i; Z = -i g/ Z = 1; Z = -2; Z = 23i Gia sư Thành Được ĐS: a/ Z = www.daythem.com.vn i 10 10 i 5 d/ Z = 2i b/ Z = c/ Z = -i; Z = + 3i Bài 20:Giải phương trình : 2z3 – 9z2 + 14z – = ĐS: z1 z2,3 i ; Bài 21: Giải hệ phương trình : z w 4i 2 z w 2i z 3i ĐS: w1 2i z2 2i w2 i Bài 22: Tính luỹ thừa sau: a/ (2 +3i)2 b/ [(4 + 5i) – (4 + 3i)]5 d/ (1 + i)2008 c/ ( i 3) 2 f/ ( i e/ (1 – i)2009 3 ) ĐS: a/ b/ 32i c/ - - 6i d/ 21004 e/ (1 – i)21004 f/ Bài 23: Chứng minh : 3(1 i)100 4i(1 i)98 4(1 i)96 Bài 24: Tính : a/ ( i) d/ ( b/ ( i 20 ) 1 i i 2004 ) i 1 c/ ( e/ (1 i ) (1 i ) b/ ĐS: a/ - 26 c/ 221 d/ (1 - i ) e/ Bài 25: Chứng minh số sau số thực : 12 3i b/ i f/ - 1008 24 324 ĐS: a/ -4096 b/ 4096 Bài 26: Cho hai số phức: z1 i 3; z2 i a/Viết z1 ; z2 dạng lượng giác b/ Tính z z1 z2 c/ Tính z20 i sin( ) ) i sin ) ; z2 cos( 4 3 7 7 b/ z = 2(cos i sin ) 12 12 c/ z (1 i 3) ĐS: a/ z1 = 2(cos 2i ) 21 f/ (1 + i)8 +(1 – i)20 1002 2i a/ i 3i Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn Bài 27: Viết số phức sau dạng lượng giác: a/ Z = -1 + i d/ Z = cos i sin c/ Z = (cos i sin ) b/ Z = + 3i 1 i 1 i 2 2 i sin ) b/ Z = 4(cos 3 e/ Z = (1 - i ) (1 + i) 2 2 i sin ) ĐS: a/ Z = 2(cos 3 5 5 c/ Z = (cos i sin ) 4 f/ Z = d/ Z = cos( ) i sin( ) ) i sin( 6 7 7 ) i sin( )] 12 12 12 12 3 3 5 5 Bài 28: Cho hai số phức : z1 2(cos i sin ) ; z 2(sin i cos ) 4 12 12 z1 a.Tính z1.z2 và viết kết dạng đại số z2 e/ Z = 2[cos( )] f/ Z = 2[cos( b Tìm phần thực phần ảo z1 z2 Biểu diễn z1, z2 lên mặt phẳng phức 5 5 z1.z2 2(cos i sin ) 2i 6 ĐS: a/ z1 2 2 2(cos i sin ) i) z2 3 2 Bài 29: Tìm mơđun argumen số phức : cos i sin z (0 ) cos i sin ĐS: r , = i tan Bài 30: Tính i tan ĐS : cos 2 i sin 2 Bài 31: Tính cos5x theo cosx; sin5x theo sinx ĐS: cos5x=16cos5x-20cos3x+5cosx ; sin5x = 16sin5x – 20 sin3x +5sinx Bài 32: Tìm tập hợp ảnh M số phức z cho (4+3i)z + i –m =0 (m số thực) ĐS: Tập hợp ảnh M đường thẳng : 3x + 4y + = Bài 33: Cho A,B,C,D bốn điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số (3 3)i; 2+(3+ 3)i ; 1+3i ; 3+i Chứng minh điểm A,B,C,D nằm đường tròn ĐS: Đường tròn tâm I(3;3) ,bán kính R =2) z1 z2 i 2 z1 z2 2i Bài 34: Giải hệ phương trình: ĐS: Nghiệm hệ: (1+2i;3-i) ; (3-i ; +2i)) Bài 35: Tìm tập hợp điểm M biểu diển số phức z thoả điều kiện: a z i b z i z c z z d.1 z i e z 4i z 4i 10 ĐS: a Đường tròn tâm I(1;-1),bk R=2 b Đường thẳng 4x + 2y +3 =0 c Nửa mặt phẳng bên phải trục tung.d Hình vành khuyên tâm (-1;1),bk nhỏ r=1;bk lớn R=2 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn e x ( y 4)2 x ( y 4)2 10 elip có tiêu cự 8, trục lớn 10 có pt: x2 y2 1 25 im m(m 2i ) a.Tìm m để z.z b.Tìm m để z i Bài 36: Cho số phức z = c Tìm số phức z có mơ đun lớn b/ m ĐS: a/ m = 15 c/ m=0 , z= i 15 Bài 37: Cho z= cos + isin ( R ) a.Chứng minh rằng: zn 1 cos n ; z n n 2i sin n n z z (HD : Sử dụng công thức Moa-vrơ) b.Chứng minh : cos4 = sin5 = (cos4+ 4cos2 +3) (sin5 - 5sin3 + 10sin) 16 ( HD : Áp dụng câu a,thay n =1) Bài 38: Cho số phức z i Tính số phức : z , z2, z , + z + z2 2 1 i ; + z + z2 = i 4 2 Bài 39: Tìm số phức z z z ĐS: z = 0, z = i, z = i ) Bài 40: Giải phương trình sau : a/(z – i)(z2 + 1)(z3 + i) = b/(z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = ĐS: z i i ,z 2 b/ z = 1, z = 2, z 1 23i ,z 1 23i 2 Bài 41: Viết số phức sau dạng lượng giác ĐS: a/ z = i, z = i, z a/1 – 3i b/ 2i ĐS : a/ cos isin b/ cos isin 2 4 3 Bài 42: Giải phương trình bậc hai sau tập số phức a/2x2 – 3x + 10 = b/x2 – 4x – = c/x – (5 + 4i)x + 4(1 + i) = Bài 43: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau : Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn a/ cos150o isin150o b/ cos isin 3 c/ cos 5 isin 5 6 d/ cos210o isin 210o Bài 44: Tìm mơđun argument số phức: z 1 i 1 i 7 , argument z ) 12 Bài 45: Tìm bậc hai a + I, ( a ) Tìm điểm biểu diễn ĐS: mơđun z a2 a i ĐS: z1,2 ( a2 a ) Điểm biểu diễn M ( x ; y) ( H ) : y 2x Bài 46: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 (1 i)(2 i) ; z2 3i ; z3 1 3i Chứng minh tam giác ABC vuông cân A Hướng dẫn : A ( ; -1 ) ; B ( ; ) ; C ( -1 ; -3 ) AB AC 20 ; BC 40 AB AC BC Bài 47: Chứng minh số số z 1 số thực z số thực z 1 z 1 z 1 số ảo z z 1 z 1 Bài 48: Chứng minh số phức z số ảo ĐS:: z z z 2 = 2x z z z 2 số thực ( với x phần thực z ) Bài 49:Chứng minh công thức : (1 i)n (Cn0 Cn2 Cn4 ) (Cn1 Cn3 Cn5 )i Bài 50: Chứng minh : a/ i i i3 i99 i100 Hướng dẫn : nhóm số hạng đặt thừa số chung 3 5 5 i)( i) 2(cos i sin ) b/ ( i 2)( 2 2 12 12 Hướng dẫn : nhân dạng lượng giác thừa số vế trái đẳng thức z 3i =1 z có argumen Bài 51: Tìm số phức z cho z i ĐS : z 1 2i