Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức Quỹ tích Bài 1: D09 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện Giải:... Cho số phức.[r]
(1)Sưu tầm số phức các đề thi Đại Học Câu VIIa: (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + … + (1 + i)20 Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i) Giải: Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo số phức 3 i 1 1 2i 23 i 8i Giải: Ta có: 1 i 2i i 1 i i 2 2i 3 i 2i 2 10i Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10 Bài 3: (A10) Tìm phần ảo số phức z, biết Giải: Ta có: z 2i z i 2i 5 2i z 5 1 2i 2i Phần ảo số phức z bằng: 2 3i z i z 3i Bài 4: (CD10) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tìm phần thực và phần ảo z a R, b R Giải: Gọi z = a + bi Đẳng thức đã cho trở thành : 6a 4b 8 a 2a 2b 6 b 5 Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn i i z 8 i 2i z Tìm phần thực và phần ảo z Ta có: i i z 8 i 2i z z 2i i 2i 8 i z z 1 i i 2i 8 i i i 2i 2 3i 2i Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 Dạng tìm môđun số phức Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn Giải: 1 z 3i 1 i Tìm môđun số phức z iz (2) 8 z 4i z 4i 1 i Do đó z iz 8 z iz 4i 4i i 8i 1 Ta có: 3i Vậy Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 1: (D10) Tìm số phức z thỏa mãn: Giải: z 2 và z là số ảo 2 2 a R, b R Gọi z = a + bi , ta có: z a b và z a b 2abi 2 a b 2 a 1 2 a b 0 b 1 Yêu cầu bài toán tỏa mãn và khi: a 1 b 1 Vậy các số phức cần tìm là: + i; – i; -1 + i; -1 – i Bài 2: (B09) Tìm số phức z thỏa mãn: z i 10 và z.z 25 Giải: a R, b R Gọi z = a + bi , Ta có: z i a b 1 i; Từ giả thiết ta có: a b 25 và z.z 25 a 3 a 5 b b 0 Giải hệ (1) và (2) ta Vậy các số phức cần tìm là: z 3 4i z 5 Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z z 0 Giải: x R, y R Gọi z = x + yi , đó z z 0 x yi x y 0 z i 10 a b 1 10 x y x y xyi 0 x y x y 0 2 xy 0 1 (3) x 0 x 0 y y y 0 y 0 y 0 x 1 x x 0 x 0 y 0 x 0, y 0 y 0 y 1 x 0, y 1 y 0 x 0, y x 0 x 0 x x 0, y 0 Vậy các số phức cần tìm là: z 0; z i; z i Giải phương trình trên tập hợp các số phức Bài 1: (CD10) Giải phương trình z i z 3i 0 trên tập hợp các số phức Giải: Phương trình có biệt thức i 3i 24 10i 5i Phương trình có hai nghiệm là: z 1 2i và z 3i Bài 2: (A09) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z z 10 0 Tính giá trị biểu 2 A z1 z2 thức Giải: 2 Ta có: 2 4.10 36 36i Phương trình có hai nghiệm là: z1 3i và z2 3i z1 1 32 10 Vậy và z1 1 2 3 10 A z1 z2 20 z 7i z 2i z i Bài 3: (CDA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: Giải: Điều kiện: z Phương trình đã cho tương đương với z 3i z 7i 0 Phương trình có biệt thức 3i 7i 3 4i i Phương trình có hai nghiệm là: z 1 2i và z 3 i Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích) Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện Giải: z 4i 2 (4) x R, y R z 4i x 3 y i Gọi z = x + yi , ta có: x 3 Từ giả thiết ta có: 2 2 y 2 x 3 y 4 Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z i 1 i z Giải: x R, y R Gọi z = x + yi , ta có: z i i z x y 1 i x y x y i 2 x y 1 x y x y x y y 0 x y 1 2 Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = n 2 2 n Câu VII.a (1 điểm) Chứng minh a bi (c di) thì a b (c d ) Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình sau tập số phức: z – z 6z – 8z –16 0 z w zw 8 2 z w Câu VII.a: (1 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình: z 2(2 i) z 4i 0 trên tập số phức Câu 6b: Giải phương trình 2z iz 1 0 trên tập số phức Cho số phức z i 2 Hãy tính: + z + z2 z i z i 1 Câu VII a Tìm số phức z thỏa mãn Câu 6.2b Giải phương trình sau tập số phức C: z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = CÂU VI Giải hệ pt: z1 z z 4 2i 2z1 z z 2 5i z 2z 3z 9 2i z iz 1 2i Giải phương trình sau trên tập số phức C: Hãy xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn 1 z Giải phương trình sau trên tập C: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) – 12 = (5) x iy 2z 10 x y 2iz 20 ix 3iy (1 i)z 30 Giải hệ phương trình: Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x(3 + 5i) + y(1 – 2i)3 = + 32i Câu VIIa (1 điểm): Tìm phần thực số phức z = (1 + i)n, đó n là số tự nhiên và thỏa mãn log n 3 log n 4 Câu VIIb (1 điểm) Tìm số phức z có môđun thỏa mãn Câu VIIb (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn | z 2i | nhỏ z2 z2 z2 z z3 z2 z 0 trên tập số phức Câu VIIa (1 điểm): Giải phương trình: Câu VIIa (1 điểm) Cho z1, z2 là các nghiệm phức phương trình 2z2 – 4z + 11 = 2 z1 z 2 Tính giá trị biểu thức (z1 z ) Câu VIIa (1,0 điểm) Giải phương trình trên tập hợp C: (z2 + i)(z2 – z ) = z i 1 Câu VIIb (1 điểm) Giải phương trình trên tập hợp C: i z Câu VIIa (1 điểm) Giải phương trình trên tập số phức: (z z)(z 3)(z 2) 10 Câu VII.a (1,0 điểm) Cho z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình z z 11 0 Tính giá trị biểu z1 z2 2 thức A = ( z1 z2 ) Câu 7a (1 điểm) Tìm các số thực a, b, c để có: Từ đó giải phương trình: z 2(1 i)z Tìm môđun các nghiệm đó z Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: z3 2(1 i)z2 4(1 i)z 8i ( z ai)(z bz c) 4(1 i)z 8i 0 trên tập số phức (1 i )2009 z 2i 0 (1 i )2008 trên tập số phức Câu VII.b: (1 điểm) Giải phương trình z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0., biết phương trình có nghiệm ảo Câu VII.b (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: z 5 và phần thực z hai lần phần ảo nó CHUYÊN ĐỀ : SỐ PHỨC DẠNG : BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC (6) I VÍ DỤ : Ví dụ : Đề thi ĐH khối D năm 2010 Tìm số phức z thoả mãn : | z | = 2 và z2 là ảo 2 2 ; z x y 2xy.i Bài giải : Gọi z = x+y.i, ta có z x y Theo đề ta có : Vậy số phức cần tìm là z1 = 1+ i, z2 = 1-i, z3 = -1 + i, z4 = -1 – i II BÀI TẬP LUYỆN THI : Bài : Tìm số phức z thoả mãn ĐS : z = 3+4i và z = z (2 i) 10 và z.z 25 ( ĐH_B_ 2009 ) Bài : Cho hai số phức z1 và z2 thoả mãn | z1 | = 3; | z2 | = ; | z1 – z2| = HDG: Đặt z1 = x1 + i.y1 và z2 = x2 + i.y2 Từ giả thiết ta có : z1 x12 y12 9 2 z x y 16 2 (x x ) (y1 y ) 37 z 2 x y 2 x 1 2 x y 0 y 1 37 Tìm số phức z z1 z2 x12 y12 x 22 y 22 37 x1 x y1 y (y x x y ) x y x y (x x y y ) 144 36 108 1 2 2 z1 z1 z z1 z x1 x y1 y (y1 x x1 y ).i 6 3.i 3 3.i z2 z2 z2 16 16 z2 DẠNG : BÀI TOÁN VỀ MÔ ĐUN CỦA SỐ PHỨC 2 I PP : Số phức z = x+i.y có mô đun là z x y II VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ : Đề thi ĐH khối A năm 2009: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = | z1|2 + | z2|2 Bài giải : phương trình z2 + 2z + 10 = có hai nghiệm phức là : z1 3i; z2 3i Khi đó : 2 2 z1 z ( 1) ( 3) 10 z1 z 10 z 10 A z1 z 20 III BÀI TẬP LUYỆN THI : Bài : Cho hai số phức z1 và z2 thoả mãn z1 z2 1; z1 z HDG: Đặt z1 = x1 + i.y1 và z2 = x2 + i.y2 Từ giả thiết ta có : Tính | z1-z2| 2 2 x1 y1 x y 1 2(x1 y1 x y ) 1 z1 z (x1 x ) (y1 y ) (x1 x ) (y1 y ) 4(x1y1 x y ) 3 1 2 (x x ) (y y ) 2 Vậy | z1-z2| = Bài : Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình 2z2 - 5z + = Tính giá trị biểu thức A = | z1|4 + | z2|4 Bài : Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z2 - 4z + = Tính giá trị biểu thức A = | z1|3 + | z2|3 Bài : Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z2 - 6z + 25 = Tính giá trị biểu thức A 1 z1 z Bài : Cho số phức z thoả z (1 3i)3 1 i Tìm môđun số phức z +iz ĐS : DẠNG : CÁC YẾU TỐ CẤU THÀNH SỐ PHỨC (7) I VÍ DỤ : Ví dụ : Đề thi CĐ khối A,B,D năm 2009 Cho số phức z thoả mãn (1+i)2(2-i)z = 8+i+(1+2i)z Xác định phần thực và phần ảo z i (8 i)(1 2i) 10 15i (1 2i)z 8 i z 2 3i 2i 12 22 Bài giải : Ta có (1+i) (2-i)z = 8+i+(1+2i)z Vậy số phức z đã cho có phần thực là : và phần ảo là : -3 Ví dụ : Đề thi ĐH khối A 2010 Tìm phần ảo số phức z biết z ( i) (1 z ( i) (1 2i) (1 2i)(1 2i) 2i Bài giải : Ta có : Vậy phần ảo z là Ví dụ : Tìm hai số thực x và y thoả mãn: x(3+5i)+y(1-2i)3 = 9+14i Bài giải : Ta có : x(3+5i)+y(1-2i)3 = 9+14i II BÀI TẬP LUYỆN THI : 2i) 5 2i z 5 (3x-11y) +(5x+2y)i = 9+14i Bài : (Đề thi CĐ A,B,D 2010) Cho số phức z thoả z (2 3i)z (4 i)z (1 3i) 3x 11y 9 5x 2y 14 x 172 / 61 y / 61 Tìm phần thực và phần ảo HDG: (2 3i)z (4 i)z (1 3i) z = -2+5i Vậy phần thực : -2 và phần ảo : Bài : Cho hai số phức z1 = 1+2i và z2 = 2-3i Xác định phần thực và phần ảo số phức Z3 = (z1-2z2)2 và z4 = z1.z2 Bài : Tìm các số nguyên x,y cho số phức z = x+y.i thoả mãn: z3 = 18+26i HDG: (x+y.i)3 = 18+26i Vậy x = và y = x 3xy 18 18(y3 3yx ) 26(x 3xy ) y 3yx 26 Đặt y = tx, ta t = 1/ DẠNG :BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC I VÍ DỤ : Ví dụ : Đề thi ĐH D-2009 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | z –(3-4i)| = Bài giải : Biểu diễn số phức z = x + yi với x,y là các số thực điểm M mp Oxy Ta có : z –(3-4i) = (x-3)+(y+4)i Khi đó : 2 2 | z –(3-4i)| = (x 3) (y 4) 2 (x 3) (y 4) 4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3;-4) và bán kính R = II BÀI TẬP LUYỆN THI : Bài : (Đề thi ĐH B 2010) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | z – i| = |(1+i)z| HDG: Biểu diễn số phức z = x + yi với x,y là các số thực điểm M mp Oxy Ta có : z – i = x + (y-1)i và (1+i)z = (x-y) + (x+y)i Khi đó | z – i| = |(1+i)z| x (y 1) (x y) (x y) x (y 1) 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0;-1) và bán kính R = Bài : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện a) ĐS : a) Đường thẳng 6x+8y-25 = z z 4i ; z i 1 z i b) b) Truc thực Ox (8) Bài : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2 (1 i 3)z biết số phức z ĐS: Hình tròn (x 3) (y 3) 16 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI SỐ PHỨC (Phần 2) Dạng Biểu diễn hình học số phức Câu 1: Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa món điều kiện sau: thoả mãn điều kiện a) z z 4 b) c) (2 z)(i z) là số thực tựy ý z z i 2 d) (2 z)(i z) là số ảo tựy ý; z i z z 2i e) ; Bài 2: Trong mp phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z biết a 2z +1 = z + i - 3 b z - 2 + z + 2 = 10 b c z i z 3i d 2|z – i| = |z - z + 2i| , , , Câu 3: a Các điểm A,B,C và A , B , C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số i , 3i , i và 3i, 2i , 2i , , , Chứng minh hai tam giác ABC và A B C có cùng trọng tâm Cõu : Cho ABCD là hình bình hành với A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức i , 3i , i Tìm số phức z có điểm biểu diễn là D Dạng Giải các hệ sau trên tập số phức: z 1 z Câu 1: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời : z z i 1 z 3i 1 Câu 2: Tìm số phức z thỏa i z 2i z 0 z z i Câu 3: Tìm sụ́ phức z thỏa mãn : z z 8i Câu 4: Tìm sụ́ phức z thỏa mãn : z 2i z 0 z z i Câu 5: Tìm sụ́ phức z thỏa mãn : x y 1 x y 5 Câu 6: Giải hệ sau trên tập số phức: z 2i 2 z i và (9) Câu Giải hợợ̀ phương trình sau trên tập số phức : z 12 z 8i z 1 z (10)