TR NG THPT CHUYÊN LÀO CAI T TOÁN – TIN ––––––– Câu (2.0 m) Cho hàm s THI TH THPT QU C GIA L N N M H C 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Th i gian làm bài: 180 phút y x3 3x2 a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s cho b) Vi t ph ng trình ti p n c a đ th (C) bi t ti p n song song v i đ 24x y Câu (1,0 m) Gi i ph ng trình sin x 2sin x 1 cos x 2cos x Câu (1,0 m) Cho s ph c z th a mãn h th c i 3 z ph c w z i ng th ng 2i i z Tìm môđun c a s i Câu (1.0 m) Trong c m thi xét công nh n t t nghi p THPT thí sinh phái thi môn có môn bu c Toán, V n Ngo i ng môn thi tinh t ch n s môn: V t li Hóa h c Sinh h c, L ch s v a lý M t tr ng THPT có 90 h c sinh đ ng ki d thi 30 h c sinh ch n m n V t l v 20 h c sinh ch n môn Hóa h c Ch n ng u nhiên h c sinh b t k c a tr ng Tính x c su t đ h c sinh có c h c sinh ch n môn V t lí h c sinh ch n môn Hóa h c Câu (1,0 m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông c nh b ng 2a Hình chi u vuông góc c a S m t ph ng (ABCD) trung m H c a c nh AB Góc gi a m t ph ng (SCD) m t ph ng (ABCD) b ng 60o Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD Tính theo a kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA BD Câu (1,0 m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho m t c u x6 y z 2 2 Vi t ph ng trình S : x 1 y 2 z 3 đ ng th ng : 3 2 m t ph ng (P) qua M(4;3;4), song song v i đ ng th ng ∆ ti p xúc v i m t c u (S) Câu (1,0 m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hình vuông ABCD có đ nh C thu c đ ng th ng d: x + 2y – = 0, m M(1;1) thu c c nh BD Bi t r ng hình chi u vuông góc c a m M c nh AB AD đ u n m đ ng th ng ∆: x + y – = Tìm t a đ đ nh C Câu (1,0 m) Gi i b t ph ng trình: x Câu (1,0 m) Cho x, y, z s th c d Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P x x x2 x ng th a mãn x2 y2 z2 xy yz zx x y z x y z 3 H t Thí sinh không đ c s d ng tài li u Cán b coi thi không gi i thích thêm >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! ÁP ÁN Câu a) y x3 3x2 +TX : D = +S bi n thiên: –Chi u bi n thiên: y ' 3x2 x ; y’ = x = ho c x = Các kho ng đ ng bi n: (–∞;0) (2;+∞); kho ng ngh ch bi n (0;2) –C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0; yC = 2; đ t c c ti u t i x = 2; yCT = –2 –Gi i h n t i vô c c: lim y ; lim y x x +B ng bi n thiên x –∞ y’ y + + –∞ 0 – +∞ + +∞ –2 th b) Ta có: y ' 3x2 x >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Ph ng trình ti p n v i đ th (C) t i m M(a;b) (C) có d ng y 3a 6a x a b d ng th ng (d) song song v i đ ng th ng y = 24x – nên suy a = ho c a = –2 3a 6a 24 a 2a Th l i: a=4 M(4;18); (d): y = 24x – 78 (th a mãn) a = –2 M(–2;–18); (d): y = 24x + 30 (th a mãn) V y ph ng trình ti p n c n tìm y = 24x – 78 y = 24x + 30 Câu sin x 2sin x 1 cos x cos x 2sin x sin x cos x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x cos x 2 sin x cos x 3 5 cos x cos x 5 x x k 2 x 5 2 x k 2 5 x k 2 x 5 k 2 18 5 x k 2 (k V y x 5 k 2 18 ) Câu >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! G i z = a + bi (a, b ) Suy z a bi Ta có: 2i 2 i z i i i i a bi i 3 a bi 1 3a b a 3b i 2i 2a b a 2b i i 3 z a 1 2a 5b i a 2a 5b a 1 b z 1 i w z i 1 i 5 V y môđun c a s ph c w w 26 1 5 Câu G i A bi n c “Trong h c sinh đ môn Hóa h c.” c ch n có c h c sinh ch n môn V t lí h c sinh ch n +Tính s ph n t c a không gian m u: S cách ch n h c sinh t 90 h c sinh C903 +Tính s k t qu có l i cho A: –TH1: Trong h c sinh đ Hóa h c: c ch n, ch có h c sinh ch n môn V t lí h c sinh ch n môn S cách ch n h c sinh ch n môn V t lí: C30 S cách ch n h c sinh ch n môn Hóa h c: C20 S cách ch n h c sinh l i (không ch n V t lí hay Hóa h c): C40 1 Theo quy t c nhân, s h c sinh TH là: C30 C20 C40 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! –TH2: Có h c sinh ch n môn V t lí, h c sinh ch n môn Hóa h c S cách ch n h c sinh ch n V t lí: C302 S cách ch n h c sinh ch n Hóa h c: C20 Theo quy t c nhân, s h c sinh TH là: C302 C20 –TH3: Có h c sinh ch n môn Hóa h c h c sinh ch n môn V t lí S cách ch n h c sinh ch n Hóa h c: C202 S cách ch n h c sinh ch n V t lí: C30 Theo quy t c nhân, s h c sinh TH là: C202 C30 Theo quy t c c ng, s cách ch n b h c sinh cho có c h c sinh ch n môn V t lí 1 1 h c sinh ch n môn Hóa h c C30 C20 C40 C302 C20 C20 C30 38400 Xác su t c n tính là: PA 38400 320 C903 979 Câu +Tính th tích G i N trung m CD Ta có SM (ABCD) nên (SMN) MN // BC MN CD Mà SM (ABCD) CD nên CD (SMN) >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Mà CD (SCD) nên (SCD) (SMN) V y m t ph ng (SMN) vuông góc v i (ABCD) (SCD) (SMN) (ABCD) = MN; (SMN) (SCD) = SN Góc gi a (SCD) (ABCD) SNM 60 Vì MNCB hình ch nh t nên MN = BC = 2a Tam giác SMN vuông t i M: SM MN.tan 60 2a 1 8a 3 VS ABCD SM SABCD 2a 2a 3 +Tính kho ng cách: Qua A k đ V MI ng th ng song song BD H hình chi u vuông góc c a M đ ng th ng SH t i I Vì AH (SAH) nên BD // (SAH) Do d(BD; SA) = d(BD; (SAH)) = d(B; (SAH)) = d(M; (SAH)) Vì SM AH, MH Suy MI AH nên (SMH) AH Mà MI AH SH nên MI (SAH) Suy d(M; (SAH)) = MI Tam giác AHM vuông cân t i H nên MH MA a 2 Tam giác SMH vuông t i M: 1 2a MI 2 MI MH MS 4a d SA; BD 2.MI Câu G i vect pháp n c a (P) n a ; b; c ng th ng ∆ có vect ch ph ng u 3; 2; , qua m N(6;2;2) >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! ∆ // P n.u 3a 2b 2c c 3a b 3a ng trình m t ph ng P : a x b y 3 b z Ph M t c u (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = M t ph ng (P) ti p xúc v i m t c u (S) ch d I ; P 3a a 1 b 3 b 3a a b2 b 3 3a 13a 12ab 8b 9a 13a 12ab 8b a 3ab 2b Ch n b = a = ho c a = a=1 (P): 2x + 2y + z – 18 = (lo i N a=2 (P): 2x + y + 2z – 19 = (th a mãn ∆ // (P)) V y ph (P) ∆ (P)) ng trình m t ph ng c n tìm 2x + y + 2z – 19 = Câu G i H, K l n l t hình chi u vuông góc c a M AB, AD KM c t BC t i F, CM c t KH t i E Tam giác KMD vuông t i K có góc MKD b ng 45o nên tam giác vuông cân >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Suy KM = KD KDCF hình ch nh t nên KD = FC KM = FC (1) Tam giác MBF vuông cân t i F nên MF = BF MFBH hình ch nh t nên BF = MH MF = MH (2) T (1) (2) suy ∆ MKH = ∆ MCF (hai tam giác vuông có c nh góc vuông t nhau) ng ng b ng MKE MCF MKE EMK MCF FMC 90 Suy ∆ MKE vuông t i E MC HK ng th ng HK có vect pháp n nHK 1;1 uHK 1; 1 Ph ng trình đ ng th ng MC qua M(1;1) nh n uHK 1; 1 làm vect pháp n: (MC): x – y = T a đ c a C nghi m c a h : x y C 2; x y V y t a đ m C (2;2) Câu x 2 x x x2 x (1) K: x ≥ –1 t a x 3; b x a 1, b 0 , (1) tr thành a 2b 1; x2 x ab; x a b a b a 2b ab a b a b a 2b ab a b a 2b ab ab a b 1 ab ab a b 11 ab >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! a b a b a – b – = (2) ho c – ab = ho c (I) ho c (II) 1 ab 1 ab Gi i (2): 2x x 1 1 2x x 1 1 2x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x = –1 ho c x = (th a mãn) Gi i (3): x2 5x x2 5x x (th a mãn) ho c x = –2 (lo i) Gi i (I): x 1 x 2x x 1 1 (I ) x 1 x 1 (lo i) x x x 2 x x Gi i (II): x 1 1 x x x x 1 x 1 x (TM K) ( II ) 2 x x x 2 x x V y nghi m c a BPT (1) x = –1 x Câu t t = y + z, t ≥ 0, ta có b t đ ng th c sau: y z 2 y z 2 y z t t2 ; yz 4 Do t u ki n đ suy ra: >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! x2 y z x2 y2 z2 xy yz zx x y z 18 x xt 2t x 2t x t y z x 2t Do đó: P x 2t 3 t y z x y z 2t t t 27t 2 Xét hàm f t f 't (0;+∞) t 27t 4 1 ; f ' t t t t 9t t 9t 36 1 Ta có: f 16 B ng bi n thiên: 6 x f’(x) f(x) 16 + –∞ C n c b ng biên thiên, ta có f(t) ≤ 16 +∞ – t (0;+∞) Suy P ≤ 16 D u b ng x y y z x x y z y z 1 y z 12 V y giá tr l n nh t c a P 16 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 10