phương pháp đặt ẩn phụ

II-PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ (Buổi 1) A-Nền tảng tƣ *Ý nghĩa : Đưa bất phương trình phức tạp trở bpt đơn giản *Dấu hiệu : Sau nhóm số hạng, liên hợp, bình phương chia vế cho đại lượng phù hợp xuất thành phần giống *Quy trình : +Bước : Làm xuất cụm chung đặt t +Bước : Tìm miền giá trị t +Bước : Thay bpt ban đầu để bpt đơn giản 1/Dạng : Tổng tích số hạng => Đặt tổng t VD1 Giải BPT 8 x 2 x  3 9 x x 1  Ds : x  5 Tư : +Ta thấy (  x ) (9  x) có quan hệ nên tiến hành thêm bớt +Lại thấy (2  x)  x  ( x  1) có quan hệ nên thêm bớt +Biến đổi cuối xuất cụm *Điều kiện :  x  *BPT   x  x    x  x  Giải  x x 1 1  3 9 x x 1  x  x 1  (1)  x x 1 Đặt t   x  x  *Tìm miền giá trị t   x  x 1    Cách 1: t   x  x   (1  1)(9  x  x  1)  18  t  Mặt khác: t   (9  x)( x  1)   t  2 Mà dấu không xảy  2  t Vậy 2  t  Cách 2: Đặt g ( x)   x  x  miền x  (1;9) 1  Ta có: g '( x)   x x 1 g '( x)   x    x  x  Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy 2  t  t2  *Ta có : t   (9  x)( x  1)  (9  x)( x  1)  t 2t 2t Thế vào(1) ta có : t  3t   t 3 t 8 t 8 t 8 2  (t  3)(t  8)  2t  t  3t  10t  24  t   (t  4)(t  2)(t  3)     3  t  Kết hợp 2  t   t   x  VD2 : Giải BPT    x   x  3x   x  x   x Giải *Điều kiện x   5x   a 3x   a  2b   *Đặt   a; b      2 4 x  a  b  x 1  b   BPT  (a  b)(a  2b2  ab  2)  a  b2  (a  b)(a  2b2  ab  a  b  2)   a2  2b2  ab  a  b   (2) Mà a2  5b2   a2  5b2  Khi (2)  3b2  b   a(b  1)  (3b2  b  2)2  (5b2  4)(b  1)2  9b4  b2   6b3  4b  12b2  5b5  4b2  10b3  8b  5b2   4b  4b3  4b  4b   4b(b3  b  b  1)   b(b  1)(b  1)    b 1  x 1   x  Kết hợp điều kiện   x  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài : Giải BPT  x   x  4  x  10  3x Bài : Giải BPT  x   3x  4(  x   x )  2x x  15 Bài 3: Giải BPT   4 x 4x 1  Bài : Giải BPT x  x   16 x   x  Bài 5: Giải BPT x3  (1  x )3  x  x 2/Dạng : Biến đổi tƣơng đƣơng đặt ẩn phụ 2x VD1 : Giải BPT  20 x 1 x Giải *Điều kiện : x  x   *BPT     1    x 1  x x x 1     (1) x x 1 x Đặt t  x2  x 1 x 1      Ta có x   x   t  (*) x 1 2 2 x2  t  1    2t  3t    (2t  1)(t  1)    t  2t   TH1 : t  1  vô nghiệm 1 TH2 : t  Kết hợp (*) suy t  x  2 *Khi (1)  2t  VD2 : Giải BPT   x2 2 x   10    2  x x 1 x  x2  Giải  0   *Điều kiện : 1  x  BPT    x2 2 x 2   9  2  x x 1 x  x2    x2 x2    x2 x  2   9    x 1 x    x2  x    14       14  (1)    x2 x  x  x2 x t   x2 Ta có t  (*)  2  x  x2 t  2 x2  x2  2 Khi t   x2 x *Đặt t   t (1)  2(t  2)  9t  14   2t  9t  10     t  2 t  Kết hợp (*)  t   t  2   x  x2   *TH1: Với t     x x x  x  x  x2   (2) *TH2: Với t   x  x2 u  Đặt u  Khi (2)  u    2u  5u     u  u 1 x  2 2  x  4(1  x ) 5 x  x 2   x Xét u    x2 x  x  x x  x  1 x     x   Xét u   x 0  x   x2  4 x   x    *TH3: t  2  1  x   1  x      x  1  1  x        Kết hợp TH1 TH2 ta với điều kiện ta có:   x    x 1 5    1   x  x      1  x   BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài : Giải PT 27 125  14   Ds : x  5 x  25 x   3  10  Ds :   x  1 Bài : Giải BPT 3(2 x  x x  3)  2(1  x )     Bài : Giải PT : 5x   x2  x2  x2   40 x2  x2 x  Ds : x    x   x  x   ( x  2)3 Giải *Điều kiện : x  1 Đặt t  x   t  Bài : Giải BPT BPT  t   t   t t (1)  t2  t   t3  t2  t 1  t3  t3  t2  t 1 t3  t  t 1 1   ( t  t  t   1)  t   t  t  t     t  t  t   t (t  t  1)     t    Kết hợp t   t  2 1 3/Dạng : Đƣa dạng đẳng cấp, chia đặt ẩn phụ VD1 : Giải BPT 4(2 x2  1)  3( x2  x) x   x3  10 x Giải *Điều kiện : x  BPT  3( x2  x) x   x3  8x2  10 x   3x( x  1) x    x   (2 x  x  2)  ( x  2) 2 x  3x x   x  2  (1)   *TH1 : x  (1)  x2  x   3x x    x2  3x x   2(2 x  1)      x  2x 1 2x  2x 1   x  2x 1   x2  8x      x   Kết hợp x    x   *TH2 :  x  2 (1)  x2  x   x       x  2x 1 2x  2x 1  x    x  2 x 1   x2  8x     x    1 Kết hợp  x    x   2 1  Từ TH1 TH2 ta có nghiệm BPT x   2;     ;     2  VD2 : Giải BPT x2  15x   8( x  2) x   Giải *Điều kiện : x  1 m  Thiết lập m( x  2)2  n( x  1)  3x3  15 x    4m  n  15  n  3 BPT  3( x  2)2  8( x  2) x   3( x  1)  (1) *TH1 : x  1 Khi (1)   x  1 thỏa mãn *TH2 : x  1 x2  x2    (2) (1)    8 x 1  x 1   t x2 Đặt t  Khi (2)  3t  8t    (3t  1)(t  3)     x 1 t  3 Với t  x   x  x2 37  109     (3) x 18 x 1 9( x  2)  x  9 x  37 x  35  Với t  3  2  x  x2 2 x  3  3  x 1 x 1 (2  x)  9( x  1) 1  x  1  x  13  21    13  21  x  (4) 13  21  x  x  13x     2 Từ (3) (4)  x  37  109 13  21  x2 18 5x2  14 x   x2  x  20  x  Giải 9  5 x  14 x    x  1  x    *Điều kiện :  x  x  20    x   x  4  x  x 1   x  1    *Chuyển vế bình phương ta có : VD3 : Giải BPT 5x2  14 x   x   x2  x  20  x2  5x   ( x  1)( x  4)( x  5)  (1) m( x  1)  n( x  4)( x  5)  Ta có phương án sau : x  x   m( x  4)  n( x  1)( x  5) m( x  5)  n( x  1)( x  4)  Sau thử phương án chọn phương án số với m  3; n  2 (1)  3( x  4)  x  x  x   2( x  x  5)  2 x2  4x  x2  4x  5   (2) x4 x4 x2  x  x4 Đặt t  t  (2)  2t  5t     t   2   61 x  x  4x    x2  5x     *Giải t   x4   61 x   2  61 (3) x2  x  7   x  25 x  56    x8 *Giải t   x4 4 Kết hợp x    x  (4)  61 Từ (3) (4)   x8 Kết hợp x   x  x2 ( x2  1)   3( x2  1)  3x  Giải 2 2 *Ta thấy x ( x  1)   x  x   x  ( x  1)2  x2  ( x  x  1)( x2  x  1) VD4 : Giải BPT  x2 ( x2  1)   x2  x  x  x  BPT  3( x  3x  1)  x  x  x  x   (1) m  n  m   *Phân tích x2  3x   m( x2  x  1)  n( x  x  1)   m  n  n  1 Khi (1)  3( x2  x  1)  x  x  x  x   3( x  x  1)    x2  x   x2  x    x2  x   x2  x    x  x   3( x  x  1)   x  x   3( x  x  1)  4( x  x  1)  3( x  x  1)  x2  x   73 3 x x 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài : Giải BPT x  3x  ( x  3)3  x  Bài : Giải BPT x3  (3x2  x  4) x   Bài : Giải BPT x2  3x   x3  x2  11x   Bài : Giải BPT x2  25x  19  x2  x  35  x  Bài : Giải BPT 3( x  1) x  12  x  20 x  Bài : Giải BPT 8x2  20 x   64 x 