Chuyên đề 05 tích phân kit1

Khóa học LTðH mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân LÝ THUYẾT CHUNG TÍNH TÍCH PHÂN TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG A CÁC CƠNG THỨC TÍNH ðẠO HÀM (C ) ' = ( x) ' = (Cx) ' = C ( xα ) ' = α xα −1 (uα ) ' = α u α −1 ' 1   = − x x ' u' 1   =− u u ( x) = 21x ' ( u ) = 2u 'u ' ( sin x ) = cos x ' ( sin u ) ' = u '.cos u ( cos x ) = − sin x ' ( cos u ) ' = −u '.sin u cos x u' ' ( tan u ) = cos u ( tan x ) = ' sin x u' ' ( cot u ) = − sin u 10 ( cot x ) = − ' 11 ( a x ) = a x ln a ' ( a ) = u '.a ln a 12 ( e ) = e ( e ) = u '.e u ' u x ' u ' x u 13 ( log a x ) = ( log a x ) = ' ' x ln a Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân u' u.ln a ' ' 14 ( ln x ) = ( ln x ) = x ' u' ' ( ln u ) = ( ln u ) = u ( log a u ) = ( log a u ) ' ' = 15 [ f1 ( x) ± f ( x) ± ± f n ( x) ] = f1' ( x) ± f 2' ( x) ± ± f n' ( x) ' 16 [u ( x).v( x) ] = u '( x).v( x) + v '( x).u ( x) ' '  u ( x)  u '( x).v( x) − v '( x).u ( x) 17   = v ( x)  v( x)  Chú ý: Với u hàm x B BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C α ∫ x dx = α ∫ u du = ∫ ∫ xα +1 + C ; α ≠ −1 α +1 u α +1 + C ; α ≠ −1 α +1 dx = ln x + C x du = ln u + C u ∫ e x dx = e x + C ∫ e du = e u u ∫ a x dx = u ∫ a du = +C ax +C ln a au +C ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos x dx = tan x + C ∫ cos u du = tan u + C Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTðH mơn Tốn – Thầy Lê Bá Trần Phương dx ∫ sin 10 du ∫ sin u x Tích phân = − cot x + C = − cot u + C C TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH b I Cơng thức: b ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a) a Ví dụ: π 1  − 1   ∫ cos2 xdx =  π ln ∫e 3x dx = ln 98 II Tính chất: b a a b + ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b a a + ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx b b b b a a + ∫ ( f1 ( x) + f ( x) + + f n ( x) ) dx = ∫ f1 ( x)dx + ∫ f ( x) dx + + ∫ f n ( x) dx a a + Nếu α ∈ [ a; b ] b α a a b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + α∫ f ( x)dx III BA KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI TÍNH TÍCH PHÂN a) Kỹ đưa vào dấu vi phân Chú ý: d [ f ( x)] = f '( x)dx dx = d ( x ± C ) Ví dụ:   + d (ln x + cos3x ) =  ln x − 3sin x  dx x   + d ( e5 x − x + ) = ( 5.e5 x − x ) dx   + +  dx = d 2 x  + dx = d ( ln x ) x ( x + 3x ) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chun đề 05 Tích phân BÀI LÝ THUYẾT CHUNG TÍNH TÍCH PHÂN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Lý thuyết chung tính tích phân thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Lý thuyết chung tính tích phân Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu I1   I2  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) dx x x 7x   x  dx I3   I4  3x  x  dx x2 x3  x  x  10 dx  x 1 x  x  10 dx 2x 1 x I6   dx x  x2  dx I7   ( x  2)( x  5) I5   ln I8   I9   1  e  e I10   1  ex dx  ex x 1 e dx 2x  ln x dx x Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chun đề 05 Tích phân BÀI LÝ THUYẾT CHUNG TÍNH TÍCH PHÂN ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài Lý thuyết chung tính tích phân thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Bài Lý thuyết chung tính tích phân Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) dx x x Giải: I1   ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) x  10 x  35 x  50 x  24 dx   dx x x x 1 1      2 70 32 2 2 2    x  10 x  35 x  50 x  24 x  dx  x  x  x  100 x  48 x  C   I1   I2  7x   x  dx Giải: I2   7 7x  41  41 dx      dx  x  ln x   C 2x   2(2 x  5)  3x  x  dx x2 Giải: I3   I3   3x  x    dx    3x    dx  x  x  3ln x   C x2 x2  x3  x  x  10 I4   dx x 1 Giải: x  x  x  10  3  I4   dx    x  3x    dx  x  x  x  ln x   C x 1 x 1   x  x  10 dx 2x 1 Giải: I5   I5    x  x  10 13  13 dx    x   dx  x  x  ln x   C  2x 1 2(2 x  1)   Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) x I6   x  x2  Chun đề 05 Tích phân dx Giải: x I6   x  x 1    x dx   ( x  1)d x   I7    dx   x x  x2  dx   x2 dx   x x  dx 3 x   x  1  C 3 dx ( x  2)( x  5) Giải: I7   dx  1  x2    C  dx  ln ( x  2)( x  5)  x  x   x5 ln I8    ex dx  ex Giải: ln I8   I9    ex dx   ex 1  e  x 1 e ln  ln d 1  e  2e x  dx  1   x 0  e x  1 e  x   ln  ln  e ln   ln18  0 x dx 2x Giải: I9   1  e  e I10   x dx  e2 x 1  2e x  de x    1  dx  dx    2acr tan e x   2acr tan e  2x  2x   1 e  1 e 0 0 1  ln x dx x Giải: e I10   e e  ln x dx   (1  ln x) d (1  ln x)  (1  ln x)  2  1 x   Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chun đề 05 Tích phân BÀI CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 1) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài Các kỹ tính tích phân (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài Các kỹ tính tích phân (Phần 1) Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng   sin x dx  sin x Ví dụ ĐHKB 2003: Tính tích phân I    Ví dụ 2:Tính tích phân I    dx sin x(  cot x) e Ví dụ 3:Tính tích phân I   x  ln x  x ln x dx x(ln x  1) ln(ex)dx  x ln x 2 Ví dụ 4:Tính tích phân I   ( x  3)5 0 ( x  7)7 dx Ví dụ 5:Tính tích phân  Ví dụ 6:Tính tích phân  s in6 x  cos6 x sin x  cos x  12  dx  Ví dụ 7:Tính tích phân dx  cos x Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG  Bài Tính tích phân: sin x 0  cos x dx Bài Tính tích phân: e2 x  ex 1  Bài Tính tích phân: dx  (tan x  e sin x cos x)dx Bài Tính tích phân:   ln Bài Tính tích phân: 4sin x dx  cos x e dx 2 x  Bài Tính tích phân: I    cos3 x  1 cos x.dx Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 1) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG  Bài Tính tích phân: sin x 0  cos x dx Hƣớng dẫn giải:     2  4sin x 4sin x cos x  dx   d cos x    cos x d cos x   cos x          2 0  cos x 0  cos x 0 0  Bài Tính tích phân: e2 x  ex 1 dx Hƣớng dẫn giải: 1 e2 x  ex 1 ex dx   ex 1 d e x      ex 1   x  d  e  1 x e 1  1 2     e x  1   e x  1   e 1 e  2 3 0 3 2  Bài Tính tích phân:  (tan x  e sin x cos x)dx Hƣớng dẫn giải:    (tan x  esin x cos x)dx       ln cos x   sin x dx  cos x  d  e    ln sin x Bài Tính tích phân:   e sin x cos xdx sin x  ln e  e 2 2 1 4sin x dx  cos x Hƣớng dẫn giải:  I  2 4sin x dx  cos x Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân 4sin x 4sin x(1  cos x)   4sin x  4sin x cos x  4sin x  2sin x  cos x sin x I    4sin x  2sin x dx   cos x  cos x  ln e Bài Tính tích phân:  2 dx 2 x Hƣớng dẫn giải: ln  dx  x e 2 ln  d ex   x x e e  2 ln  ln3  ex 1 1 1 x  d e  ln   ln  ln   ln    x  x x e 2 2 2 e e 2  Bài Tính tích phân: I    cos3 x  1 cos x.dx Hƣớng dẫn giải:   I=  cos x.dx   cos x.dx 0    1  12  Ta có: I2 =  cos x.dx   (1  cos2x).dx =  x  sin x   2 20 0 2     1  2sin x Mặt khác xét I1 =  cos x.dx   cos x.cosx.dx =  (1  sin x) d (sin x)   sin x   sin x   5  15 0 Vậy I = I1 – I2 = 2 2   15 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (Phần 3) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị sau: y = x − x + ; y = Giải: S = ∫ 3 − ( x − x + 3)  dx + ∫ 3 + ( x − x + 3) dx + ∫ 3 − ( x − x + 3)  dx Vậy S = (đvdt) Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị sau: y = x − , y = x + Giải: 1  S =  ∫  x + + ( x − 1)  dx + ∫  x + − ( x − 1)  dx  0  3  x x 1  x x  3 =  + x +  +  + x −   0   1   29 41  70 (đvdt) = 2 +  = 6 6 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị sau: y = − 2sin 3x 12 x π , y = 1+ , x= π Giải: Hình phẳng cho hình phẳng giới hạn đường: y = cos3 x ; y = + 12 x π , x= π π π    12 x  Suy ra: S = ∫ 1 + − cos3 x  dx + ∫ 1 + + cos3 x dx π π   π   12 x π π     x2 x2 =x+ − sin x  +  x + + sin x  π π  0  π Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân ⇒ S = 2π − (đvdt) x2 27 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ( P1 ) : y = x ; ( P2 ) : y = ; ( H ) : y = 27 x Giải: x2 ⇔ x = 0; y = 27 27 ( P1 ) ∩ ( H ) : x = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = x x 27 ( P2 ) ∩ ( H ) : = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 27 x ( P1 ) ∩ ( P2 ) : x = Nhìn vào đồ thị ta có:   27 x  x2  26 x 3  x3  +  27 ln x −  S = ∫  x − dx + ∫  − dx = 27  81  81  x 27  0 3 ⇒ S = 27 ln (đvdt) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chun đề 05 Tích phân BÀI 18 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (PHẦN 4) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài 18 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (Phần 4) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài 18 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (Phần 4) Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: x2 y  1 25 16 Bài ĐHKD 2002 Cho hàm số: y  3x  (C ) x 1 Khảo sát vẽ (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục Ox, Oy Bài Cho hàm số: y  x4  x2  2 (C) Khảo sát vẽ (C) Tính diện tích hình phẳng giới han (C) trục Ox Bài Cho hàm số: y  x  x  m (Cm ) Khảo sát vẽ đồ thị m = Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn (Cm) Ox phía phía Ox Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (Phần 4) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG x2 ; y x Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y sin x ; y x Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x2 ; x2 y2 2, y Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (Phần 4) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG x2 ; y x Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y sin x ; y x Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y Giải: S x2 x dx 2x x3 x 2 1 (đvdt) Giải: S sin x ( x ) dx cos x x2 0 x 2 ( 1) (đvdt) Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x2 ; x2 y2 2, y Giải: S x2 x dx 1 x dx x dx I1 I 2 x2 dx Tính: I1 Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Đặt: x sin t x Đổi cận: dx t x t cos tdt 4 2sin t cos tdt I1 t 4 cos 2tdt sin 2t 4 x dx x3 I1 I 2 Tính I Vậy: I Tích phân cos2t dt 2 1 (đvdt) Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chun đề 05 Tích phân BÀI 19 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY (PHẦN 1) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài 19 Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài 19 Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay (Phần 1) Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng a) Quay quanh Ox: * Cơng thức: Cho hình phẳng giới hạn đường:  y  f ( x)  y  (Ox)   x  a  x  b ( a  b) quay quanh Ox, qt khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay tính theo cơng thức: b V     f ( x) dx a * Bài tập mẫu: Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo thành hình phẳng D giới hạn đƣờng sau quay quanh trục Ox  y  sin x  cos x   y  1)  x   x     y  x ln x  2) ĐHKB2007  y  x  e   y   x2  5x 3)  y   y   x 4)   y  x   y  x2   5)  x  y   6) x  ( y  2)  Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY (Phần 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài Cho D miền phẳng bị giới hạn đường cong:   y = + x2  y = x  Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành cho D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn elip (E): x2 y + = quay quanh trục Ox Tính thể tích vật thể tròn a b2 xoay tạo thành Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn đường: y = xe x ; x = 1; y = (0 ≤ x ≤ 1) Bài 4: Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi: x   y = sin cos x  y = D: quanh Ox x =  π x =  Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY (Phần 1) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài Cho D miền phẳng bị giới hạn đường cong:   y = + x2  y = x  Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành cho D quay quanh trục Ox Giải: Cả hai đường cong cho nằm phía Ox nên miền (D) nằm hoàn toàn phía Ox Do đó: 2  x2    V=π ∫  dx π −  ∫   dx −1  + x  −1   x5   dx =π ∫ − π  + x2  20 −1 −1  Đặt x = tant thì: π 1 + cos 2t π V = π ∫ cos t dt − π =π ∫ dt − 10 10  π  π − −    cos t  π = π2 V= + π2 π − π 10 + 2π (đvtt) Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn elip (E): x2 y + = quay quanh trục Ox Tính thể tích vật thể tròn a b2 xoay tạo thành Giải: Elip (E): x2 y b + = nhận Ox làm trục đối xứng nên phương trình nửa (E) Ox là: y = a − x2 a b a - Nửa (E) cắt Ox điểm A’(-a; 0) (A; 0) nên (E) quay quanh Ox, (E) sinh vật thể tròn xoay vật thể tròn xoay nửa (E) nói quay quanh Ox Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương - Tích phân Áp dụng cơng thức tính thể tích ta có: a ∫ V =π −a a b2 ( a − x ) dx đ a y dx = 2π ∫  2b x3  a  2ab  4π ab = π  2b x −  =  2ab − π = (đơn vị thể tích)  a 30    Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn đường: y = xe x ; x = 1; y = (0 ≤ x ≤ 1) Giải: - Hàm số y = xe x liên tục R nên y = xe x liên tục [ 0;1] - Thể tích sinh S quay quanh Ox là: 1 0 V = π ∫ y dx =π ∫ x e x dx (1) Tính: ∫ x e x dx du = xdx u = x  ðặt:  ⇒ 2x 2x 2x dv = e dx v = ∫ e dx = e  Suy ra: 2x ∫ x e dx = mà 2x ∫ xe dx = 1 2x xe − ∫ xe2 x dx 0 1 1 2x 1 xe − ∫ e x dx = xe x − e x 02 2 1 1 π 1 Vậy: V = π ∫ y dx =π ∫ x e2 x dx = π  x e x − xe x + e x  = (e2 − 1) 0 2 0 1 Vậy V = π (e − 1) (đơn vị thể tích) Bài 4: x   y = sin cos x  y = D: x =  π x =  Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân Giải: π π 2 x x   V = π ∫  sin cos x  dx = π ∫ sin cos xdx 2  0 π π − cos x π =π∫ cos xdx = ∫ ( cos x − cos x cos x ) dx 20 π π  π  + cos2 x  = ∫ dx − ∫ (1 − sin x ) cos x.dx    π  π2  π π   =  x + s inx  −  ∫ cos xdx − ∫ sin xd (s inx)  4 0 20    π ðến em biến đổi, cận vào ðáp số: V = π2 − π (đvtt) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Chun đề 05 Tích phân BÀI 20 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY (PHẦN 2) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Bài 20 Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Bài 20 Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay (Phần 2) Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng b) Quay quanh Oy: * Cơng thức: Cho hình phẳng giới hạn đường:  x  g ( y) x    y  x  y  d (c  d ) quay quanh Oy, qt khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay tính theo cơng thức: b V     g ( y) dy a * Bài tập mẫu: Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo thành hình phẳng D giới hạn đƣờng sau quay quanh trục Oy  y  ex  x  1)  y 1  y  e  y  x  x2 2)  y  3) ( x  a)  y  b (0  b  a) Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY (Phần 2) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên miền D xác định đường:  y = ( x − 2) D quay quanh trục Oy  y = Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên miền D xác định đường:  y = x2 , x ≥  y = D quay quanh trục Oy  y =  x = Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên miền D xác định đường: y = x   y = − x D quay quanh trục Oy y =  Bài 4: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên miền D xác định x2 y + =1 25 16 D quay quanh trục Oy Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY (Phần 2) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên miền D xác định đường:  y = ( x − 2) D quay quanh trục Oy  y = Giải: ( Ta có: V = π ∫  + y  ) − ( − y ) dy 2 4 = 8π ∫ ydy = 8π y = 16π y3 128π (đvtt) = Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên miền D xác định đường:  y = x2 , x ≥  y = D quay quanh trục Oy  y =  x = Giải: Ta có:  y π V = π ∫ dy ydy =   ∫2 2 = π y2 2 = 21π (đvtt) Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên miền D xác định đường: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân y = x   y = − x D quay quanh trục Oy y =  Giải: 1 Ta có: V = π ∫ (2 − y ) dy − π ∫ ( y )2 dy 0 = π ∫ (2 − y ) − ( y ) dy = π ∫  − y + y − y dy = 32π (đvtt) 15 Bài 4: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên miền D xác định x2 y + =1 25 16 D quay quanh trục Oy Giải: 5  Ta có: V = π ∫  16 − y  dy  −4  = 2π = 25 (16 − y ) dy 16 ∫0 y 25π  25π 64  25π 128 16 400π (đvtt) = = 25π = (16 y ) −  64 −  = 8   3 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - [...]... lấy vi phân 2 vế Bước 3: Chuyển tích phân cần tính sang tích phân theo biến mới * Các dạng bài tập: Dạng 1: Quan sát biểu thức dƣới dấu tích phân nhẩm tính xem đặt một bộ phận nào đó bằng t để sau khi lấy vi phân 2 vế ta chuyển đƣợc tích phân cần tính về tích phân cơ bản hoặc đơn giản hơn Bài tập mẫu:  2 sin 2 x cos xdx 1  cos x 0 Ví dụ 1 – ĐHKB 2 005 Tính tích phân: I    4 Ví dụ 2 Tính tích phân: ... Phương Tích phân CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 3) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG  Bài 1 Tính tích phân: I  3 1   cos x.sin 3 x dx 4  Bài 2 Tính tích phân: I    sin 2 3 x  cos3 x  dx 0  Bài 3 Tính tích phân: 2 sin 2 x  3  4sin x  cos 2 x dx 0  Bài 4 Tính tích phân: I   2 0 s inxdx 1  3cos x dx 0 1  ex Bài 5 Tính tích phân: I   1  Bài 6 Tính tích phân: I... Phương Tích phân CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 4) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG dx  x  2   x + 5 3 Bài 1 Tính tích phân: I   1 Bài 2 Tính nguyên hàm: dx   x  5  x + 2  x + 4  dx x  3x 2 Bài 3 Tính tích phân: I   3 1 2 Bài 4 Tính tích phân: I =  1 2 4 1 dx x  x3  1 Bài 5 Tính tích phân: I   2 Bài 6 Tính tích phân: I   1 0 dx 2 +5 x  Bài 7 Tính tích phân: ... Trần Phương Tích phân CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG  sin x  sin 2 x 2  Bài 1 Tính tích phân: I  0 3sin 2 x  4cos 2 x dx 2 dx dx 2 4  x 0 Bài 2 Tính tích phân: I =  1 2 Bài 3 Tính tích phân:  1 3 xdx  x  12 3 + 2x  x 2 3 Bài 4 Tính tích phân: I = dx  x (1  x ) 6 2 1 27 Bài 5 Tính tích phân: I  x 2  x 1 2 Bài 6 Tính tích phân: I... Bài 1 Tính tích phân: I   x5 1  x3  dx 6 0  7x  199 Bài 2 Tính tích phân: I =  dx  101 0 2x +1 1 1  x2 Bài 3 Tính tích phân: I   dx x  x3 1 2 e log32 x Bài 4 Tính tích phân: I   x 1  3ln 2 x 1 dx 3 dx e 1 1 Bài 5 Tính tích phân: I   x ln x 3 2  ln 2 x dx x 1 e Bài 6 Tính tích phân: I    2 sin 2 x   2  sin x  Bài 7 Tính tích phân: I  2 dx 0  Bài 8 Tính tích phân: I  4... dụ 8 Tính tích phân I   tan3 xdx 0  2 Ví dụ 9 ĐHKD 2 005: Tính tích phân I   (esinx  cos x) cos xdx 0  2 Ví dụ 10 ĐHKA 2009: Tính tích phân I   (cos3 x  1)cos2 xdx 0 x  ln x  x ln 2 x Ví dụ 11 Tính tích phân I   dx x(ln 2 x  1) 1 e 2 2 x 2  ex  2 x 2 ex dx Ví dụ 12 ĐHKA 2010 Tính tích phân I   1  2.ex 0 1  4 Ví dụ 13 ĐHKA 2011:Tính tích phân  0 e 5 Ví dụ 14.Tính tích phân  1 x... Tính tích phân I   s inx  cos x 1  sin 2 x  dx 4  4 3 Ví dụ 17 Tính tích phân I    sin3 x  s inx.cot x dx sin3 x 3  4 1 dx (s inx  cos x) cos x 0 Ví dụ 18 Tính tích phân I    4 dx 2 0 (s inx  2 cos x ) Ví dụ 19 Tính tích phân I    3 Ví dụ 20 Tính tích phân I   0 dx   cos x.cos  x   4   3 Ví dụ 21 Tính tích phân dx  3  5 sin x  3 cos x 0  2 Ví dụ 22 Tính tích phân dx... học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Tích phân CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 2) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG 1 Bài 1 Tính tích phân: I xdx x x2 1 4 0 2 Bài 2 Tính tích phân: I 0 sin x cos3 x dx 1 cos2 x Bài 3 Tính tích phân: I 2 2 1 6 1 cos3 x s inx.cos5 xdx 2 2 Bài 4 Tính tích phân: A 0 Bài 5 Tính nguyên hàm: I 4 Bài 6 Tính tích phân: x2 1 x2 dx dx sin x.cos5 x 3 sin 2... tích phân: I   x 2 dx 2 0 4 x 1 Ví dụ 2 Tính tích phân: I   3 1 dx x  7 x  10 Ví dụ 3 Tính tích phân: I   2 1 1 1 dx 0 2 x  5x  2 Ví dụ 4 Tính tích phân: I   2  cot x.dx 9  1  sin x 2 Ví dụ 5 Tính tích phân: I   6 ln 4 Ví dụ 6 Tính tích phân: I  Chú ý: Xét ex ln3 e2 x  4 dx P n ( x)  Qm ( x) dx Nếu bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu thì chia tử cho mẫu rồi tách thành tổng các tích. .. PHÂN (Phần 5) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài 1 Tính tích phân: dx  3x 2  4 x  2 Bài 2 Tính nguyên hàm: 1 Bài 3 Tính tích phân:   4 x  11 dx x2  5x  6 0 5 Bài 4 Tính tích phân: 10 2 1 2 x2  3x  2 dx  2 x  3 dx  x2  4 x  3 2 1 Bài 5 Tính tích phân:  3x  7  dx  x2  4 x  4 0 Bài 6 Tính tích phân:   3 0 tanxdx 1  cos 4 x Bài 7 Tính nguyên hàm: 0 Bài 8 Tính tích