đại số 11 hàm số lượng giác

Tìm tập xác định của hàm số y= f x : Thực hiện theo một trong hai hướng sau.. • Đoán số thực T >0 có thể là chu kỳ của hàm số hoặc cũng có thể là bội nguyên của chu kỳ... ⇒ F x =mf x

KI ẾN THỨC CHUẨN BỊ Đường tròn lượng giác :

1 Công th ức cung liên kết :

1 Hai cung đối nhau (a , -a)

3 hai cung ph ụ nhau (a , −a

3

2 1 2

1

2 3

2 2

1 2

a a

a a

a a

cot)

cot(

tan)

tan(

cos)

cos(

sin)

a a

a a

a a

tan)

2cot(

cot)

2tan(

sin)

2cos(

cos)

2sin(

a a

a a

a a

a a

cot)

cot(

tan)

tan(

cos)

cos(

sin)

4 Hai cung hơn kém nhau π (a ,π +a) 5 Hai cung hơn kém nhau

2 Công thức nhân đôi :

3 Công th ức nhân ba : 4 Công thức hạ bậc hai :

4 Công th ức hạ bậc ba : 6 Công th ức biến đổi tích thành tổng

7 ông thức biến đổi tổng thành tích :

a a

a a

a a

a a

cot )

cot(

tan )

tan(

cos )

cos(

sin )

sin(

= +

= +

−

= +

−

= +

ππππ

a a

a a

a a

a a

tan )

2 cot(

cot )

2 tan(

sin )

2 cos(

cos )

2 sin(

−

= +

−

= +

−

= +

= +

ππππ

b a

b a

b a

b a b

a b

a

b a b

a b

a

tantan1

tantan

)tan(

sinsincos

cos)

cos(

sincoscos

sin)

a

a a

a a

a a

a Cos

x x

a a

a a a

Sin

cot2

1cot2

cottan

1

tan22

tan

sin211cos2sin

cos2

)cos(sin

11)cos(sin

cossin22

2 2

2 2

2 2

2 2

=

=

a

a a

a Tan

a a

a Cos

a a

a Sin

2 3 3

3

tan31

tantan

33

cos3cos

43

sin4sin

33

Tan

a a

Cos

a a

Sin

2cos1

2cos1

2

2cos12

2cos1

2

2 2

3

4

3sinsin

3

3

3

a a

a Cos

a a

a Sin

) cos(

) cos(

2

1 sin

sin

) cos(

) cos(

2

1 cos cos

b a b

a b

a

b a b

a b

a

b a b

a b

a

− +

+

=

−

− +

−

=

− +

+

=

b a

a b b

a b

a

b a b

a

b a b

a b

a b

a b

a b

a

b a b

a b

a b

a b

a b

a

sin.sin

)sin(

cotcot

cos.cos

)sin(

tantan

2sin.2cos2sinsin

2cos.2sin2sinsin

2sin.2sin2cos

cos2

cos.2cos2coscos

=

−

−+

=+

−+

−

=

−

−+

=+

HÀM S Ố LƯỢNG GIÁC

A Tóm tắc lý thuyết :

I Hàm s ố y = sinx :

• Miền xác định : D = R

• y= sinxlà hàm số lẻ trên R {vì D là mi ền đối xứng và sin(-x) = - sinx}

• y= sinxtuần hoàn với chu kỳ 2π {vì sin(x + k2π ) = sinx v ới ∀k∈Z }

• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = sinx trên

khoảng (0 , π)

Đồ thị của :y= sinx

II Hàm s ốy= cosx :

• Miền xác định : D = R

• y= cosxlà hàm số chẵn trên R {vì D là mi ền đối xứng và cos(-x) = cosx}

• y= cosxtuần hoàn với chu kỳ 2π {vì cos(x + k2π ) = cosx v ới ∀k∈Z }

• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y = cosx trên

π

−

π π

− 3

k ,

π

• y= tanxlà hàm số lẻ trên R {vì D là mi ền đối xứng và tan(-x) = tanx}

• y= tanxtuần hoàn với chu kỳ π {vì tan(x + kπ) =tanx v ới ∀k∈Z }

• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y= cotxtrên khoảng (-

• y= cotxlà hàm số lẻ trên R {vì D là mi ền đối xứng và cot(-x) = cotx}

• y= cotxtuần hoàn với chu kỳ π {vì cot(x + kπ) = cotx v ới ∀k∈Z }

• Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên của hàm số y= cotxtrên khoảng (0 , π)

2

π

π 2

π

2π

π 2 π

π

B Các d ạng toán :

1 Tìm tập xác định của hàm số y= f x( ) : Thực hiện theo một trong hai hướng sau

• D là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa

• Tìm tập hợp S của x để f x( )không có nghĩa , từ đó có tập xác định là D = R\S

Nếu f(x) =

) (

) ( 2

1

x f

x f

thì điều kiện f(x) có nghĩa là







≠ 0 ) (

~

)

(

).

( 2

2 1

x f

a i ngh có x f và x f

~

)

( 2

1

x f

a i ngh có x f

x

=

− i.

1 2 sin cot 3

x y

d Hàm số xác định sin 1 0 sin 1 sin 1 2

1 sin

2

x x x

π

Ví d ụ 2:(Dạng nâng cao) Cho hàm số : 4 4

sin cos 2 sin cos

Khi đó ta có bảng xét dấu của f t( ) như sau :

Từ bảng xét dấu trên ta thấy :

Vậy hàm số xác định trên toàn trục số khi 1 1

) 1 3 ( tan

y= sin x+cos x− msinx cosx

Tìm giá trị của tham số m để hàm số xác định vơi ∀x∈R (ĐS: –

x x

D ạng 1:Chứng minh hàm số y= f x( )có tính ch ất tuần hoàn

• Đoán số thực T >0 ( có thể là chu kỳ của hàm số hoặc cũng có thể là bội nguyên của chu kỳ)

• Biến đổi đẳng thức (2) để có được mâu thuẫn với giả thiết (1)

• Mâu thuẫn trên chứng tỏ TO là số thực dương bé nhất thỏa mãn tính chất tuần hoàn của hàm số

mâu thuẫn với (1)vì k∈Z

Do đó không có số dương T nào nhỏ hơn π thỏa điều kiện f x T( + ) = f x( ), ∀ ∈x R

Vậy hàm số y= f x( ) = sin 2x có chu kỳ T =π

Bình luận:Để có thể dẫn đến mâu thuẫn thì ta phải xét

4

x=π để sin 2 sin 1

2

x= π =

(t ức là luôn chọn giá trị cho x để vế phải của (*) bằng 1

Dạng 3:Xác định chu kỳ của hàm số lượng giác bất kỳ.(sử dụng các chú ý sau)

Các chú ý c ần nhớ về chu kỳ của hàm số lượng giác :

• Các hàm số y = sin(ax + b) + c và y = cos(ax + b) + c (với a ≠ 0)

tuần hoàn với chu kỳ T =

a

π2

• Các hàm số y = tan(ax + b) + c và y = cot(ax + b) + c (với a ≠ 0)

tuần hoàn với chu kỳ T =

a

π

• Giả sử f x( ) và g x( ) tuần hoàn với chu kỳ tương ứng là Tf , Tg

⇒ ( )F x =mf x( ) +ng x( )tuần hoàn với chu kỳ: T = BSCNN(Tf ,Tg)

• Trong trường hợp hám số chứa các số hạng chứa các hàm lượng giác bậc cao

hoặc có dạng tích ta cần dùng công thức hạ bậc hoặc công thức tích thành

tổng trước khi đi tìm chu kỳ

• Nếu f x( ) tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành (nếu có) tại những

điểm cách đều nhau

Bài t ập áp dụng :

Bài 1: Chứng minh rằng hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2π

Bài 2: Hàm số nào sau đay có tính chất tuần hoàn Xác định chu kỳ của nó (nếu có)

d) f x( )= sinx + sin(x 2)

HD: không tuần hoàn vì 2 ∉Q nên không có khái niệm bội số chung e) f x( )= tan x

HD: nếu f tuần hoàn thì đồ thị của chúng cắt trục hoành tại những

điểm cách đều nhau f) f x( )= sin(x2) (HD: tương tự câu e )

g) f x( )= tanx (ĐS: T = π)

h) f x( )= 2cos2x + 3cos3x + 8cos4x (ĐS: T = 2π)

3 Xét tính ch ẵn lẻ của hàm số lượng giác :

Phương pháp :

• Tìm tập xác định D và kiểm tra tính chất đối xứng của D

+) Nếu ∃x∈D ⇒ −x∉D Ta kết luận : Tập D không đối xứng nêu hàm số

không chẵn không lẻ +) Nếu ∀x∈D ⇒ – x ∈ D Ta có : D là tập đối xứng , thực hiện tiếp bước 2

Chú ý : ( Tính chất đối xứng của hàm lượng giác cơ bản)

• y = sinx có vô số tâm đối xứng là Ik (kπ; 0) và vô số trục đối xứng x =

; 0 ) ( với k ∈Z)

2sin 3cot

y f x

x x nhận Oy làm trục đối xứng

Gi ải

Hàm số xác định

2 2

sin 0

2

2 2

2

2 cos 3cos 2 0 2sin 3cot 0

y

x x nhận Oy là trục đối xứng

tan sin

(n∈Z) ĐS: Chẵn Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số :

a) y= 2 sinx− 3 ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì 1

g) y= tan x ĐS: Hàm số chẵn Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có trục đối xứng :

cos ( )

4 Xét s ự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm lượng giác :

Chuyển hàm số y = f(x) về dạng các hàm số lượng giác cơ bản và xét chiều biến thiên theo

k ,

π

Cả miền xác định

Ví d ụ: Xét sự biến thiên củ hàm số 4 sin cos sin 2

y= x+π  x−π − x

    trên 1 chu kỳ của nó

Từ đó suy ra sự biến thiên trên toàn trục số

Hàm số: 4sin cos sin 2

y= x+π  x−π − x

    ⇔ =y sin 2x+ 3 tuần hoàn với chu kỳT =π

Hàm số đồng biến trên các khoảng ,

5 Tìm GTLN, GTNN c ủa hàm số lượng giác :

S ử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác ( với k ∈Z)

• -1 ≤ sin2k+1 [f(x)] ≤ 1 sin f x[ ( )] ≤ 1 0 ≤ sin2k[f(x)] ≤ 1

• -1 ≤ cos2k+1 [f(x)] ≤ 1 cos f x[ ( )] ≤ 1 0 ≤ cos2k[f(x)] ≤ 1

S ử dụng tính chất của tam thức bậc hai

• Nếu hàm số bật 2 mà có điều kiện không phải ∀ ∈x R thì ta phải lập bảng biến thiên của Parabol tương ứng để tìm được GTLN hoặc GTNN

S ử dụng tính chất của hàm số bậc nhất theo Sin , Cos

3 cos 2 sin

+ +

+ +

x x

x x

cos 2

− +

+

x x

x

4 sin cos 2

3 cos 2 sin

+

−

+ +

x x

x x

e) y =

1 cos

1 cos cos

2 2

+

+ +

x

x x

sin 3

1

4 cos 1

2 sin

x

x x

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

y = cos2 x+ 7 sin2 x + sin2 x+ 7 cos2 x (4 và 1 + 7 )

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

y = sinx + cosx

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số

a) y = sinx + 3sin2x b) y = 1 + 2 sinx+ 1 + 2 cosx

x x

2 4

2 4

cos 4 sin 3

sin 4 cos 3

+ +

Bài 8: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số : y =

2 cos

1 sin +

+

x

x m

nhỏ hơn – 1

Bài 9: Cho hàm số : y =

2 sin cos

sin 2

+ +

+

x x

m x m

a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1

b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 10: Cho hàm số : y =

2 sin cos

1 cos

2

+ +

+ +

x x

m x m

a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1

b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 11: Cho hàm số :

F(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)2 – 3sin2x + m

Tính theo m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của F(x).Từ đó tìm m sao cho F2

Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

a y= sinx cosx+ cosx sinx

thực hiện phép tịnh tiến như hình vẽ

• Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y =

f(x) qua trục hoành

• Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = f(-x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị

y = f(x) qua trục tung

• Đồ thị y = f x( ) = −f x neáu f x( ),f x neáu f x( ), ( ) 0( ) 0≥< được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ

nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên Ox và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời

lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox

• Đồ thị = ( )=  − ( ), ≥< 0

f x neáu x

y f x f x neáu x được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ

nguyênphần đồ thị y = f(x) ở phía phải Oy ( x≥ 0 ) và bỏ phần đồ thị phía trái Oy

đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía phải Oy qua trục Oy

• Đồ thị y=k f x ( ) được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( k< 1) giản (k> 1) theo phương của trục tung (Oy) theo tỷ số k

• Đồ thị y= f k x( ) được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( k< 1) giản (k> 1) theo phương của trục hoành (Ox)theo tỷ số k

Ví dụ 1: Cho hàm số y= 3cos 2x

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên

b Từ đồ thị của hàm số y= cos 2x hãy suy ra đồ thị của 3sin 2 2

3

π

− 7 6π

−

Bước 2: Bằng cách tịnh tiến đồ thị (C’): 3sin 2

trên trục Ox , và bỏ phần đồ thị phía dưới Ox đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị

(C”) nằm ở phía dưới Ox qua trục Ox ta thu được đồ thị của hàm số :

5 6

12

π6

π

−

2 3

π

− 7

π 13 12

π6

π

− 2

3

π

− 7 6π

−

Gi ải

a Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:

Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang trái

(theo ngược chiều dương trục Ox )

Bươc 2: Đối xứng ( )C1 qua trục Ox ta được ( )2 : sin

3

C y= − x+π 

Bươc 3: Tịnh tiến ( )C2 lên trên 1 đơn vị ta có ( )C' (theo chiều dương trục Oy )

b Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:

Bươc 1: Đối xứng ( )C qua trục Ox ta được ( )1 : 2 tan

6

C y  x π 

= − − 

Bươc 2: Tịnh tiến ( )C1 xuống dưới 3 đơn vị ta có ( )C'

(theo ngược chiều dương trục Oy )

c Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:

Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang phải

(theo chiều dương trục Ox )

Bươc 2:Giữ nguyên phần đồ thị ( )C1 ở phía phải Oy (x≥ 0 ) và bỏ phần đồ

thị phía trái Oy đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị ( )C1 nằm ở phía phải Oy qua trục Oy, ta thu được đồ thị ( )2 : cos

4

C y=  x −π 

Bươc 3: Tịnh tiến ( )C2 lên trên 3 đơn vị ta có được đồ thị ( )C'

(theo chiều dương trục Oy)

d Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên lần lượt các bước sau:

Bươc 1: Thực hiện phép giản (C) 2 đơn vị ta thu được ( )C1 :y= 2 cosx

Bươc 2: Đối xứng ( )C1 :y= 2 cosx qua trục Ox ta thu được ( )C2 :y= − 2 cosx

Bươc 3: Tịnh tiến ( )C2 :y= − 2 cosx lên trên 2 đơn vị ta thu được ( ') :C y= − 2 cosx+ 2

(theo chiều dương trục Oy)