Đang tải... (xem toàn văn)
Phần 1. Hệ bậc nhất x,y (hệ tuyến tính 2 ẩn x,y)(bài toán trong mặt phẳng Oxy) Phần 2. Hệ đặc biệt x,y,z (bài toán trong không gian Oxyz) Phần 3. Hệ phi tuyến x,y (trong hệ không còn dạng bậc nhất x,y hay x,y,z mà có dạng tổng, tích, lũy thừa của biến số x,y,z)Ngoài những bài toán trên còn có những bài ta chỉ dùng phương pháp cộng và thế, hay thử nghiệm và đặt ẩn phụ thuộc nhau như k kyxkxy .
Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh Phn H bc nht x,y (h tuyn tớnh n x,y)(bi toỏn mt phng Oxy) a1 b1 c b a c a1 x b1 y c1 ; Dx 1 ; Dy 1 vi D Dng h: a2 b2 c2 b2 a2 c2 a2 x b2 y c2 D Dx ;y y D D D D h VN Nu : h VSN Nu Dx 0( Dy 0) Dx D y Vớ d Nu D h cú nht nghim: x 2mx ( m 1) y 3m t ú tỡm h thc ( m 2) x my 3m Tỡm m h sau cú nghim nht liờn h gia x v y c lp m 6mx (2 m) y t ú tỡm h ( m 1) x my 2 Bin lun theo m s nghim h phng trỡnh thc liờn h gia x v y c lp m Phn H c bit x,y,z (bi toỏn khụng gian Oxyz) x y z x y z x ( y 2) ( z 1) x y z 2 x y z ( x 1) ( y 2) ( z 3) 14 Phn H phi tuyn x,y (trong h khụng cũn dng bc nht x,y hay x,y,z m cú dng tng, tớch, ly tha ca bin s x,y,z) Lý thuyt c bn x y S Theo nh lý Vi-ột o x, y l nghim ca phng Bi toỏn Tỡm hai s x,y tha x y P trỡnh bc 2: X SX P (1) iu kin cú nghim ca phng trỡnh (1) l S P x X1 x X Vi iu kin ny thỡ phng trỡnh (1) cú hai nghim X 1; X ú ta cú y X y X1 x y S (I) Bi toỏn Tỡm x, y tha h 2 x y k x y S x y S Ta cú : (I) Gii nh bi toỏn S2 K2 2 ( x y ) xy k xy P xy P Bi toỏn Tỡm x,y tha (I) 2 x y k xy P x y P xy P Ta cú h (I) 2 2 x y k P S ( x y ) xy k ( x y ) k P Gii nh bi toỏn Lu ý cn cú S P k P P k P Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh x y xy l Bi toỏn Tỡm x, y tha h (I) x y xy q x y xy l S x y ;P xy S P l Gii nh bi 1.Vi S, P l nghim ca phng H (I) xy ( x y ) q S P q trỡnh bc 2: X lX q (1) Tng t ta lm cho n n ban u x,y l l2 ú phng trỡnh (1) cú nghim kộp X X S P Suy l l x,y l nghim ca phng trỡnh bc 2: t t 2t lt l ( 2) T õy ta suy 2 iu kin cú nghim ca h (I) (2) cú nghim l 8l l l Nu l q q Nu l 4q ú phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit X ; X lm nh bi toỏn ta s tỡm c x,y Bi toỏn Tỡm x, y tha h 2(I) S S k l (1) ( x y ) xy k S x y ;P xy S P k H (I) ( 2) S l P S P l x y xy l Gii (1) tỡm S, thay vo (2) , tỡm P Gii nh bi toỏn x2 y2 k (I) Bi toỏn Tỡm x, y tha h 2 ( x y ) l 2 ( x y ) xy k S x y ;P xy P l k H (I) Gii nh bi toỏn 2 ( x y ) l S l Ngoi nhng bi toỏn trờn cũn cú nhng bi ta ch dựng phng phỏp cng v th, hay th nghim v t n ph thuc nh y kx; x ky, k x xy y Vớ d1 : Gii h phng trỡnh (I) y xy Rừ rng y=0 khụng l nghim ca phng trỡnh ta t y kx, k õy ta gii bng phng phỏp th x xy y y 31 y 16 y 16 x x H (I) y2 y2 y2 y y x 3y x 3y x 3y x x hay ghi (1;4),(-1;-4) Vy h (I) cú nghim y y x xy y Vớ d 2: Gii h: phng trỡnh: 2 x xy y x (3k 2k 1) k y kx , k 2 x (k 2k 2) k / ; ; ( x; y ) (1; 2);(1; 2); 17 17 17 17 Bi Gii h phng trỡnh Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh x xy y C Nam nh 2001 Gii h phng trỡnh s: ( x; y ) (0;2), (2;0) x xy y ( x y ) xy (2 xy ) xy x y xy x y xy ( x y )2 3( y x ) Gii h phng trỡnh: s: ( x; y ) (2;1), ( 1;3) x y x y ( x y ) 3( x y ) x y x y x y x3 y H Thỏi Nguyờn 2001 s: ( x; y ) (1;1); ; 2 y 2x x3 x y3 y f ( x) f ( y) H cho y x y 2x Trong ú f ( t ) t t liờn tc trờn R f '( t ) 3t 0, t R ỡù x + y = (1) HVQHQT D 2001 Gii h phng trỡnh ùợ( x + y )( x3 + y ) = 280 (2) (2) ( x y ) xy ( x y ) ( x y )2 3xy 280 (1 xy )(1 3xy ) 280 xy xy 279 x( x 2)(2 x y ) H An ninh A 2001 s: ( x; y ) 1;1; 3;9 x 4x y ( x x)(2 x y ) x2 x u.v u H cho u v v x y x x x y x y xy H An ninh D 2001 Gii h phng trỡnh s: ( x; y ) 0;1; 1;0 x y x y xy x y xy x y xy 2 ( x y ) xy (1 xy ) xy 4( xy ) 6( xy ) x y x2 y2 x2 y Gii h 2 2 2 x y x y 13 x y 3x y 13 xy s: ( x; y ) (1;2), (1;2), ( 1;2), ( 1;2), (2;1), (2;1), ( 2;1), ( 2;1) x y xy H Thy sn 1997 s: ( x; y ) (1;2), (2;1) xy x y x y xy xy ( x y ) xy (5 xy ) x y xy x y xy xy x y x y H An ninh 1997 Gii h s: (x;y)=(0;1)v (1;0) 2 x y x y Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh x y x y xy ( x y ) 3xy ( x y ) ( x y ) xy x y xy s: (x;y)=(1;2),(2;1),(-1;-2),(-2;-1) 10 HSP HN B 2001 Gii h 4 2 x y x y 21 2 x y xy x y xy 2 2 2 x y x y 21 xy x y 21 x3 y 11 H Thỏi Nguyờn 2001 s: ( x; y ) (1;1); ; 2 y 2x x3 x y3 y f ( x) f ( y) , f (t ) t 2t , f '(t ) 3t y x y 2x y x x 2x x xy y 12 HVNH TPHCM A 2001 s: xem vớ d 2 x 13xy 15 y ; ; ( x; y ) 3;2; 3;2 ; ; 2 2 1 x x x y x 2 x y s: 13 A.2003 Gii h , , y y y y x 2 1 = y - f ( x) = f ( y ) vi f (t ) = t - liờntctrờn R \{0} , t x y f '(t ) = + > 0, "t Nhvy x = y t Ta cú: x - y2 y (1) x2 s: x=y=1 14 B2003 Gii h x x (2) y2 iu kin x > 0, y > y y2 + y2 = x + x = y + y f ( x) = f ( y ) x x x +2 Trong ú f (t ) = t + t = t + 2t ị f '(t ) = 3t + > 0, "t ( Ly (1) chia (2): ( ) ( ) ) (1) đ 3x3 - x - = Vy x = y ắắắắắ x y y 15 HVCTQGHCM 2001 Gii h phng trỡnh s: x=y=1 2 y x x iu kin: x 0, y Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh x y x y y 2( x y )( x y ) ( y x ) xy ( x y ) xy ( x y ) xy 1 2 y x y x y x x x x y x y x Trng hp 2 x x x y x x Trng hp 2 y x y2 x 1 xy ( x y ) xy y x x 0, y xy ( x y ) xy vụ nghim 2 y x x 16 Gii h: ỡ ổ ổ ử ỡ ỡ x4 + x2 = y + y ù x ỗỗ x + ữữ = y ỗ y + ữ ù2 x = y + ỗ ữ y y ù ùù ố x ứ ố ứ ùù ớ ù ù ù2 x = y + 1 y ùợ ù2 y = x + ù2 x = y + x ợ y ùợ ộỡù y = x 2 ỡổ ờớ ùỗ x + ửữ = ổỗ y + ửữ ỡ y x = ờù2 x - x - = ữ ỗ ữ ùùỗố ù ợ 2ứ ố 2ứ ớ ờờ ù ù2 x = y + ờùớỡ y = - x y ùợ ù2 x = y + ờù2 x + x + = y ợù ờởợ x y xy s: x=y=1 2 x y x y ( xy 1) 17 Gii h x y xy x y xy 2 2 xy x y ( xy 1) 1 ( xy 1) ( xy 1) t t : t xy t t 2t t t 2 x y t t xy xy t 0, t ( x y )( x y ) 13 18 DB.B 2006 Gii h x, y R 2 ( x y )( x y ) 25 s: H cú nghim (x;y) 3;2 , ( 2;3) Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh ( x y )( x y ) 13 x 13 yx y (2 x y )(3x y ) 2 ( x y )( x y ) 25 ( x y )( x y ) 25 ( x y )( x y ) 25 y x x y 3x y y x ( x y )( x y ) 25 ( x y )( x y ) 25 ( x 1) y ( y x ) y 19 DB1.A 2006 Gii h phng trỡnh , ( x, y R ) ( x 1)( y x 2) y s: H cú nghim (x;y): 1;2, (2;5) Ta thy y khụng l nghim h Nờn h cú nghim y ( x 1) y ( y x) ( x 1) y ( y x ) y u v ( x 1)( y x 2) y ( x 1) ( y x 2) u( v 2) y u v (4 v )( v 2) x2 y2 x y 20 DB1.A 2005 Gii h phng trỡnh x( x y 1) y ( y 1) s: H cú nghim (x;y): ; , ; , 1;2 , ( 2;1) x2 y2 x y ( x y )2 xy x y ( x y ) x y xy xy x y xy x y x y x y xy 2x y x y 21 DB2 A 2005 Gii h phng trỡnh 3x y s: H cú nghim (x;y): 1;1, ( 1;1) u v u v x y x y 2 u v (1 v ) v x y x y 5 x y x y xy xy 22 A.2008 Gii h x y xy (1 x ) Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh x s: H cú nghim y 25 16 x , y 5 x y xy ( x y ) xy u uv v u 0, v u , v ( x y ) xy u v 4 2 2 x x y x y 23 DB.A 2007 x y x xy x xy x y u v u 1, v u 0, v u v x xy x y x x3 y x y x x4 x3 y x2 y x 24 B2008 Gii h 6x x2 y x xy x 2x x s:H cú nghim 17 y ỡù xy + x + y = x - y (1) x s:H cú nghim 25 D.2008 Gii h ùợ x y - y x - = x - y (2) y x ( y 1) x y y (3 y 1) y 3y 2y x x y (3 y 1) y x y x y x y x y x y x y x y x y 26 B.2002 Gii h x x s:H cú nghim , y y x y 27 B.2005 ; s: (1;1),(2;2) 3log (9 x ) log ( y ) Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh x y xy 28 A 2006 Gii h s: (x;y)=(3;3) x y x y xy x y xy x y x y x y xy 16 x y xy x y t 3, t xy x y t 2 t t 11 t xy xy xy 11 t t t 11 x 3x y y 29 Gii h 6 x y f ( x) f ( y) f (t ) t 3t , f '(t ) 3(t 1) 0,| t | 1 s: x=y= Gii h x 1, y x6 y6 x 3x x 22 y y y 30 A 2012 2 x y x y ( x 1)3 12( x 1) ( y 1)3 12( y 1) 2 x y x x y y 31 A 2013 ( x, y R ) 2 x x ( y 1) y y x y xy x y 32 B.2013 ( x, y R ) x y x x y x y x y x 33 B 2013 2log ( x 1) log ( y 1) xy y 34 CABD 2013 x 10 y xy xy x 35 D.2012 2 x x y x y xy y xy x xy x 2 2 x (2 x y ) x y ( y x ) y (2 x y )( x y ) ( x y ) x xy y 3( x y ) 36 DB1 D 2006 Gii h 2 x xy y 7( x y ) s: (x;y)=(0;1),(2;1),(-1;-2) Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh ( x y ) xy 3( x y ) u v 3u u v 3u u v u 1, v 2 2 2 ( x y ) 3xy 7( x y ) u 3v 7u v 2u x x 12 37 H Cụng on 2001 Gii h y y 2 x y xy x y 19 x 38 H Thng mi 2001 Gii h phng trỡnh 2 y xy x y x y 19 u u x x x s: ; v y x v y y y y x x y (1 x ) x 39 Gii h phng trỡnh 6 x y x Vỡ x=0 khụng l nghim h phng trỡnh nờn hpt cho t y yt y t yt (t y ) 2 t 2, y t y yt ( ) t y t x3 1 x y x y 40 H Ngoi thng 1997 x2 y2 x2 y2 ; 1; ; s: ( x; y ) 1; ;1; ;1 1 u x x ,| u | u x , v y u v x y v y ,| v | u v y x xy y 19( x y )2 41 H Hng hi A 2001 Gii h phng trỡnh x xy y 7( x y ) s ( x; y ) (0;0), (3;2), ( 2;3) x3 8x y3 y 42 DB2.A 2006 Gii h phng trỡnh: x y ( ) 6 6 ; s: ( x; y ) (3;1), ( 3;1); ; ; 13 13 13 13 x y 2(4 x y )(1) 2 x y 6(2) th (2) vo (1) Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh ( x y ) 4( x y ) 6( x y ) 43 H XDHN 1997 Gii h x y x y x x s: ; y y log ( y x ) log y 44 A.2004 x2 y2 23 x y y 45 D.2002 x x ; s: (0;1), (2;4) y x 2 ln(1 x ) ln(1 y ) x y 46 2 x 12 xy 20 y x x x y 47 x y y y v uv u x u u u v u u v y v v 3u u u f (u ) u u u f (u ) u u 3u f '(u ) 3u ln u u 3u u f '(u ) u u 3u ln 0, u u M f (u ) f (0) u y x e 2013 y2 Chng minh h phng trỡnh cú hai nghim dng phõn bit 48 x y e 2013 x2 x f ( x ) f ( y ) x y h( x ) e x 2013, x : x x TH1: x 1: Ptvn Th2: x 1: h ''( x ) 0,lim h ( x ) lim h ( x ) Vy hm h(x) liờn tc lừm trờn x x (1; ) Nờn ycbt ch cn cú giỏ tr x0 tha h( x0 ) thỡ phng trỡnh h(x) cú nghim dng e x e y ln(1 x ) ln(1 y ) x y a Chng minh rng vi mi a h cú nghim nht 49 Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh e x e a x ln(1 x ) ln(1 a x ) f ( x ) e a x e x ln(1 x ) ln(1 a x ) y a x f '( x ) 0, lim h( x) , lim f ( x ) x pcm x 50 SDSD H khụng mu mc 51 S 52 S Cỏc bi toỏn h cha tham s x my cú nghim (x;y) tha xy mx y 3 m 3m ( 2) x my y x m m m (3m 1)(3 m ) Ycbt m / m 53 D.2008 Tỡm m h xy y 12 54 x xy 26 m Vỡ h i xng x,y nờn h cú nghim nht x=y 26 m x y y ( x y ) 12 12 ( ) 26 x x y m 26 m y 26 m y y 26 m 12 12 a Gii h m=2 b Vi giỏ tr no ca m thỡ h cú nghim 1 x x y y 55 D-2007 Tỡm m h cú nghim thc x y 15m 10 x3 y3 u v u, v l nghim phng trỡnh f (t ) t 5t m (*) uv m Ycbt f (t ) m cú nghim t1 , t2 tha t1 2; t2 s: m m 22 x y 56 Tỡm m h sau cú nghim phõn bit x x y y 3m u x u v ycbt S m uv m v y P ( x 1) y m 57 Tỡm m h cú nghim nht: ( y 1) x m Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh Gi s (x,y) l mt nghim thỡ ta thy (y,x) cng l nghim h nờn x=y x y x m 58 Tỡm m h cú nghim nht: y 2x y m Xột phng trỡnh ( x 1) x m kho sỏt m Gi s (x,y) l mt nghim thỡ ta thy (y,x) cng l nghim h nờn x=y KS Xột phng trỡnh f ( x ) x x m m m 59 Vi giỏ tr no ca m h sau cú nghim phõn bit log ( x 1) log ( x 1) log log ( x x 5) m log x x x y x x (4,8) t log ( x x 5) (2,3) m t t 3 x 3x x x x m 4m 60 Tỡm m h bt phng trỡnh cú nghim: 61 S Bi toỏn xỏc nh m phng trỡnh cú nghim 2 A.2002 Cho phng trỡnh log3 x log3 x 2m a) Gii h m=2 b) Tỡm m phng trỡnh cú ớt nht mt nghim thuc on 1;3 A.2008 Tỡm cỏc giỏ tr m phng trỡnh sau cú ỳng nghim thc phõn bit 2x 2x x x m B.2004 Xỏc nh m phng trỡnh sau cú nghim: m x2 x2 x4 x2 x2 B 2006 Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim thc phõn bit x mx x B.2007 Chng minh rng vi mi m dng, phng trỡnh sau cú nghim thc phõn bit x x m( x 2) Tỡm m bt phng trỡnh m x ( m 1)2 x m ỳng x R Tỡm m bt phng trỡnh cú nghim x x x 12 m log (2 x ) Tỡm m bt phng trỡnh cú nghim ( x 61 x ) ( m 1)6 x x 2m vi x [0;1] x 61 x x 61 x ( m 1)6 x x 2m 0, x [0;1] 10 Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095 Bi Ging Trng Tõm H Phng Trỡnh Nu c núi: Tụi nguyn s núi nhng iu hay, l phi Nu c lm: Tụi nguyn s c gng lm nhng iu ý ngha v tt Nu cũn sng: Tụi nguyn s sng vỡ mi ngi Cũn bõy gi: Tụi sng vui tng ngy v cú ớch cho mi ngi Ths Phan Cụng Thu Nguyờn 0933 668 095