Phan
Trang 2“Trong tam giỏc vuụng, nếu biết hai cạnh, hoặc một cạnh và một gúc nhọn thỡ cú thể tớnh được cỏc gúc và cỏc cạnh cũn lại của tam giỏc đú hay khụng ?
Đ1 Một số hệ thức về cạnh vũ đường cơo trong tam giớc vuụng
Nhờ một hệ thức trong tam giỏc vuụng, ta cú thể "đo" được chiều cao của cõy bằng một chiếc thước thợ
Xột tam giỏc ABC vuụng tại A, cạnh huyền BC = a, cỏc cạnh gúc vuụng AC=b và AB = c Gọi AH=h là đường cao ứng với cạnh huyền và CH = b, BH = c' lần lượt là hỡnh chiếu của AC, AB trờn cạnh huyền BC (h.1)
Trang 3
1 Hệ thức giữa cạnh gúc vuụng và hỡnh chiếu của nú trờn cạnh huyền
ĐỊNH LÍ ]
Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương mỗi cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh huyền và bỡnh chiếu của cạnh gúc vuụng đú trờn cạnh huyền
Cụ thể, trong tam giỏc ABC vuụng tại A (h.]), ta cú
bỂ =ọb', c7 =ac" (1)
Chung minh (h.1)
Xột hai tàm giỏc vuụng ANC và BAC Hai tam giỏc vuụng này cú chung
HC AC
gúc nhọn C nờn chỳng đồng dạng với nhau Do đú Ac = BC suy ra
AC = BC.HC, tức là bP=a.b, Tương tự, ta cú cè=a.c'
Vớ du 7 (Định lớ Py-ta-go — Một hệ quả của định lớ 1)
Rừ ràng, trong tam giỏc vuụng ABC (h.1), cạnh huyền a = b' + c', do đú bˆ+c 7= ab' + ac =a(b +c)=a.a=a”
Như vậy, từ định lớ 1, ta cũng suy ra được định lớ Py-ta-go
2 Một số hệ thức liờn quan tới đường cao ĐỊNH LÍ 2
Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tớch hai hỡnh chiếu của hai cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền
Cụ thể, với cỏc quy ước ở hỡnh 1, ta cú
h* = be’ (2)
Trang 4Xột hỡnh 1 Chứng mỡnh AAHB œ ACHA Từ đú suy ra hệ thức (2)
66
Vớ dụ 2 Tớnh chiều cao của cõy trong hỡnh 2, biết rằng người đo đứng cỏch cõy 225m và khoảng cỏch từ mỏt người đo đến mặt đất là 1,5m
Giải Ta cú tam giỏc ADC vuụng tại
D, DB là đường cao ứng với cạnh
huyền AC và AB = I,5m Theo định
lớ 2, ta cú BDỶ = AB BC tức là 3 (2,25) = 1.5 BC, suy ra Hinh 2 2,25)” sc- 225) = 3,375 (m)
Vậy chiều cao của cấy là
AC= AB+ BC = 1.5 + 3,375 = 4,875 (m)
đ Định lớ 2 thiết lập mối quan hệ giữa đường cao ứng với cạnh huyền và cỏc hỡnh chiếu của hai cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền của một tam giỏc vuụng Định lớ 3 dưới đõy thiết lập mối quan hệ giữa đường cao này với cạnh huyền và hai cạnh gúc vuụng
ĐỊNH LÍ 3
Trong một tam giỏc vuụng, tớch hai cạnh gúc vuụng bằng tớch của cạnh huyền và đường cao tương ứng
Với cỏc kớ hiệu trong hỡnh 1, kết luận của định lớ 3 cú nghĩa là
be = ah (3)
Trang 5Từ cụng thức tớnh diện tớch tam giỏc, ta nhanh chúng suy ra hệ thức (3)
Tuy nhiờn, cú thể chứng minh hệ thức (3) bằng cỏch khỏc
Xột hỡnh 1 Hóy chứng mỡnh hệ thức (3) bằng tam giỏc đụng dạng
Nhờ định lớ Py-ta-go, từ hệ thức (3), ta cú thể suy ra một hệ thức giữa
đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh gúc vuụng Thật Vậy, ta cú
L bˆ+c? ah = be > ah? = b’c* > (b + c?)hˆ = b2c? a h be Từ đú ta cú 1 1 1 pope a
Hệ thức (4) được phỏt biểu thành định lớ sau đõy ĐỊNH LÍ 4
Trong một tam giỏc vuụng, nghịch dao cua bỡnh phương đường cao
ứng với cạnh huyền bằng tổng cỏc nghịch đảo của bỡnh phương hai
cạnh gúc vuụng
Vi du 3 Cho tam giỏc vuụng trong đú cỏc cạnh gúc vuụng đài 6cm và Đcm Tớnh độ dài đường cao xuất phỏt từ đỉnh gúc vuụng
Giải (h.3)
Gọi đường cao xuất phỏt từ đỉnh gúc
vuụng của tam giỏc này là h Theo hệ
8
thức giữa đường cao ứng với cạnh 6 h
huyền và hai cạnh gúc vuụng, ta cú 1 1 1
T2 z2 Q2 h 6“ 8 | Hinh 3
6282 =———: dođúh= ——— =4,8 (cm) 6282 6.8
6?+82 107 10
2> Chỳ ý Trong cỏc vớ dụ và cỏc bài tập tớnh toỏn bằng số của chương
này, cỏc số đo độ dài ở mỗi bài nếu khụng ghỉ đơn vị ta quy ước là cựng
đơn vị đo
Từ đú suy ra h* =
Trang 6
Co thộ em chưa biết
Cỏc hệ thức b = ab', cŸ = ac' (1) và hŸ = b'c' (2) (xem hỡnh 1) cũn được phỏt
biểu dựa vào khỏi niệm trung bỡnh nhõn
Hệ thức (1) được phỏt biểu như sau :
Trong một tam giỏc vuụng, mỗi cạnh gúc vuụng là trung bỡnh nhõn của cạnh
huyền và hỡnh chiếu của cạnh gúc vuụng đú trờn cạnh huyền Tương tự hệ thức (2) được phỏt biểu như sau :
Trong một tam giỏc vuụng, đường cao ứng với cạnh huyền là trung bỡnh nhõn
của hai đoạn thẳng mà nú định ra trờn cạnh huyền
Bũi tập
Hóy tớnh x và y trong mỗi hỡnh sau :
Trang 73 (h.6) 4 (h.7) x Hinh 7 Luyộn tap
Š Trong tam giỏc vuụng với cỏc cạnh gúc vuụng cú độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hóy tớnh đường cao này và độ đài cỏc
đoạn thẳng mà nú định ra trờn cạnh huyền
6 Đường cao của một tam giỏc vuụng chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng cú độ dài là l và 2 Hóy tớnh cỏc cạnh gúc vuụng của tam giỏc này,
7 Người ta đưa ra hai cỏch vẽ đoạn trung bỡnh nhõn x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x? = ab) nhu trong hat hỡnh sau :
Trang 8Dựa vào cỏc hệ thức (1) và (2), hóy chứng minh cỏc cỏch vẽ trờn là đỳng Gợi ý Nếu một tam giỏc cú đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đú thỡ tam giỏc ấy là tam giỏc vuụng
8 Tim x và y trong mỗi hỡnh sau :
a) (h.10) b) (h 11) Hinh 10 Hinh 11 c) (h.12) Hinh 12
9 Cho hỡnh vuụng ABCD Gọi I là một điểm nằm giữa A va B Tia DI va tia CB cỏt nhau ở K Kẻ đường thẳng qua D, vuụng gúc với DI Đường thẳng
này cỏt đường thẳng BC tại L Chứng minh rằng
a) Tam giỏc DỊL là một tam giỏc cõn ;
; 1 J ,
b) Tổng —-+—— khụng đổi khi I thay đổi trờn cạnh AB
DI DK
Trang 9Đ2 Tỉ số lượng giắc của gúc nhọn
Trong một tam giỏc vuụng, nếu 3 2 biết tỉ số độ dài của hai cạnh thỡ
cú biết được độ lớn của cỏc gúc
nhọn hay khụng 2
1 Khỏi niệm tỈ số lượng giỏc của một gúc nhọn
a) Mở đõu
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Xột gúc nhọn B của nú Nhắc lại rằng : Cạnh AB được gọi là cạnh kẻ của gúc B, cạnh AC được gọi là cạnh đối của gúc B
Ta cũng đó biết : Hai tam giỏc vuụng đồng dạng với nhau khi và chỉ khi
chỳng cú cựng số đo của một gúc nhọn, hoặc cỏc tỉ số giữa cạnh đối và
cạnh kề của một gúc nhọn trong mỗi tam giỏc đú là như nhau (h.13) Như vậy, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kể của một gúc nhọn trong tam giỏc vuụng đặc trưng cho độ lớn của gúc nhọn đú
Hỡnh I3
1| Xột tam giỏc ABC vuụng tại À cú B=a, Chitng minh rang
Trang 1072
Ngoài tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề, ta cũn xột cỏc tỉ số giữa cạnh kể va
cạnh đối, cạnh đối và cạnh huyền, cạnh kề và cạnh huyền của một gúc nhọn trong tam giỏc vuụng Cỏc tỉ số này chỉ thay đối khi độ lớn của gúc
nhọn đang xột thay đổi và ta gọi chỳng là cỏc f số lượng giỏc của gúc
nhọn đú b) Định nghĩa
Cho gúc nhọn œ Vẽ một tam giỏc vuụng
cú một gúc nhọn ơ (ta cú thể vẽ như sau : Vẽ gúc ơ, từ một điểm bất kỡ trờn một cạnh của gốc œ kẻ đường vuụng gúc với
cạnh kia (h.14)), xỏc định cạnh đối và
cạnh kẻ của gúc œ Khi đú : Hỡnh !4
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của gúc œ, kớ hiệu
sina
TỶ số giữa canh kộ va canh huyộn duoc goi la cộsin cua gộc œ, kớ hiệu
cos Ơ
TỈ số giữa cạnh đối và cạnh kờ được gọi là tang của gúc a, kớ hiệu
tgœ (hay tan œ)
Tỉ số giữa cạnh kờ và cạnh đối được gọi là cụtang của gúc œ, kớ hiệu cotg a (hay cota )
Nhu vay
cạnh đối cạnh kẻ
sma = ———_; cosa = ——— ~
canh huyộn canh huyộn S/A 2,
g/ Ne
cạnh đối cạnh kể â
tga = —— —_; cotga = ———- canh huyộn
canh kộ canh d6i
Nhận xột Từ định nghĩa trờn, đễ thấy cỏc tỉ số lượng giỏc của một gúc
nhọn luụn luụn dương Hơn nữa, ta cú
Trang 1132 Cho tam giỏc ABC vuụng tại À cú C= B Hóy viết cỏc tỉ số lượng giỏc
cua gúc B
Vớ dụ ù (h.15) Ta cú A
sin4s° = sin B- ÂC 4 V2,
BC a2 2 a a ~ AB V2 sx = —- — — ; ể cos4 cos B BC 2 45 = ~ AC aye tg45° = tgB =~ =1,; 6 Be AB Hinh 15 â cote p - OB KE | cotg 45 = cotgB=c =1 c Vớ dụ 2 (h.16) Ta cú
sin 60° = sin B = AC _av3 _ V3 B a 2 5
a ~ AB 1 vó cos 602 = cosB =—— =— ; a BC 2 ~ AC 9 tg60° =tgB=——= v3 ; g gB = [5 = V3 r 609 ag Oo! ~ AB v3 Hỡnh 16 cotg 60 = cotg B= 75 = 3”
e Như vậy, cho gúc nhọn œ, ta tớnh được cỏc tỉ số lượng giỏc của nú
Ngược lại, cho một trong cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn œ, ta cú thể
dựng được gúc đú y
2
Vi du 3 Dung gúc nhon a, biột tg a = —- Bị Giải (h.17) Dựng gúc vuụng xOy Lấy một s
đoạn thang làm đơn vị Trờn tia Ox, lấy điểm A 4
sao cho OA = 2 ; trộn tia Oy, lay diộm B sao cho
OB = 3 Gúc OBA bằng gúc œ cõn dựng Thật vậy,
~~~ OA 2
= tg OBA = = O 2 x
tacộ tga =tgOBA= OB 3) A
Hinh 17
Trang 1274
Vị dụ 4 Hỡnh 18 minh hoa c4ch dung gộc nhọn B, khi biết sin B = 0,5
Hóy nờu cỏch dựng gúc nhọn theo hỡnh !8 và chứng minh cỏch dựng đú là đỳng
> Chit Ơ Nếu bai gúc nhọn a va B cộ
sin a = sin B (hodc cos a = cos B, hodc tg a = tg B, aw
hoặc cotgœ = cotg) thi a = B vi chang la
hai gúc tương ứng cua hai tam gidc vudng dộng dang
Hinh 18
Tỉ số lượng giỏc của hai gúc phụ nhau
Cho hinh 19 Hóy cho biết tổng số do của gúc œ và gúc é Lập cỏc tỉ số lượng giỏc của gỏc œ và gúc é Trong cỏc tỉ số này, hấy cho biết cỏc cap tỉ
số bằng nhau o p
Từ cỏc cặp tỉ số bằng nhau đú, ta rỳt ra Hỡnh I9
sin d = cos 8, cos œ = sin B,
tga = coig , cotg œ = tg B
Vỡ hai gúc phụ nhau bao giờ cũng bằng hai gúc nhọn của một tam giỏc
vuụng nào đú, nờn ta cú định lớ sau đõy về quan hệ giữa cỏc tỉ số lượng giỏc của hai gúc phụ nhau
ĐỊNH LÍ
Nếu hai gúc phụ nhau thỡ sin gúc này bằng cụsin gúc kia, tang gúc
này bằng cụtang gúc kia
Vớ dụ 5 Theo vớ dụ 1, ta cú
sin 45° = cos 45° = J2 tg 45° = cotg 45° = 1
Trang 13Vớ dụ 6 Ta cú cỏc gúc 30° và 60” là hai gúc phụ nhau Do đú, theo vớ đụ 2 và theo quan hố giữa cỏc tỉ số lượng giỏc của hai gúc phụ nhau, ta cú
v3
sin 30° = cos 60° = 2 ] 5 cos 30° = sin 60° = — ;
v3
tg 30° = cotg 60° = —; 3 cotg 30° = tg 60° = V3
Qua vi du 5 va vi dụ 6, ta rỳt ra bảng tớ số lượng giỏc của cỏc gúc đặc biệt
như sau : ơ 309 459 60° Ti số lượng giỏc i V2 v3 sma — — — 2 2 2 v3 v2 I cosa _—— — — 2 2 2 tga 8 1 3 3 | cotg a v3 ] ` Vớ dụ 7 Trong hỡnh 20, cạnh y được tớnh như sau : Ta cộ cos 30° = +, 17 30° 1743 y Z _ 5D ~ dođú y= 17cos30 = = * 14,7 Hỡnh 20
2> Chỳ ý Từ nay khi viết cỏc tỉ số lượng giỏc của một gúc nhọn trong
tam giỏc, ta bỏ kớ hiệu " ^" đi Chẳng bạn, viết sin A thay cho sin À,
Trang 14đú thể em chưa biết Bee Bối ngờ về cừ giốy A4 (21em x 29,7cm)
e Tỉ số giữa chiều dài và chiều rộng của tờ giấy A4 xấp xỉ bằng 42 e Giả sử tờ giấy A4 được minh hoạ trờn cỏc hỡnh 21 và 22
Nếu gấp tờ giấy theo cỏc đường thẳng ÁC và BI ([ là trung điểm của CD) thỡ ta sẽ
cú một gúc hầu như vuụng ! (h.21)
Nếu gấp tờ giấy theo đường phõn giỏc BM của gúc ABC, sau đú gấp tiếp theo đường phõn giỏc BN của gúc ABM thỡ điểm M sẽ trựng với điểm A ! (h.22)
A D A N D R 7 ` , ` , ` , ` J # ` ` F ¿ M ` r z1 ` Ẻ z ` , 4# ;/ ` +, a ` I ‘ z ` L4 / ” 7 , ad „K -x” , , Ss | 7 “ + 2 *, ee XN r / z z“ ‘\ Ag z? “ ` ⁄ "ó N , “ ad ^ r Cc B Hinh 21 Hinh 22
Bằng hiểu biết của minh, em cú thể giải thớch được cỏc điều lớ thu nay day
Bai tap
10 Vẽ một tam giỏc vuụng cú một gúc nhọn 34” rồi viết cỏc tỉ số lượng giỏc
của gúc 34°
11 Cho tam giỏc ABC vuụng tại C, trong đú AC = 0,9m, BC = 1,2m Tớnh cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc B, từ đú suy ra cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc A
12 Hóy viết cỏc tỉ số lượng giỏc sau thành tỉ số lượng giỏc của cỏc gúc nhỏ hơn 45° :
sin 60°, cos 75”, sin 52°30', cotg 82°, tg 80°
Trang 1513 14 1Š 16 17 Luyộn tap
Dung gộc nhon a, biột :
3
a) sina = — ; ) 5 b) cosa = 0,6; ) c)tga=—; ) tg 1 đ) cotg œ ) cotg = —- 5
Sử dụng định nghĩa cỏc tỉ số lượng giỏc của một gúc nhọn để chứng minh
rằng : Với gúc nhọn œ tuỳ ý, ta cú Sin œ COS Œ > cotga=— cos a sin o a)tga= , tga.cotga=1; b) sin a + cos’a = 1 Gợi ý Sử dụng định lớ Py-ta-go
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A Biết cos B = 0,8, hóy tớnh cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc C
Gợi ý Sử dụng bài tập l4
Cho tam giỏc vuụng cú một gúc 60Ÿ và cạnh x
huyền cú độ dài là Đ Hóy tỡm độ đài của 45°
cạnh đối diện với gúc 60° J—— a sen =
Tim x trong hinh 23 20 2
Hỡnh 23
Đ3 Bỏng lượng giúc
Dựng bảng lượng giỏc ta cú thể nhanh chúng tỡm được giỏ trị cỏc tỉ số lượng giỏc của một gúc nhọn cho trước và ngược lại, tỡm được
số đo của một-gúc nhọn khi biết giỏ trị tỉ số lượng giỏc của gúc đú
Trong bài này, ta giới thiệu cấu tạo và cỏch dựng bảng lượng giỏc của
V.M Bra-di-xo
Cấu tạo của bảng lượng giỏc
Bang lượng giỏc bao gồm bảng VIII, bảng IX va bang X của cuốn "Bang số với 4 chữ số thập phõn”, Nhà xuất bản Giỏo dục, tỏc giả V.M Bra-đi-xơ
Trang 1678
Người ta lập bảng dựa trờn tớnh chất sau đõy của cỏc tù số lượng giỏc :
Nếu hai gúc nhọn œ và B phụ nhau (œ + B = 90) thỡ sina = cosB, cos ơ = sIn ệ, tga = cotg B, cotga = tgB
e Bang VIII ding dộ tim giỏ trị sớn và cụsin của cỏc gúc nhọn đồng thời cũng dựng để tim gúc nhọn khi biết sin hoặc cụsin của nú Bảng VIII cú cấu tạo như sau : Bảng được chia thành 16 cột và cỏc hàng, trong đú :
Cột 1 và cột 13 ghi cỏc số nguyờn độ Kể từ trờn xuống dưới, cột 1 ghi số
độ tăng dõn từ 0° đến 90”, cột 13 ghớ số độ giảm dõn từ 90° đến 0Ÿ
Từ cột 2 đến cột 12, hàng 1 và hàng cuối ghi cỏc số phỳt là bội của 6 từ 0! đến 60' (kể từ trỏi sang phải hàng I ghi theo chiều tăng, hàng cuối ghi
theo chiều giảm) ; cỏc hàng giữa ghi giỏ trị sin, cụsin của cỏc gúc
tương ứng
Ba cột cuối ghi cỏc giỏ trị dựng để hiệu chớnh đối với cỏc gúc sai khỏc I',
2,3
e Bảng IX dựng để tỡm giỏ trị tang của cỏc gúc từ 0° đến 76” và cụtang
của cỏc gúc từ 14” đến 90” và ngược lại, đựng để tỡm gúc nhọn khi biết tang hoặc cụtang của nú Bảng IX cú cấu tạo tương tu nhu bang VIII e Bảng X dựng để tỡm giỏ trị tang của cỏc gúc từ 76” đến 89259' và cụtang của cỏc gúc từ I' đến 14° và ngược lại, dựng để tỡm gúc nhọn khi biết
tang hoặc cụtang của nú Bảng X khụng cú phần hiệu chớnh
Nhận xội Quan sỏt cỏc bảng núi trờn ta thấy : Khi gúc œ tăng từ 0° đến
90° (0° < œ < 90”) thi sina vA tga tang cũn cos œ và cotg œ giảm
Nhận xột này là cơ sở cho việc sử dụng phần hiệu chớnh của Bảng VII và Bang IX,
Cỏch dựng bảng
a) Tỡm tỉ số lượng giỏc của một gúc nhọn cho trước
Khi tỡm tỉ số lượng giỏc của một gúc nhọn bằng bảng VIII và bảng IX,
ta thực hiện theo cỏc bước sau :
Bước l1 Tra số độ ở cột I đối với sớn và tang (cột 13 đối với cụsin và
cụtang)
Bước 2 Tra số phỳt ở hàng 1 đối với sin và tang (hàng cuối đối với cụsin
Trang 17Bước 3 Lấy giỏ trị tại giao của hàng ghi số độ và cột ghi số phỳt
Trong trường hợp số phỳt khụng là bội của 6 thỡ lấy cột phỳt gần nhất với
số phỳt phải xột, số phỳt chờnh lệch cũn lại xem ở phần hiệu chớnh
Vớ dụ 1 Tỡm sin 46°L2'
Tra Bang VIII : Số độ tra ở cột I, số SIN
phỳt tra ở hàng 1 Lấy gia tri tai giao A a 12!
của hàng ghi 46° và cột ghi 12’
làm phần thập phõn (mẫu l) Vậy sin 46°12' = 0,7218
Vi du 2 Tim cos 33°14’
Tra Bang VIII : Số độ tra ở cột 13, số
phỳt tra ở hàng cuối Tại giao của
hàng ghi 33° và cột ghi số phỳt gần Mau |
nhất với 14' - d6 1a cột ghi 12’, ta thdy 8368 Vay cos 33°12’ = 0,8368 (mẫu 2) ` 4 - oO dtl 7 "Ta cố Ơ wenn ne 8368 # 33°-4 -4 cos 33°14! = cos(33°12' + 2’) 4 Theo nhận xột ở phần 1,
cos 33°14' < cos 3312', nờn
giỏ tri của cos 33°14' được suy ra tir gid tri cos 33°12' cà 12' A | 2'|3
bằng cỏch trừ đi phần hiệu
chớnh tương ứng (đối với -
sin thỡ cộng thờm) Tại giao của hàng ghi 33” và cột ghi 2' (ở phần hiệu chớnh), ta thấy số 3 Ta dựng số 3 này để hiệu chớnh chữ số cuối ở số 0,8368 như sau : CễSIN Mẫu 2 TANG cos 33°14' = 0,8368 — 0,0003 A 0! | 18' = 0,8365 oe 50° |1,1918 - 3 | Vớ dụ 3 Tỡm tg52 18' 51° ý
Tra bảng IX : Số độ tra ở cột 1, Ta na rnannn "2938
số phỳt tra ở hàng 1 Lay 53° gid trị tại giao của hàng 54°
Mdu 3
Trang 1880
ghi 52° va cột ghi 18' lam phận thập phõn Phần nguyờn được lấy theo
phần nguyờn của giỏ trị gần nhất đó cho trong bảng (mẫu 3) Vậy
tợ 52°18'~ 1,2938 7 > 0 i Sử dụng bảng, tỡm cotg 4724' | Vớ đụ 4 Tỡm cotg 8°32", 6,665 1 eee ee 8930° Sử dụng bảng X, cột cuối, hàng cuối , ‘
Lấy giỏ trị tại giao của hàng ghi 8°30' b
với cột phi 2' mẫu 4) Vậy | > 1 A
cotg 8°32' = 6,665, COTANG
Mẫu 4
Sứ dung bang, tim tz 82°13" > Chỳ ý
1) Khi sử dụng Bảng VIII hay Bảng IX, đối với những gúc cú số phỳt khỏc bội của 6, ta dựng phần hiệu chớnh theo nguyờn tắc :
— Đối với sin và tang, gúc lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) thỡ cộng thờm (hoặc trừ đi) phần hiệu chớnh tương ứng
- Đối với cụsin và cụtang thỡ ngược lại, gúc lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) thỡ trừ đi (hoặc cộng thờm) phần hiệu chớnh tương ứng (xem vớ dụ 2)
2) Cỏ thể chuyển từ việc tỡm cosœ sang tỡm sin(90°— œ) và tỡm cotg œ
Sang tim tg (90° — a)
b) Tỡm số đo của gúc nhọn khi biết một tù số lượng giỏc của gúc đú
Vớ dụ 5 Tỡm gúc nhọn ơ (làm trũn
đến phỳt), biết sin œ = 0,7837 A — ` 36 |
Tra Bảng VHI : Tỡm số 7837 ở trong a
bang, dộng sang cột | va hang 1, ta
thấy 7837 nằm ở giao của hàng sỊ° la 7837
ghi 51° và cột ghi 36' (mẫu 5) Vay
a = 51°36
Trang 19Bi Sử dụng bảng từn gúc nhọn œ, biết cotg œ = 3;006
2 Chỳ ý Khi biết tỉ số lượng giỏc của một gúc nhọn, núi chung, ta tỡm được gúc nhọn sai khỏc khụng đến 6' Tuy nhiờn, thụng thường trong tớnh toỏn ta làm trũn đến độ
Vớ dụ 6ú Tỡm gúc nhọn œ (làm =
trũn đến độ), biết sin a = 0,4470 A vo 30' | 36'
thấy số 4470 ở trong bảng Tuy
nhiờn, ta tỡm thấy hai số gần với s
4470 nhất, đú là 4462 và 4478 26° |ô -| 4462 | 4478
(mẫu 6) Ta cú 5
0,4462 < 0,4470 < 0,4478 hay sin 26°30' < sina <sin26°36',
Theo nhan xột 6 muc I thỡ Mẫu 6
26°30' < a < 26°36', Từ đú suy ra œ ô 27
Tỡm gúc nhọn œ (làm trũn đến độ), biết cos œ = 0,5547
Tra bang VIII, ta khụng tim : +
< ->
5 ài đọc thờm ELISE LATED LEE IE LDL SELES LEE
TèM TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ GểC BANG MAY TINH BO TUI CASIO fx-220 Ngoài chức năng thực hiện bốn phộp toỏn
cộng, trừ, nhõn, chia với số thập phõn, mỏy
tớnh CASIO ƒš-220 (h 24) cũn cú nhiều chức năng khỏc, trong đú cú chức năng tớnh cỏc ti số lượng giỏc của gúc nhọn và tớnh số đo của gúc nhọn khi biết một tỉ số lượng giỏc của nú Trong chương trỡnh THCS, ta chỉ học số đo gúc là độ, phỳt, giõy nờn sau khi bật mỏy (nhấn phớm hay [ON]) ta chọn kiểu độ (Mode degree) bằng cỏch nhấn liờn tiếp
hai phớm Khi đú, ở phớa trờn
của màn hỡnh xuất hiện chữ DEG
Hỡnh 24
Trang 2082
Khi tớnh toỏn, ta thường lấy kết quả với 4 chữ số thập phõn nờn ta nhấn
liờn tiếp ba phớm [MODE [4| Khi đú, ở phớa trờn của màn hỡnh
xuất hiện chit FIX,
Trong cỏc vớ dụ sau đõy, chỉ khi trờn màn hỡnh xuất hiện chữ DEG và chữ
FIX, ta mới bắt đầu tớnh toỏn
Để nhập độ, phỳt, giõy, ta dựng phớm
Để hiển thị độ, phỳt, giõy, ta dựng hai phớm|SHIFT|, [e]| Vớ dụ 1 Đề hiển thị 14°21', ta nhấn lần lượt cỏc phớm
Wl) eel 2 è “1| BHmT| [c|,
Khi đú trờn màn hỡnh sẽ hiện ra 14”21 0 Đú là kớ hiệu của 14'21' Khi
chỉ cần nạp vào mỏy mà khụng cần hiển thị, ta bỏ đi hai phớm cuối cựng a) Tỡm tỉ số lượng giỏc của một gúc nhọn cho trước
Ta sử dụng cỏc phớm [sin], [cos] , [tan]
Vi du 2 Tim cos 25°13"
Nhấn lần lượt cỏc phớm
2] sj [tri Bi
Khi đú trờn màn hỡnh hiện số 0.9047, nghĩa là cos 25”13' ~ 0.9047
Vi du 3 Tinh cotg 56°25’
1
Ta đó biết cotg 56”25' = ————
tg 56925" , nờn để tỡm cotg 56”25' ta lần lượt nhấn cỏc phớm
BỊ 5
Khi đú trờn man hỡnh hiện số 0.6640, nghĩa là cotg 56°25' = 0,6640
b) Tỡm số đo của gúc nhọn khi biết tỉ số lượng giỏc của gúc đú
Nhấn liờn tiếp cỏc phớm
SHIFT] lsin lè để tỡm œ khi biết sin œ ;
SHIFT| |cos !| để àm ợ khi biết cosơ ;
SHET] |tan !| để tỡm œ khi biết tg ơ
Trang 21
18
Vớ dụ 4 Tỡm gúc nhọn x, biột sin x = 0,2836 Nhấn lần lượt cỏc phớm
lo| [| 2] lgị BỊ @ (Serr lsn'| [smr| [<l
Khi đú trờn màn hỡnh xuất hiện 16 -28- 30.66 nghĩa là 16°28'30,66" Lam trũn đến phỳt, ta lấy x ~ 16°29'
Lam tron dộn do, ta lay x = 16°
2> Chỳ ý
1) Nếu phải tỡm gúc nhọn Xx khi biết cotgx, ta cú thể chuyển thành bài toỏn tỡm gúc nhọn x khi biết tg x vỡ tgX =
cotg x
Vi du 5 Tỡm gúc nhọn x (làm trũn đến phỳt), biết rằng cotg x = 2,675 Nhấn lần lượt cỏc phớm
LH j6 [SHIFT] [17x] [SHIFT] [tan] [SHIFT] [E]
Khi đú trờn màn hỡnh xuất hiện 20°29°50.43 nghĩa là 20929'50,43"
Lam trũn đến phỳt, ta lấy x ~ 2030
2) Sau khi tỡm xong một tỉ số lượng giỏc hoặc một gúc, ta nhấn phớm để chuyển sang phộp tớnh khỏc
3) Nếu khụng phải tớnh toỏn nữa, ta nhấn phớm để tắt mỏy
4) Ta cú thể dựng cỏc mỏy tỉnh khỏc cú cỏc chức năng tương tự như mỏy
CASIO fx-220, chdng han may tinh SHARP EL-500M
Bai tap
Dựng bảng lượng giỏc hoặc mỏy tớnh bỏ tỳi để tỡm cỏc tỉ số lượng giỏc sau (làm trũn đến chữ số thập phõn thứ tư) :
a) sin40°12'; b) cos 52°54' ;
c) tg 63°36' ; d) cotg 25°18"
Trang 2219 20 21 22 23 24 25 84
Dựng bảng lượng giỏc hoặc mỏy tớnh bỏ tỳi để tỡm số ổo của gúc nhọn x (làm trũn đến phỳt), biết rằng :
a) sinx =0,2368 ; b) cos x = 0,6224 ; c)tgx = 2,154; d) cotg x = 3,251
Luyện tap
Dựng bảng lượng giỏc (cú sử dụng phần hiệu chớnh) hoặc mỏy tớnh bỏ tỳi, hóy tỡm cỏc tỉ số lượng giỏc sau (làm trũn đến chữ số thập phõn
thứ tư) :
a) sin 70713! ; b) cos 25932' ; c)tg43”10'; — d) cotg32°15' Dựng bảng lượng giỏc hoặc mỏy tớnh bỏ tỳi để tỡm gúc nhọn x (làm trũn
kết quả đến độ), biết rằng :
a) sinx = 0,3495 ; b) cosx =0,5427:; c)tgx=1,5142; đ)cotgx= 3,163
ằo sỏnh
a) sin 20` và sin 70Ẻ ; b) cos 25° va cos 63°15' ; c) tg 73°20' va te 45° ; d) cotg 2° va cotg 37°40" Tinh
: oa
a) 25 b) tg 58° — cotg 32°
cos 65° `
Sắp xếp cỏc tỉ số lượng giỏc sau theo thứ tự tăng dần :
a) sin78°, cos14°, sin47°, cos87°:
b) tg73°, cotg25°, tg62°, cotg38°
So sỏnh
ọ) tg25” và sin 25”; b) cotg 32° va cos 32° ;
Trang 23Đ4 Một số hệ thức về cạnh vờ gúc trong tam giớc vuụng
Một chiếc thang dài 3m Cần đặt chõn thang cỏch chõn tường một khoảng bằng bao nhiờu để nú tạo được với mặt đất một gúc "an toàn" 65° (tức là đảm bảo thang khụng bị đổ khi sử dụng) ?
4 Cỏc hệ thức
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, A
canh huyộn a và cỏc cạnh gúc
vuụng b, e (h.25) ẹ
mm" Viết cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc B và gúc C Từ đú hóy tớnh mỗi
cạnh gúc vuụng theo : Hỡnh 25
a) Cạnh huyền và cỏc tỶ số lượng giỏc của gúc B và gúc € ;
b) Cạnh súc vuụng cũn lại và cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc B và gúc C Từ cỏc kết quả trờn, ta cú định lớ sau đõy
Trang 2486
DINH Li
Trong tam giỏc vuụng, mỗi cạnh gúc vuụng bằng :
a) Cạnh huyền nhõn với sin gúc đối hoặc nhõn với cụsin gúc kờ ; b) Cạnh gúc vuụng kia nhõn với tang gúc đối hoặc nhõn với cụtang súc kể
Như vậy, trong tam giỏc ABC vuụng tại A (h.25), ta cú cỏc hệ thức
b=a.sin B = a.cosC ; b=c.tgB = c.cotgC ;
€=a.sinC = a.cosB; c =b.tgC = b.cotg B
Vớ dụ 1 Một chiếc mỏy bay bay lờn với vận tốc 500 km/h Đường bay lờn tạo với phương nằm ngang một gúc 30” (h 26) Hỏi sau 1,2 phỳt mỏy bay lờn cao được bao nhiờu kilụmột theo phương thẳng đứng ?
Giải Giả sử trong hỡnh 26, AB là đoạn đường mỏy bay bay lờn trong 1/2 phỳt thỡ BH chớnh là độ cao mỏy bay đạt được sau 1,2 phỳt đú
1 —2 500 ot = — =—e= B Vỡ 1/2 phỳt 30 giờ nờn AB 50 10 (km) BH = ABsinA vẽ = 10.sin 30 A L] A H Hinh 26 Do đú 1 = 10-5 = 5 (km)
Vậy sau 1,2 phỳt mỏy bay lờn cao được 5km
Vớ dụ 2 Với bài toỏn đặt ra trong khung ở đầu $4, chõn chiếc thang cần phải đặt cỏch chõn tường một khoảng là
3.cos 65° ~ 1,27 (m) Áp dụng giải tam giỏc vuụng
Trang 25Lưu ý rằng, trong kết quả của cỏc vớ dụ và cỏc bai tập đưới đõy, nếu khụng núi gỡ thờm thỡ ta làm trũn đến độ (với số đo gúc) và đến chữ số
thập phõn thứ ba (với số đo độ dài)
Vi du 3 Cho tam giỏc vuụng ABC với cỏc cạnh gúc vuụng AB = 5, AC = 8 (h.27) Hóy giải tam giỏc vuụng ABC
Giải Theo định lớ Py-ta-go, ta cú
BC = VJAB2 + AC? = v52? +8? x9,434, Mặt khỏc
AB s5
“A673 0,625
Tra bang hay dựng mỏy tớnh bỏ tỳi, ta tỡm được
C ~32°, do đú B x 90°_— 32° = 58°,
tgC
Trong vớ du 3, hóy tớnh cạnh BC mà khụng ỏp dụng định lớ Py-ta-go
Vi dụ 4 Cho tam giỏc OPQ vuụng tại O cú
P=36”, PQ = 7 (h.28) Hóy giải tam giỏc vuụng
OPQ
Giải Ta cú Q = 909 — P = 90°~ 369 = 54”,
Theo cỏc hệ thức giữa cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng, ta cú
OP = PQ.sin Q =7.sin 54° ~ 5,663 ;
OQ = PQ sin P = 7.sin 36° = 4,114
Trong vớ dụ 4, hóy tớnh cỏc cạnh OP, OQ qua cụsin
của cỏc gúc Pvà Q
Vớ dụ 5 Cho tam giỏc LMN vuụng tại L cú
M =51°, LM = 2.8 (h.29) Hóy giải tam giỏc vuụng
Trang 2626 21 88 bằng 34” và búng của một Giải Ta cú ẹ=909~ =909~ 519 = 399,
'Theo cỏc hệ thức giữa cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng, ta cú
LN =LM.tgM =2,8.tg51° ~ 3,458 ;
Nhận xột Cũng như trong vớ dụ 3, ở đõy ta cú thể tớnh MN bằng cỏch ỏp dụng định lớ Py-ta-go Tuy nhiờn khi đú, trong việc sử dụng bảng số và mỏy tớnh, ta sẽ gặp cỏc thao tỏc phức tạp hơn Do đú, khi giải tam giỏc vuụng, trong nhiều trường hợp, nếu đó biết hai cạnh ta nờn tỡm một gúc nhọn trước ; sau đú dựng cỏc hệ thức giữa cạnh và gúc để tớnh cạnh thứ ba Cỏch này cú thể giỳp cho việc thực hiện cỏc phộp toỏn bằng bảng số và mỏy tớnh đơn giản hơn
Bũi tập Cỏc tia nắng mặt trời tạo
Trang 2728 29 30 31 32 Luyện tập
Một cột đốn cao 7m cú búng trờn mặt đất dài 4m Hóy tớnh gúc (làm trũn đến phỳt) mà tia sỏng mặt trời tạo với mặt đất (gúc œ trong hỡnh 31)
avila *7\\"
Hinh 31 Hinh 32
Một khỳc sụng rộng khoảng 250m Một chiếc đũ chốo qua sụng bị dũng nước đẩy xiờn nờn phải chốo khoảng 320m mới sang được bờ bờn kia Hỏi dũng nước đó đẩy chiếc đũ lệch đi một gúc bằng bao nhiờu độ ? (gúc œ trong hỡnh 32)
Cho tam giỏc ABC, trong d6 BC = 11cm, ABC = 38°, ACB = 30° Gọi
điểm N là chõn của đường vuụng gúc kẻ từ A đến cạnh BC Hóy tớnh : a) Đoạn thẳng AN ;
b) Cạnh AC
Gợi ý Kẻ BK vuụng gúc với AC
Trong hinh 33, AC = 8cm, AD =9,6cm,
ABC = 90°, ACB = 54° va ACD = 74°
Hóy tớnh :
a) AB;
b) ADC
Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt
qua một khỳc sụng nước chảy mạnh mất 5 phỳt Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một gúc 70° Từ đú đó cú thể tớnh được chiều rộng của khỳc sụng chưa ? Nếu cú thể hóy tớnh kết quả (làm trũn đến một)
Hỡnh 33
Trang 28`
R
90
Đ5 Ứng dụng thực tế cỏc tỉ số lượng giỏc củo gúc nhọn Thực hũnh ngoũi trời
Nhờ tỉ số lượng giỏc:của gúc nhọn, cú thể tớnh được chiều cao của thỏp và khoảng cỏch giữa hai điểm mà ta khụng thể đo trực tiếp được
Xỏc định chiều cao A
a) Nhiệm vụ :
Xỏc định chiờu cao của một thỏp mà khụng cần lờn đỉnh của thỏp b) Chuan bi
Giỏc kế, thước cuộn, mỏy tớnh bỏ tỳi (hoặc bảng lượng giỏc) câ) Hướng dẫn thực hiện (h.34)
Đặt giỏc kế thẳng đứng cỏch 4ƒ} — -ơ .~-~- °
chõn thỏp một khoảng a (CD = a), :
giả sử chiều cao của giỏc kế là b za D
(OC =b) Hinh 34
Quay thanh giỏc kế sao cho khi
ngắm theo thanh này ta nhỡn thấy đỉnh A của thỏp Đọc trờn giỏc kế số đo œ của gúc AOB,
Dựng bảng lượng giỏc hoặc mỏy tớnh bỏ tỳi để tớnh tgơ Tớnh tổng b + a.tgœ và bỏo kết quả
Chứng tỏ rằng, kết quả tớnh được ở trờn chớnh là chiờu cao AD của thỏp Xỏc định khoảng cỏch
a) Nhiệm vụ
Xỏc định chiều rộng của một khỳc sụng mà việc đo đạc chỉ tiến hành tại một bờ sụng
b) Chuẩn bị
Trang 29e) Hướng dẫn thực hiện (h.35) Ta coi hai bờ sụng song song với nhau
Chọn một điểm B phớa bờn kia sụng Lấy một điểm A bờn này sụng sao cho AB vuụng
gúc với cỏc bờ sụng
Dựng ờ-ke đạc kẻ đường thẳng Ax phớa bờn này sụng sao cho AxL AB
Lấy điểm C trờn Ax, giả sử AC =a Hỡnh 35
Dựng giỏc kế đo gúc ACB, giả sử ACB =a
Dựng mỏy tớnh bỏ tỳi hoặc bảng lượng giỏc để tinh tga Tớnh tớch a.tgœ và bỏo kết quả
Vỡ sao kết quả trờn lại là chiều rộng AB của khỳc sụng ?
On tap chương I Cau hoi
Cho hỡnh 36 Hóy viết hệ thức giữa :
a) Cạnh huyền, cạnh gúc vuụng và hỡnh chiếu của nú trờn cạnh huyền ;
b) Cỏc cạnh gúc vuụng p, r và đường cao h ; c) Đường cao h và hỡnh chiếu của cỏc cạnh gúc vuụng trờn cạnh huyền p', r
Cho hỡnh 37
a) Hóy viết cụng thức tớnh cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc ơ
b) Hóy viết hệ thức giữa cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc œ và cỏc tỈ số lượng giỏc của gúc ÿ Xem hỡnh 37
a) Hóy viết cụng thức tớnh cỏc cạnh gúc vuụng b và c theo cạnh huyền a và tỉ số lượng giỏc
của cỏc gúc œ, B ; Hỡnh 37
Trang 3092
b) Hóy viết cụng thức tớnh mỗi cạnh gúc vuụng theo cạnh gúc vuụng kia và
tỉ số lượng giỏc của cỏc gúc œ, 8
Để giải một tam giỏc vuụng, cần biết ớt nhất mấy gúc và cạnh ? Cú lưu ý gỡ về số cạnh ?
Túm tắt cúc kiến thức cồn nhớ
1 Cỏc hệ thức về cạnh và đường cao trong (am giỏc vuụng Cho tam giỏc ABC vuụng tại À (h,38) A
Khi đú, ta cú 1) bỂ =ab'; c? = ủC ; 2)hˆ =bc'; 3) ha =bc; 1 11 Oe
2 Định nghĩa cỏc tỉ số lượng giỏc cua
gúc nhọn (h.39)
cạnhđố _ cạnh kẻ
_— cạnh huyền ° ˆ cạnh huyền `
cạnh đối cạnh kề
œ=——_ ;: cạnh kờ cotg œ =—————— _ cạnh đối
Hỡnh 39
3 Một số tớnh chất của cỏc tỉ số lượng giỏc
e Cho hai gúc œ và phụ nhau Khi đú
sina = cosB ; tga =cotgB ;
cosa = sin ; cotga = tgp B
e Cho gộc nhon a Ta cộ
2 2
O<sina<1;0<cosa<l;sina+cosa=1; sin & cos a
; cotga =
tga = ; tga.cotga = I
Cos a
4 Cỏc hệ thức về cạnh và gúc trong tam giỏc vuụng
Cho tam giỏc ABC vuụng tại Á (h.40) Khi đú
Trang 3133 34 b=acosC; c = acosB; b=ctgB; c=bigC; b= ccotgC ; c = bcotg B Bai tap
Chon kết quả đỳng trong cỏc kết quả dưới đõy : a) Trong hỡnh 41, sin œ bằng (A) (B) (C) mfwi ; (D) i Wilwn blo Alo
b) Trong hỡnh 42, sinQ bang
PR PR
(A) Rs ° (B) OR ;
PS SR
(C) ` (D) OR
c) Trong hinh 43, cos 30° bang
2a a
OB OB (C) Ơ3 (D) 234”
a) Trong hỡnh 44, hệ thức nào trong cỏc hệ thức sau là đỳng 2
ơ b
(A) sina = 2; (B) colga = — ;
Trang 3235
36
37
94
(C) tga= ° ; (D) cotga = <
b) Trong hỡnh 45, hệ thức nào trong cỏc hệ thức sau
khụng đỳng ?
(A) sim ?q + cos2œ =]l; (B) sinœ=cosB;
(C) cosB =sin(90° - a): sin &
(D) tga= cos a Hinh 45
Tỉ số giữa hai cạnh gúc vuụng của một tam giỏc vuụng bằng 19 : 28
Tỡm cỏc gúc của nú
Cho tam giỏc cú một gúc bằng 45” Đường cao chia một cạnh kẻ với gúc đú thành cỏc phần 20cm và 2lcm Tớnh cạnh lớn trong hai cạnh cũn lạt (ưu ý cú hai trường hợp hỡnh 46 và hỡnh 47)
Hỡnh 4ú Hỡnh 47
Cho tam giỏc ABC cú AB = 6cm, AC= 4,5cm, BC = 7,5cm
a) Chứng mớnh tam giỏc ABC vuụng tai A Tinh cdc gộc B, C và đường cao AH của tam giỏc đú
Trang 3338 Hai chiộc thuyộn A va B 6 vi tri được minh hoạ như trong hỡnh 48 Tớnh khoảng cỏch giữa chỳng (lầm trũn đến một)
Hỡnh 48 Hỡnh 49
39 Tỡm khoảng cỏch giữa hai cọc để căng dõy vượt qua vực trong
hỡnh 49 (làm trũn đến một)
40 Tớnh chiều cao của cõy trong hỡnh 50 (làm trũn đến đờximột)
Trang 3441 Tam giỏc ABC vuụng tại C cú AC = 2cm, BC = 5cm, BAC = x, ABC = y
Dựng cỏc thụng tin sau (nếu cần) dộ tim x — y : sin 23°36' ~ 0,4;
cos66°24' = 0,4;
tg21°48' = 0.4
42 Ở một cdi thang dai 3m ngudi ta ghi : "Dộ dam bao an toàn khi dựng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một gúc cú độ lớn từ 60” đến 70°" Đo gúc thỡ khú hơn đo độ dài Vậy hóy cho biết : Khi dựng thang đú
chõn thang phải đặt cỏch tường khoảng bao nhiờu một để đảm bảo an toàn ? 43 Đố
Vào khoảng năm 200 trước Cụng nguyờn, Ơ-ra-tụ-xten, một nhà toỏn học và thiờn văn học Hi Lạp, đó ước lượng được "chu vi" của Trỏi Đất (chu vi đường Xớch Đạo) nhờ hai quan Sất sau : ,
1) Một ngày trong năm, ụng ta
để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng cỏc đỏy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là Át-xu-an), tức là tia sỏng chiếu thẳng đứng
2) Cựng lỳc đú ở thành phố A-lếch-xăng-đri-a cỏch Xy-en
800km, một thỏp cao 25m cú
Hỡnh 51 búng trờn mặt đất dài 3,1m
Tir hai quan sat trờn, em hóy tớnh xấp xỉ "chu vi" của Trỏi Dat
(Trờn hỡnh 51, điểm Š tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trưng cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, búng của thỏp trờn mặt đất được coi là đoạn thẳng AB.)
Trang 35
Mặt trống đụng (Văn hoỏ Đụng Sơn)
Đ1 Sự xỏc định đường trũn Tớnh chết đối xứng của đường trũn
Đặt mũi nhọn của compa ở vị trớ A
nào thỡ vẽ được đường trũn đi qua
ba điểm A, B, C khụng thẳng hàng 2 Be ec
Trong chương này, ta chỉ xột cỏc điểm nằm trờn một mặt phẳng
1 Nhắc lại về đường trũn Ở lớp 6, ta đó biết :
Đường trũn tõm O bỏn kớnh R (với R > 0) là hỡnh gồm P cỏc điểm cỏch điểm O một khoảng bằng R (h.52) Hỡnh 52
Trang 3698
Đường trũn tõm O bỏn kớnh R được kớ hiệu là (O ; R), ta cũng cú thể kớ hiệu là (O) khi khụng cõn chỳ ý đến bỏn kớnh
Khi điểm M thuộc đường trũn (O), ta cũn núi : Điểm M nằm trờn đường
trũn (O) hay đường trũn (O) đi qua điểm M Điểm M nằm trờn đường trũn
(O ; R) khi và chỉ khi OM =R.'
Điểm M nằm bờn trong (hay nằm trong, ở trong) đường trũn (O ; R) khi
và chỉ khi OM < R
Điểm M nằm bờn ngoài (hay nằm ngoài, ở ngoài) đường trũn (O ; R) khi
và chớ khi OM > R
Trờn hỡnh 53, điểm H nằm bờn ngoài đường trũn (O), điểm K nằm bờn.trong đường trũn (O) Hóy so
sỏnh OKH va OHK
Cỏch xỏc định đường trũn
se Ta đó biết : Một đường trũn được xỏc định khi Hỡnh 53 biột tam và bỏn kớnh của đường trũn đú, hoặc khi
biết một đoạn thẳng là đường kớnh của đường trũn đú
Cho hai điểm A và B
a) Hóy vẽ một đường trũn đi qua hai điểm đú
b) Cỏ bao nhiờu đường trũn như vậy ? Tõm của chỳng nằm trờn đường nào ? Cho ba điểm A, B, C khụng thẳng hàng Hóy vẽ đường trũn di qua ba điểm đú
Qua ba điểm khụng thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường trũn
> Chi ý Khụng vẽ được đường trũn nào đi qua ba điểm thẳng hàng
Thật vậy, giả sử cú đường trũn (O) đi qua
ba điểm thẳng hang A, B, C (h.54) thi tam
O là giao điểm của đường trung truc d,
của AB (vỡ OA = OB) và đường trung trực Hỡnh 54
Trang 37â
>
d¿ của BC (vi OB = OC) Do d, // dy nộn khộng tộn tai giao diộm của đi
và d›, mõu thuẫn
e Ở lớp 7, ta đó biết : Đường trũn đi qua ba
đỉnh A, B, C của tam giỏc ABC gọi là đường
trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC (h.55) Khi đú tam giỏc ABC gọi là tam giỏc nội tiếp
đường trũn
Tõm đối xứng
Cho đường trũn (O), A là một điểm bất kỡ
thuộc đường trũn Vẽ A' đối xứng với A qua điểm O (h.56) Chứng mỡnh rằng điển A' cũng thuộc đường trũn (ễ)
Đường trũn là hỡnh cú tõm đối xứng Tõm của đường trũn là tõm đối xứng của đường trũn đú
Trục đối xứng
Cho đường trũn (O), AB là một đường kớnh
bỏt kỡ và C là một điểm thuộc đường trũn Vẽ C' đối xứng với C qua AB (h.57) Chứng mỡnh rằng điểm C' cũng thuộc đường trũn (O)
Đường trũn là hỡnh cú trục đối xứng Bất kỡ đường kớnh nào cũng là trục đối xứng của
đường trũn Bai tap Hỡnh S5 Hỡnh 56 Hỡnh 57
Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 12cm, BC = 5cm Chứng minh rằng
bốn điểm A, B, C, D thuộc cựng một đường trũn Tớnh bỏn kớnh của
đường trũn đú
Trang 38100
Hóy nối mỗi ụ ở cột trỏi với một ụ ở cột phải để được khẳng định đỳng :
(Il) Nếu tam giỏc cú ba gúc
nhọn
(4) thỡ tõm của đường trũn ngoại
tiếp tam giỏc đú nằm bờn ngoài
tam giỏc
(2) Nếu tam giỏc cú gúc vuụng (5) thi tam của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc đú nằm bờn trong
tam giỏc
(3) Nếu tam giỏc cú gúc tự (6) thỡ tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc đú là trung điểm
của cạnh lớn nhất
(7) thỡ tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc đú là trung điểm của cạnh nhỏ nhất
Chứng minh cac định lớ sau :
a) Tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc vuụng là trung điểm của cạnh huyền b) Nếu một tam giỏc cú một cạnh là đường kớnh của đường trũn ngoại tiếp thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng
Trờn mặt phẳng toa d6 Oxy, hóy xỏc định vị trớ của mội diộm A(-1 ; -1),
B(—1;—2), C(V2; 42) đối với đường trũn tõm O bỏn kớnh 2
Đố Một tấm bỡa hỡnh trũn khụng cũn dấu vết của tõm Hóy tỡm lại tõm
của hỡnh trũn đú
Luyện tap
Trong cỏc biển bỏo giao thụng sau, biển nào cú tõm đối xứng, biển nào cú
trục đối xứng ?-
a) Biển cấm đi ngược chiều (h.58) ; b) Biển cấm ụtụ (h.59)
đú (hóy tử màu)
Hỡnh 5ó
đỏ
(hóy tụ màu)
Trang 39Hóy nối mỗi ụ ở cột trỏi với một ụ ở cột phải để được khẳng định đỳng :
(1) Tap hop cỏc điểm cú khoảng cỏch đến điểm A cố định bằng 2cm
(4) là đường trũn tõm A ban kớnh 2cm
(2) Đường trũn tõm AÁ bỏn kớnh
2cm gồm tất cả những điểm (5) cú khoảng cỏch đến điểm A nhỏ hơn hoặc bằng 2cm
(3) Hỡnh trũn tõm À bỏn kớnh 2cm gồm tất cả những điểm (6) cú khoảng cỏch đến điểm A bằng 2cm (?) cú khoảng cỏch đến điểm A lớn hơn 2cm
Cho gúc nhọn xAy và hai điểm B, C thuộc tia Ax Dựng đường trũn (O)
đi qua B và C sao cho tõm O nằm trờn tia Ay
Dộ
a) Về hỡnh hoa bốn cỏnh Hỡnh hoa bốn cỏnh trờn hỡnh 60 được tạo bởi
cỏc cung cú tõm A, B, C, D (trong đú A, B, €, D là cỏc đỉnh của một hỡnh
vuụng và tõm của cung là tõm của đường trũn chứa cung đú) Hóy vẽ lại
hỡnh 60 vào vỡ Hỡnh 60 C Hinh 61
b) Vẽ lọ hoa Chiếc lọ hoa trờn hỡnh 61 được vẽ trờn giấy kẻ ụ vuụng bởi năm cung cú tàm A, B, C, D, E Hóy vẽ lại hỡnh 6Í vào giấy kẻ ụ vuụng
Trang 40
@6 thộ em chia biột
Bir
Hỡnh 62 vẽ một dụng cụ tỡm tõm đường trũn, đú là một tấm bỡa cứng hỡnh chữ T
cú hai định A, B và mộp bỡa CD là đường trung trực của AB
AL NS
D | D
Hỡnh ú2 Hỡnh 63
Để tỡm tõm của một nắp hộp trũn, ta đặt mộp của nắp hộp chạm vào A và B rồi
vạch theo CD ta được một đường thẳng đi qua tõm của nắp hộp (h.63) Xoay
nắp hộp và làm tương tự, ta được một đường thẳng nữa đi qua tõm của nắp hộp Giao điểm của hai đường thẳng vừa kẻ là tõm của nắp hộp
Đ2 Đường kớnh và dụy của đường trũn
Trong cỏc dõy của đường trũn tõm O bỏn kớnh R,
dõy lớn nhất cú độ dài bằng bao nhiờu ?
1 So sỏnh độ dài của đường kớnh và dõy
Bài toỏn Gọi AB là một dõy bất kỡ của đường trũn (O ; R) Chứng minh rằng AB < 2R
Giải A B
Truong hop day AB 18 dudng kinh (h.64) : Ta cộ ` / AB=2R
Hỡnh 64