ĐỀ THI CHỌN học SINH GIỎI cấp HUYỆN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2010-2011 Môn thi: Toán lớp Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (6 điểm) Tính:  1    1  a)  + ÷ 0,75 3 − 0,5 :  + − ÷ 3        193 33   11  1931  − +  :  + +  b)  ÷ ÷ 193 386 17 34 1931 3862 25 2        c) −1  −3  −  ÷ − ( 4,025 − 2,885 ) 14   Bài 2: (4 điểm) a) Tìm số x, y, z biết: x : y : z = : : 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100 a b c a 3b 2c1930 b) Cho = = a + b + c ≠ Tính b c a a1935 Bài 3: (3 điểm) a) So sánh: 910 89 + 79 + 69 + 59 + + 29 + 19 b) Chứng minh: (3636 - 910) M45 Bài 4: (3 điểm) Ba đống khoai có tổng cộng 196 kg Nếu lấy số khoai đống thứ nhất, 1 số khoai đống thứ hai số khoai đống thứ ba số khoai lại ba đống Tính số khoai đống lúc đầu Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm M, N cho BM=MN=NC a) Chứng minh tam giác AMN tam giác cân b) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB), NK vuông góc với AC (K thuộc AC) MH NK cắt O Tam giác OMN tam giác gì? Tại sao? c) Cho góc MAN = 600 Tính số đo góc tam giác ABC Khi tam giác OMN tam giác gì? Họ tên thí sinh: ………………………………………… số báo danh: ……… Cán coi thi không giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2010-2011 Môn thi: Toán lớp Bài 1: (6 điểm) Tính: (mỗi phần cho điểm)  1    1   13   13  a)  + ÷ 0,75 3 − 0,5 :  + − ÷ =    − :  (0,75 3       2 30     điểm) 13  15  13 61 61 −  = (0,5 điểm) = = (0,75 điểm)   13  26   193 33   11  1931  − +  :  + + = b)  ÷ ÷ 193 386 17 34 1931 3862 25 2         193 33   25 1931   386 17 + 34  :  3862 25 +  (0,75 điểm)  33    = 1: = =  + : +  (0,75 điểm) (0,5 điểm)  34 34   2  13  −3  c) −1 −  ÷ − ( 4,025 − 2,885 ) = − − 2.1,14 (0,75 điểm) 14 14   39 = 1,5 − 2, 28 = −0,78 = − − 2, 28 (0,75 điểm) (0,5 điểm) 14 Bài 2: (4 điểm) a) Tìm số x, y, z biết: (2,5 điểm) x : y : z = : : 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100 Theo đầu ta có: x y z x2 y z = = => = = (0,5 điểm) 16 25 x 2 y −3 z 2 x + y − z −100 = = = = = (theo đầu 2x2 + 2y2 - 3z2 => 18 32 −75 18 + 32 − 75 −25 = -100) (0,5 điểm) => x = ± 6; y = ± 8; z = ± 10 Tìm giá trị x, y cho 0,25 điểm => 1,5 điểm a b c a 3b 2c1930 b) Cho = = a + b + c ≠ Tính (1,5 điểm) b c a a1935 Theo ta có a b c a+b+c = = = =1 b c a b+c+a => a = b = c a 3b 2c1930 => =1 a1935 Bài 3: (3 điểm) a) So sánh: điểm) Ta có 910 : 99 = (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) 910 89 + 79 + 69 + 59 + + 29 + 19 9 (1,5 9 8 7 6 1 Và (8 + + + + + + ) : =  ÷ +  ÷ +  ÷ + +  ÷ (0,5 9 9 9 9 điểm) 9 8 1 Mà  ÷ 〈  ÷ 〈1 (0,5 điểm) 9 9 9 9 9 9 9 =>  ÷ +  ÷ +  ÷ + +  ÷ < (0,5 điểm) 9 9         Vậy 910 > 89 + 79 + 69 + 59 + + 29 + 19 (0,5 điểm) 36 10 b) Chứng minh: (36 - ) M45 (1,5 điểm) - (3636 - 910) chia hết cho 36 chia hết cho => 36 36 910 chia hết cho (0,5 điểm) - 3636 có tận chữ số nên chia cho dư 10 có tận chữ số nên chia cho dư => (3636 - 910) chia hết cho (0,5 điểm) Vì 45 = mà (5,9) = nên (3636 - 910) M45 (0,5 điểm) Bài 4: (3 điểm) Gọi số khoai đống lúc đầu x, y, z (kg) Theo ta có x + y + z = 196 (0,25 điểm) 1 Lấy số khoai đống thứ nhất, số khoai đống thứ hai số khoai 2x 3y 4z ; đống thứ ba số khoai lại đống là: (0,5 điểm) 2x 3y 4z = = Theo đầu ta có (0,25 điểm) 12 x 12 y 12 z 12 x + 12 y + 12 z 12( x + y + z ) 12.196 = = = = = = 48 (0,75 18 16 15 49 49 49 điểm) Tính x = 72 ; y = 64; z = 60 giá trị cho 0,25 điểm => 0,75 điểm Trả lời : (0,5 điểm) Bài 5: (4 điểm) => A K H B M N C O - Không cho điểm vẽ hình ghi GT, KL vẽ hình sai không chấm a) Chứng minh tam giác AMN tam giác cân - Chỉ tam giác ABM = tam giác ACN (c.g.c) (0,5 điểm) - Suy AM = AN (0,25 điểm) - Suy tam giác AMN cân (0,5 điểm) b) Khẳng định tam giác OMN tam giác cân (0,25 điểm) - Chỉ tam giác BHM = tam giác CKN (trường hợp đặc biệt tam giác vuông) (0,25 điểm) - Suy góc BMH = góc CNK (0,25 điểm) - Suy góc OMN = góc ONM (0,25 điểm) - Suy tam giác OMN cân (0,25 điểm) c) Tính số đo góc tam giác ABC Khi tam giác OMN tam giác gì? - Tính góc cho 0,25 điểm => 0,75 điểm (góc B = góc C = 300 , góc A = 1200) - Chỉ góc tam giác OMN = 600 (0,25 điểm) - Suy tam giác OMN tam giác điểm) PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN ĐỀTHI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang (0,5 KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN LỚP Ngày thi: …./4/2013 Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + 2013 x + 2012 x + 2013  x2 − x   2x2 Rút gọn biểu thức sau: A =  − − − ÷ ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: (2 x + x − 2013) + 4( x − x − 2012) = 4(2 x + x − 2013)( x − x − 2012) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x + 2x + 3x + = y3 Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x + dư 10, f(x) chia cho x − dư 24, f(x) chia cho x − thương −5x dư Chứng minh rằng: a (b − c)(b + c − a ) + c (a − b)(a + b − c ) = b(a − c )(a + c − b) Câu (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF Chứng minh rằng: 1 = + 2 AD AM AN Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc = Chứng minh : 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) -Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: S ố báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN ĐỀTHI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NGÀY THI À /4/2013 MÔN THI: TOÁN LỚP Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu 1 (2.0 để i m) Hướng dẫn giải Ta có x + 2013 x + 2012 x + 2013 = ( x − x ) + 2013x + 2013x + 2013 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2013 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2013) Kết luận x + 2013 x + 2012 x + 2013 = ( x + x + 1) ( x − x + 2013) (2.0 để i m) x ≠ x ≠ (4.0 để i m) 0,5 0.5 0.5 0.5 ĐK:  0.25  x2 − x   2x2 Ta có A =  − 1− − ÷ ÷  2x + 8 − 4x + 2x − x   x x  0.25  x2 − x  x − x −  2x2 = − ÷ ÷ 2 x2  2( x + 4) 4(2 − x) + x (2 − x)    x2 − 2x   ( x + 1)( x − 2)   x( x − 2) + x   ( x + 1)( x − 2)  2x2 = − ÷ ÷ ÷=  ÷ 2 x2 x2   2( x − 2)( x + 4)     2( x + 4) ( x + 4)(2 − x)   0.25 0.5 x − x + x + x x + x( x + 4)( x + 1) x + = = = 2( x + 4) x x ( x + 4) 2x x ≠ x +1 Vậy A = với  2x x ≠ 0.5 0.25 (4.0 để i m) Câu 2  a = x + x − 2013 b = x − x − 2012 0.25 Đặt:  Phương trình cho trở thành: (2.0 để i m) 0.5 a + 4b = 4ab ⇔ ( a − 2b) = ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b Khi đó, ta có: x + x − 2013 = 2( x − x − 2012) ⇔ x + x − 2013 = x − 10 x − 4024 −2011 ⇔ 11x = −2011 ⇔ x = 11 −2011 Vậy phương trình có nghiệm x = 11 0.5 0.5 0.25 Ta có y3 − x = 2x + 3x + =  x + ÷ + > ⇒ x < y  4 (1) 0.5  15  (x + 2) − y = 4x + 9x + =  2x + ÷ + >  16  (2.0 để i m) Câu 3 ⇒ y< x+2 0.5 Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + 0.25 Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; từđó tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) KL 0.5 Giả sử f(x) chia cho x − thương −5x dư ax + b Khi đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + ax+b Theo đề bài, ta có: (2.0 để i m) (2)   f (2) = 24 2a + b = 24 a = ⇔ ⇔   f (−2) = 10 −2a + b = 10 b = 17 Do đó: f ( x) = ( x − 4).(−5 x) + x+17 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x) = −5 x + 0.25 (4 để i m) 0.5 0.5 0.5 47 x + 17 0.5 Ta có: a (b − c)(b + c − a ) + c (a − b)(a + b − c) − b(a − c)(a + c − b) = (1)  a = a + b − c = x    Đặt: b + c − a = y => b = a + c − b = z    c =  Khi đó, ta có: (2.0 để i m) x+z x+ y y+z 0.25 x+z x+ y y+z y+z x+z x+ y 2 − −  ÷ y +  ÷.x − ( x + y )( x − y ).z  2   2  x+z x−z y+z z− y 2 = y + x − ( x − y ) z 2 2 2 2 = ( x − z ) y + ( z − y ).x − ( x − y ).z 4 (đpcm) = ( x − y ).z − ( x − y ).z = = VP(1) 4 VT(1) = KL:… 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 (6 để i m) Câu E A B (2.0 để i m) H F D C M N · · · Ta có DAM (cùng phụ BAH ) = ABF AB = AD ( gt) ·BAF = ADM · = 900 (ABCD hình vuông) ⇒ ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) 0.75 0.5 Suy tứ giác AEMD hình bình hành · Mặt khác DAE = 900 (gt) 0.5 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH hay ( AB=BC, AE=AF) = = AF AH AE AH · · · Lại có HAB (cùng phụ ABH ) = HBC ⇒ ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) (2.0 để i m) 2 S  BC  , mà SΔCBH = (gt)  BC  ⇒ ΔCBH =  ⇒ = nên BC2 = (2AE)2 ÷ ÷ S SΔEAH  AE  ΔEAH  AE  ⇒ BC = 2AE ⇒ E trung điểm AB, F trung điểm AD => Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 0.5 0.5 0.5 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ AD AM AD CN = ⇒ = CN MN AM MN 0.5 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: (2.0 để i m) ⇒ MN MC AB MC AD MC hay = ⇒ = = AN AB AN MN AN MN 2 0.5 AD   AD   CN   CM  CN + CM MN ⇒  = =1 ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = MN MN  AM   AN   MN   MN  0.5 (Pytago) Câu 2.0 để i m 1 AD   AD  ⇒  ÷ + ÷ = => AM + AN = AD  AM   AN  (đpcm) 0.5 Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ∀ a, b, c ∈ R x, y, z > ta có a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z Thật vậy, với a, b ∈ R x, y > ta có a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y ⇔ (a 2 y + b x ) ( x + y ) ≥ xy ( a + b ) ⇔ ( bx − ay ) ≥ (luôn đúng) Dấu “=” xảy ⇔ a b = x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có (*) (**) 2 để i m 0.75 a b2 c2 ( a + b ) c2 ( a + b + c ) + + ≥ + ≥ x y z x+ y z x+ y+z a b c Dấu “=” xảy ⇔ = = x y z 1 2 1 Ta có: a b c2 + + = + + a (b + c) b (c + a ) c (a + b) ab + ac bc + ab ac + bc 2 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 1 1 1  + + ÷ a + b2 + c ≥  a b c  = ab + ac bc + ab ac + bc 2(ab + bc + ac ) ) 1 2 11 1 a + b + c ≥  + + ÷ ab + ac bc + ab ac + bc  a b c  Hay 1 Mà + + ≥ nên a b c Vậy 1 1  + + ÷ a b c (Vì abc = 1 1 2 + + ÷ a b c 1 2 a + b + c ≥ ab + ac bc + ab ac + bc 1 + + ≥ a (b + c) b (c + a ) c (a + b) (đpcm) Để i m toàn - Đề thi thử học sinh giỏi lớp môn Toán Đề 1: (Thời gian: 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Cho x2 - 2xy + 2y2 - 2x + 6y + 13 = Tính: b) Nếu a, b, c số dương đôi khác giá trị đa thức sau số dương: A = a3 + b3 + c3 - 3abc Bài 2: (2 điểm) Chứng minh a + b + c = thì: 0.5 0.25 0.25 0.25 (20 điểm) Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h Tính thời gian ô tô quãng đường AB biết người đến B Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x6 + 3x2 + = y4 ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP SỐ (Thời gian: 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b + c) 2(b - c) + b(c + a)2(c - a) + c(a + b)2(a b) b) Cho a, b, c khác nhau, khác Rút gọn biểu thức: Bài 2: (2 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x2 + y2 - xy - x + y + b) Giải phương trình: (y - 4,5)4 + (y - 5,5)4 - = Bài 3: (2 điểm) Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính quãng đường AB Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vuông góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vuông góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3x2 + 5y2 = 345 [...]... cắt AI tại N a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x6 + 3x2 + 1 = y4 ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 8 SỐ 2 (Thời gian: 120 phút) Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a(b + c) 2(b - c) + b(c + a)2(c - a) + c(a + b)2(a b) b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và Rút gọn