Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn toán

Bài 1: ( 4 điểm )a, Phân tích thành nhân tử: b, Xác định các hằng số a, b sao cho: chia hết cho Bài 2: ( 4 điểm )a, Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n: b, Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

ONTHIONLINE.NET Phòng GD Ngọc Lặc Trường PTDT Nội Trú Đề thi học sinh giỏi lớp môn toán năm học 2013 - 2014 (thời gian làm 150 phút) Đề Bài 1: ( điểm ) a, Phân tích thành nhân tử: ( a + b + c) − ( a + b − c) − ( b + c − a) − ( c + a − b) 3 b, Xác định số a, b cho: ax + bx + x − 50 chia hết cho x + x − 10 Bài 2: ( điểm ) a, Chứng minh phân số sau tối giản với số tự nhiên n: 2n + 2n − b, Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: xy + x − y = Bài 3: (2,5 điểm ) a, giải phương trình: 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b, tìm giá trị nhỏ của: A( x ) = ( x − 1) ( x − 3) ( x − ) ( x − ) + 10 Bài 4: ( điểm ) Cho hình vuông ABCD Điểm M nằm đường chéo AC Gọi EF theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng: a, BM ⊥ EF b, Các đường thẳng BM, AF, CE đồng qui Bài 5: ( điểm ) Tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm Chứng minh ∠A = 2∠C -Hết Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp Bài a, Nội dung Điểm Đặt a + b − c = x , b + c − a = y , c + a − b = z điểm ⇒ x+ y+ z = a+b+c ( a + b + c ) − ( a + b − c ) − ( b + c − a ) − ( c + a − b ) = 24abc = ( x + y + z ) − x3 − y − z = 3( x + y ) ( y + z ) ( z + x) 3 3 suy ra: ( a + b + c ) − ( a + b − c ) − ( b + c − a ) − ( c + a − b ) = 24abc b, 3 0,5 điểm 0,5 điểm điểm Dùng phương pháp hệ số bất định ax + bx + x − 50 = ( x + x − 10 ) ( ax + ) 0,5 điểm 5 + 3a = b a = ⇒ ⇔ 15 − 10a = b b = 0,5 điểm Ta có: ( x + 3x − 10 ) ( ax + 5) = ax + ( + 3a ) x + ( 15 − 10a ) x − 50 Vậy a = 1, b = Bài a, Gọi ưc ( 2n +1; 2n2 - 1) + d => [ n (2n +1) – (2n2 -1) ] chia hết cho d  n +1  [(2n +1) – (n +1)] chia hết cho d  -1 chia hết cho d d=1;d=-1 ⇒ ( 2n + 1; 2n - ) = điều chứng tỏ phân số với số tự nhiên n 0,5 điểm 0,5 điểm 2n + tối giản 2n − b, 2xy + 4x - y = (2điểm) ⇔ 2x( y + 2) - ( y +2 ) = ⇒ ( y + )( 2x - ) = Vì x, y ∈ Z ⇒ y + 2∈ Z; 2x - ∈ Z Ta có trường hợp sau: 2 x − =  x = ⇔  y + = y =1  x − = −1  x = ⇔   y + = −3  y = −5 0,5đ 0,5 điểm điểm 0,5 điểm 2 x − =  x =  x − = −3  x = −1 ⇔ ⇔   y + =1 y =1  y + = −1  y = −3 Vậy ( x; y ) ∈ { ( 1;1) ; ( 2;1) ; ( 0; −5 ) ; ( −1; −3 ) } Bài a, 1 + + ( x + ) ( x + 5) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = 18 0,5 đ 1điểm ĐKXĐ: x ≠ −4; −5; −6; −7 1 − = x + x + 18 ⇒ 18 ( x + − x − ) = ( x + ) ( x + ) điểm ⇔ 18 ×3 = x + 11x + 28 ⇔ x + 11x − 26 = ⇔ x = -13 x = b, x = -13 x = thỏa mãn ĐKXĐ Vậy tập nghiệm phương trình S = { −13; 2} điểm A( x ) = ( x − x + ) ( x − x + 12 ) + 10 điểm Đặt x − x + = t ⇒ A( t ) = t ( t + ) + 10 = t + 6t + + = ( t + 3) + ≥ 0,5 điểm A( t ) Min = đạt t = -3 ⇒ A( x ) Min = đạt x − x + = -3 ⇔ x2 - 7x + = => Bài 4: a B A Gọi H giao điểm BM EF K giao điểm EM BC Chứng minh ∆EMF = ∆BKM ( g c.g ) M E D H F b 0,5 điểm K C ⇒ ∠MFE = ∠KMB Mà ∠KMB = ∠EMH ( đối đỉnh ) ∠MFE = ∠EMH ∠EMF + ∠MEF = 900 0,5đ 0,5 điểm ⇒ ∠MEF + ∠HME = 900 hay BH ⊥ EF điểm b) chứng minh EC BF, AF BE + xét BEF có đường cao BH; điểm điểm EC; FA’ nên đường BM, AF, CE đồng quy điểm Trên tia đối tia AE lấy điểm E cho : AE = cm Xét ∆ABC ∆EBC ta có: Góc B chung E Bài 5: a A B C AB BC = = ; = = BC BE ⇒ ∆ABC đồng dạng với ∆CBE ( c.g c ) ⇒ ∠C1 = ∠E (hai góc tương ứng) mà ∆ACE cân A nên 0,5đ điểm 0,5đ ∠E = ∠C2 ⇒ ∠BAC = 2∠E ⇒ ∠BAC = 2∠BCA điểm