định lí về kĩ thuật SOS phân tích tổng bình phương

www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem Kim Đình Sơn, 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc 1.Mở đầu Kỹ thuật phân tích tổng bình phương chứng minh bất đẳng thức không xa lạ.Trong bất đẳng thức ba biến, đặc biệt có tính đối xứng, kỹ thuật tỏ hiệu việc chứng minh Tuy nhiên, để chứng minh bất đẳng thức phương pháp cần có định lý, mà từ giải nốt “đoạn cuối” Bài viết giới thiệu đình lý SOS vấn đề xung quanh ( không thú vị ) Sau biến đổi , phân tích bất đẳng thức ba biến Trong liên quan đến dạng: biểu thức theo ba biến Các định lý xét tới , từ ta khẳng định Định lý Chúng ta có định lý sau Định lý Nếu bất đẳng thức Có cách khác để chứng minh định lý này, chẳng hạn cách sau sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai Chứng minh Đặt Khi có dạng: Page of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem ta coi Nếu Nếu khác đặt , , tương đương với điều tương đương với Xét = , nên theo định lý dấu tam thức bậc hai ta có điều phải chứng minh Do Chứng minh thú vị, nhiên bạn thử nghĩ xem, liệu có để lại hệ gì? Rõ ràng bạn khó thấy được, lại không tìm chứng minh khác mà từ ta thu hệ bổ ích sau Trước hết, ta xét toán sách Vasile Bài toán : Giả sử số thực dương, : Lời giải Biến đổi bất đẳng thức dạng Trong Page of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem Từ đẳng thức Do ta chứng tỏ Ta có Và Ở ta sử dụng BĐT Schur bậc Đẳng thức xảy Điều đặc biệt mà bạn nhìn thấy lời giải có lẽ đẳng thức , “chiếc chìa khoá” để giải toán, lại không cầm lấy chìa khoá để chứng minh lại định lý Chứng minh Ta có đẳng thức sau Và định lý chứng minh Bạn thấy nào? Quá tuyệt phải không? Chứng minh không khó Đầu tiên bạn chứng Page of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem , điều đơn giản, sau việc cộng ba đẳng thức tương tự ta thu minh Và đến với hệ thú vị từ đẳng thức Hệ Với Hệ Nếu Thực chất hệ , bất đẳng thức (1) đổi chiều định lý Và ta có nhận xét thú vị sau : ta coi số thực Từ ta thu định lý mạnh sau Định lý Với mọị số thực , ta có bất đẳng thức Bây đến với toán mà lời giải chúng sử dụng định lý định lý Bài toán Với số thực , bất đẳng thức sau Đây toán quen thuộc, có ứng dụng nhiều bđt khó Lời giải Vasile tam thức bậc hai phức tạp( tác giả toán ) Chúng ta biết đến chứng minh có dạng SOS quen thuộc, đến với phân tích sau để xem có điều lạ Page of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem Lời giải Biến đổi bđt dạng Đặt ta có Và Khi Do theo , ta có Vậy ta có điều phải chứng minh Phân tích thật tuyệt phải không bạn? Nó khác hoàn toàn với cách phăn tích thông thường khác (có thể chăng? ), chắn việc tìm dấu đơn giản Đẳng thức xảy Remark Với tư tưởng chứng minh trên, ta có nhận xét thú vị sau Nếu ta có bđt Và sử dụng nhận xét ta có toán tổng quát cho bđt sau Page of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem Nếu số thực, Bất đẳng thức có dạng Trong Nếu chọn Nếu chọn từ ta có bđt Nếu chọn , ta có bất đẳng thức ta có bđt Ngoài ra, ta có bất đẳng thức tương tự ( Vasile Bài toán Giả sử sô thực không âm thoả mãn Khi Lời giải Nếu thoả mãn toán đơn giản, nhiên không trường hợp khác , ta sử dụng kỹ thuật phân tích tổng bình phương để giải chúng sau Page of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem Biến đổi bđt dạng Hay Đặt , Do theo dịnh lý ta có điều phải chứng minh Remark Cũng với ý tưởng Ta có toán tương tự sau số thực dương thoả mãn Giả sử , số thực dương lớn , Nếu cạnh tam giác, ta có bđt: Bài toán ba số thực dương, Giả sử Bài toán sử dụng định lý chọn ta có bđt Bài toán Page of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem Nếu số thực, Lời giải Từ định lý , chọn , ta thu bđt Remark Ta có toán tương tự sau Nếu số thực, Bài toán Giả sử số thực dương thoả mãn Khi Lời giải Bài toán nhìn qua không động chạm đến S.O.S, nhiên ta giải phương pháp (mặc dù điều kiện toán lượng giác) Biến đổi bđt dạng Từ áp dụng hệ ta có Page of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem Từ suy điều phải chứng minh Bài toán 6[Kim Đình Sơn] Với độ dài ba cạnh tam giác, với , ta có bất đẳng thức sau Lời giải Chúng ta biến đổi bất đẳng thức dạng S.O.S sau Và ta áp dụng định lý Remark Trong Với , ta có bất đẳng thức sau độ dài ba cạnh tam giác Nhưng chưa rõ với toán có không, bị ràng buộc Hy vọng trao đổi bạn vấn đề Remark Giả sử Bài toán tương đương số thực dương , với , ta có bất đẳng thức sau Page of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem Bài toán 7[Kim Đình Sơn] Giả sử số thực dương thoả mãn , Bài toán 8[Kim Đình Sơn] Giả sử độ dài ba cạnh tam giác, bđt sau 1) 2) 3) Bài toán 9( Bất đẳng thức Shur bậc Cho ) số thực, Qua ví dụ trên, hẳn bạn thấy định lý thật thú vị phải không? Nhờ định lý tạo nhiều bất đẳng thức khác Nếu cách thông thường (áp dụng định lý S.O.S khác) rõ ràng khó hẳn, chúng có tính đối xứng ba biến, định lý thấy chúng hoàn toàn đối xứng Hy vọng qua viết trao đổi thêm với bạn bất đẳng thức, đặc biệt kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S Page 10 of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem Tài liệu tham khảo Sáng tạo bất đẳng thức Tác giả : Phạm Kim Hùng Algebraic Inequalities Old and New Method Author : Vasile Cirtoaje Kim Đình Sơn, 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc FRANCISCO-kimson Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương SOS Page 11 of 12 www.VNMATH.com Định lý kỹ thuật phân tích tổng bình phương S.O.S S.o.S Theorem Page 12 of 12