Sách viết về những kiến thức số học bậc THCS dành cho học sinh khá giỏi Trích dẫn nhiều sách hiếm của thầy Vũ Hưu Bình và Trần Thành Minh chuyên dành cho học sinh ôn thi khối thcs, thpt, thi đại học. Hy vọng hữu ích cho các bạn
TRNG CAO NG S PHM H TY Lời nói đầu Học tập nghiên cứu quyền nghĩ vụ sinh viên Để có đợc thành công,bản thân phải nỗ lực không ngừng phấn đấu vơn lên Thành công không kể đến công lao to lớn thầy cô giáo Những ngời ngày theo sát suốt trình học tập Lá sinh viên năm thứ III trờng nhận đợc giúp đỡ tận tình thầy cô giáo nhà trờng,trong khoa.Trong năm học dới mái trờng s phạm,tôi trang bị đợc cho kiến thức,sự hiểu biết sống,đất nớc ,con ngời gần công tác nghiên cứu khoa học với giúp đỡ,hớng dẫn thầy cô dã hoàn thành đề tài nghiên cứu Lời cảm ơn trân trọng xin gửi tới thầy Đõ khắc Điện ngời dẫ theo sát hớng dẫn suót trình làm đề tài.Cảm ơn thầy cô khoa tự nhiên,trong trờng CĐSP Hà Tây,trờng THCS Dân Hòa,các bạn,các em học sinh trờng THCS Dân Hòa ngời không ngần ngại dúp đỡ trình đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn ! Phần I : mở đầu 01 Lý DO chọn Đề TàI Toàn học môn khoa học coe bản.nó giúp phát triển t sáng tạo logic ngời học Toán học đòi hỏi trở nên tơng tác nhiều Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang TRNG CAO NG S PHM H TY môn khoa học khác nh: Vật lý, hóa học Theo giáo s p.Grifiths cho Toán học vừa môn khoa học xác vẻ đẹp năng, vừa nguôn công nghệ giàu có để áp dụng cho giứi thực Chúng ta thấy toán hhọc có vị trí vô quan trọng trơng trình học phổ thông Nó đóng góp trình phát triển t logíc cho học sinh Qua trình tìm hiểu chơng trình toán học THCS thực tế thấy số học phần khó, đòi hỏi phải có phân tích tổng hợp, suy luận chặt chẽ, xác đồng thời niên quan đến nhiều mảng kiến thức khác Số học THCS đợc phân bố hầu nh khối lớp từ 6- nhng kiến thức đợc giới thiệu trơng trình lớp Trên thực tế em học sinh THCS để giải đợc toán số cụ thể nh toán liên quan đến tính chia hết khó khăn Trớc thực tế đó, để hộ trợ phần trình dậy học phần số học này, cố gắng nghiên cứu, tìm tòi mạnh dạn đa đề tài Môt số phơng pháp chứng minh toán chia hết tập số nguyên Tôi hy vọng đề tài giúp ngời dạy ngời học coa sở để giải toán chia hết tập số nguyên Z 0.2 Tình hình nghiên cứu đề tài Số học phần mở đầu cho chơng trình tính toán THCS lại mảng khó nên có nhiều tác giả đề cập tới vấn đề nhiều khía cạnh khác Song với đề tài hy vọng bổ xung đợc phần khía cạnh cha đợc phân tích đầy đủ để số học trở nên gần gũi với ngời học 0.3 Mục đích nhiệm vụ đề tài 3.1 Mục đích Cung cấp cho học sinh kiến thức phơng pháp chứng minh toán chia hết tập số nguyên, từ có kỹ giải đợc tóan loại nhằm phát triển t lôgíc sáng tạo cho học sinh Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang TRNG CAO NG S PHM H TY 3.2 Nhiêm vụ Nêu đợc phơng pháp chứng minh toán chia hết đặc trng, u điểm hạn chế phng pháp để từ tận dụng, phối hợp phơng pháp cách hợp lí giúp em có tảng sở giải toán chia hết biết nhận biết chúng 0.4 Đối tợng phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tợng đề tài Là tính chia hết tập số nguyên với khách thể học sinh THCS 4.2 Phạm vi nghiên cứu Tính chia hết tập số nguyên chơng trình toán THCS 0.5 Các phơng pháp nghiên cứu Các phơng pháp nghiên cứu đợc sử dụng đề tài + Phơng pháp nghiên cứu lý luận + Phơng pháp tham khảo ý kiến chuyên gia 0.6 Đóng góp đề tài Đề tài đóng góp cho học sinh nắm vững kiến thức cách hệ thống, đầy đủ, ngắn gọn mà học cách làm toán, cách suy luận giúp trình học đạt kết tốt Để tài tài liệu tham khảo cho giáo viên vận dụng có hiệu vào thực tiễn dậy học Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang TRNG CAO NG S PHM H TY Phần II : NộI DUNG CHƯƠNG I: Những kiến thức sở Phơng pháp quy nạp toán học Trong nhiều lĩnh vực khác toán học ( Số học, Đại số, Hình học ) ta thờng gặp toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dơng biến n Khi ta có phơng pháp chứng minh quy nạp cho mệnh đề Cụ thể để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với số nguyên dơng n ta thực bớc sau: Bớc 1: Chứng minh A(n) mệnh đề n =1 Bớc 2: Với k số nguyên dơng tùy ý, Xuất phát từ giả thiết A(n) mệnh đề n = k ta chứng minh A(n) mệnh đề n = k+1 Một số kiến thức chia hết tập số nguyên 2.1 Định nghĩa Cho hai số nguyên a b với a ta nói b chia hết a (hay a chia hết cho b) tồn số nguyên c cho a=b.c, b đợc gọi ớc a a đợc gọi bội b, a chia hết cho b, ta thờng kí hiệu b/a a b 2.2 Tính chất Từ trở phát biểu kết tập số nguyên Z Tính chất 2.2.1: Nếu a b b c a c Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang TRNG CAO NG S PHM H TY Tính chất 2.2.2: Nếu a b chia hết cho m ( m0) (a+b) m (a-b) m Hệ 2.2.3 : Nếu tổng hai số chia hết cho m hai số chia hết cho m, số cọn lại chia hết cho m Hệ 2.2.4 : Nếu hai số a b chia hết cho m, số không chia hết cho m a + b m a b m Tính chất 2.2.5 : Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m Tính chất 2.2.6 : Nếu a m b n a.b m.n Hệ qủa 2.2.7 : Nếu a b an bn Hệ qủa 2.2.8 : Cho hai số nguyên tố a b ( b 0) Nếu có số nguyên c (c 0) cho a = b c a c 2.3 Một số dấu hiệu chia hết: Gọi A = a n a n1 .a a1a0 ta có: 1> A a0 2> A a0 3> A a1a0 4> A 25 a1 a0 25 5> A a a1 a0 6> A 125 a a1 a0 125 7> A n a i =0 8> A Lấ TH HON SBD : 163 i n a i =0 9> A 11 i (an + an-2 + + a2 +a0) - (an 1+ an-3+ + a3 + a1) 11 KHOA T NHIấN Trang TRNG CAO NG S PHM H TY 2.4 Một số khái niệm bản: Định nghĩa 2.4.1 : Số nguyên tố số nguyên dơng lớn chia hết cho Định nghĩa 2.4.2 : Hợp số số nguyên dơng khác không số nguyên tố Định nghĩa 2.4.3 : Hai số nguyên a, b đợc gọi số nguyên tố ớc chung lớn chúng Kí hiệu ƯCLN (a,b) = hay (a,b) = 2.5 Một số lu ý chữ số tận cùng: i Các số có tận ; ; ; nâng lên lũy thừa khác tận ; ; ; ii Các số có tận ; ; nâng lên lũy thừa đợc chữ số tận iii Các số có tận ; ; nâng lên lũy thừa đợc số tận 2.6 Tính chất đẳng nhị thức newton: i an bn = (a b).( an-2 + an-2.b + + a.bn-2 + bn-1) ii an + bn = (a + b).(an-1 an-2.b + + a.bn-2- bn-1) iii (a + b)n = an + C 1n an-1.b + + C nn1 a.bn-1 + bn) n N Ta kí hiệu BS x bội số số nguyên x, ta có:\ i (a+b)n = Bsa + bn (*) ii (a + 1)n = BSa + iii (a 1)2n = BSa +1 iv (a 1)2n+1 = BSa -1 Ta chứng minh (*) : (a + b)n = an + C 1n an-1.b + + C nn1 a.bn-1 + bn) = Bsa + bn Vậy (*) đợc chứng minh Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang TRNG CAO NG S PHM H TY Chứng minh tơng tự ta dợc kết lại 3> Kiến thức chứng minh phản chứng: Phản chứng phơng pháp chứng minh gián tiếp Nội dung để chứng minh kết toán ta chứng minh điều trái lại với sai Cụ thể ta phải thực bớc sau: Bớc 1: Giả sử có điều trái lại với kết luận toán Bớc 2: Từ điều giả sử từ giữ kiện toán ta đến điều mâu thuẫn vơí giả thiết hay với kiến thức biết Bớc 3: Khẳng định kết luận toán 4> Nguyên lý Đirichlê: Đây phơng pháp giúp ta khẳng định tồn không tồn việc Nội dung cuả phơng pháp là: Nếu ta nhốt n thỏ vào n - lồng tồn lông có từ hai thỏ trở lên Một cách tổng quát: Nếu nhốt n thỏ vào k lồng mà phép chia lồng chứa n d tồn k n + thỏ trở lên k Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang TRNG CAO NG S PHM H TY CHƯƠNG II : PHƯƠNG PHáP CHứNG MINH BàI TOáN CHIA HếT TRÊN TậP Số NGUYÊN Chứng minh toán chia hết tập số nguyên Z toán chơng trình số học Song toán chứng minh chia hết phong phú đa dạng Đê thấy đợc cách giải toán cần phải đợc trang bị phơng pháp chứng minh Để thực đợc điều đó, xin đề xuất phơng pháp chứng minh chia hết tập số nguyên Z Phơng pháp quy nạp toán học: Bài toán 1.1: Chứng tỏ hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang TRNG CAO NG S PHM H TY Chứng minh: Giả sử hai số tự nhiên liên tiếp n n+1 (n N) ta cần chứng minh hai số n n +1 chia hết cho Xét tích n.(n+1) kjhi cần chứng minh tơng đơng n.(n+1) (1) +> Với n=1 n.(n + 1) = 1.2 =2 suy (1) +> Giả sử (1) với n=k , k>1 N hay k.(k + 1) Ta cần chứng minh (1) với n = k + tức chứng minh : (k+1).(k+2) Thật ta có : (k + 1).(k + 2) = k(k + 1) + 2.(k + 1) Theo giả thiết quy nạp ta có k(k + 1) mà 2.(k + 1) k N suy (k +1) ( k + 2) hay (1) đợc chứng minh Nhận xét 1.1 : i toán ta sử dung phơng pháp quy nạp, ta dễ dang da điều cần chứng minh băng cách phân tích biểu thức cần chứng minh qua giả thiết có ii Bài toán có cách giải khác dợc giới thiệu phần sau từ toán ta có toán tổng quát sau: Bài toán 1.2 : Trong n số tự nhiên liên tiếp có số chia hế cho n Chứng minh : Giả sử có n số tự nhiên liên tiếp n (p + 1) ; (p + 2) ; ; (p +n) Ta cần chứng minh n số tự nhiên có số chia hết co n Xét tích: (p + 1).(p + 2) (p + n) Điều cần chứng minh tơng đơng (p + 1) ; (p + 2) ; ; (p +n) n (**) +> Với p = ta có (1 + 1).(1 + 2) ( + n) n +> Giả sử (**) với p = k ; k>1 N ta có (k + 1).(k + 2) ( k + k) k (2) Ta cần chứng minh (**) với p = k +1 Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang TRNG CAO NG S PHM H TY Tức chứng minh (k + + 1).( k +2) ( k +1 + k +1) (k+1) Thật ta có: (k + + 1).( k +2) ( k +1 + k +1) = (k + 2).(k + 3) ( 2k +2) = 2(k +1).(k + 2) (2k + 1) k+1 Vậy (** ) đợc chứng minh Bài toán 1.3 : Chứng minh tổng lập phơng ba số nguyên dơng liên tiếp chia hết cho Chứng minh : Giả sử ba số nguyên dơng liên tiếp : n, n + 1, n + 2; n Z + ta phải chứng minh : n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 (3) +> Với n = ta có 13 + (1 + 1)3 + (1 + 2)3= 13 +23 + 33 = 36 nên (3) Giả sử (3) với n = -k , k>1 Z + ta có k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 Thật (k + 1)3 + (k + 2)3+ (k + 3)3 =(k +1)3+( k + 2)3 + k3 + 9K2 + 27K + 27 = K3 +(K + 1)3+ (K +2)3 + 9K2 +27K + 27 = K3 +(K + 1)3+ (K +2)3 + 9(K2 +3K + 3) Mà theo giả thiết quy lạp ta có : K3+(k+1)3+(k+2)3 k z + Mặt khác 9(k2+3k+3) Vậy (k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 hay (3) đợc chứng minh *Nhận xét : Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 10 TRNG CAO NG S PHM H TY Chứng minh: Ta có 3x2 + 7y2 = 2002 3x2 = 2002 - 7y2 3x2 = 7(286 - y2) mà (3,7) = nên x x2 286 - y2 = 286 -(y2 +1) (21) => y2 +1 Giả sử y = 7k +l (0 l 7) Ta có y2 + = (7k +l)2 +1 = 7(7k2 + 2kl) + l2 + Thử với l =0; ; ; ; ; ; ; ta thu đợc kết l2 +1 không chia hết cho (22) Từ (21) (22) => không tồn hai số nguyên x, y để 3x2 + 7y2 = 2002 Bài toán 3.4 : Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn phơng trình x2+y2 = z2 Chứng minh rằng: a) Trong hai số x, y có số chia hết cho b Tích xy 12 Nhận xét: Với x Z x2 chia hết cho chia hết cho d 1; chia hết cho cho d Chứng minh a) Nếu x,y không chia hết cho x2, y2 chia hết cho d đó: z2 = x2 + y2 z2 chia hết cho d (điều vô lí) Vậy hai số x, y có số chia hết cho b) Xét trờng hợp: Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 34 TRNG CAO NG S PHM H TY +> x,y lẻ : x2 chia cho d y2 chia cho d => z2 = x2 + y2 chia hết cho d 2( Điều vô lí) Vậy điều kiện x,y thỏa mãn (21) +> x,y chẵn Khi đó: x y (Theo câu a) x.y Mà (3,4) =1 => x.y = 12 +> x, y không tính chẵn lẻ Để không tính tổng quát Giả sử x chẵn, y lẻ z lẻ Đặt y = 2p + z = 2q + với p , q Z Ta có x2 = z2 - y2 = (2q + 1)2 - (2p +1)2 ={4q(q + 1) - 4p(p + 1)} => x hay x.y kết hợp kết câu a => x.y 12 Cũng với việc sử dụng phơng pháp chứng minh phản chứng Bài toán 3.5 : Xét số gồm chữ số phân biệt mà chữ số thuộc tập hợp {1;2;3;4;5;6;7} a) Hỏi có chữ số a,b,c mà a + b = c không? b) Hỏi có chữ số khác a,b mà a chia hết cho b không? Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 35 TRNG CAO NG S PHM H TY Nhận xét: Mỗi số gồm chữ số phân biệt mà chữ số thuộc tập hợp {1;2;3;4;5;6;7} chia cho có số d bẳng tổng chữ số + +3 +4 +5 +6 +7 = 28 chia cho nghĩa có số d Chứng minh: a) Giả sử có ba chữ số a, b, c mà a + b = c Vì a, b chia cho có số d nên a + b khi chia cho có số d nhng c chia cho có số d ( mâu thuẫn với giả thiết a + b = c) Vậy không tồn số a, b, c mà a = b.n Vì b x > 1234567 x > a nên < n < Với b số bé đợc lập từ tập hợp cho với b = (9k + 1).n = 9kn + n mà a chia hết cho d nên n=1 => a = b (trái giả thiết) nh vậy, với phong phú toán chia hết lại có cách giải tơng ứng thú vị, không sử dụng tính chất chia hết mpí chứng minh đợc Ta sử dụng phơng pháp chứng minh thứ mà muốn giới thiệu là: Phơng pháp chứng minh sử dụng nguyên lí Đirichlê 4.Nguyên lý đirichlê sử dụng chứng minh : Bài toán 4.1: chứng minh tồn bội 2003 có dang 20042004 2004 Nhận xét : Nắm vững nội dung nguyên lí đirichlê để dẫn đến chứng minh tồn hai số có số d phép chia cho 2003 Sau sử dụng hệ 2.8 Chứng minh : Xét 2004 số : a1 = 2004 a2 = 20042004 a2004 = 20042004 2004 < nhóm 2004 có mặt 2004 lần > theo nguyên lý đirichlê ,tồn hai số có số d phép chia cho 2003 Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 36 TRNG CAO NG S PHM H TY Gọi hai số am , an < n < m < 2004 am - an 2003 Ta có : am - an = 2004 .2004000 .0000 = 2004 2004 104n m - n nhóm 2004 Do 104n 2003 nguyên tố nên: 2004 2004 2003 m - n nhóm 2004 Bài toán 4.2: chứng mih tồn số nguyên dơng n 2n -1 1991 Chứng minh Xét 1991 số , 22 , 23 , .,21991 Vì 2k số chẵn ( K Z ) nên không chia hết cho 1991 Do có 1990 số d theo nguyên lí đirichlê nên tồn hai số có số d phép chia cho 1991 + Để không tính tổng quát : Giả sử hai số k 2m < k < m h ) Khi 3t - 3h 1000 => ( 3t-h - ) 1000 ( , 1000 ) = nên ( 3h , 1000) = 1và ( 3t-h - ) 1000 Đặt K = t - h ; có ( 3k - ) 1000 (đpcm) +)Tơng tự cách giả toán ta giải toán sau : Bài toán 4.6 : Chứng minh tồn số tự nhiên k cho ( 7k - ) 2000 Bài toán 4.7 : Chứng minh ( p ,q ) = tồn số tự nhiên k cho ( pk - ) pm ( m Z+ , cho trớc ) Có thể thấy ,các toán có chug dấu hiệu số lồng số thỏ hai số nguyên tố Đây nhận xét quan trọng giúp ta giải toán chia hết vận dụng nguyên lí đirichlê Trên , da bốn phơng pháp để chứng minh toán chia hết Với dạng toán phong phú tính chia hết , đòi hỏi ngời học phải nắm phơng pháp giả , tạo sở đẻ có phối hợp linh hoạt cách Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 38 TRNG CAO NG S PHM H TY giải có lối t theo nhiều cách , phải biết nhận xét linh hoạt cách giải có nối t theo nhiều cách, phải biết nhận xét linh hoạt , sáng tạo tìm đặc điểm riêng chung toán từ áp dụng cách nhanh chóng , linh hoạt xác phơng pháp Điều kích thích hiểu biết , tìm tòi sáng tạo ngời học , sở nhnhc hứnh thú , say me toán học em đặc biệt phần toán học Với mong muốn nh , hy vọng bạn yêu thích tìm thêm cách giải thú vị cho toán chia hết tập số nguyên mở rộng Phần III : tập tham khảo Bài toán 1: Chứng minh a) 7n+2 + 82n+1 19 b) 62n + 3n+2 11 c) 22+n 3n + 5n - 25 d) n4 + 6n3 +11n2 + 6n 24 Với số nguyên n Bài toán 2: Chứng minh a) sn = ( n+1 )( n+2 ) + + ( n+n ) 2n b) 424n = 214n + 8( n+ 11) + 37n + 45 Với số nguyên n Bài toán 3: tìm n N cho a) 5n - 2n 63 b) 32n+3+24n+1 25 c)31n - 15n - 24n- 8n 112 Bài toán 4: Chứng minh tổng 2p + số tự nhiên liên tiếp Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 39 TRNG CAO NG S PHM H TY chia hết cho p + Bài toan 5: a) Chứng minh : 3x + 5y x+ 4y ( x, y N ) Điều ngợc lại có không ? b) a, b , n N biết an Chứnh minh ( a2 +98b ) 49 Bài toán 6: Chứng minh a, b , n N ta có a) [(10n - ).a + (11 11 - n)b ] n chũ số b) ( 10n + ) Bài toán : Chứng minh 3663 - nhng không chia hết cho 37 Bài toan : Chứng minh a) (3 + 33 + 35 + + 32n -1) 30 b) 271958 - 108878 +101528 26460 c) 31n - 15n - 24n + 8n 112 d) ( 10n + 23) e) ( 3737 - 2323 ) 10 với n Z Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 40 TRNG CAO NG S PHM H TY Bài toán 9: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau a) 15x - 19y = 11 b) 41x - 37y = 187 c) 5x + 12y = 75 Bài toán 10: Chứng minh tổng bình phơng hai số nguyên chia hết cho số chia hết cho Bài toán 11: Cho 10 số nguyên dơng : , , ,10 Sắp xếp tùy ý 10 số vào hàng Cộng số với số thứ tự hàng ta đợc 10 tổng Chứng minh răng: Trong 10 tổng tồn hai tổng có chữ số tận giống Bài toan 12 : Chứng minh tồn bốn chữ số tận 1992 chia hết cho1993 Bài toán 13: Tìm chữ số tận 3100 Bài tóan 14: Thay dấu (*) chữ số thích hợp 896 = 4969**290961 Bài toán 15: Chứng minh tổng lập phơng số nguyê chia hết cho tồn số bội Bài toán 16: Phải lấy số tự nhiên đẻ chắn tồn hai số mà hiệu chúng chia hết cho Bài toán17: Cho số nguyên tố lớn Chứng minh rằn số tồn số mà tổng hiệu chúng chia hết cho 12 Bài toán 18: Trong số tự nhiên , số có chữ số chọn đợc số mà viết liền ta thu đợc ột số có chữ số chia hết cho Bài toán 19: Chứng minh tập số tự nhiên tìm đợc số có dạng19941994 1994000 00 1995 Bài toán 20: Thay (*) chữ số thích hợp để : Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 41 TRNG CAO NG S PHM H TY a) 25* b) 9*4 c) *18* , , , Bài toán 21: Chứng minh số a , a+k a+2k số nguyên tố lớn k chia hết cho Bài toán 22 : Tìm hai số tự nhiên a b để số a) A = 5a0b 15 b) B = 5a1b 12 c) C = 3a12b 15 Bài toán 23: Chứng ming số tự nhiên A = 11.2.3 .20032004(1 + 1/2 + 1/3 + + 1/2003 + 1/2004 ) 2005 Bài toán 24 : tìm số tự nhiên có hai chữ số cho số chia hết cho tích chữ số Bài toán 25 : Chứng minh với số nguyên bao giừ tồn số có tổng chia hết cho Bài toán 26: Chứng minh rằn với số nguyên tố p > ta co A = 3p - 2p - 42p Bài toán 27: Chứng minh với số tự nhiên n Ta có hiệu m - S(m) Trong S(m) tổng chữ số m Bài toan 28: Chứng minh Nếu p q hai số nguyên tố lớn băng p2 - q2 24 Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 42 TRNG CAO NG S PHM H TY phần IV : thực nghiệm I.Mục đích ,yêu cầu: Trên sở lý luận kiến thức bả nội dung phơng pháp chứng minh toán chia hết tập số nguyên : Phơng pháp quy nạp toán học , phơng phap ssử dụng kiến thức chia hết , phơng pháp chứng minh phăn chứng phơng pháp vận dụng nguyên lý đirichlê , qua việc nghiên cứu tình hình thực tế trơng THCS Dân Hòa - Thanh Oai - Hà Tây áp dụng kiến thức bả vào giải toán với toán chia hết Nếu giáo viên nhiệt tình hớng dẫn học sinh biết vận dụng cách linh hoạt sabgs tạo phơng pháp vào việc chứng minh toán chia hết tập số nguyên mang lại hiệu định Tùy theo vận dụng mức độ , thừi gian khác mà hiệu mang lại khác Thực nghiệm phần phản ánh kết Củng cố Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 43 TRNG CAO NG S PHM H TY xây dựng niềm tin cho thân đồng nghiệp Quan tâm suy nghĩ chuẩn bị cho công tác giảng dạy trờng THCS II.Quá trình thực nghiệm : Quá trình làm đề tài , may mắn đợc trùng với đợt thực tập Đây dịp tốt để hoàn thành tôt đề tài tiến hành thực nghiệm Đến trờng THCS Dân Hòa -Thanh Oai - Hà Tây , thời gian thực tập quan sát , điều tra học sinh tiết học bồi dỡng , qua tập mà học sinh trình bày , quan sát giáo viên hơng sdẫn học sinh giải môt số tập lớp nhà với mục đích nắm đợc cachs hớng dẫn học sinh sử dụng linh hoạt phơng pháp có liên quan để làm dạng toán Qua việc thực nghiệm đề tài lớp 7A thu đợc kết sau : + Tôi đa tập : chứng minh với n N 74n - Yêu cầu em suy nghĩ làm Sau thời gian thấy em hầu nh không chứng minh đợc vì: - Với n số tự nhiên , toán dạng tổng quát nên em bắt đầu suy nghĩ từ đâu - Bài toán dạng mũ nên em hầu nh sợ toán Trớc tình hình , hớng dẫn giới thiệu với em số phần đề tài thực hiên , sau cac sem làm thử em tỏ linh hoạt ận dụng kiến thức cung cấp để giải toán loại khác Nh với đề tài , thấy thực giúp íc cho học sinh trình học môn số học cho giáo viên giảng dạy môn Xây dựng cho em bớc vững chác , hứng thú , say mê toán học em nhiệm vụ , tâm huyết ngời giáo viên Điều thúc Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 44 TRNG CAO NG S PHM H TY đẩ ngời giáo viên không ngừng nghiên cứu sáng tạo đẻ đem tới cho cac sem kiến thức bổ ích sống , bớc đệm để tạo nhân tài cho Đất Nớc tơng lai phần V : kết luận Đề tài phơng pháp chứng minh toán chia hết tập số nguyên nghiên cứu phần nhỏ lý thuyết chia hết môn số học Qua qua trình tìm tòi , tham khảo tài kiệu với hớng dẫn bảo thầy cô giáo , hệ thống đợc đầy đủ kiến thức sở phục vụ cho việc chứng minh toán chia hết đua đợc phơng pháp chứng minh cụ thể Tôi thấy đề tài đề tài bổ ích cho giáo viên học sinh ,đặc biệt THCS với buổi dạy học bồi dỡng thờng xuyen cho em,Nó góp phần xây dựng học sinh tảng số học làm cho số học gần gũi vứi em Bản thân tích lũy cho kiến thức cần thiết hoàn thiện dần kĩ giải bai ftoán chia hết Để hoàn thành đè tài bêb cạnh việc tham khảo tào liệu , trao đổi tiếp thu kiến thức , ý kiến bạn bè , tìm hiểu tình trạng học toán học sinh THCS nỗ lực thân , đợc bảo tận tình thầy cô khoa tự nhiên trờng CĐSP Hà Tây , trực tiếp thầy Đỗ Khắc Điện Sự thành đề tài phụ thuộc nhiều vào vận dụng cách linh hoạt , sáng tạo khéo léo nội dung đề tài vào thực tế Tôi xin chân thành cảm ơn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đỗ khắc Điện toàn thể thầy cô , bạn bè giúp qua trình làm đề tài Hoàn thành đề tài thân không tránh khỏi chủ quan thiếu xót Rất mong góp ý , bổ xung thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tam khảo Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 45 TRNG CAO NG S PHM H TY nâng cao phát triển đại số ( NSB Giáo Dục 1997 ) tác giả : Vũ Hữu Bình tuyển chọn học sinh giỏi toán thcs số học - đại số (NSB Hà Nội) tác giả : Lê Hồng Đức , Đào thiện Khải tuyển tập toán chọn lọc thcs ( NXB Giáo Dục 2003) tác giả :Vũ Dơng Thụy , Trơng Công Thành ,Vũ Ngọc Đại toán nâng cao lớp (NXB Đà Nẵng 1996) tác giả : Nguyễn Vũ Thanh Nâng cao phát triển toán ( NXB Giáo Dục 2003 ) tác giả :Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển toán (NXB Giáo Dục 1995) tác giả : Vũ Hữu Bình Mục lục lời nói đầu phần I : mở đầu Lí chọn đề tài Tình hình nghiên cứu đề tài Mục đích nhiệm vụ đề tài 3.1 Mục đích 3.2 Nhiệm vụ Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 46 TRNG CAO NG S PHM H TY Đối tợng phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tợng đề tài 4.2 phạm vi nghiên cứu phơng pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài phần II : nội dung CHƯƠNG : Những kiến thức sở Phơng pháp quy lạp toán học Một số kiến thức chia hết tập số nguyên 2.1 Định nghĩa 2.2 tính chất 2.3 Một số dấu hiệu chia hết 2.4 Một số khái niệm 2.5 Một số lu ý chữ số tận 2.6 Kiến thức đẳng nhị thức NiuTơn kiến thức chứng minh phản chứng Nguyên lí đirichlê chơng : phơng pháp chứng minh toán Chia hết tập số nguyên Phơng pháp quy nạp toán học Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết Phơng pháp chứng minh phản chứng Phơng pháp chứng minh sử dụng nguyên lí Đirichlê phần III : tập tap tham khảo phần IV : thực nghiệm phần V : kết luận tài liệu tham khảo Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 47 TRNG CAO NG S PHM H TY mục lục Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 48 [...]... n3(n2- 7)2 -36n = n[n2(n2- 7)- 36] =n.[(n3-7n)2-62] =n.(n3-7n- 6). (n3-7n+ 6) =n.(n+ 1). (n+ 2). (n- 3). (n- 1). (n- 2). (n+ 3) =(n- 3). (n- 2). (n- 1). n.(n+ 1). (n+ 2). (n+ 3) Mà : +) (n- 3 )( n- 2) và (n- 1). n ; (n+ 1). (n+ 2) 2 (n- 3). (n- 2). (n- 1). n 4 A 16 +) (n- 3 )( n- 2 )( n- 1) và (n+ 1 )( n+ 2 )( n+ 3) 3 Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 21 TRNG CAO NG S PHM H TY A 9 +) (n- 3). (n- 2). (n- 1). n.(n+ 1). (n+ 2). (n+ 3) 7 A 7 +) (n- 2). (n- 1). n.(n+ 1). (n+ 2). .. a5 -a = a(a4- 1)= a.(a2- 1). (a2+ 1) =(a- 1). a.(a+ 1). (a2- 4)+ 5(a- 1). a.(a+ 1) =(a- 1). a.(a+ 1). (a2-4+ 5) =(a- 1). a.(a+ 1) =(a- 2). (a- 1). a.(a+ 1). (a+ 2)+ 5(a- 1). a.(a+ 1) Theo bài giải tổng quát 1.1 < chơng 2> ta có : (a- 1). a.(a+ 1) 2 và (a- 1). a.(a+ 1) 3 (a- 2). (a- 1). a.(a+ 1). (a+ 2) 5 mà (2 , 3) = 1 nên (a-1)a(a+ 1) 6 hay 5(a- 1). a.(a+ 1) 30 và (a - 2). (a- 1) a (a+ 1). (a+ 2) 30 n N * Vậy A = a5- a 30 a N * Nếu số chia là số không... =ab.(a2- 1 )( a2-4+ 5)- ab.(b2- 1 )( b2-4+ 5) =ab(a- 1 )( a+ 1 )( a2- 4) +5ab(a2- 1) - ab(b- 1 )( b+ 1). (b2- 4) + 5ab(b- 1 )( b+ 1) =ab.(a- 2). (a- 1). (a+ 1). (a+ 2)- ab.(b- 2). (b- 1). (b+ 1). (b+ 2)+ 5ab(a2- 1)- 5ab(b2- 1) Từ bài toán tổng quát 1.1 ta có: ab.(a- 2). (a- 1). (a+ 1). (a+ 2) và ab.(b- 2). (b- 1). (b+ 1). (b+ 2) chia hết cho 2,3,5 Mà (2 ; 3) =(3 ; 5) =(2 ; 5)= 1 theo hệ qủ 2.8 Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 20 TRNG CAO NG... vô số số tự nhiên n để M tối giản Bài toán 2.16: Cho a,b,c Z và thỏa mãn a + b + c 6 Chứng minh rằng: a3+ b3+c3 6 Chứng minh : Đặt A = a3+ b3+c3 -(a+b+c) khi đó: A = a3-a+b3-b+c3-c = a(a2- 1)+ b(b2- 1)+ c(c2- 1) = (a- 1). a.(a+ 1)+ (b- 1). b.(b+ 1)+ (c- 1). c.(c+ 1) Do (a- 1). a.(a+ 1) 2 (a- 1). a.(a+ 1) 3 Mà (2 , 3) =1 nên (a- 1). a.(a+ 1) 6 (1 2) Mặt khác a,b,c có vai trò nh nhau nên ta có : (b- 1). b.(b+ 1) 6 (1 3) (c- 1). c.(c+ 1). .. có (k+ 1)5 -(k+ 1) =k5+5k4+10k3+10k2+5k+1-k-1 =k5-k+5k(k3+2k2+2k+1 0) =K5 -k + 5k.[k+1+2k(k+ 1)] =k5-k +5k.[(k+ 1 )( k2-k+1+2k)] =k5-k+5k.[(k+ 1). (k2+k+ 1)] =k5-k+5k[(k+ 1). (k2-1+k+ 2)] =k5-k+5k(k+ 1). (k+ 2)+ 5(k- 1). k.(k+ 1). (k+ 1) mà k.(k+ 1 )( k+ 2) và (k- 1). k.(k+ 1) đều là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên theo bài toán tổng quát 1.1 ta suy ra tích của các số này chia ết cho 2 và 3 Mặt khác(2, 3) = 1 nên tích... số chia quá lớn,ta không nên làm theo cáhc giải này vì ta không thể xét hết đợc các trờng hợp số d và việc làm đó rất vất vả và mất thời gian Bài toán 2.7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b thì a5.b - a.b5 30 Chứng minh : ta có : a5.b - a.b5= a5.b+a.b-a.b-a.b5 =ab(a4- 1)- ab.(b4- 1) =ab.(a2- 1 )( a2+ 1) - ab (b2- 1 )( b2+ 1) =ab.(a2- 1 )( a2-4+ 5)- ab.(b2- 1 )( b2-4+ 5) =ab(a- 1 )( a+ 1 )( a2- 4) +5ab(a2- 1) - ab(b- 1 )( b+ 1). (b2- 4). .. 5k .(5 k+ 2) 5 (5 k+ 1)5 -(5 k+ 1) 5 hay A 5 Nếu a = 5k +2 , ( K Z ) thì a2+1 =(5 k+ 2)2 +1 = 25k2+20k+4+1 = 20k2+20k+5 = 5(5 k2+4k+ 1) 5 A 5 Nếu a = 5k + 3 , ( K Z ) thì a2+1 = (5 k+ 3)2 + 1 = 25k2 + 30k +9 +1 25K2+30k+10 = 5 .(5 k2+6k+ 2) 5 A 5 Nếu a = 5k +4 , ( K Z ) thì a2-1 = (5 k+ 4)2 -1 = (5 k+4- 1) .(5 k+4+ 1) =(5 k+ 3) .(5 k+ 5) Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 19 TRNG CAO NG S PHM H TY =(5 k+ 3). 5.(k+ 1) 5 Vậy a5-... hợp số d trong phép chia Chẳng hạn chứng minh :a5-a 5 , a Z Ta chứng minh bài toán trên xét số d trong phép chia cho 5 là 0 ,1,2,3,4 ta có : a5-a =a(a4- 1) = a.(a2- 1). (a2+ 1) Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN Trang 18 TRNG CAO NG S PHM H TY Nếu a = 5k , ( K Z ) thì A=a5-a = (5 k)5-5k =5k [(5 k)4-1] 5 , K Z Nếu a = 5k+ 1) ( K Z ) thì A = a5-a = (5 k+ 1)5 - (5 k+ 1) =(5 k+ 1) [(5 k+ 1)2 -1]. [(5 k+ 1)2 +1] = 5k .(5 k+ 2). .. 11 (n+ 5 )( n- 3)= 11k , k N Thử các trờng hợp số d của phép chia A cho 11 ta thấy chỉ có giá trị của n là n= 11k - 5 hoặc n=11k+3 thì thỏa mãn bài toán Vậy với n =11k-5 và n=11k -3 thì A 11 b) 5n-2n 9 , n 2 áp dụng hằng đẳng thức ta có 5n-2n =(5 - 2 )( BS5+2n- 1) = 3.(BS5+2n- 1) (1 0) mà 5n-2n 9 5n-2n=9k , ( k N ) (1 1) T (1 0) và (1 1) BS5+2n-1=BS3 Ta xét trờng hợp số d của phép chia 5n-2n 3 +)Nếu n=3t ( t... từ A Chứng minh : Ta có : A = 2 +22+23+ +260 = 2 .(1 + 2) + 2 3(1 + 2)+ +259 .(1 + 3) =2.3 + 23.3 + .259.3 = 3(2 + 23+ +25 9) 3 Vậy A3 Chứng minh tơng tự với A 7 và 15 *) Chú ý rằng 7 = 1+2+22 và 15 = 1+2+22+23 ta có : A = 2 .(1 +2+2 2)+ 2 4(1 +2+2 2)+ +25 8(1 +2+2 2) =7 .(2 +24+ .+25 8) 7 mặt khác A = 2 .(1 +2+2 3) +2 5(1 +2+2 3) + +25 7(1 +2+2 3) =15 .(2 +25+ +25 7) 15 Vậy A3;7;15 Lấ TH HON SBD : 163 KHOA T NHIấN