Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 03 LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TƯƠNG GIAO Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Xét hàm số y = f ( x) có đồ thị (C), tập xác định D1 hàm số y = g ( x) có đồ thị (C’), tập xác định D2 Khi số nghiệm phương trình f ( x) = g ( x) với x ∈ ( D1 ∩ D2 ) số giao điểm hai đồ thị cho Phương trình f ( x) = g ( x) hay f ( x) − g ( x) = ⇔ h( x) = gọi phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số Ví dụ 1: [ĐVH] Biện luận theo m số giao điểm hai đồ thị cho : 2x + y = x4 + x2 + y = x3 − x − y = b) c) a) x+2 y = m ( x − 2) y = (1 − m ) x + 2m y = x + m Hướng dẫn giải: y = x3 − x − a) y = m ( x − 2) ( ) Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − x − = m ( x − ) ⇔ ( x − ) x + x + = m ( x − ) , (1) x = ⇔ 2 ( x + 1) = m ⇔ h ( x ) = x + x + − m = 0, ( ) Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm phương trình (1) Do (1) phương trình bậc ba nên có tối đa ba nghiệm, số giao điểm tối đa hai đồ thị Hai đồ thị cắt điểm (1) có nghiệm Điều xảy (2) vô nghiệm, có nghiệm kép x = ∆′ < 1 − (1 − m ) < ⇔ m < ′ ∆ = Từ ta có điều kiện tương ứng ⇔ m = ⇔ m < → b o −1 = =2 x = − a Hai đồ thị cắt điểm (1) có hai nghiệm phân biệt Điều xảy (2) có nghiệm kép khác x = 2, có hai nghiệm phân biệt nghiệm x = ∆′ = →m = x = − b ≠ 2a Ta có điều kiện ′ ∆ > ⇔ m > →m = h ( ) = m = Hai đồ thị cắt điểm (1) có ba nghiệm phân biệt ∆′ > m > Điều xảy (2) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔ ⇔ m ≠ h ( ) ≠ Kết luận: + Hai đồ thị cắt điểm m < + Hai đồ thị cắt hai điểm m = m = MOON.VN – Gói Pro – S TOÁN HỌC 2016 – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 + Hai đồ thị cắt ba điểm phân biệt m > m ≠ 2x + y = b) x + Điều kiện: x ≠ −2 y = x + m 2x +1 Phương trình hoành độ giao điểm: = x + m ⇔ x + ( m + ) x + 2m − = ⇔ h ( x ) = 0, (1) x+2 Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm khác −2 phương trình (1) Do (1) phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm, số giao điểm tối đa hai đồ thị Hai đồ thị không cắt (1) vô nghiệm có nghiệm kép x = −2 m2 + 4m + − ( 2m − 1) < ∆ < 6 − < m < + ∆ = Ta có ⇔ m − 12m + 12 = ⇔ m = ± ⇔ − < m < + → vno b + m − = −2 x = − = −2 m = 2a Hai đồ thị cắt điểm (1) có nghiệm kép khác −2 có hai nghiệm phân biệt, nghiệm x = −2 m − 12m + 12 = m = ± ∆ = ⇔ →m = 6± + m − ≠ m ≠ − x = − b ≠ −2 2a Ta có điều kiện: ⇔ m > + m − 12m + 12 > ∆ > → vno 8 − ( m + ) + 2m − = ⇔ m < − h ( ) = 3 = Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác −2 m > + m > + m − 12m + 12 > ∆ > Ta có điều kiện: ⇔ ⇔ m < − → h ( ) ≠ 8 − ( m + ) + 2m − ≠ m < − 3 ≠ Kết luận: + Hai đồ thị không cắt − < m < + + Hai đồ thị cắt điểm m = ± m > + + Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt m < − y = x + x + y = (1 − m ) x + 2m c) Phương trình hoành độ giao điểm: x + x + = (1 − m ) x + 2m ⇔ x + mx + − 2m = ⇔ h ( x ) = 0, (1) Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm phương trình (1) Do (1) phương trình bậc bốn nên có tối đa bốn nghiệm, số giao điểm tối đa hai đồ thị Đặt t = x , ( t ≥ ) → h ( t ) = t + mt + − 2m = 0, ( ) Hai đồ thị không cắt (1) vô nghiệm, điều xảy (2) vô nghiệm, có nghiệm kép âm, có hai nghiệm âm phân biệt +) (2) vô nghiệm ∆ < ⇔ m2 − (1 − 2m ) < ⇔ m2 + 8m − < ⇔ ( m + ) < 20 ⇔ −4 − < m < −4 + m + 8m − = ∆ = m = −4 ± ⇔ −m ⇔ → m = −4 + +) (2) có nghiệm kép âm −b t = 2a < MOON.VN – Gói Pro – S TOÁN HỌC 2016 – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 m > −4 + m + 8m − 4.0 m < −4 − ∆ > +) (2) có hai nghiệm âm phân biệt t1 + t2 < ⇔ − m < ⇔ m > → −4 + < m < t t > 1 − 2m > 12 m < Hợp ba khả lại ta điều kiện để hai đồ thị không cắt −4 − < m < Hai đồ thị cắt điểm (1) có nghiệm, điều xảy nghiệm x = Từ ta kiện − 2m = ⇔ m = Hai đồ thị cắt hai điểm phương trình (1) có hai nghiệm, điều xảy (2) có nghiệm kép dương, có hai nghiệm trái dấu m + 8m − = ∆ = m = −4 ± +) (2) có nghiệm kép dương −b ⇔ −m ⇔ → m = −4 − >0 m < t = 2a > +) (2) có hai nghiệm trái dấu t1t2 < ⇔ − 2m < ⇔ m > m = −4 − Hợp hai khả lại ta điều kiện để hai đồ thị cắt hai điểm m > Hai đồ thị cắt ba điểm (1) có ba nghiệm, điều xảy (2) có nghiệm t = nghiệm t > h ( ) = 1 − 2m = m = Điều xẩy ⇔ ⇔ → vno −m > t1 + t2 > m < Vậy giá trị m để hai đồ thị cắt điểm Hai đồ thị cắt bốn điểm (1) có bốn nghiệm, điều xảy (2) có hai nghiệm phân biệt, hai nghiệm dương m > −4 + m + 8m − > m > −4 − ∆ > Điều xẩy t1 + t2 > ⇔ −m > ⇔ m < → m < −4 − t t > 1 − 2m > 12 m < Kết luận: +) Hai đồ thị không cắt −4 − < m < 2 +) Hai đồ thị cắt điểm m = m = −4 − +) Hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt m > +) Hai đồ thị cắt bốn điểm phân biệt m < −4 − Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị MOON.VN – Gói Pro – S TOÁN HỌC 2016 – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] y = x3 + 3x + x a) y = 3x + Facebook: LyHung95 x+3 y = b) x −1 y = x − y = x3 + (m − 1) x + 2mx + Ví dụ 3: [ĐVH] Biện luận số giao điểm hai đồ thị theo tham số m y = 3x − x + 2m y = Ví dụ 4: [ĐVH] Biện luận số giao điểm hai đồ thị x − theo tham số m y = mx + BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Biện luận theo m số giao điểm hai đồ thị hàm số cho đây? x3 x +1 y = x − x − y = − + 3x y = a) b) c) x −1 y = m ( x − 1) y = m ( x − 3) y = −2 x + m Bài 2: [ĐVH] Biện luận theo m số giao điểm hai đồ thị hàm số cho đây? x4 y = − + 3x + a) 2 y = mx + y = −2 x + ( m + 3) x − b) y = − x − 2x y = c) x+2 y = − mx + MOON.VN – Gói Pro – S TOÁN HỌC 2016 – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!