toán ôn thi vào 10 hiệu quả

• Toán tìm số đo góc… • Toán chưng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn… Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O AB < AC.. a Chứng minh: Tứ giác ABEF nộ

E F

D A

M

B

HÌNH HỌC - Thời gian ôn thi 6 buổi

• Toán chứng minh tứ giác nội tiếp

• Toán chứng minh hệ thức sử dụng đến kiến thức hệ thức lượng trong tam giác vuông hay hai tam giác đồng dạng

• Toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng

• Toán chứng minh tia phân giác của một góc…

• Toán chứng minh các đường thẳng song song , đồng quy

• Toán tìm quỹ tích của điểm ………

• Toán tìm cực trị trong hình học……

• Toán tìm số đo góc…

• Toán chưng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn…

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến

tại B và C cắt nhau tại M AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D E là trung điểm đoạn AD

EC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F Chứng minh rằng:

1) Tứ giác OEBM nội tiếp

2) MB2 = MA.MD

3) BFC MOC· =·

4) BF // AM

Hướng dẫn giải

1) Ta có EA = ED (gt) ⇒ OE ⊥ AD ( Quan hệ giữa đường kính và dây)

⇒ ·OEM = 900; ·OBM = 900 (Tính chất tiếp tuyến)

E và B cùng nhìn OM dưới một góc vuông ⇒Tứ giác OEBM nội tiếp.

= sđ »BD ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung BD)

Góc M chung, MBD MAB· =· ⇒∆MBDđồng dạng với ∆MAB ⇒ MA MBMB MD=

4)Tứ giác MFOC nội tiếp ( F C$ µ+ = 1800) ⇒MFC MOC· =· ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC), mặt khác MOC BFC· =· (theo câu 3) ⇒BFC MFC· =· ⇒BF // AM

Bài 2:Cho điểm M nằm ngoài (O; R) vẽ các tiếp tuyến MA, MB với (O; R) Vẽ đường kính AC,

tiếp tuyến tại C của đường tròn (O; R) cắt AB ở D Chứng minh rằng:

1 Tứ giác MAOB nội tiếp

2. AB.AD = 4R2

3 OD vuông góc với MC

K

F D

C

O

B A

M

Hướng dẫn giải ( H/s tự vẽ hình)

1.Xét tứ giác MAOB có: ∠MAO = 900 ( Do MA tiếp tuyến )

∠MBO = 900 ( Do MB tiếp tuyến )

Do đó ∠ MAO + ∠MBO = 1800

Vậy tứ giác MAOB nội tiếp ( vì có tổng hai góc đối bằng 1800)

2.Ta có ∠ACD = 900 ( Do DC là tiếp tuyến )

∠ABC = 900 ( Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

⇒ ∆ACD vuông tại C , có đường cao CB , Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong

tam giác vuông ta có

Bài 3:Cho đường tròn (O; R) và dây AB, vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K (D thuộc

cung nhỏ AB) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC DM căt AB tại F

a Chứng minh tứ giác CKFM nội tiếp

Mà CMF· =900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) )

⇒ Tứ giác CKFM nội tiếp

HS chứng minh: DF.DM = DK.DC (Do ∆DKF : ∆DMC g g( − ) )

Chứng minh: DK.DC = AD2 (Pitago trong tam giác vuông ADC có AK đường cao)

Suy ra: DM.DF = AD2

HS lập luận chỉ ra: MFI CDM· =· =DMI· ⇒ ∆MIF cân tại I⇒MI =MF (1)

Mà IME IMF EMF 90· +· =· = 0 ; ·MFI MEI+· =900 ( Vì DMEF vuông tại M)

Mặt khác theo c/m trên: IMF MFI· =· ⇒IME IEM· =· ⇒ ∆MIE cân tại I ⇒IE IM= (2) ; Từ (1)

Bài 4: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm

bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên AB

1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ACM ACK· =·

3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tamgiác vuông cân tại C

H

O

C M

K

E

Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp.

Ta có HCB· =900( do chắn nửa đường tròn đk AB)

HKB= (do K là hình chiếu của H trên AB)

=> ·HCB HKB+· =1800 nên tứ giác CBKH nội tiếp

Chứng minh ACM ACK· =·

Ta có ·ACM =·ABM (do cùng chắn ¼AM của (O))

và ·ACK =·HCK =HBK· (vì cùng chắn HK¼ của đtròn đk HB)

Vậy ·ACM =·ACK

Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C

=

O

M H

K D

C

B A

Vì OC ⊥ AB nên C là điểm chính giữa của cung AB

⇒ AC = BC và sd AC sd BC» = » =900

Xét 2 tam giác MAC và EBC có

MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và ·MAC = ·MBC vì cùng chắn

cung MC¼ của (O)

⇒MAC và EBC (cgc) ⇒ CM = CE ⇒ tam giác MCE cân

tại C (1)

Ta lại có CMB· =450(vì chắn cung CB» =900)

⇒CEM· =CMB· =450(tính chất tam giác MCE cân tại C)

Mà CME CEM MCE· +· +· =1800(Tính chất tổng ba góc trong tam giác)⇒MCE· =900 (2)

Từ (1), (2) ⇒ tam giác MCE là tam giác vuông cân tại C

Bài 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M là điểm chính

giữa cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia

4 Trong trường hợp AD là tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần

tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) theo R

4 Tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài (O) theo R:

Gọi S là diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O)

S1 là diện tích tứ giác AOCD

S2 là diện tích hình quạt góc ở tâm AOC

R −π (đvdt)

Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nữa đường tròn (O) đường kính AD Hai đường chéo

AC và BD cắt nhau tại E Kẻ EF vuông góc với AD (F∈AD; F≠O)

a) Chứng minh: Tứ giác ABEF nội tiếp được;

b) Chứng minh: Tia CA là tia phân giác của góc BCF;

c) Gọi M là trung điểm của DE Chứng minh: CM.DB = DF.DO

Giải:

O

M F

E

D

C B

b) Tương tự tứ giác DCEF nội tiếp đường tròn đương kính DE (Hsinh tự c/m)

Mặt khác trong (O) ta củng có ·ADB ACB=· (cùng chắn »AB) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ·ACB ACF= ·

Vậy tia CA là tia phân giác của góc BCF (đpcm)

c) Chứng minh: CM.DB = DF.DO

Do M là trung điểm của DE nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DCEF

Mặt khác Ta chứng minh được hai tam giác cân MDF và ODB đồng dạng với nhau nên

1) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đường tròn đường kính AO.2) Đường thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D Chứng minh rằng:

a) <AHN = <BDN

b) Đường thẳng DH song song với đường thẳng MC

c) HB + HD > CD

Hướng dẫn

Từ (a) Ta có tứ giác BDHN nội tiếp

Suy ra <HDN = <HBN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN)(5)

Trong đường tròn (O) ta lại có:

Bài 8:: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa

đường tròn đối với AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C làtiếp điểm) AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B)

a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh ADE ACO· =·

c) Vẽ CH vuông góc với AB (H ∈ AB) Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.

Câu 4:

a) Vì MA, MC là tiếp tuyến nên:

giác nội tiếp đường tròn đường kính

(tính chất tiếp tuyến) Suy ra OM là

đường trung trực của AC

AEM 90

x N

I H E

D M

C

A

Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA

b) Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: ADE AME AMO· =· =· (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (3)

Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra:AMO ACO· =· (góc nội tiếp cùng chắn cung AO) (4)

Từ (3) và (4) suy ra ADE ACO· =·

c) Tia BC cắt Ax tại N Ta có ACB 90· = 0(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ACN 90· = 0, suy ra

∆ACN vuông tại C Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5)

Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì IC IH BI

Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH

Bài 9 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Ax là tia tiếp tuyến của nửa đường tròn (Ax và

nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB), từ điểm C trên nửa đường tròn (C ≠A,B)

vẽ tiếp tuyến CM cắt Ax tại M, hạ CH vuông góc với AB, MB cắt (O) tại Q và cắt CH tại N.a) Chứng minh MA2 = MQ.MB

b) MO cắt AC tại I Chứng minh tứ giác AIQM nội tiếp

c) Chứng minh IN ⊥CH

Vẽ hình đúng:

I

O

N Q

H

C

M

B A

x

a Kẻ AQ, ta có: ·AQB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

∆ABM vuông tại A có AQ ⊥BM

Nên ta có: MA2 = MQ.MB (Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông)

b.Kẻ BC, ta có: ·ACB= 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

BC AC

⇒ ⊥ (1)

OA = OC (bằng bàn kính đường tròn (O)), MA = MC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ MO là

đường trung trực của đoạn thẳng AC

⇒ = (So le trong) Hay IMQ MBC· = · (3)

Mặt khác: QAI· =MBC· (4) (Hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung QC )

Từ (3) và (4) suy ra ·IMQ QAI=· ( Cùng bằng ·MBC)

M và A cùng nhìn QI cố định dưới góc bằng nhau nên tứ giác AIQM nội tiếp W

c Tứ giác AIQM nội tiếp · · 0

NQI MQI+ = (6) (Hai góc kề bù)

Từ (5) và (6) ⇒·MAI =NQI· (7) (Cùng bù với ·MQI)

Mặt khác: MAI· =·ACH (8) ( So le trong )

Từ (7) và (8) ⇒·ACH =NQI· hay ·ICN =·NQI ⇒tứ giác CQIN nội tiếp

Tứ giác CQIN nội tiếp⇒CIN CQN· =· (9) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN)

Bài 10:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm H thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O) Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C Trên cung

BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C) Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng

HC tại E Gọi I là giao điểm của AD và HC

1 Chứng minh tứ giác BHID nội tiếp đường tròn

2 Chứng minh tam giác IED là tam giác cân

3 Đường thẳng qua I và song song với AB cắt BC tại K Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD là trung điểm của đoạn CK

a) Ta có: CH ⊥ AB (gt)

⇒ ∠BHI =900 (1)

Lại có: ∠BDI =∠BDA=900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (2)

T ừ (1) v à (2) ⇒ ∠BHI+∠BDI =1800

⇒ Tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn ( tổng 2 góc đối bằng 1800)

b) Xét nửa đường tròn (O) có 1

2 EDI EDA ∠ = ∠ = sđ »DA (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Lại có : ∠ABD= 12 sđ »DA (Góc nội tiếp của đường tròn (O))

⇒ ∠EDI =∠ABD (3)

Lại có: ∠EID=∠ABD (cùng bù với góc ∠HID) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ ∠EID=∠EDI Do đó ∆EID cân tại E

c) Vì IK//AB (gt) nên ∠KID= ∠BAD ( hai góc đồng vị) Mà ∠BCD= ∠BAD(góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O)) Nên ∠BCD= ∠KID Suy ra tứ giác DCIK nội tiếp (5)

Ta có AB⊥IH ; IK//AB(gt) nên · 0

IK ⊥IH CIK = (6)

Từ (5) và (6) ta có CK là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD là trung điểm của đoạn CK

Bài 11:Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B) Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N

1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ∠ ENI = ∠ EBI và ∠ MIN 90 = 0

3) Chứng minh AM.BN = AI.BI

4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O) Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng

3/ Xét tam giác vuông AMI và tam giác vuông BIN có

góc AIM = góc BNI ( cùng cộng với góc NIB = 90o)

 ∆AMI ~ ∆ BNI ( g-g)



BN

AI BI

 AM.BN = AI.BI4/ Khi I, E, F thẳng hàng ta có hình vẽ

Do tứ giác AMEI nội tiếp

nên góc AMI = góc AEF = 45o

Nên tam giác AMI vuông cân tại A

Chứng minh tương tự ta có tam giác BNI vuông cân tại B

 AM = AI, BI = BN

Áp dụng pitago tính được

23

IN IM

S MIN = = ( đvdt)

Bài 12: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O)

(M, N thuộc (O)) Qua A vẽ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C phân biệt (Bnằm giữa A, C) Gọi H là trung điểm đoạn thẳng BC

a) Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp

Ta lại có HB = HC (gt)⇒ OH ⊥ BC (đường kính đi qua trung điểm dây cung) ⇒ AHO 90· = 0

Do đó AMO ANO AHO 90· =· =· = 0 => Năm điểm A, M, O, H, N cùng thuộc một đường tròn

Suy ra tứ giác AMHN nội tiếp được đường tròn

b) Xét ∆AMB và ∆ACM có µAchung và AMB ACM· =· (góc giữa tiếp tuyến và dây cung,

gốc nội tiếp cùng chắn BM¼ ) nên ∆AMB đồng dạng với ∆ACM

c) Theo câu a, tứ giác AMHN nội tiếp HAM HNM· =· (góc nội tiếp cùng chắn HM¼ )

Mặt khác, BE // AM (gt) ⇒HAM HBE· =· (đồng vị) Do đó HNM HBE· =· hay HNE HBE· =· ,

suy ra tứ giác HNBE nội tiếp được

Từ đó ta có EHB ENB· =· (góc nội tiếp cùng chắn »BE); ENB MCB· = · (góc nội tiếp cùng chắn

b) Gọi K là giao điểm của MN và BC Chứng minh rằng: AK AI = AB AC

c) Khi cát tuyến ABC thay đổi thì điểm I chuyển động trên cung tròn nào? Vì sao?

d) Xác định vị trí của cát tuyến ABC để IM =2IN

E K

I B

N

M

O A

Bài 14: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 23AO

Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với

O 1 E

mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên

tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp

2 Theo giả thiêt MN ⊥AB, suy ra A là điểm

chính giữa của MN¼ nênAMN = ACM· · (hai

góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hayAME = ACM· · , lại có ·CAM là góc chung do đó tamgiác AME đồng dạng với tam giác ACM AM = AE

3 Theo trên AMN = ACM · · ⇒ AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ECM Nối MB ta có

·AMB= 900, do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp ∆ECM phải nằm trên BM

Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM⇒NO1 ⊥BM Gọi O1 là chânđường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ECM có bánkính là O1M

Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ECM là nhỏ nhất thì C phải làgiao điểm của đường tròn (O1), bán kính O1M với đường tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuônggóc của N trên BM

Bài 15 Cho tam giác nhọn ABC có ∠B = 450 Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E

1 Chứng minh AE = EB

2 Gọi H là giao điểm của CD và AE, Chứng minh rằng đường

trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH

3 Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

tam giác BDE

Lời giải:

1 ∠AEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn )

=> ∠AEB = 900 ( vì là hai góc kề bù); Theo giả thiết ∠ABE =

A

2 Gọi K là trung điểm của HE (1) ; I là trung điểm của HB => IK là đường trung bình của tam

giác HBE => IK // BE mà ∠AEC = 900 nên BE ⊥ HE tại E => IK ⊥ HE tại K (2)

Từ (1) và (2) => IK là trung trực của HE Vậy trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH

3 theo trên I thuộc trung trực của HE => IE = IH mà I là trung điểm của BH => IE = IB.

∠ ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ∠BDH = 900 (kề bù ∠ADC) => tam giác BDH

vuông tại D có DI là trung tuyến (do I là trung điểm của BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB

= ID => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE bán kính ID

Ta có ∆ODC cân tại O (vì OD và OC là bán kính ) => ∠D1 = ∠C1 (3)

∆IBD cân tại I (vì ID và IB là bán kính ) => ∠D2 = ∠B1 (4)

Theo trên ta có CD và AE là hai đường cao của tam giác ABC => H là trực tâm của tam giác ABC

=> BH cũng là đường cao của tam giác ABC => BH ⊥ AC tại F => ∆AEB có ∠AFB = 900

Theo trên ∆ADC có ∠ADC = 900 => ∠B1 = ∠C1 ( cùng phụ ∠BAC) (5)

Từ (3), (4), (5) =>∠D1 = ∠D2 mà ∠D2 +∠IDH =∠BDC = 900=> ∠D1 +∠IDH = 900 = ∠IDO => OD

⊥ ID tại D => OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE

Bài 16: Cho đường tròn (O; R) A là điểm cố định nằm ngoài (O) Qua A kẻ các tiếp tuyến AM, AN và cát

tuyến ABC (M, N, B, C∈(O) và B nằm giữa A và C) Gọi H là trung điểm của BC.

a Chứng minh AN2 = AM2 = AB.AC

b Chứng minh 5 điểm A; M; H; O; N cùng nằm trên một đường tròn

c Khi cát tuyến ABC quay quanh điểm A thì trọng tâm tam giác MBC chạy trên đường nào?

AC = AM ⇒AM2 = AB.AC Mặt khác AM = AN ( t/c 2 tt cắt nhau) nên AN2 = AM2 = AB.AC

b Ta có: ·AMO AHO ANO=· =· =900nên các điểm M; H; N nằm trên đường tròn đường kính AO, hay 5 điểm A; M; H; N; O cùng nằm trên một đường tròn đường kính AO

Gọi I là trung điểm AO ⇒ I cố định MI = IH = 1

2AO Không đổi Gọi K là điểm nằm trên MI sao cho

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H Tia

AO cắt đương tròn (O) tại D

a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành

c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC

a) Tứ giác BCEF có: ·BEC BFC 90= · = 0 (gt)

=> Tứ giác BCEF nội tiếp

b) Ta có ·BAD = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đtròn)

=> BD ⊥ AB mà CH ⊥ AB => BD // CH

C/m tương tự: CD // BH

=> BHCD là hình bình hành

c) BHCD là hình bình hành , M là trung điểm của BC

=> M là trung điểm của HD

=> OM là đường trung bình của ∆AHD

=> G là trọng tâm của ∆ABC

E F

D O A

3/Chứng tỏ AK là phân giác của góc DKE.

4/Gọi I; J là trung điểm BC và DE Chứng minh: OA//JI

Ta lại có góc AED=ABC(cùng bù với góc DEC)

Vậy Ax//DE.Mà AO⊥Ax(t/c tiếp tuyến)⇒AO⊥DE.Ta lại có do BDEC nt trong đường tròn tâm I

⇒DE là dây cung có J là trung điểm ⇒JI⊥DE(đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm)Vậy IJ//AO

Bài 19

Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D Từ điểm M tuỳ ý trên d kẻ các tiếp tuyếnMA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của CD

a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp

b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H.Chứng minh MH.MO = MC.MD

c) Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆COD

d) Gọi Q là giao điểm của AB và OI Chứng minh

2

R OQ OI

=

e) * Chứng minh

2 2

a) MA, MB là các iếp tuyến của (O)

MAO MBO

I là trung điểm của CD ⇒OI ⊥CD⇒MIO· =900

⇒A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO

b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

xAC=AED

⇒tứ giác CHOD nội tiếp

⇒ H thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆COD

c) Gọi Q là giao điểm của AB và OI

Hai tam giác vuông MIO và QHO có ·IOH chung

(R là bán kính (O) không đổi)

O, I cố định ⇒ độ dài OI không đổi

⇒ lại có Q thuộc tia OI cố định

MD HA

MB HC

PHẦN II: MỘT SỐ ĐỀ THI CÓ LỜI GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM

-*** KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

ĐỀ THI MÔN : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)

+ = −



 − =



1 Giải hệ phương trình với a=1

2 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Câu 3 (2,0 điểm) Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi

2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho

Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) (điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm M nằm bên ngoài (O).

Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B,C là các tiếp điểm ) của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MO và MC Qua B kẻđường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A Vẽ đường kính BB’ của (O).Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB’,đường thẳng này cắt MC và B’C lần lượt tại K và E Chứng minhrằng:

1 4 điểm M,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn

≠

−

⇔

01

01

01

2

x x x

0,50,25

1(

)46()1(3)1()1)(

1(

461

=

−+

−

−+

+

x x

x x x

x

x x

x

0,5

)1(

1

1)

1)(

1(

)1(

)1)(

1(

12)

1)(

1(

4633

2

2 2

±

≠+

−

=

−+

−

=

−+

+

−

=

−+

+

−

−++

=

x voi x

x x

x

x

x x

x x x

x

x x

x x

53

42

y x

y x

⇔

2

15

311

53

775

3

123

6

y

x y

x

y x

x y

x

y x

Vậy với a = 1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:

0,250,250,250,25

25

3

42

y

x y

⇔a2 ≠−6 (luôn đúng, vì a2 ≥0 với mọi a)

Do đó, với a 0≠ , hệ luôn có nghiệm duy nhất

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a

0,25

0,250,250,25C3

(2,0

điểm)

Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x (m), với x > 4

Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là:

2

x x

1)22)(

2

(

2

x x

x− − = ⋅

016124

42

2

2 2 2

=+

−

⇔

=+

−

−

………….=> x1 =6+2 5 (thoả mãn x>4);

x2 =6−2 5(loại vì không thoả mãn x>4)

Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là 6+2 5 (m)

0,250,250,25

0,250,25

0,50,25

C4.1

(1,0

điểm)

1) Chứng minh M, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn

Ta có: ∠MOB=900(vì MB là tiếp tuyến)

Mà ∠M1 = ∠M2 (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) => ∠M2 = ∠O1 (1)

C/m được MO//EB’ (vì cùng vuông góc với BC)

=> ∠O1 = ∠E1 (so le trong) (2)

Từ (1), (2) => ∠M2 = ∠E1 => MOCE nội tiếp

=> ∠MEO = ∠MCO = 900

=> ∠MEO = ∠MBO = ∠BOE = 900 => MBOE là hình chữ nhật

=> ME = OB = R (điều phải chứng minh)

0,250,250,25

0,25C4.3

(1,0

điểm)

3) Chứng minh khi OM=2R thì K di động trên 1 đường tròn cố định:

Chứng minh được Tam giác MBC đều => ∠BMC = 600

3:

300

R R

Cos

OC OK

KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – Không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 2 -*** - Câu I (2,0 điểm)

3

x x

Câu III (1,0 điểm)

Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm, độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm Tính độ dàicác cạnh của tam giác vuông đó

Câu IV (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x - m +1 và parabol (P): y = x1 2

1) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3)

2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho

( )

1 2 1 2

x x y + y +48 0=

Câu V (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC < BC (C

≠A) Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau ở điểm D, AD cắt (O) tại E (E≠ A)

a b+ = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ là x (cm) (điều kiện 0< x < 15)

=> độ dài cạnh góc vuông còn lại là (x + 7 )(cm)

Vì chu vi của tam giác là 30cm nên độ dài cạnh huyền là:

Đối chiếu với điều kiện có x = 5 (TM đk); x = 48 (không TM đk)

Vậy độ dài một cạnh góc vuông là 5cm, độ dài cạnh góc vuông còn lại là 12 cm,

⇔ − + − = ; Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nên (1) có hai

nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ −' 0 6 2m> ⇔ <0 m 3

Vậy m = -1 thỏa mãn đề bài

0,25

Câu V

(3,0đ)

1) 1,0

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABD ( ·ABD=90 ;BE 0 ⊥ AD) ta có BE2 =

ΔBCD cân tại D => ·CBD DCB=· nên CB là tia phân giác của ·HCD

KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh)

ĐỀ SỐ 3 -*** -

Bài II (2,0 điểm) Hai người cùng làm chung một công việc trong 12

5 giờ thì xong Nếu mỗi người làmmột mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu làm một mìnhthì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Bài III (1,5 điểm)

1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ·ACM ACK=·

3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuôngcân tại C

4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong

36 2+ = =+

Bài II: (2,0 điểm)

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK 12

5

x>

Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)

Mỗi giờ người thứ nhất làm được1

x(cv), người thứ hai làm được

12

x+ (cv)

Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong 12

5 giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được

121:

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ,

người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ

Bài III: (1,5 điểm) 1)Giải hệ:

Trả lời: Vậy

Bài IV: (3,5 điểm)

1) Ta có ·HCB=900( do chắn nửa đường tròn đk AB)

=> ·HCB HKB+· =1800 nên tứ giác CBKH nội tiếp trong đường tròn đường kính HB.2) Ta có ·ACM =·ABM (do cùng chắn ¼AM của (O))

và ·ACK =HCK· =HBK· (vì cùng chắn ¼HK của đtròn đk HB)

Vậy ·ACM =·ACK

3) Vì OC ⊥ AB nên C là điểm chính giữa của cung AB ⇒ AC = BC và sd AC sd BC» = » =900

Xét 2 tam giác MAC và EBC có

MA= EB(gt), AC = CB(cmt) và ·MAC = ·MBC vì cùng chắn cung ¼MC của (O)

⇒MAC và EBC (cgc) ⇒ CM = CE ⇒ tam giác MCE cân tại C (1)

4) Gọi S là giao điểm của BM và đường thẳng (d), N là giao

điểm của BP với HK

Mà PM = PA(cmt) nên ·PAM PMA =·

Từ (3) và (4) ⇒ PA = PS hay P là trung điểm của AS

PA BP PS

PA PS

Bài V: (0,5 điểm) Đối với bài toán này, thầy gợi ý một số cách giải sau để các em có thể lựa chọn.