Phép tính số dư (Bài giảng ĐHBK Tp.HCM)

PHÉP TÍNH SỐ DƯ BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 NỘI DUNG ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 NỘI DUNG ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT THUẬT TOÁN EUCLIDE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 NỘI DUNG ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT THUẬT TỐN EUCLIDE PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Ước chung lớn ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT ĐỊNH NGHĨA 1.1 Số nguyên d gọi ước chung số nguyên a1, a2, , an d ước đồng thời số nguyên TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Ước chung lớn ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT ĐỊNH NGHĨA 1.1 Số nguyên d gọi ước chung số nguyên a1, a2, , an d ước đồng thời số ngun VÍ DỤ 1.1 Ư(4)={1, −1, 2, −2, 4, −4} Ư(6)={1, −1, 2, −2, 3, −3, 6, −6} ƯC(4,6)={1, −1, 2, −2} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Ước chung lớn ĐỊNH NGHĨA 1.2 Một ước chung d số nguyên a1 , a2 , , an cho ước chung a1 , a2 , , an ước d gọi ước chung lớn số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Ước chung lớn ĐỊNH NGHĨA 1.2 Một ước chung d số nguyên a1 , a2 , , an cho ước chung a1 , a2 , , an ước d gọi ước chung lớn số VÍ DỤ 1.2 ƯCLN(4,6)=-2, TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Ước chung lớn ĐỊNH NGHĨA 1.2 Một ước chung d số nguyên a1 , a2 , , an cho ước chung a1 , a2 , , an ước d gọi ước chung lớn số VÍ DỤ 1.2 ƯCLN(4,6)=-2, TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Ước chung lớn ĐỊNH NGHĨA 1.3 Các số nguyên a1, a2, , an gọi nguyên tố ƯCLN(a1, a2, , an)=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Ước chung lớn ĐỊNH NGHĨA 1.4 Các số nguyên a1, a2, , an gọi đôi nguyên tố hai số chúng nguyên tố TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Ước chung lớn ĐỊNH NGHĨA 1.4 Các số nguyên a1, a2, , an gọi đôi nguyên tố hai số chúng nguyên tố VÍ DỤ 1.4 4, 7, 15 đơi ngun tố ƯCLN(4, 7)=1, ƯCLN(4, 15)=1, ƯCLN(7, 15)=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Ước chung lớn ĐỊNH NGHĨA 1.4 Các số nguyên a1, a2, , an gọi đôi nguyên tố hai số chúng nguyên tố VÍ DỤ 1.4 4, 7, 15 đôi nguyên tố ƯCLN(4, 7)=1, ƯCLN(4, 15)=1, ƯCLN(7, 15)=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Thuật toán Euclide Thuật tốn Euclide tìm ước số chung lớn hai số Cho trước số nguyên r0 > r1 > Ta tìm d=ƯCLN(r0 , r1 ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Thuật toán Euclide Thuật toán Euclide tìm ước số chung lớn hai số Cho trước số nguyên r0 > r1 > Ta tìm d=ƯCLN(r0 , r1 ) Bước Ta thực phép chia r0 = q1 r1 + r2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) (0 PHÉP TÍNH SỐ DƯ r2 < r1 ) TP HCM — 2016 / 12 Thuật tốn Euclide Thuật tốn Euclide tìm ước số chung lớn hai số Cho trước số nguyên r0 > r1 > Ta tìm d=ƯCLN(r0 , r1 ) Bước Ta thực phép chia r0 = q1 r1 + r2 (0 r2 < r1 ) Bước Nếu r2 = d=ƯCLN(r0 , r1 ) = r1 Quá trình kết thúc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Thuật toán Euclide Thuật tốn Euclide tìm ước số chung lớn hai số Cho trước số nguyên r0 > r1 > Ta tìm d=ƯCLN(r0 , r1 ) Bước Ta thực phép chia r0 = q1 r1 + r2 (0 r2 < r1 ) Bước Nếu r2 = d=ƯCLN(r0 , r1 ) = r1 Quá trình kết thúc Bước Nếu r2 = ƯCLN(r0 , r1 ) =ƯCLN(r1 , r2 ) Quay trở lại bước TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Thuật tốn Euclide Thuật tốn Euclide tìm ước số chung lớn hai số Cho trước số nguyên r0 > r1 > Ta tìm d=ƯCLN(r0 , r1 ) Bước Ta thực phép chia r0 = q1 r1 + r2 (0 r2 < r1 ) Bước Nếu r2 = d=ƯCLN(r0 , r1 ) = r1 Quá trình kết thúc Bước Nếu r2 = ƯCLN(r0 , r1 ) =ƯCLN(r1 , r2 ) Quay trở lại bước Để tìm ước chung nhiều số a1 , a2 , , an ta làm sau: tìm ƯCLN(a1 , a2 ) = d2 , ƯCLN(d2 , a3 ) = d3 , , ƯCLN(dn−1 , an ) = dn Khi d=ƯCLN(a1 , a2 , , an ) = dn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Phương trình Diophant PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Phương trình Diophant PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT Phương trình Diophant phương trình có dạng ax + by = c, a, b, c số nguyên cho trước, a,b đồng thời khác không, x,y số nguyên cần tìm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Phương trình Diophant PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT Phương trình Diophant phương trình có dạng ax + by = c, a, b, c số nguyên cho trước, a,b đồng thời khác không, x,y số nguyên cần tìm ĐỊNH LÝ 3.1 Điều kiện cần đủ để phương trình Diophant có nghiệm ngun ước chung lớn hệ số a,b ẩn ước số hạng tự TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Phương trình Diophant ĐỊNH LÝ 3.2 Nếu phương trình Diophant có nghiệm ngun (x0, y0) có vơ số nghiệm ngun tập hợp nghiệm nguyên gồm cặp số nguyên (x, y) xác định    x = x0 + b t, d a   y = y0 − t d với d=ƯCLN(a,b) t = 0, ±1, ±2, TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 / 12 Phương trình Diophant BÀI TẬP Chứng minh 20032002 − 20032001 11; 20012002 − 20022003 không chia hết cho 11; Giả sử a, b số nguyên Chứng minh Nếu a2 + b2 chia hết cho a b đồng thời chia hết cho 3; Nếu a2 + b2 chia hết cho a b đồng thời chia hết cho 7; 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 10 / 12 Phương trình Diophant Cho a, b, c số lẻ Chứng minh ƯCLN(a, b, c)=ƯCLN( a+b , b+c , c+a ) 2 Dãy số u1, u2, gọi dãy Fibônaxi u1 = u2 = 1, um = um−1 + um−2(m = 3, 4, ) Chứng minh ƯCLN(un, un+1) = 1; ƯCLN(un, um) = ud , với d=ƯCLN(m,n) um |un ⇔ m|n Dãy Fibônaxi chứa vô số số đôi nguyên tố TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 11 / 12 Phương trình Diophant Chứng minh rằng, số a, b, c đôi nguyên tố ab + bc + ca abc nguyên tố Giả sử a, m, n số nguyên lớn Chứng minh ƯCLN(am − 1, an − 1) = aƯCLN(m,n) − Giải phương trình Diophant 43x + 47y = 50; 83x − 790y = 105; 1657x + 367y = 23; 7959x − 2754y = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHÉP TÍNH SỐ DƯ TP HCM — 2016 12 / 12