đại số 11 hàm số lượng giác

DANAMATH www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang ĐẠI SỐ 11 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC GV:Phan Nhật Nam HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trục Đường tròn lượng giác : − − −1 3π Sin π 2π 3 Trục π 2 − 5π 2 4π 3π 2 − − −1 11π − 7π 5π −1 Công thức cung liên kết : Hai cung đối (a , -a) sin(− a) − 3 hai cung phụ (a , = − sin a cos(− a) = cos a tan(− a ) = − tan a cot(− a ) = − cot a sin( π cos( Hai cung bù (a , π − a ) sin(π − a ) = sin a cos(π − a ) = − cos a tan(π − a ) = − tan a cot(π − a ) = − cot a GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 Trục 0 7π tan( cot( Cot π −1 − − 2 π − 3 5π π Tan Trục π π π π − a) = cos a − a) = sin a − a) = cot a − a) = tan a −a) www.toanhocdanang.com Cos HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hai cung π (a , π + a ) sin(π + a ) = − sin a cos(π + a ) = − cos a tan(π + a ) = tan a cot(π + a ) = cot a Công thức lượng giác : Công thức cộng cung : Hai cung sin( cos( tan( sin( a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b cos(a ± b) = cos a cos b  sin a sin b tan(a ± b) = π cot( π π π π π (a , + a ) + a) = + a) = − sin a + a) = − cot a + a) = − tan a cos a tan a ± tan b  tan a tan b Công thức nhân đôi : Sin 2a = sin a cos a = (sin a + cos a ) − = − (sin x − cos x) Cos 2a = cos a − sin a = cos a − = − sin a tan 2a = tan a − tan a cot 2a = Công thức nhân ba : Công thức hạ bậc hai : Sin3a = sin a − sin a Cos 3a = cos a − cos a tan a − tan a Tan3a = − tan a − cos 2a − cos 2a Tan a = + cos 2a Sin a = Cos a = + cos 2a Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức hạ bậc ba : sin a − sin 3a cos a + cos 3a Cos a = [cos(a + b) + cos(a − b)] sin a sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] cos a cos b = Sin a = ông thức biến đổi tổng thành tích : a+b a −b cos 2 a+b a −b sin a + sin b = sin cos 2 sin(a ± b) tan a ± tan b = cos a cos b cos a + cos b = cos GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 cot a − cot a a+b a −b sin 2 a+b a −b sin a − sin b = cos sin 2 sin(b ± a ) cot a ± cot b = sin a sin b cos a − cos b = −2 sin www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A Tóm tắc lý thuyết : I Hàm số y = sinx : • Miền xác định : D = R • y = sin x hàm số lẻ R {vì D miền đối xứng sin(-x) = - sinx} • {vì sin(x + k 2π ) = sinx với ∀k ∈ Z } y = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên hàm số y = sinx khoảng (0 , π ) π x y Đồ thị : y = sin x π 0 y 3π −π − −2π II Hàm số y = cos x : π − π π x 3π 2π -1 • Miền xác định : D = R • y = cos x hàm số chẵn R {vì D miền đối xứng cos(-x) = cosx} • {vì cos(x + k 2π ) = cosx với ∀k ∈ Z } y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên hàm số y = cosx khoảng (0 , π ) x −π π y -1 -1 Đồ thị : y = cos x y −2π − −π 3π − π π π x -1 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC III Hàm số y = tanx : π • Miền xác định : D = R\  + kπ , k ∈ Z  2  • y = tan x hàm số lẻ R {vì D miền đối xứng tan(-x) = tanx} • y = tan x tuần hoàn với chu kỳ π {vì tan(x + k π ) =tanx với ∀k ∈ Z } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên hàm số y = cot x khoảng (- π π , ) 2 x − π π 2 +∞ y −∞ y Đồ thị của: y = cot x − 3π − −π 3π π π 2 π x III Hàm số y = cotx : • Miền xác định : D = R\ {kπ , k ∈ Z } • y = cot x hàm số lẻ R {vì D miền đối xứng cot(-x) = cotx} • y = cot x tuần hoàn với chu kỳ π {vì cot(x + k π ) = cotx với ∀k ∈ Z } • Dựa vào đường tròn lượng giác ta có chiều biến thiên hàm số y = cot x khoảng (0 , π ) x π +∞ y y Đồ thị của: y = cot x −∞ x −π GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 − π π 2 π 3π 2π www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC B Các dạng toán : Tìm tập xác định hàm số y = f ( x) : Thực theo hai hướng sau • D tập hợp tất giá trị x cho f(x) có nghĩa • Tìm tập hợp S x để f ( x) nghĩa , từ có tập xác định D = R\S Chú ý : +) với hàm lượng giác : y = sin x có miền xác định : D = R y = cos x D = R π  y = tan x có miền xác định : D = R\  + kπ , k ∈ Z  2  y = cot x D = R {kπ , k ∈ Z } +) f(x) cho đa thức đại số: ~  f ( x).và f ( x) có ngh i a f ( x) Nếu f(x) = điều kiện f(x) có nghĩa  f ( x)  f ( x) ≠ Nếu f(x) = 2k ~  f ( x) có ngh i a f ( x) (k ∈ Z ) điều kiện f(x) có nghĩa   f ( x) ≥ Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau:  2x    x −1  a y = sin  d y = y b = sin x + g y = sin x − sin x y c =  π e y tan  x −  = 6  f y = tan x cos x − i y = h y = − cos2 x tan x − 1 + sin x cot x − Hướng dẩn giải :  2x  2x có nghĩa ⇔ x − ≠ ⇔ x ≠  xác định ⇔ x −1  x −1  a Hàm số y = sin  Vậy hàm số có tập xác định D = R \{1} b Hàm số xác định ⇔ − sin x ≥ ⇔ sin x ≤ ∀x ∈ R (vì −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R ) Vậy hàm số có tập xác định D = R c Hàm số xác định ⇔ − cos x ≥ ⇔ sin x ≥ ∀x ∈ R Vậy hàm số có tập xác định D = R GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π d Hàm số xác định ⇔ sin x + > ⇔ sin x > −1 ⇔ sin x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k 2π (vì −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R ) Vậy tập xác định hàm số  π  D= R \ − + k 2π | k ∈ Z    π π π 2π e Hàm số xác định ⇔ cos  x −  ≠ ⇔ x − ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ  6 2π Vậy tập xác định hàm số D= R \  + kπ | k ∈ Z    π  x ≠ + kπ  tan x ≠   f Hàm số xác định ⇔  ⇔ cos x ≠  x= π + kπ  π π  Vậy tập xác định hàm số D =  + kπ , + kπ | k ∈ Z  4  g Hàm số xác định ⇔ sin x ≥ ⇔ k 2π ≤ x ≤ π + k 2π (nữa đường tròn LG phía trục Ox) Vậy tập xác định hàm số= D [ k 2π , π + k 2π ] , ∀k ∈ Z h Hàm số xác định ⇔− π cos x ≠ ⇔ ⇔ cos x > 2 cos x − > + k 2π < x < π 3 + k 2π cos Vậy tập xác định hàm số π  π  D = − + k 2π , + k 2π  , ∀k ∈ Z   i Hàm số xác định π sin − π sin  sin x ≠  ⇔ cot x ≠  sin x ≥ −  cot π − π − 3π − π   x ≠ + kπ  π 3π ⇔  x ≠ kπ ⇔− + k 2π ≤ x ≤ − + k 2π 4  3π π − + k 2π ≤ x ≤ − + k 2π  3π cos − π π Vậy hàm số có tập xác định là: D = − + k 2π , − + k 2π  , ∀k ∈ Z   GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Ví dụ 2:(Dạng nâng cao) Cho hàm số : y = sin x + cos x − 2m sin x cos x Tìm tất giá trị m để hàm số xác định x ∈ R (trên toàn trục số) Giải : Ta có : g ( x) = sin x + cos x − 2m sin x cos x = ( sin x ) + ( cos x ) − m sin x 2 = − sin 2 x − m sin x ( sin x + cos2 x ) − 2sin x cos2 x − m sin x = Đặt: = t sin x ⇒ t ∈ [ −1 , 1] Hàm số xác định với x ∈ R ⇔ g ( x) ≥ , ∀x ∈ R ⇔ − t − mt + ≥ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1] ⇔ f (t ) = t + 2mt − ≤ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1] Dễ thấy f (t ) = có hai nghiệm t1 < < t2 (vì a = 1, c = −2 trái dấu) Cách 1: sử dụng định lý viet Khi ta có bảng xét dấu f (t ) sau : t −∞ f (t ) t1 + +∞ t2 - + Từ bảng xét dấu ta thấy : t1 + ≤ < t2 + ( t1 + 1)( t2 + 1) ≤ f (t )= t + 2mt − ≤ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1] ⇔ t1 ≤ −1 < ≤ t2 ⇔  ⇔ t1 − < ≤ t2 − ( t1 − 1)( t2 − 1) ≤ t t + (t1 + t2 ) + ≤ −2 − 2m + ≤ 1 ⇔12 ⇔ ⇔− ≤m≤ 2  −2 + m + ≤ t1t2 − (t1 + t2 ) + ≤ Vậy hàm số xác định toàn trục số − ≤ m ≤ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 (theo viet cho f (t ) = ) www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Cách 2: Sử dụng tính chất đồ thị Parabol t + 2mt − có hệ số a = > nên đồ thị f (t ) rơi vào dạng sau Vì f (t ) = y y y f (1) f (1) f (−1) t t -1 -1 f (−1) t -1 1 f (1) f (−1) Do ta có: Max f (t ) = f (1) Max f (t=) f (−1) [ −1, 1] [ −1, 1] ycbt ⇔ f (t ) = t + 2mt − ≤ 0, ∀t ∈ [ −1 , 1] ⇔ Max f (t ) ≤ [ −1, 1]  f (1) ≤  −1 + 2m ≤ 1 ⇔ ⇔ ⇔− ≤m≤ 2  f (−1) ≤  −1 − 2m ≤ Bình luận: Ở cách giải 2, ta dùng cở sỏ lý thuyết sau: Với S ⊂ D f ( D f : TXĐ f ( x) ) • f ( x) ≤ m, ∀x ∈ S ⇔ Max f ( x) ≤ m • f ( x) ≥ m, ∀x ∈ S ⇔ Min f ( x) ≥ m • f ( x) ≤ m, ∃x ∈ S ⇔ Min f ( x) ≤ m • f ( x) ≥ m, ∃x ∈ S ⇔ Max f ( x) ≥ m S S S S Bài tập áp dụng : Bài 1: Tìm tập xác định hàm số : a) y = cos x − b) y = (tan x − 1)(sin x − 2) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 π π 3 (ĐS: D = R\  + kπ , − + kπ | k ∈ Z  )  π π 2 (ĐS: D = R\  + kπ , + kπ | k ∈ Z  ) www.toanhocdanang.com  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 2: Tìm tập xác định hàm số : a) y = + sinx − cos x π 5π  (ĐS: D =  + 2kπ ; + kπ  ) π π (ĐS: D =  − + kπ ; − + kπ  ) b) y = 6  − tan x − ( + 1) tan x − Bài 3: Cho hàm số : y =   sin x + cos x − 2msinx.cosx Tìm giá trị tham số m để hàm số xác định vơi ∀x ∈ R (ĐS: – 1 ≤m ≤ ) 2 Bài 4: Tìm tập xác định hàm số : a) y = cosx − cosx − + 2cosx − 2cosx HD: cosx − cosx −1 − = = + 2cosx − 2cosx − cos x cos x + 1 Hàm số xác định ⇔ cos x > − ⇔ − b) y = c) y =  ĐS:= D R \  kπ , cot x −  − 5cosx − sin x 4π 4π + k 2π < x < + k 2π 3 sin x ≠  + kπ | k ∈ R  HD:   cot x ≠ π π ĐS: D =R \ − k 2π ,  π  + kπ | k ∈ R   cos x ≠  HD: − 5cosx − 2sin x ≠ ⇔ − 5cosx − 2(1 − cos x) ≠ ⇔ cos x − 5cos x + ≠ ⇔  cos x ≠ 2 2 Xét tính tuần hoàn hàm số : Dạng 1:Chứng minh hàm số y = f ( x) có tính chất tuần hoàn • Đoán số thực T >0 ( chu kỳ hàm số bội nguyên chu kỳ)  x − T ∈ D x + T ∈ D f ( x)  f (x + T ) = • Chứng minh ∀x ∈ D ta có  • Kết luận y = f ( x) hàm số tuần hoàn GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π Ví dụ: Chứng minh hàm số y = f ( x) = cos  x −  + hàm số tuần hoàn 3  Giải π π   Ta có: = y f (= x) cos  x −  += cos  x −  + có TXĐ: D = R 6 3   Xét T = π ta có: ∀x ∈ R ⇒ x + T = x + π ∈R   π π  π  + T ) sin   x +  − = + sin  x −  + 2π  + f ( x=   3 3     π π π    = sin  x −  cos 2π + cos  x −  sin 2π= + sin  x − = + f ( x) , ∀x ∈ R 3 3 3    Vậy hàm số tuần hoàn {Dễ dàng chứng minh chu kỳ chình T = π } Dạng 2:Chứng minh TO chu kỳ hàm số y = f ( x) (Chứng minh phản chứng) (2) f ( x) • Giả sử ∃T ∈ R cho < T < TO(1) thỏa mãn ∀x ∈ D f ( x + T ) = • Biến đổi đẳng thức (2) để có mâu thuẫn với giả thiết (1) • Mâu thuẫn chứng tỏ TO số thực dương bé thỏa mãn tính chất tuần hoàn hàm số ⇒ TO chu kỳ y = f ( x) y f= ( x) sin x có chu kỳ T = π Ví dụ: Chứng minh hàm số= Giải Giả sử ∃T ∈ R : < T < π (1) f ( x) thỏa mãn ∀x ∈ R f ( x + T ) = T ) f ( x), ∀x ∈ R ⇔ sin(2 x + 2= T ) sin x (*), ∀x ∈ R Khi ta có: f ( x += Xét x = π π π π π ta có: sin  + 2T  =sin =1 ⇔ + 2T = + k 2π ⇔ T =kπ 2 2  mâu thuẫn với (1)vì k ∈ Z f ( x) , ∀x ∈ R Do số dương T nhỏ π thỏa điều kiện f ( x + T ) = = y f= ( x) sin x có chu kỳ T = π Vậy hàm số GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bình luận:Để dẫn đến mâu thuẫn ta phải xét x = π π = x sin = để sin (tức chọn giá trị cho x để vế phải (*) Dạng 3:Xác định chu kỳ hàm số lượng giác bất kỳ.(sử dụng ý sau) Các ý cần nhớ chu kỳ hàm số lượng giác : • Các hàm số y = sin(ax + b) + c y = cos(ax + b) + c (với a ≠ 0) tuần hoàn với chu kỳ T = 2π a • Các hàm số y = tan(ax + b) + c y = cot(ax + b) + c (với a ≠ 0) tuần hoàn với chu kỳ T = π a • Giả sử f ( x) g ( x) tuần hoàn với chu kỳ tương ứng Tf , Tg F ( x) mf ( x) + ng ( x) tuần hoàn với chu kỳ: T = BSCNN(Tf ,Tg) ⇒= • Trong trường hợp hám số chứa số hạng chứa hàm lượng giác bậc cao có dạng tích ta cần dùng công thức hạ bậc công thức tích thành tổng trước tìm chu kỳ • Nếu f ( x) tuần hoàn đồ thị chúng cắt trục hoành (nếu có) điểm cách Bài tập áp dụng : Bài 1: Chứng minh hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = π Bài 2: Hàm số sau đay có tính chất tuần hoàn Xác định chu kỳ (nếu có) a) f ( x) = tan(3x c) f ( x) = sin2x π ) (ĐS: T = π ) b) f ( x) = 2cos2(2x + π π ) (ĐS: T = ) (ĐS: T = π ) Bài 3: Hàm số sau đay có tính chất tuần hoàn Xác định chu kỳ (nếu có) a) f ( x) = sinx + b) f(x) = 2tan 1 sin2x + sin3x (ĐS: T = π ) x x – 3tan (ĐS: T = π ) c) f ( x) = cosx + (1 + cos2x) + (cos3x – 3cosx) (ĐS: T = π ) d) f ( x) = sinx + sin(x ) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC HD: không tuần hoàn ∉ Q nên khái niệm bội số chung e) f ( x) = tan x HD: f tuần hoàn đồ thị chúng cắt trục hoành điểm cách f) f ( x) = sin(x2) (HD: tương tự câu e ) g) f ( x) = tan x (ĐS: T = π ) h) f ( x) = 2cos2x + 3cos3x + 8cos4x (ĐS: T = π ) Xét tính chẵn lẻ hàm số lượng giác : Phương pháp : • Tìm tập xác định D kiểm tra tính chất đối xứng D +) Nếu ∃x ∈ D ⇒ − x ∉ D Ta kết luận : Tập D không đối xứng nêu hàm số không chẵn không lẻ +) Nếu ∀x ∈ D ⇒ – x ∈ D Ta có : D tập đối xứng , thực tiếp bước • Xác định f (− x) f ( x) Ta kết luận : y = f ( x) hàm số chẵn +) Nếu f (− x) = − f ( x) Ta kết luận : y = f ( x) hàm số lẻ +) Nếu f (− x) = +) Nếu f (− x) ≠ f ( x) f (− x) ≠ − f ( x) Ta kết luận : y = f(x) hàm số không chẵn không lẻ Chú ý : ( Tính chất đối xứng hàm lượng giác bản) • y = sinx có vô số tâm đối xứng Ik (k π ; 0) vô số trục đối xứng x = π + k π (k ∈ Z) π • y = sinx có vô số tâm đối xứng Ik ( +k π ; 0) vô số trục đối xứng x = k π (k ∈ Z) π ; 0) π • y = cotx có vô số tâm đối xứng Ik ( k ; ) • y = tanx có vô số tâm đối xứng Ik ( k GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 ( với k ∈ Z) ( với k ∈ Z) www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC y f= ( x) Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ hàm số:= 2sin x + Giải Tập xác đinh: D = R Ta có : ∀x ∈ R ⇒ x ∈ R Xét x = π 1 π  = = = f    2sin π + + 1  π = = f= −    2sin  − π  +  −  +      6  2 ta có: π π Do đó: f  −  ≠ − f   đồng thời  6 6 Vậy hàm số y =  π π  f −  ≠ f    6 6 tính chẵn , lẻ 2sin x + y f= (x) Ví dụ 2: Chứng minh đồ thị hàm số= sin x − tan x nhận Oy làm trục 2sin x + 3cot x đối xứng Giải Hàm số xác định  x ≠ kπ π  sin x ≠ π  x≠k  π  x k ≠     ⇔ cos x ≠ ⇔  x ≠ + kπ ⇔ ⇔ 2sin x + 3cot x ≠  −2cos x + 3cos x + ≠  x ≠ ± 2π + k 2π  2sin x + 3cos x ≠    TXĐ: D R \ k = π  , ± 2π  + k 2π | k ∈ Z   Do ta có: ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D ∀x= ∈ D ta có f (− x ) = (1) sin ( − x ) − tan ( − x ) ( − sin x ) − ( − tan x ) = 2sin ( − x ) + 3cot ( − x ) ( − sin x ) + ( − cot x ) − ( sin x − tan x ) sin x − tan x = = f (x) − ( 2sin x + 3cot x ) 2sin x + 3cot x Từ (1) (2) ta có: y = {theo công thức đối} sin x − tan x hàm số chẵn 2sin x + 3cot x Vậy đồ thị hàm số y = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 (2) sin x − tan x nhận Oy trục đối xứng 2sin x + 3cot x 14 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài tập áp dụng : Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ hàm số : f ( x) = sin 2009 ĐS: không chẳn,không lẻ với (n ∈ Z) x + cosnx Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ hàm số : a) f ( x) = x2 sin x + tan x ĐS: Hàm số lẻ ĐS: lẻ b) f ( x) = x sinx sin 2008 n x + 2009 c) f ( x) = cos x (n ∈ Z) ĐS: Chẵn Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ hàm số : π b) y = 2sin x − ĐS: không chẵn ,không lẻ π HD: TXĐ: D = R \  + k 2π , 6 y sin x + cos x c)= d)= y tan x + cot x e) y = sin x cos x f) y = π ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì f   = −1 , f  −  = −5 ) 2  2 = y 2sin x − a) cos3 x + sin3 x g) y = tan x π π 5π  + k 2π | k ∈ Z  ta có: − ∈ D mà ∉ D 6  π +1  π  − +1 ĐS: không chẵn ,không lẻ (vì f   = , f −  = ) 2 3  3 ĐS: Hàm số lẻ ĐS: Hàm số lẻ ĐS: Hàm số lẻ ĐS: Hàm số chẵn Bài 3: Chứng minh đồ thị hàm số sau có trục đối xứng : = y f= ( x) cos x 6x + 4x4 + 2x2 + HD: Chứng minh f ( x) hàm số chẵn ⇒ dfcm Bài 4: Chứng minh đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng : = y f= ( x) cos 2008 n x + 2009 sin x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 HD: Chứng minh f ( x) hàm số lẻ ⇒ dfcm 15 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm lượng giác : Chuyển hàm số y = f(x) dạng hàm số lượng giác xét chiều biến thiên theo bảng( với k ∈ Z) SinU Đồng biến (- cosU (- π + k2 π , k2 π ) π π + k2 π , + k2 π 2 ( π Nữa ĐTLG có tung độ >0 π π + k2 π , + k2 π 2 cotU R  + kπ , k ∈ Z  2 ) Nữa ĐTLG có hoánh độ >0 Nghịch biến tanU  Cả miền xác định R {kπ , k ∈ Z } (k2 π , π + k2 π ) Cả miền xác định Nữa ĐTLG có tung độ >0 ) Nữa ĐTLG có hoánh độ ax + bx + c ≥ – ∆ 4a GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC • Nếu hàm số bật mà có điều kiện ∀x ∈ R ta phải lập bảng biến thiên Parabol tương ứng để tìm GTLN GTNN Sử dụng tính chất hàm số bậc theo Sin , Cos   a b = y a sin u + b cos u ⇒ y = sin u + cos u  a + b  2 a + b2  a +b   a Vì  2  a +b ⇒ y=   b  +    2   a +b  a b  = ⇒ ∃α ∈ R cho cos α = sin x =  a + b2 a + b2  a + b (sin u.cos α + cos u.sin α ) ⇒ y= Vì -1 ≤ sin(u + α ) ≤ ⇒ – a + b sin(u + α ) a2 + b2 ≤ y ≤ a2 + b2  Mở rộng : • a.sinx + b.cosx = c (1) ∃ x thỏa (1) ⇔ – a + b ≤ c ≤ a + b • y = a.sin [ f ( x) ] + b cos [ f ( x) ] + c ⇔ – a2 + b2 + c ≤ y ≤ a2 + b2 + c Ví dụ 1: Cho hàm số y = cos x − sin x cos x + a Tìm GTLN, GTNN hàm số 7π b Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn 0 ,   12  Giải = y cos x − sin x cos x= + cos x − sin x + 1  π π  sin= x  + 2  cos x cos − sin x sin  + = ⇔ y  cos x − 3  2  π  = ⇔ y cos  x +  + 3  a Ta có: π  −1 ≤ cos  x +  ≤ , ∀x ∈ R 3  π  ⇔ −2 ≤ cos  x +  ≤ , ∀x ∈ R 3  π  ⇔ ≤ cos  x +  + ≤ , ∀x ∈ R 3  ⇔ ≤ y ≤ , ∀x ∈ R Vậy π π  Max( y ) = cos  x +  =⇔ − + kπ x= 3  π π  Min( y ) = cos  x +  =−1 ⇔ x = + kπ 3  GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 18 www.toanhocdanang.com π  b.= y cos  x +  +  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 3 π π 3π 7π  7π  ∀x ∈ 0 , ⇔0≤ x≤ ⇔ ≤ 2x + ≤  12 3  12  π   7π  Lập bảng biến thiên hàm số= y cos  x +  + đoạn 0 ,  x 2x + π π π π π 12 π  7π 12 3π   f ( x) 2 Từ bảng biến thiên ta thấy: Min f ( x) = Khi x =  7π  0 , 12    π Max f ( x) = x =  7π  0 , 12    số y Ví dụ 2: Tìm GTNN GTLN hàm = sin x − cos x Giải 0 ≤ sin x ≤ ⇒ −1 ≤ sin x − cos x ≤ ⇔ −1 ≤ y ≤ Ta có:  0 ≤ cos x ≤   x= = sin x  ⇔ Max ( y ) =  cos x =  x=  π π + k 2π ⇔x= + kπ = sin x 0=  x kπ ⇔ Min ( y ) = −1  = cos x 1=  x k 2π GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 19 π + k 2π ⇔x= k 2π www.toanhocdanang.com 12  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài tập áp dụng : Bài 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số a) y = 2sinx + (ĐS: 2) b) y = – 2cosx – 2sin2x (ĐS: − ) c) y = sinx + cosx (ĐS:2 -2) d) y = sin x + cos x + sin x + cos x + (ĐS:2 ) Bài 2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số a) y = 2(1 + sin2x.cos4x) – (cos4x – cos8x) (ĐS: 1) (ĐS: b) y = sin10x + cos10x c) y = e) y = + cos x sin x + cos x − d) y = cos x + cos x + sin x + cos x + cos x − sin x + f) y = 2sin2x + 4sinx.cosx + cos x + g) y = + ) 16 sin x + cos x h) y = sin 4x 2x +1 + cos 1+ x 1+ x2 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ hàm số y= 1 + sin x cos x (ĐS: 2 ) Bài 4: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = cos x + sin x + sin x + cos x (4 + ) Bài 5: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = sin x + cos x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 6: Tìm giá trị lớn hàm số a) y = sinx + 3sin2x b) y = + sin x + + cos x x c) y = cos3x + 2sin 2 Bài 7: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số a) y = − cos x + − sin x b) y = + cos x + + sin x c) y = cos x + sin x sin x + cos x Bài 8: Tìm m để giá trị nhỏ hàm số : y = Bài 9: Cho hàm số : y= m sin x + nhỏ – cos x + 2m sin x + m cos x + sin x + a) Tìm giá trị lớn , nhỏ hàm số với m = b) Xác định m để giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ Bài 10: Cho hàm số : y= 2m cos x + m + cos x + sin x + a) Tìm giá trị lớn , nhỏ hàm số với m = b) Xác định m để giá trị lớn hàm số đạt giá trị nhỏ Bài 11: Cho hàm số : F(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)2 – 3sin2x + m Tính theo m giá trị lớn nhất, nhỏ F(x).Từ tìm m cho F2(x) ≤ 36 , ∀ x ∈ R Bài 12: Tìm giá trị nhỏ : 1 π + với < x < sin x cos x 9π b y =4 x + + sin x với < x < +∞ x y a.= c y = 2sin x + 4sin x cos x + GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 13: Tìm giá trị nhỏ : = a y sin x cos x + cos x sin x y sin x + 3sin x b.= c y= cos x + − cos x Một số phép biến đổi đồ thị: y f ( x) ± a hoặc= y f ( x ± a ) ta • Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số= thực phép tịnh tiến hình vẽ với a > = y f ( x) + a (cùng chiều dương trục Oy) a đơn vị y = f ( x) = y f ( x + a) (ngược chiều dương trục Ox) = y f ( x − a) (cùng chiều dương trục Ox) = y f ( x) − a (ngược chiều dương trục Oy) • Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thị f(x) qua trục hoành • Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = f(-x) cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục tung  f ( x ), neáu f ( x ) ≥ • Đồ thị= y = f (x)  − f ( x ), neáu f ( x ) < y = suy từ đồ thị y = f(x) cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) phía Ox bỏ phần đồ thị phía Ox đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm phía Ox qua trục Ox  f ( x ), neáu x ≥ • Đồ thị= y f= (x)   f (− x ), neáu x < suy từ đồ thị y = f(x) cách giữ nguyênphần đồ thị y = f(x) phía phải Oy ( x ≥ ) bỏ phần đồ thị phía trái Oy đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm phía phải Oy qua trục Oy • Đồ thị y = k f ( x) suy từ đồ thị y = f(x) cách có ( k < ) giản ( k > ) theo phương trục tung (Oy) theo tỷ số k • Đồ thị y = f (k x) suy từ đồ thị y = f(x) cách có ( k < ) giản ( k > ) theo phương trục hoành (Ox)theo tỷ số k GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1: Cho hàm số y = 3cos x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số π   b Từ đồ thị hàm số y = cos x suy đồ thị của= y 3sin  x +  +   Giải a TXĐ: D = R Bảng biến thiên: x 2x 3π 3π π π π π π 2π 3 f ( x) 0 -3 π Hàm số ngịch biến khoảng  kπ , + kπ    π Hàm số đồng biến khoảng  + kπ , π + kπ  , k ∈ Z (vì hàm số có chu kỳ T = π ) 2 Đồ thị:  y −π π − π − π π 3π x π 5π -3 Nhận xét : Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng , Hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π b Bước 1: Bằng cách tịnh tiến (C): y = cos x theo ngược chiều dương trục Ox π π π   đơn vị ta có đồ thị (C’): = y 3sin  x +  = (C ') : y 3sin  x +  3 6   y − 7π − 2π 5π − π − 12 π 12 π 7π 12 5π 13π 12 x -3 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 23 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π   Bước 2: Bằng cách tịnh tiến đồ thị (C’): = y 3sin  x +  lên đơn vị   π   (theo chiều dương trục Oy) ta có đồ thị (C ")= : y 3sin  x +  +  y  − − 2π π − 7π π x 5π -1 13π 12 π  Bước 3: Bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C”):= y 3sin  x +  + nằm phía  3 trục Ox , bỏ phần đồ thị phía Ox đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị (C”) nằm phía Ox qua trục Ox ta thu đồ thị hàm số : π  = y 3sin  x +  + hình vẽ sau: 3  y − 7π π − 2π − -1 π x 5π 13π 12 Ví dụ 2: Tìm phép biến hình để biến đồ thị (C) thành (C’) sau đay: a (C ) : y = sin x π  b = (C ) : y tan  x −   6 c (C ) : y = cos x d (C ) : y = cos x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 24 π  − sin  x +  + (C ') : y = 3  π  (C ')= : y tan  − x −  − 6  π  (C ') := y cos  x −  + 4  (C ') : y = −2 cos x + www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Giải a Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên bước sau: Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang trái π π  sin  x +  đơn vị ta có ( C= 1): y 3  (theo ngược chiều dương trục Ox ) π  Bươc 2: Đối xứng ( C1 ) qua trục Ox ta ( C2 ) : y = − sin  x +   3 Bươc 3: Tịnh tiến ( C2 ) lên đơn vị ta có ( C ') (theo chiều dương trục Oy ) b Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên bước sau: π  : y tan  − x −  Bươc 1: Đối xứng ( C ) qua trục Ox ta ( C1 )=  6 Bươc 2: Tịnh tiến ( C1 ) xuống đơn vị ta có ( C ') (theo ngược chiều dương trục Oy ) c Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên bước sau: Bươc 1: Tịnh tiến (C) sang phải π π  cos  x −  đơn vị ta có ( C= 1): y 4  (theo chiều dương trục Ox ) Bươc 2:Giữ nguyên phần đồ thị ( C1 ) phía phải Oy ( x ≥ ) bỏ phần đồ thị phía trái Oy đồng thời lấy đối xứng phần đồ thị ( C1 ) nằm phía π   cos  x −  phải Oy qua trục Oy, ta thu đồ thị ( C= 2): y   Bươc 3: Tịnh tiến ( C2 ) lên đơn vị ta có đồ thị ( C ') (theo chiều dương trục Oy) d Để biến đổi (C) thành (C’) ta cần thực hiên bước sau: Bươc 1: Thực phép giản (C) đơn vị ta thu ( C1 ) : y = cos x Bươc 2: Đối xứng ( C1 ) : y = cos x qua trục Ox ta thu ( C2 ) : y = −2 cos x −2cos x + Bươc 3: Tịnh tiến ( C2 ) : y = −2cos x lên đơn vị ta thu (C ') : y = (theo chiều dương trục Oy) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 25 www.toanhocdanang.com [...]... Hàm số lẻ ĐS: Hàm số lẻ ĐS: Hàm số lẻ ĐS: Hàm số chẵn Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có trục đối xứng : = y f= ( x) cos x 6x + 4x4 + 2x2 + 1 HD: Chứng minh f ( x) là hàm số chẵn ⇒ dfcm 6 Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng : = y f= ( x) cos 2008 n x + 2009 sin x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 HD: Chứng minh f ( x) là hàm số lẻ ⇒ dfcm 15 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG... có chu kỳ T = π Vậy hàm số GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bình luận:Để có thể dẫn đến mâu thuẫn thì ta phải xét x = π 4 π = 2 x sin = 1 để sin 2 (tức là luôn chọn giá trị cho x để vế phải của (*) bằng 1 Dạng 3:Xác định chu kỳ của hàm số lượng giác bất kỳ.(sử dụng các chú ý sau) Các chú ý cần nhớ về chu kỳ của hàm số lượng giác : • Các hàm số y = sin(ax + b)... tan x là hàm số chẵn 2sin x + 3cot x Vậy đồ thị của hàm số y = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 (2) sin x − tan x nhận Oy là trục đối xứng 2sin x + 3cot x 14 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài tập áp dụng : Bài 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số : f ( x) = sin 2009 ĐS: không chẳn,không lẻ với (n ∈ Z) x + cosnx Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số : a) f ( x) = x2 sin x + tan x ĐS: Hàm số lẻ ĐS:... 3 3 −1 + 3 Từ bảng biến thiên ta có: 3π π Hàm số đồng biến trên các khoảng  0 ,  và  , π   4   4 π 3π Hàm số nghịch biến trên khoảng  ,  4 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 4  www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC π π     y sin 2 x + 3 tuần hoàn với chu kỳ T = π y 4sin  x +  cos  x −  − sin 2 x ⇔= Hàm số: = 6 6     π 3π Hàm số đồng biến trên các khoảng  kπ , + kπ ... x2 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1 1 + sin x cos x (ĐS: 2 2 ) Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y = cos 2 x + 7 sin 2 x + sin 2 x + 7 cos 2 x (4 và 1 + 7 ) Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 20 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số a) y = sinx + 3sin2x b) y = 1 +... theo phương của trục tung (Oy) theo tỷ số k • Đồ thị y = f (k x) được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách có ( k < 1 ) giản ( k > 1 ) theo phương của trục hoành (Ox)theo tỷ số k GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1: Cho hàm số y = 3cos 2 x a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên π   b Từ đồ thị của hàm số y = cos 2 x hãy suy ra đồ thị của=... các hàm số a) y = 1 − 2 cos x + 1 − 2 sin x b) y = 1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x c) y = 3 cos 4 x + 4 sin 2 x 3 sin 4 x + 4 cos 2 x Bài 8: Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = Bài 9: Cho hàm số : y= m sin x + 1 nhỏ hơn – 1 cos x + 2 2m sin x + m cos x + sin x + 2 a) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số với m = 1 b) Xác định m để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất Bài 10: Cho hàm. .. nêu hàm số không chẵn không lẻ +) Nếu ∀x ∈ D ⇒ – x ∈ D Ta có : D là tập đối xứng , thực hiện tiếp bước 2 • Xác định f (− x) f ( x) Ta kết luận : y = f ( x) là hàm số chẵn +) Nếu f (− x) = − f ( x) Ta kết luận : y = f ( x) là hàm số lẻ +) Nếu f (− x) = +) Nếu f (− x) ≠ f ( x) và f (− x) ≠ − f ( x) Ta kết luận : y = f(x) là hàm số không chẵn không lẻ Chú ý : ( Tính chất đối xứng của hàm lượng giác. .. Bài 4: Vẽ đồ thị của các hàm số : a) y = cos x b) y = tan x c) y = cot(-x) d) y = 1 – sinx Bài 5: Vẽ đồ thị của các hàm số : a) y = sin(x – π ) 4 c) y = cot(x – π ) 3 b) y = 1 + cosx d) y = tan(2x – π ) 6 5 Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác : Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác ( với k ∈ Z) • -1 ≤ sin2k+1 [f(x)] ≤ 1 sin[ f ( x)] ≤ 1 0 ≤ sin2k[f(x)] ≤ 1 • -1 ≤ cos2k+1 [f(x)] ≤ 1 cos[ f ( x)]... y f= ( x) cos 2008 n x + 2009 sin x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 HD: Chứng minh f ( x) là hàm số lẻ ⇒ dfcm 15 www.toanhocdanang.com HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 4 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm lượng giác : Chuyển hàm số y = f(x) về dạng các hàm số lượng giác cơ bản và xét chiều biến thiên theo bảng( với k ∈ Z) SinU Đồng biến (- cosU (- π + k2 π , k2 π ) π π + k2 π , + k2 π 2 2 ( π Nữa ĐTLG có tung