Học kỹ từng bài: Khi ôn tập môn Toán thí sinh cần bám sát nội dung sách giáo khoa, học thật kỹ phần lý thuyết rồi áp dụng làm bài tập đầy đủ từ dễ đến khó. Khi đã nắm chắc phần cơ bản mới nên chuyển sang phần nâng cao để đạt hiệu quả.
TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN BÀI BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN I KIẾN THỨC CƠ BẢN Dạng 1: Tiếp tuyến với (C ) : y f ( x) tiếp điểm M ( x0 , y0 ) (C ) có phương trình là: y f '( x0 )( x x0 ) y0 Thường đề thi cho ba yếu tố x0 , y0 f ' x0 , ta cần tìm hai yếu tố lại để thay vào công thức Chú ý: a/ f '( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến điểm có hoành độ x0 b/ Tiếp tuyến song song với đt y kx b f ' x0 k c/ Tiếp tuyến vuông góc với đt y kx b f ' x0 k 1 hay f ' x0 k Dạng Tiếp tuyến với (C ) : y f ( x) biết tiếp tuyến qua (xuất phát từ, kẻ từ) điểm M ( xM , yM ) Bước Gọi d đường thẳng qua M có hệ số góc k d : y k ( x xM ) yM f ( x ) k ( x xM ) yM Bước Điều kiện tiếp xúc d (C) : (2) f '( x) k (1) Thế (2) vào (1) giải tìm x x vào (2) tìm k k vào pttt d xong Chú ý: Khi (2) vào (1) ta phương trình, số nghiệm phương trình số tiếp tuyến qua M II BÀI TẬP Bài Cho (C ) : y x3 x2 3x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành 3/ Viết pt tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ CMR tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài Cho (C ) : y x x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(-1,-9) 3/ Viết phương trình đường thẳng qua N(2,9) tiếp xúc với (C) Bài Cho (C ) : y x x 2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A(0,1/2) 3/ Tìm trục tung điểm M cho từ M kẻ đến (C) tiếp tuyến vuông góc đối xứng qua Oy Bài Cho (C ) : y x x TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x y Bài Cho (C ) : y x 3x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm điểm (C) cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) 3/ Tìm điểm đường thằng x cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) Bài Cho (C ) : y x x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm điểm trục hoành cho từ kẻ tiếp tuyến với (C), có tiếp tuyến vuông góc với 3/ Chứng minh (C) tồn vô số cặp điểm mà tiếp tuyến song song với Bài Cho (C ) : y x2 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua giao điểm TCĐ với trục hoành 3/ Chứng minh tiếp tuyến (C) qua giao điểm đường tiệm cận Bài Cho (C ) : y 2x x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm M (C ) biết tiếp tuyến với (C) M cắt Ox, Oy A, B SOAB 1/ 3/ Tìm điểm trục hoành cho từ kẻ tiếp tuyến với (C) Bài Cho (C ) : y 3x x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tính diện tích tam giác tạo trục tọa độ tiếp tuyến với (C) điểm A(-2,5) 3/ Gọi M điểm (C), tiếp tuyến với (C) M cắt hai đường tiệm cận A, B Chứng minh M trung điểm AB Bài 10 Cho (C ) : y x2 x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Gọi I gđiểm hai đường tiệm cận Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến với (C) M vuông góc với IM 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua A(-6,5) TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 Bài 11.Cho (C ) : y x2 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Cho A(0,a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến với (C) cho hai tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hoành 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ A, B ∆OAB cân O Bài 12 Cho (C ) : y x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tìm M (C ) biết tiếp tuyến với (C) M cắt hai đường tiệm cận A, B a/ AB ngắn b/ chu vi tam giác IAB nhỏ 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) cho khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến tiếp tuyến lớn Bài 13 Cho (C ) : y 2x 1 x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Gọi M (C ) I giao điểm hai đường tiệm cận, tiếp tuyến với (C) M cắt hai đường tiệm cận A, B Chứng minh diện tích ∆IAB không đổi (không phụ thuộc vào vị trí M (C)) Bài 14 Cho hàm số (C ) : y x x x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm k để tồn hai tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k Gọi A, B hai tiếp điểm, viết phương trình đường thẳng AB 3/ Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Bài 15 Cho (C ) : y x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Gọi M (C ) I giao điểm hai đường tiệm cận, tiếp tuyến với (C) M cắt hai đường tiệm cận A, B Tìm tọa độ M cho diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ 3/ Tìm cặp điểm (C) mà tiếp tuyến song song với Bài 16 Cho (C ) : y x 3x 12 x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M qua gốc tọa độ Bài 17 Cho (C ) : y x 3 2x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 2/ Gọi A, B giao điểm (C) với trục tọa độ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với AB Bài 18 Cho hàm số y x3 m 3 x 18mx 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m 2/ Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành Bài 19 Cho hàm số y x (1 2m) x (2 m) x m (1) (m tham số) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = 2/ Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x y góc , biết cos 1/ 26 3/ Tìm m để đồ thị hàm số (1) điểm có hoành độ qua K 2,3 Bài 20 Cho hàm số y 3x x3 (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm đường thẳng (d): y x điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với (C) 3/ Viết pt tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ CMR tiếp tuyến có hệ số góc lớn Bài 21 Cho hàm số y x3 3x (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Bài 22 Cho hàm số y mx m 1 x 3m x có đồ thị (Cm) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2/ Tìm giá trị m cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x y Bài 23 Cho hàm số y | x | 1 | x | 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Cho điểm A(a;0) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Bài 24 Cho hàm số y x x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hoành độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với Bài 25 Cho hàm số y 2x (C) x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 Bài 26 Cho hàm số y x2 2x (1) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Bài 27 Cho hàm số y 2x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB 3/ Gọi M điểm (C) CMR tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận số Bài 28 Cho hàm số y 2x có đồ thị (C) x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Bài 29 Cho hàm số y x x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Bài 30 Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị (C) x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Bài 31 Cho hàm số y x3 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Cho điểm M x0 , y0 thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh Mo trung điểm đoạn thẳng AB Bài 32 Cho C : y x2 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ CMR tiếp tuyến đồ thị (C) lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích không TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 đổi Bài 33 Cho hàm số y x2 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Gọi I giao điểm đường tiệm cận, tiếp tuyến đồ thị (C) d khoảng cách từ I đến Tìm giá trị lớn d Bài 34 Cho hàm số y 2x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến Bài 35 Cho hàm số y x 1 x 1 (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm Oy tất điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) Bài 36 Cho hàm số y 2x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm A(2; 4), B(4; 2) Bài 37 Cho hàm số y 2x 1 1 x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận, A điểm (C) có hoành độ a Tiếp tuyến A (C) cắt hai đường tiệm cận P Q Chứng tỏ A trung điểm PQ tính diện tích tam giác IPQ Bài 38 Cho hàm số y 2x x2 (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho côsin góc ABI Bài 39 Cho hàm số y x x 17 (C) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) 2/ Tìm m để đường thẳng y mx tiếp xúc với đồ thị (C) Bài 40 Cho hàm số y x 1 2x 1 (C) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) , với I giao tiệm cận TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 2/ Lập pt tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua giao điểm tiệm cận đứng Ox Bài 41 Cho hàm số y 2 x x (C) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) 2/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp qua điểm M 1, 13 Bài 42 Cho hàm số y x4 2( x 1) (C) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) 2/ Viết phương trình đường thẳng qua M 0, tiếp xúc với (C) m 1 Bài 43 Cho hàm số y x x 3 (Cm) 1/ Khảo sát hàm số (Cm) m=2 2/ Gọi M điểm thuộc (Cm) có hoành độ –1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x-y = Bài 44 Cho hàm số: y x (2m 1) x m (Cm) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 2/ Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng d : y 2mx m Bài 45 Cho hàm số y x 3mx (m 1) x (Cm) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (Cm) m 1 2/ Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm x 1 qua điểm A 1, Bài 46 Cho C : y x2 2x 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ A, B đường trung trực AB qua gốc tọa độ Bài 47 Cho Cm : y x3 m 1 x 6mx 3m 1/ 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (Cm) m 2/ Gọi d tiếp tuyến với (Cm) điểm có hoành độ Tìm m để d cắt (Cm) điểm B khác A cho tam giác OAB cân O Bài 48 Cho C : y x 1 Viết pt tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến cắt đtc A, B AB 2 x2 Bài 49 Cho C : y x x Tính diện tích tam giác tạo trục tọa độ tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 Bài 50 Cho C : y 2x Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận A 3,1 Hãy viết pt tiếp x2 tuyến với (C) biết tt vuông góc với IA Bài 51 Cho hàm số y x 1 CMR với m đường thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) hai 2x điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 BÀI BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Cho (C ) : y f ( x) d : y ax b f ( x ) ax b (*) - Phương trình hoành độ giao điểm (C) d : - d cắt (C) n điểm phân biệt phương trình (*) có n nghiệm phân biệt - Nghiệm phương trình hoành độ giao điểm, tung độ tính cách hoành độ vào phương trình đường thẳng 2/ Đường thẳng d qua M có hệ số góc k có pt là: y k x xM yM a 3/ Phương trình ax bx c có nghiệm phân biệt khác x0 ax0 bx0 c 4/ Định lý Viet: b c x1 x2 , x1 x2 , | x1 x2 | a a |a| 5/ Diện tích tam giác ABC: S ABC xB xA | D | với D xC xA yB y A yC y A 6/ Hai tiếp tuyến với (C) A B song song f ' x A f ' xB , vuông góc f ' x A f ' xB 1 II BÀI TẬP Bài 52 Cho (C ) : y x x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Gọi d đường thẳng qua A(3,20) có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt Bài 53 Cho (C ) : y 2x 1 x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm m để : y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho b/ SOAB a/ AB 14 13 Bài 54 Cho (Cm ) : y x x (1 m) x m 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 2/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 cho x12 x22 x32 Bài 55 Cho (C ) : y 2x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983 336682 2/ Tìm m để : y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho a/ tam giác OAB vuông O b/ hai tiếp tuyến với (C) A, B song song với Bài 56 Cho hàm số y x (3m 2) x 3m 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 2/ Tìm m để đường thẳng : y 1 cắt đths điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Bài 57 Cho (Cm ) : y x mx m 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành điểm cách Bài 58 Cho (C ) : y x 3x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm để : y m( x 3) cắt (C) điểm phân biệt M(3,1), N, P cho hai tiếp tuyến với (C) N, P vuông góc với Bài 59 Cho (C ) : y x 1 x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm m để đường thẳng y mx cắt (C) hai điểm phân biệt A, B đồng thời a/ A, B thuộc nhánh (C) Bài 60 Cho (C ) : y b/ A, B nằm nhánh khác x 1 x2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2/ CMR đường thẳng y x m cắt (C) hai điểm phân biệt M, N Tìm m để MN ngắn Bài 61 Cho (Cm ) : y x 2mx (m 3) x 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = 2/ Cho d : y x K (1,3) Tìm m để d cắt (Cm ) điểm phân biệt A(0,4), B, C đồng thời tam giác KBC có diện tích 10 Bài 62 Cho hàm số y x3 3x (1) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = 2/ Tìm m để đường thẳng d : y mx cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0; 2), B, C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) B C vuông góc với Bài 63 Cho hàm số y x3 x (C) 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Gọi d đường thẳng qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt A, M, N cho hai tiếp tuyến (C) M N vuông góc với Bài 64 Cho hàm số y 3x x3 (C) 10 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Dấu “=” (1) xảy ra, chẳng hạn x = y = z = 3 ii) Vì ( x + y + z)2 = x + y + z2 + 2( xy + yz + zx ) = + 2( xy + yz + zx ) ≥ ⇒ + 2t ≥ ⇒ t ≥ − (2) 2 ,y = ,z = 2 Dấu “=” (2) xảy ra, chẳng hạn x = − Do đó: − ≤ t ≤ (đpcm) Bài Cho số thực không âm x , y, z thỏa mãn điều kiện 3( x + y + z2 ) + xy + yz + zx = 12 , đặt t = x + y + z2 Chứng minh rằng: ≤ t ≤ Lời giải i) Do 3( x + y + z2 ) + xy + yz + zx = 12 ⇒ 3( x + y2 + z2 ) = 12 − ( xy + yz + zx ) ≤ 12 ⇒ 3( x + y + z2 ) ≤ 12 ⇒ 3t ≤ 12 ⇒ t ≤ Dấu “=” (1) xảy ra, chẳng hạn x = 2, y = z = ii) Vì 3( x + y + z2 ) + xy + yz + zx = 12 ⇒ xy + yz + zx = 12 − 3( x + y + z2 ) 2 Ta lại có: xy + yz + zx ≤ x + y + z 2 (2) (3) Từ (2) (3), suy ra: 12 − 3( x + y + z ) ≤ x + y + z ⇒ 12 − 3t ≤ t ⇒ t ≥ Dấu “=” (4) xảy x = y = z = Do đó: ≤ t ≤ (đpcm) (1) 2 2 (4) Bài Cho số thực x, y, z ∈ 0;2 thỏa mãn điều kiện x + y + z = , đặt t = xy + yz + zx Chứng minh rằng: ≤ t ≤ Lời giải i) Do xy + yz + zx ≤ ( x + y + z)2 = ⇒ t ≤ 3 Dấu “=” (1) xảy x = y = z = (1) ii) Vì x, y, z ∈ 0;2 ⇒ ( x − 2)( y − 2)( z − 2) ≤ ⇒ xyz − 2( xy + yz + zx ) + 4( x + y + z) − ≤ xyz + 4( x + y + z) − 12 − ≥ =2 ⇒t≥2 2 Dấu “=” (2) xảy ra, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = Do đó: ≤ t ≤ (đpcm) ⇒ xy + yz + zx ≥ (2) 29 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực dương x , y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = , đặt t = x + y + z2 Chứng minh rằng: ≤ t < Lời giải i) Do ( x + y + z)2 ≤ 3( x + y + z2 ) ⇒ 3t ≥ ⇒ t ≥ Dấu “=” (1) xảy x = y = z = (1) ii) Vì x, y, z > ⇒ x + y + z2 < ( x + y + z)2 ⇒ t < Do đó: ≤ t < (đpcm) Bài Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z2 = , đặt t = xy + yz + 2zx Chứng minh rằng: t ≥ −1 Lời giải Do ( x + y + z)2 = x + y + z2 + 2( xy + yz + zx ) = + 2( xy + yz + zx ) ≥ ⇒ xy + yz + zx ≥ − 1 x + z2 y2 ⇒ xy + yz + 2zx ≥ − + xz ≥ − − = −1 + ≥ −1 2 2 ,y = Dấu “=” (1) xảy ra, chẳng hạn x = z = Do đó: t ≥ −1 (đpcm) (1) 1 ≤ a, b, c ≤ Chứng minh : a3 + b3 + 5c ≤ 42 Bài Cho số thực a, b, c thoả a b c + + = Dấu đẳng thức xảy ? Lời giải Từ giả thiết ta có: ≤ a ≤ ⇒ ( a − 1)( a − 3) ≤ ⇒ a ≤ 4a − ⇒ a ≤ 13a − 12 Tương tự: ≤ b ≤ ⇒ ( b − 1)( b − 3) ≤ ⇒ b ≤ 4b − ⇒ b ≤ 13b − 12 ≤ c ≤ ⇒ ( c − 1)( c − ) ≤ ⇒ c ≤ 3a − ⇒ c ≤ 7c − 3 Từ a + b + 5c ≤ 13a − 12 + 13b − 12 + ( 7c − ) ≤ 13 ( a + b + 2c ) + 9c − 54 ≤ 13.6 + 9.2 − 54 = 42 (đpcm) Dấu xảy a = b = 1, c = 30 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào CÁC BÀI TOÁN “THỬ SỨC VỚI BẤT ĐẲNG THỨC” (Thời gian làm 60 phút) Bài (1 điểm) Cho số thực x , y, z thỏa mãn 8x + 8y + 8z = Chứng minh 4x 4y 4z + + ≥ x y z 3− 3− 3− Bài (1 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh 1 + b + c ≤ a b c a + 82 + 82 + + 82 + 82 + Bài (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 13 x + 5y + 12 z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= xy 3yz zx + + x + y y + z 2z + x Bài (1 điểm) Cho số thực không âm x , y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x y + y z3 + z2 x + ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 Bài (1 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a+b b+c c+a P= + + a + b + c b + c + 4a c + a + 16b Bài (1 điểm) Cho số thực a, b, c thuộc đoạn 0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức a3 + b3 + c + P= + + b + c2 + a2 + Bài (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2 1 + 3+ 3+ + + 2 x y z x − xy + y y − yz + z z − zx + x Bài (1 điểm) Cho số thực không âm x , y, z thỏa mãn x + y + z2 ≤ 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + + 2 ( x + 1) ( y + 2) ( z + 3)2 Bài (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 4( x + y + z) = 3xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P= 1 + + + x + yz + y + zx + z + xy Bài 10 (1 điểm) 31 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x3 y3 z3 + + x + yz y + zx z2 + xy Bài 11 (1 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z2 + xy = 3( x + y + z) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 20 20 P = x + y+z+ + x+z y+2 32 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào ĐÁP ÁN Bài Cho số thực x , y, z thỏa mãn 8x + 8y + 8z = Chứng minh 4x 4y 4z + + ≥ x y z 3− 3− 3− Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = Định hướng: + Đặt ẩn phụ a = x , b = y , c = z , chuyển toán sau: a, b, c > a2 b2 c2 Cho CMR: + + ≥ 2 3 3− a 3− b 3−c a + b + c = + Đánh giá đại diện biểu thức, lưu ý đến giả thiết a3 + b3 + c3 = Đáp án 33 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh 1 + b + c ≤ a b c a + 82 + 82 + + 82 + 82 + Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy a = b = c = Định hướng: a b c + Đặt ẩn phụ x = 2 , y = 2 , z = 2 chuyển toán sau: x , y, z > 1 CMR: Cho + 3 + ≤1 3 x + y + y + z + z + x3 + xyz = + Đánh giá đại diện biểu thức Đáp án 34 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 13 x + 5y + 12 z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= xy 3yz zx + + x + y y + z 2z + x Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = 10 Định hướng: + Đánh giá đại diện biểu thức, lưu ý giả thiết 13 x + 5y + 12 z = Đáp án 35 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực không âm x , y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x y + y z3 + z2 x + ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = Định hướng: + Đánh giá đại diện biểu thức x y + x + , + Lưu ý đến bất đẳng thức ( x + y + z) ≥ ( xy + yz + zx ) Đáp án 36 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a+b b+c c+a + + P= a + b + c b + c + 4a c + a + 16b Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Khó dự đoán Định hướng: + Đặt ẩn phụ x = a + b + c, y = b + c + a, z = c + a + 16 b chuyển toán sau: Cho x, y, z > Tìm GTNN biểu thức: 1 y x z x P = + + + 16 − 3 x y 15 x z + Đánh giá bất đẳng thức Cauchy Đáp án 37 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực a, b, c thuộc đoạn 0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức a3 + b3 + c + P= + + b + c2 + a2 + Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Khó dự đoán Định hướng: + Đánh giá đại diện, theo hướng khử mẫu Đáp án 38 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2 1 + 3+ 3+ + + 2 x y z x − xy + y y − yz + z z − zx + x Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = Định hướng: + Đánh giá đại diện 1 + Lưu ý đến bất đẳng thức + ≥ a b a+b Đáp án 39 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực không âm x , y, z thỏa mãn x + y + z2 ≤ 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + + 2 ( x + 1) ( y + 2) ( z + 3)2 Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Khó dự đoán Định hướng: 1 + Lưu ý đến bất đẳng thức + ≥ a b (a + b) Đáp án 40 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn 4( x + y + z) = 3xyz Tìm giá trị lớn biểu thức P= 1 + + + x + yz + y + zx + z + xy Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = Định hướng: + Đánh giá đại diện Đáp án 41 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài 10 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x3 y3 z3 + + x + yz y + zx z2 + xy Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = Định hướng: + Đánh giá đại diện x3 −x x + yz Đáp án 42 TTLT Diệu Hiền Biên soạn: Huỳnh Chí Hào Bài 11 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z2 + xy = 3( x + y + z) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 20 20 P = x + y+z+ + x+z y+2 Hướng dẫn giải Dự đoán điểm rơi: Đẳng thức xảy x = 1, y = 2, z = Định hướng: + Biến đổi biểu thức đánh giá Cauchy cho biểu thức + Lưu ý đến điểm rơi giả thiết Đáp án -Hết 43 [...]... sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm A, B (C ) sao cho đường thẳng AB song song với Ox và d(CĐ, AB) = 2 Bài 170 Cho (C ) : y x 3 3x 2 1 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm A, B (C ) sao cho 2 tt với (C) tại A, B song song và AB = 4 2 Bài 171 Cho (C ) : y x3 x 1 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số 2/ Tìm A, B (C ) sao cho A, B đối xứng qua đường thẳng... 123 Cho hàm số y x3 3 x 2 mx 2 có đồ thị là (Cm) 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2/ Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d : y 4 x 3 Bài 124 Cho hàm số y x3 3 x 2 mx 2 có đồ thị là (Cm) 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1 2/ Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại,... 0 có 4 nghiệm phân biệt Bài 151 Cho (C ) : y x 3 3 x 2 2 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số m có 4 nghiệm phân biệt x 1 2/ Tìm m để phương trình x 2 2 x 2 Bài 152 Cho (C ) : y x 1 x 1 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 2 x y 1 0 3/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình... hai điểm M, N và MN 3 10 Bài 87 Cho C : y 2x 3 x2 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị ( C) 2/ Tìm m để đường thẳng d : y 2 x m cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C ) tại hai điểm đó song song với nhau Bài 88 Cho hàm số y x 3 2mx 2 3 m 1 x 2 (1) 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số khi m 0 2/ Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng... sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số với m 2 2/ Tìm m để hàm số có cực trị x1 , x2 thỏa điều kiện x1 2 x2 1 Bài 94 Cho hàm số y x 3 2(m 1) x 2 (m 2 4m) x 2(m 2 1) 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số với m 1 2/ Tìm m để hàm số có cực trị x1 , x2 thỏa điều kiện 1 1 1 ( x1 x2 ) x1 x2 2 Bài 95 Cho hàm số y x3 3(m 1) x 2 9 x m 1/ Khảo sát sự biến thi n và... 1 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số với m = 0 2/ Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị và hoành độ các điểm cực trị đều dương Bài 97 Cho hàm số y 2 x3 9mx 2 12m 2 x 1 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số với m 1 2/ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn xcd2 xct Bài 98 Cho hàm số y x 3 6 x 2 3(m 2) x m 6 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm... Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số với m = 0 2/ Chứng rằng (Cm ) luôn có 2 điểm cực trị A, B và khoảng cách AB không đổi Bài 104 Cho hàm số y 1 3 x mx 2 x m 1 3 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số với m = 0 2/ Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị và khoảng cách 2 điểm cực trị ngắn nhất Bài 105 Cho hàm số y x 3 3(m 1) x 2 9mx 1 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ... Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m 1 1 2/ Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 x2 3 Bài 117 Cho hàm số y 4 x3 mx 2 3 x 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m 0 2/ Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa x1 4 x2 Bài 118 Cho hàm số y m 2 x 3 3 x 2 mx 5 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ... biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0 2/ Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 3 Bài 80 Cho hàm số y x 4 2m 2 x 2 m 4 2m (1) 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1 2/ Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi m 0 Bài 81 Cho hàm số y 2x 2 x 1 (C) 1/ Khảo sát sự biến thi n... m 4 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số với m 1 2/ Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác đều Bài 130 Cho hàm số Cm : y x 4 2m 2 x 2 1 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số với m 1 2/ Tìm m để (Cm ) có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 32 Bài 131 Cho hàm số y x 4 2mx 2 m 2 m 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số