PH NG TRÌNHBÂT PH NG TRÌNHH PH NG TRÌNH VÔ T ƯƠ ƯƠ Ệ ƯƠ Ỷ A. Ph ng trình b t ph ng trình ch a căn th c ươ ấ ươ ứ ứ I. Ph ng pháp bi n đ i t ng đ ng ươ ế ổ ươ ươ 1. Ki n th c c n nh : ế ứ ầ ớ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1. 2. 0 3. , 4. 0 5. , n n n n n n n n n n a a a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b a b + + + + = = ⇔ = > = ⇔ = ∀ ≥ ≥ ⇔ ≥ ≥ ⇔ ≥ ∀ 2. Các d ng c b n: ạ ơ ả D ng 1: ạ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0g x f x g x f x g x ≥ = ⇔ = (Không c n đ t đi u ki n ầ ặ ề ệ ( ) 0 f x ≥ ) D ng 2: ạ ( ) ( ) f x g x > xét 2 tr ng h p: ườ ợ TH1: ( ) ( ) 0 0 g x f x < ≥ TH2: ( ) ( ) 2 ( ) 0 g x f x g x ≥ > D ng 3: ạ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 f x f x g x g x f x g x ≥ ≤ ⇔ ≥ ≤ L u ý: ư + g(x) th ng là nh th c b c nh t ( ườ ị ứ ậ ấ ax+b) nh ng có m t s tr ng h p ư ộ ố ườ ợ g(x) là tam th c b c hai ứ ậ (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo t ng bài ta có th m nh d n đ t đi u ki n cho ừ ể ạ ạ ặ ề ệ ( ) 0 g x ≥ r i bình ph ng 2 v ồ ươ ế đ a ph ng trình ư ươ −b t ph ng trình v d ng quen thu c. ấ ươ ề ạ ộ + Chia đa th c tìm nghi m: Ph ng trình ứ ệ ươ 1 2 0 1 2 1 0 n n n n n a x a x a x a x a − − − + + + + + = L có nghi m ệ x= α thì chia v trái cho cho ế x– α ta đ c ượ ( )( ) 1 2 0 1 2 1 0 n n n n x b x b x b x b α − − − − − + + + + = L , t ng t cho b t ph ng ươ ự ấ ươ trình. Ph ng trình ươ −b t ph ng trình b c 3: N u nh m đ c 1 nghi m thì vi c gi i theo h ng này là ấ ươ ậ ế ẩ ượ ệ ệ ả ướ đúng, n u không nh m đ c nghi m thì ta có th s d ng ph ng pháp hàm s đ gi i ti p và n u ph ng ế ẩ ượ ệ ể ử ụ ươ ố ể ả ế ế ươ pháp hàm s không đ c n a thì ta ph i quay l i s d ng ph ng pháp khác. ố ượ ữ ả ạ ử ụ ươ Ph ng trình ươ −b t ph ng trình b c 4, lúc này ta ph i nh m đ c 2 nghi m thì vi c gi i ph ng ấ ươ ậ ả ẩ ượ ệ ệ ả ươ trình theo h ng này m i đúng, còn n u nh m đ c 1 nghi m thì s d ng nh ph ng trình ướ ớ ế ẩ ượ ệ ử ụ ư ươ −b t ph ng ấ ươ trình b c 3 và n u không ta ph i chuy n sang h ng khác. ậ ế ả ể ướ “Cũng nh không ? ư ” Ví d 1: ụ Gi i ph ng trình: ả ươ 0 1312 2 = +−+− xxx (ĐH Kh i D – 2006) ố Bi n đ i ph ng trình thành: ế ổ ươ 2 2 1 3 1 x x x − = − + − (), đ t đi u ki n r i bình ph ng 2 v ta đ c: ặ ề ệ ồ ươ ế ượ 028116 234 = +−+− xxxx ta d d ng nh m đ c nghi m ễ ạ ẩ ượ ệ x = 1 sau đó chia đa th c ta đ c: ứ ượ ()⇔ (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0. Ví d 2: ụ Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ ( ) ( )( )2 2 4 1 2 10 1 3 2 x x x + ≥ + − + , ĐK: 2 3 −≥x ( )( )2 2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5 pt x x x x x x x x ⇔ + + ≥ + + − + ⇔ + + ≥ + (1), V i ớ 3 2 x ≥ − hai v (1) đ u không ế ề âm nên ta bình ph ng 2 v : ươ ế x3 – x2 – 5x – 3 0 ≥ ( )( )2 3 1 0 x x ⇔ − + ≥ b) T ng t v i 2 d ng ươ ự ớ ạ : ( ) ( ) f x g x ≥ ( ) ( ) f x g x < Ví d 1: ụ Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ ( ) 2 2 6 1 2 0 1 x x x − + − + < Gi i ả ( ) 2 1 2 6 1 2 x x x ⇔ − + < − b t ph ng trình t ng đ ng v i h :
Trường THPT Tân Quới 2008-2009 PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A Phương trình - bất phương trình chứa thức I Phương pháp biến đổi tương đương Kiến thức cần nhớ: ( a) n n =a ( ab > ) ( ∀a, b ) a = b ⇔ a n = b n a = b ⇔ a n +1 = b n +1 a ≥ b ≥ ⇔ a n ≥ b n ( ∀a, b ) a ≥ b ⇔ a n +1 ≥ b n +1 Các dạng bản: * Dạng 1: g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔ (Không cần đặt điều kiện f ( x ) ≥ ) f ( x ) = g ( x ) * Dạng 2: f ( x ) > g ( x ) xét trường hợp: g ( x ) < TH1: f ( x ) ≥ g ( x) ≥ TH2: f ( x ) > g ( x ) f ( x) ≥ * Dạng 3: f ( x ) ≤ g ( x ) ⇔ g ( x ) ≥ f ( x) ≤ g ( x) Lưu ý: + g(x) thường nhị thức bậc (ax+b) có số trường hợp g(x) tam thức bậc hai (ax2+bx+c), tuỳ theo ta mạnh dạn đặt điều kiện cho g ( x ) ≥ bình phương vế đưa phương trình−bất phương trình dạng quen thuộc + Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − + L + an −1 x + an = có nghiệm x=α n −1 n−2 chia vế trái cho cho x–α ta ( x − α ) ( b0 x + b1 x + L + bn − x + bn −1 ) = , tương tự cho bất phương trình * Phương trình−bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm nghiệm việc giải theo hướng đúng, không nhẩm nghiệm ta sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp phương pháp hàm số không ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác * Phương trình−bất phương trình bậc 4, lúc ta phải nhẩm nghiệm việc giải phương trình theo hướng đúng, nhẩm nghiệm sử dụng phương trình −bất phương trình bậc không ta phải chuyển sang hướng khác “Cũng không ?!” Ví dụ 1: Giải phương trình: x − + x − x + = (ĐH Khối D – 2006) Biến đổi phương trình thành: x − = − x + 3x − (*), đặt điều kiện bình phương vế ta được: x − x + 11x − x + = ta dễ dạng nhẩm nghiệm x = sau chia đa thức ta được: (*)⇔ (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = ( Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ( x + 1) ≥ ( x + 10 ) − + x ( ) , ĐK: x ≥ − ) pt ⇔ x + x + ≥ ( x + ) + x − + x ⇔ ( x + 5) + x ≥ + x (1), Với x ≥ − hai vế (1) không âm nên ta bình phương vế: x3 – x2 – 5x – ≥ ⇔ ( x − 3) ( x + 1) ≥ b) Tương tự với dạng: * Ví dụ 1: Giải bất phương trình f ( x) ≥ g ( x) * f ( x) < g ( x) x − x + − x + < ( 1) Giải ( 1) ⇔ x − x + < x − bất phương trình tương đương với hệ: Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ THÁI THANH TÙNG Trường THPT Tân Quới 2008-2009 x > x − > 3− 3+ 3+ x − x + ≥ ⇔ ∨ x≥ ⇔ ≤ x≤3 x ≤ 2 x − x + < x − −1 < x < Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x − 2mx + = m − có nghiêm Giải * Nếu m < ⇒ phương trình vô nghiệm * Nếu m ≥ ⇒ phương trình ⇔ x2−2mx−m2+4m−3=0 Phương trình có ∆=2m2−4m+3>0 với m Vậy với m ≥ phương trình cho có nghiêm Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x + mx − = x + có hai nghiệm phân biệt Giải: x ≥ −1 Cách 1: PT ⇔ , phương trình (*) có nghiệm: x + ( m − ) x − = 0, (*) − m + m − 4m + 20 − m − m − 4m + 20 > 0, x2 = < Phương trình cho có nghiệm ⇔ (*) có 2 m ≤ ⇔ m ≤ −1 nghiệm x ≥ −1 ⇔ x2 ≥ −1 ⇔ − m ≥ m − 4m + 20 ⇔ 2 ( − m ) ≥ m − 4m + 20 Chú ý: + x1 > 0, x2 < x1 > x2 a.c < nên pt có nghiệm trái dấu + Cách thường dùng hệ số a dương âm + Cách 2: Đặt t = x + suy x = t – 1, với x ≥ −1 ⇒ t ≥ (*) trở thành: ( t − 1) + ( m − ) ( t − 1) − = (**) Để (*) có nghiệm x ≥ −1 (**) phải có nghiệm x1 = t ≥ Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x + mx + = x + , (1) 2 x + ≥ Giải: pt ⇔ để (1) có hai nghiệm thực phân biệt (2) có hai nghiệm lớn 3 x − ( m − ) x − = 0, ( ) ∆ = ( m − ) + 12 > 1 ⇔m≥ − hay f − ≥ 2 2 S >− 2 1 Chú ý : Cách 2: đặt t = x + , để (2) có hai nghiệm lớn − 2 1 1 t − − ( m − ) t − − = có hai nghiệm thực lớn 2 2 Các kỹ năng: a Để bình phương vế phương trình – bất phương trình ta biến đổi cho vế không âm hai đặt điều kiện cho vế không âm Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x − − x − > x − (ĐH Khối A – 2005) Vế phải không âm, vế trái chưa nhận xét ta phải biến đổi thành: x − > x − + x − ta bình phương vế đưa dạng để giải Ví dụ 2: Giải phương trình: x ( x − 1) + x ( x + ) = x ( 1) Giải Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ THÁI THANH TÙNG Trường THPT Tân Quới 2008-2009 ( 1) ⇔ x + x + x ( x − 1) ( x + ) = x ⇔ x ( x − 1) ( x + ) = x ( x − 1) x ≥1 Điều kiện: x ≤ −2 ( *) ⇔ x ( x + x − ) = x ( x − 1) x = ⇔ x2 ( 8x − 9) = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=0, x = (Hãy tìm thêm cách giải khác) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x − mx − x − = có nghiệm HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm x1,2 = m ± m − 16 Kết hợp với điều kiện ta tìm |m| ≥ b Chuyển phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, đẳng thức Lưu ý: Để sử dụng phương pháp ta phải ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình: x + x + = HD: • Bình phương hai vế • • Dùng đẳng thức a2 − b2=0 − 29 Nghiệm x = 2, x = Ví dụ 5: Giải bất phương trình: a (1 + x2 1+ x ) >x−4 b ( x − x ) x − 3x − ≥ 1 ĐS: a −1≤ x x = pt ⇔ ( x − )( x + ) = m( x − ) ⇔ Để chứng minh ∀m > , phương trình (1) x + x − 32 = m, ( 2) có nghiệm phân biệt cần chứng minh phương trình (2) có nghiệm khác f ( x ) = x3 + x − 32, x ≥ , Thật vậy: đặt ta có lim f ( x ) = +∞, f x →+∞ ' ( x ) = 3x f(2) = 0, + 12 x > 0, ∀x ≥ nên f(x) hàm liên tục [ 2; +∞ ) đồng biến khoảng suy ∀m > phương trình (2) có nghiệm x0 mà < x0 < + ∞ Một số dạng chuyển thành tích: ( a - c) x + ( b - d ) - Dạng: ax + b ± cx + d = m Ta biến đổi thành: m( ax + b ± cx + d ) = ( ax + b ) − ( cx + d ) x + − 3x − = Ví dụ: Giải phương trình: x+3 ĐS: x=2 - Dạng: u+v=1+uv ⇔ (u-1)(v-1)=0 Ví dụ: Giải phương trình: x + + x + = + x + 3x + ĐS: x=0, x=−1 Ví dụ: Giải phương trình: x + + x = + x3 + x - Dạng: au+bv=ab+uv ⇔ (u−b)(v−a)=0 Ví dụ 1: Giải phương trình: x + + x x + = x + x + x + ĐS: x=0, x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: ĐS: x=0 x3 + x + 3x + + x = x + + x + x - Dạng: a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ ĐS: x=0, x=1 THÁI THANH TÙNG Trường THPT Tân Quới 2008-2009 Ví dụ: Giải phương trình: + 3 x ( x + ) = x + 3 3x ( x + ) ĐS: x=1 c Chuyển dạng: A1 + A2 + + An = với Ai ≥ 0, ≤ i ≤ n pt tương đương với: A1 = 0, A2 = 0, L An = Ví dụ 1: Giải phương trình: x + 3x + = x x + + 2 x − ( )( ) HD: Phương trình tương đương x − x x + + x + − 2 x − + x − = Ví dụ 2: Giải phương trình: ĐS: x=1 x − y − y + = x2 + y Giải Bình phương hai vế ta ( x − 1) + ( y + ) + 2 ( y + 2) ( x2 + y ) = ⇔ x = , y = −2 d Sử dụng lập phương: Với dạng tổng quát a ± b = c ta lập phương hai vế sử dụng đẳng thức 3 a ± b = c 3 ph ươ ng trình t ươ ng đ ươ ng v i h ệ Giải hệ ta a ± b = a ± b ± ab a ± b ( ) ( ) a ± b ± 3 abc = c có nghiệm phương trình Ví dụ: Giải bất phương trình x − + x − = x − ĐS: x = 1; x = 2; x = e Nếu bất phương trình chứa ẩn mẩu: - TH1: Mẩu dương âm ta quy đồng khử mẩu: Ví dụ 1: Giải bất phương trình: Giải ĐK: x ≥ ( 1) ⇔ ( x − 16 ) x−3 + x−3> 7−x x−3 ( 1) (ĐH Khối A−2004) ( x − 16 ) + x − > − x ⇔ ( x − 16 ) > 10 − x x ≥ ⇔ x>5 10 − x < ⇔ 10 − x ≥ ⇔ 10 − 34 < x ≤ 2 ( x − 16 ) > ( 10 − x ) Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x > 10 − 34 - TH2: Mẩu âm dương khoảng ta chia thành trường hợp: Ví dụ 2: Giải bất phương trình: a ( x − 3) HD: x2 + ≤ x2 − a Xét ba trường hợp x=3, x>3 x 5, x = 5, x = − < + 61 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = , x =8 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − + m x + = x − Đặt t = HD: ĐK x ≥ Xét hai trường hợp x = x ≠ 1, Chia hai vế phương trình cho x − đặt x −1 ( < t < 1) ĐS −1 < m ≤ = 1− x +1 x +1 Dạng 4: (Đặt ẩn phụ không triệt để) af ( x ) + g ( x ) f ( x ) + h ( x ) = Đặt t = f ( x ) , phương trình trở thành at + g ( x ) t + h ( x ) = t=4 Ví dụ: Giải phương trình ( − x ) x + x − = x − x − HD Đặt t = x + x − ⇒ L x = −1 ± (Phương pháp áp dụng cho phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… hay!) Bài tập Giải phương trình sau: ± 193 17 ± 73 x − x + = ( x − 21x − 20 ) ĐS: x = , x= 4 x − 3x + ( x + 2) Đặt y = x + , ĐS: x = 2, x = − − 6x = ( x − 3x + ) = x + ĐS: x = ± 13 x −1 1 1+ = 1− + x − Đặt t = + , ĐS: x = x x x x Dạng 5: (Đặt ẩn phụ với hàm lượng giác) Khi giải phương trình, bất phương trình lượng giác thường tìm cách đặt ẩn phụ để chuyển phương trình, bất phương trình đại số Tuy nhiên, nhiều trường hợp cách ngược lại tỏ hiệu quả, tính chất hàm lượng giác ta đưa toán đại số toán lượng giác giải toán lượng giác Lưu ý vài tính chất bản: * sin a ≤ 1, cos a ≤ * sin a + cos a = 1 2 * + tan a = * + cot a = cos a sin a Ví dụ 1: Giải phương trình + − x = x Giải ĐK x ≤ Đặt x = cos t , t ∈ [ 0; π ] Khi phương trình trở thành 1 + − cos t = cos t ⇔ sin t + sin t − = Ta tìm được: sin t = Khi x = cos t = ± − sin t = ± π π Nhận xét: * Nếu toán có tập xác định u ( x ) ≤ a Ta nghĩ đến cách đặt u ( x ) = a sin t , t ∈ − ; 2 đặt u ( x ) = a cos t , t ∈ [ 0; π ] x + π * Nếu u ( x ) ∈ [ 0; a ] ta đặt u ( x ) = a sin t , t ∈ 0; 2 Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ THÁI THANH TÙNG