SGK Toán 9 Tập 1 Phần Đại Số

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHAN ĐỨC CHÍNH (Tổng Chủ biên) TON THÂN (Chủ biên)

VŨ HỮU BÌNH - TRẤN PHƯƠNG DUNG ~ NGÔ HỮU DŨNG

LÊ VĂN HỒNG ~ NGUYÊN HỮU THẢO

(Tái bắn lần thứ sáu)

Trang 3

Chịu trách nhiệm xuất bản -

Biên tập lần đâu : Biên tập tái bản : Biên tập kĩ thuật và trình bày : Trình bày bìa : Sửa bản in - Chế ban :

Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGO TRAN AI

Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tạp NGUYÊN QUÝ THẢO PHAM THỊ BẠCH NGỌC - HOÀNG XUÂN VINH

NGUYÊN THỊ THANH NGUYÊN THANH THUÝ BÙI QUANG TUẤN NGUYÊN THỊ THANH

CÔNG TY CP THIẾT KẾ VÀ PHÁT HÀNH SÁCH GIÁO DỤC

TOÁN 9 - TẬP MỘT

Ma sé : 2H901T1

In 30.000 bản (QÐ 01GK), khổ 17 x 24cm

In tại Công ty cổ phần ín Sách giáo khoa tại TP - Hà Nội

Số xuất bản: 01-201 1/CXB/89-1235/GD

Trang 5

§1 Căn bộc hơi

Phép tốn ngược của phép bình phương là phép toán nào ?

1 Căn bậc hai số học

Ở lớp 7, ta đã biết ;

s Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho =a

e Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : Số dương

kí hiệu làx/a và số âm kí hiệu là —Va

« Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết V0 =0

Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau : 4

4)9; b) ee ¢) 0,25 ; d)2

ĐỊNH NGHĨA

Với số dương a số Ja được gọi là căn bậc hai số học của a Số0 cñng được gọi là căn bậc hai số học của 0

Ví dụ 1 Căn bậc hai số học của 16 là 4/16 (= 4)

Căn bậc hai số học của 5 là V5 > Chú ý Với a > 0, ta có :

Trang 6

Ví dụ 2 So sánh

Ta viết

>0,

: X x* =a Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau :

a) 49; b) 64; c) 81 ; đ) 1,21

Giải mẫu

449 =7, vì 1>0 và 7= 49

Phép tốn tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là pháp khai phương (gọi tắt là khai phương) Để khai phương một số, người ta có thể đùng máy tính bỏ túi hoặc dùng bảng số (xem §5)

Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dé dang x4c định được các căn bậc hai của nó Chẳng hạn, căn bậc hai số học của 49 là 7 nên 49 có hai

căn bậc hai 1a 7 va —7

Tìm các căn bậc hai của mỗi sé sau :

a) 64 ; b) 81; c) 1,21

So sánh các căn bậc hai số học Ta đã biết :

Với hai số a và b không âm, nếu a < b thì va < vb

Ta cé thé chimg minh duge :

Với hai số a và b không âm, nếu va < vb thì a<b

Như vậy ta có định lí sau đây

ĐỊNH LÍ

Với hai số a và b không ám, ta có a<be vVa< Vb

Trang 7

Giải

a) 1<2nén V1 < V2 Vay 1< V2

b) 4< 5 nên 44 < V5 Vậy 2< J5

So sánh

4) 4 và JIS: b) x11 và 3

Ví dụ 3 Tìm số x không âm, biết :

a) Vx >2; b) vx <1 Gidi

a) 2= V4, nen Vx >2 có nghĩa là vx > V4

Vix >Onén Vx > V4 x >4, Vay x > 4

b) 1= V1, nên Vx <1 có nghĩa là vx < v1 Vix>Onen Vx < VI ©x<l.Vậy0<x<1

Tìm số x khơng ám, biết :

4) jx >1; b) Vx <3

Bởi tập

Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng :

121; 144; 169; 225; 256, 324, 361; 400

So sánh

a)2và V3 ; - b)6và V41 ; c) 7 và v47

Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình

sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) :

4) X =2; b) x7=3;

c) x? =3,5; d) x°= 4,12

Hướng dân Nghiệm của phương trình =a (với a > 0) là các căn bậc hai

Trang 8

- Tìm số x khơng âm, biết :

a) Vx =15; b) 2Vx =14;

c) vx <2; d) 42x <4

5, _ Đố Tính cạnh một hình vng, biết diện tích của nó bằng diện tích của hình chữ nhật có chiều rộng 3,5m và chiều dài 14m (h.1)

14m F 3,5m a) b) Hình !

ei’ Gó thể em chưa biết RSP:

Từ thời xa xưa, người ta đã thấy giữa Hình học va Đại số có mối liên quan mật

thiết Khái niệm căn bậc hai cũng có phần xuất phát từ Hình học Khi biết độ dài

cạnh hình vng, ta tính được diện tích hình đó bằng cách bình phương (hay

nâng lên luỹ thừa bậc hai) độ dài cạnh Ngược lại, nếu biết diện tích hình vng,

Trang 9

oh,

2

§2 Căn thức bộc hơi vò hằng dang thitc JA? = Ai

Căn thức bậc hai

Hình chữ nhật ABCD có đường chéo D A

AC =5 cm va canh BC = x (cm) thì cạnh Bae

5 ~X

AB = V25 ~ x2 (cm) Vì sao ? (h.2)

x B

Người ta gọi V25-x7 là căn thức Hình 2

bậc hai của 25 ~ x”, còn 25 — x” là biểu thức lấy căn Một cách tổng quái :

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi VA là căn thức bậc hai của A,

còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn

MA xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm

Vi du I 3x là căn thức bậc hai của 3x ; 43x xác định khi 3x > 0, tức

là khi x > 0 Chẳng hạn, với x = 2 thì 43x lấy giá trị v6 ; với x = 12 thì

43x lấy giá trị 436 =6

Với giá trị nào của x thì \5 -2x xác định ?

Hằng đẳng thức VA? =|Al

Ey Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau :

a ~2 —† 0 2 3

Trang 10

ĐỊNH LÍ

Với mọi số a, ta códa? = jal

Chứng minh

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối thì |a| > 0

Ta thay :

Nếu a >0 thì |a|= a, nên (la) =a’;

Néu a < 0 thì |a|= 7a, nên (ja) = (-a)” = a”,

Do đó, (ja)? = a’ véi moi sé a

Vay |a| chính là căn bậc hai số học của a”, tức là va? = |al

Trang 11

2> Chú ý Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có JA? =|A|,

có nghĩa là :

vVA? = A nếu A >0 (tức là A lấy giá trị không âm) ; VA? =— A nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm)

Ví dụ 4 Rút gọn

a) \(x~2)“ với x>2; b) Va® vớia<0,

Giải

a) j@x—=2)ˆ =[x-2|=x-2(@ìx>2)

b) Va® = \(a')2 =|a |,

Vì a< 0 nên a< 0, do đó | a” | = — a

Vậy đa5 =—aŸ (với a < Ơ)

Bịi tập

Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa :

ĐỀ: b) \-5a ; c) V4—a: d) V3a+7 ?

Tinh

a)4(002; 7 bì ¥(-0,3)7; ce) -y(-1,3) = d) - 0,4, (- 0,4)"

Rút gọn các biểu thức sau :

a) Q@-—3)” ; b) j@~ 1U” ;

Trang 12

10 11 12 13 14 15 Tìm x, biết : a) Vx =7; c) 4x? =6; Chứng minh a) (J3—1)⁄ =4—26J3 ; b) Vx? =|-8| : đ) J9x? =|—12| b) 4-23 - V3 = -I Luyện Tập Tính a) v16 v25 +4/196 :A/49 ; c) Vv81 :

Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa :

a) V2x+7; b) V-3x +4;

a)2a2 35a vớla<0; c) V9a4 + 3a’;

Phân tích thành nhân tử

2

a)x -3;

Cc) x2 +2V3x 43 ;

Huong dan Ding két qua :

b) 36 : V2.3ˆ.18 -J169 : d) ¥32 +47 1 c) : d) VI+x? —-l+x

b) V25a* +3a vớia>0;

d) 5V¥4a° -3a? với a<0

-b)x°-6;

d) x? ~2V5x +5

Với a > 0 thì a = (V/a)?

Giải các phương trình sau :

a)x5=0; b)x?”—2V1I x+11=0

Trang 13

16 Đố Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng

=

12

con voi” dưới đây

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam) Ta có m°+ Vˆ=V”+ mổ

Cộng cả hai vế với - 2mV, ta có

mˆ ~2mV + V?= V?~ 2mV + mÃ,

hay (m- V)?=(V -m)?

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được

A(m-V)? =(V ~m)2

Do đó m-V=V-m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!)

§3 Liên hệ giữa phép nhôn và phép khơi phương

Định lí

Tính và so sánh : - {16.25 va J16V25

ĐỊNH LÍ

Với hai số a và b không âm, ta có

va.b= Vavb

Trang 14

Chứng mình Vì a > 0 và b > 0 nên xa.vÍb xác định và khơng âm

Ta có (Va.vb)? = (xa)ˆ.xb}? =a.b

Vậy va vb là căn bậc hai số học của a.b, tức là va.b = Vavb

> Chit ¥ Dinh li trén c6é thé md réng cho tich cua nhiéu sé khong am

2 Áp dụng

a) Quy tác khai phương một tích

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai

phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau

Ví dụ ! Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính :

a) /49.1,44.25 ; b) 810.40 Giai a) [49.144 25 = 49 /1,44./25 =7.1,2.5=42 b) /810 40 = /81 4.100 = V81.V4./100 =9.2 10 = 180 EAA rinn a) j016.0.64.225 ; b) ,|250.380

b) Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các SỐ dưới dấu cặn với nhau rồi khai phương kết quả đó

Trang 15

ER) tinh

17

18

a) V3.V75 ; b) ¥20.V72.J4,9

> Chit y Mot cach tổng quát, với hai biểu thức A và B không âm ta có VA.B =⁄A vB

Đặc biệt, với biểu thức A khơng âm ta có

yaa? =a

Ví dụ 3 Rút gọn các biểu thức sau :

a) V3a./27a với a >0 ; b) V9a2b^,

Giải

a) v3a J27a = xl3a.27a = v81a? =+|(9a)2 = |9a|= 9a (và a > 0)

b) V9a2b* = /9.va? Vb# =3.|a| j(b2)2 = 3|a| bể

Ta cịn có thể rút gọn như sau : Voa2b! = VG ab? )? = |3ab| = = 3|a|Ỷ

Rút gọn các biểu thức sau (với a và b không âm) :

a) J3a3 AJ12a ; b) 2a 32ab?

Bai tap

Ap dung quy tac khai phương một tích, hầy tính

a) 0,09 64 ; b) 4/2 7Ÿ ;

c) \12,1.360 ; đ) 22.3

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính

a) V7.V63 ; b) /2,5.V30.V48 ;

Trang 16

19 20 21 22 23 24 Rút gọn các biểu thức sau :

a) 4J0,36aˆ với <0; b) a“(3 - a)? với a> 3;

]

c) A/27.48(1—a)ˆ với a> 1; d) = ya*(a—b)* véia>b

ar

[2a (3a 52

a) 3" ạ vớia>0 ; b) V13a ,|— với a>0; a

c)V5a.V45a ~3a vớia>0 ; d) (3 — a)? - 0,2 V 18022

Khai phuong tich 12 30 40 được :

(A) 1200; (B) 120; (C) 12; (D) 240

Hãy chọn kết quả đúng

Luyện tộp

Biến đổi các biểu thức dưới đấu căn thành đạng tích rồi tính

a) V132 ~122 ; b) V17* —82 :

c) ¥1172 — 1087 : d) ¥313* —312°

Chimg minh

a) (2-V3)(2+V3)=1;

b) (¥2006 — 2005) và (2006 + 2005 ) là hai số nghịch đảo của nhau Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) của các căn thức sau :

a) A(1 + 6x + 9x2)" taix = —/2;

b) ¥9a7(b7 +4—4b) tạia=-2,b=- 3

Trang 17

25 26 27 Tìm x, biết : a) vi6x =8 ; b) V4x =5 ; €) 49(x—l)=21; đ) J4(1-x) —6=0 a) So sánh 425+9 và V25 + V9 ; b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh Va +b < Va + vb So sánh a) 4 và 23 ; b) —V5 và —2

§4 Liên hệ giữa phép chia vò phép khơi phương

Định lí rink va so sank ES va v16 Inn Va SO San — V(Ì ——-': 25 425 ĐỊNH LÍ

Với số a không âm và số b đương, ta có

fe _ Na b vb va Chứng mình Vì a > 0 và b > Ö nèn Te xác định và không âm „ (ey (Jay? a Ta có = vo} ý? b S| 4 va a a

Trang 18

2 Áp dụng

a) Quy tắc khai phương một thương

a

Muốn khai phương một thương ` trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lân lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ

nhát chia cho kết quả thứ hai

Ví dụ ! Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính

25 9 25 4a) ,— 3 b) /,| —:—: 121 16 36 Giải 25 425 5 a — = — —- 121 121 11 b) 9 25 9 [25.3 5 9 16°36 V16 VY36 4 °6 10 BY tinh 225

b) Quy tac chia hai căn bậc hai

Muốn chìa căn bác hai của số a không âm cho can bac hai ctia s6'b đương,

ta có thể chia số a cho sốb rồi khai phương kết quả đỏ

Trang 19

23 | Tinh

28

999 v52

a) =; =:

M11 117

2> Chú ý Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức

B đương, ta có A VA B VB Ví dụ 3 Rút gọn các biểu thức sau : faa? Ma a) 4|—— : 2 b) 3a với a > 0 Giải

) 4a? Aa” Jane2 2 al

Trang 20

29 30 31 32 33 34 y bã “ —.,|— vớix>0,yz0; X v! a) 25x?

c)5xy s với x<0,y>0; y a) So sanh 425-16 và 425 - JI6 ; v15 b) —== ; 735 ve d) 23.35 2 x4 b) 2y —— Với y<0; 4y 3 3 16 ‘ đ) 02x y- “1s với x #0, y z0 xy b) Chứng minh rằng, với a > b > 0 thì va -vb < xa-b

Trang 21

35 36 37 9+12a+4a> _ abo —Ó c)

—7— voia2— 15 vab<0; d)(a — b) z vớia<b<0 b (a~b)

Tim x, biét :

2_o J 2 — a) j\(x—3)“ˆ =9; b) V4x“ +4x+Ì =6

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai ?

Vì sao ? r a) 0,01 = 2/0/0001 ; b) -05=J-025; - M c) 39 <7 và V39 >6; d) (4—V13).2x < ¥3(4-V13) > 2x < V3

Đớ Trên lưới 6 vuông, mỗi 6 vuông

cạnh lem, cho bén diém M, N, P, Q (h.3)

Hãy xác định số đo cạnh, đường Hình 3

chéo và điện tích của tứ giác MNPQ

§5 Bỏng căn bộc hơi

| Một công cụ tiện lợi để khai phương khi khơng có máy tính

Dé tim căn bậc hai của một số đương, người ta có thể sử dụng bảng tính sẵn các căn bậc hai Trong cuốn "Bảng số với 4 chữ số thập phân” của V.M Bra-đi-xơ, bảng căn bậc hai là bảng IV dùng để khai căn bậc hai của bất cứ số đương nào có nhiều nhất bốn chữ số

Giới thiệu bảng

Bảng căn bậc hai được chia thành các hàng và các cột Ta quy ước gọi tên

Trang 22

mỗi trang Căn bậc hai của các số được viết bởi không quá ba chữ số từ 1,00 đến 99,9 được ghi sắn trong bảng ở các cột từ cột 0 đến cột 9 Tiếp đó là chín cột hiệu chính được dùng để hiệu chính chữ số cuối của căn

bậc hai của các số được viết bởi bốn chữ số từ 1,000 đến 99,99,

Cách dùng bảng

a) Tìm căn bậc hai của số lớn hơn Í

và nhỏ hơn 100 N ts 8

Ví dụ ! Tìm J1,68

Tai giao cua hang 1,6 va cột 8, ta thấy

s6 1,296 Vay 1,68 ~ 1,296 (mau 1) 16 | - >| 1, Vi du 2 Tim, 939,18 i ý Mau |

Tại giao của hàng 39, và cột 1, ta thấy

số 6,253 Ta có 439,1 ~ 6,253

Tại giao của hàng 39, và cột 8

hiệu chính, ta thấy số 6 Ta dùng số 6 này để hiệu chính chữ số cuối ở số ; v 6,253 như sau : 39, | ->| 6,253 | - > © 4 - 6,253 + 0,006 = 6,259 Vay 39,18 ~ 6,259 (mẫu 2) Mẫu 2 Tìm 4) 49,11 ; b) 429,82

Bảng tính sắn căn bậc hai của tác giả V.M Bra-đi-xơ chỉ cho phép ta tìm

trực tiếp căn bậc hai của số lớn hơn Í và nhỏ hơn 100 Tuy nhiên, dựa vào

tính chất của căn bậc hai, ta vẫn dùng bảng này để tìm được căn bậc hai của số không âm lớn hơn 100 hodc nhỏ hơn |

Trang 23

b) Tìm căn bậc hai của số lớn hơn 100

Ví dụ 3 Tim V1680

Ta biết 16850 = 16,8 100

Do đó v1680 = 416,8 100 = 10 v1ó,8

Tra bảng ta được 16,8 ~ 4,099 Vậy 2/1680 ~ 10.4,099 = 40,99

Tìm

4) V911 ; _b) 4988

c) Tìm căn bậc hai của số không âm và nhỏ hơn Í

Vi du 4 Tim J0,00168

Ta biết 0,00168 = 16,8 : 10000

Do đó /0,00168 = 16,8 : VL0000 ~ 4,099 : 100 = 0,04099

> Chit y Dé thuc hanh nhanh, khi tìm căn bậc hai của số không âm lớn hơn 100 hoặc nhỏ hơn \, ta dùng hướng dẫn của bảng : “Khi dời dấu phdy trong sốN đi 2, 4, 6, chữ số thì phải đời dấu phẩy theo cùng chiều

trong số VN đi 1, 2, 3 chữ số” (ví dụ 3 mình hoạ trường hợp đời dấu

phẩy ở số 16,8 sang phải 2 chữ số nên phải dời dấu phẩy ở số 4,099 sang phải \ chữ số ; ví dụ 4 mình hoa trường hợp dời dấu phẩy ở số 16,8 sang trái 4 chữ số nén phải dời dấu phẩy ở số 4,099 sang trái 2 chữ số)

la Dùng bảng căn bậc hai, tìm giá trị gân đúng của nghiệm phương trình

Trang 24

38 39 40 4I 42 Bdi tap

Dùng bảng số để tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau đây rồi dùng máy tính bỏ túi kiểm tra và so sánh kết quả (từ bài 38 đến bài 40)

54; 72; 95; 31; 68

115; 232; 571; 9691,

071; 0,03; 0/216; 0/811; 0/0012; 0,000315

Biết 9,119 ~ 3,019 Hãy tính

911,9; 491190; ¥0,09119; /0,0009119

Dùng bảng căn bậc hai để tìm giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương

trình sau :

a)x?=3,5 ; b) x” = 132

€ó thể em chưa biết

Thời xa xưa, con người làm tính bằng cách đếm ngón tay, ngón chân rồi đến đốt ngón tay, đốt ngón chân ; khi gặp các số lớn hơn, người ta dùng hòn sỏi,

hạt cây Sau đó, họ làm ra các bàn tinh gây (có thế bắt đầu do ghép xâu các

hạt cây lại) Dùng bàn tính gầy, người ta có thể tính tốn được với cả các số thập phân Hiện nay, bàn tính gay van cịn được sử dụng ngay cả ở các nước rất sắn máy tính bỏ túi

Sự phát triển của khoa học, kĩ thuật và nhu cầu thương mại đã đòi hỏi phải đặt

ra các bảng tính sấn Các nhà thiên văn học, tốn học Cơ-péc-ních (Ba Lan), Kê-ple (Đức), Nê-pe (Anh) là những người đầu tiên xây dựng kĩ thuật tính tốn

và đã lập ra nhiều bảng tính sấn Bảng số với 4 chữ số thập phân là một dang bang tính sẵn nhự thé

Ngày nay, những chiếc máy tinh bé tui gọn nhẹ không chỉ thay thế các bảng

tính sấn để tính một cách nhanh chóng mà cịn gó độ chính xác cao hơn Tuy

nhiên, cũng như các bản tính gay, các bảng tính sấn vẫn có những ưu thế riêng nên người ta vẫn tiếp tục dùng chúng Mạnh hơn những chiếc máy

Trang 25

4

24

tính bỏ túi và cũng dễ dàng mang theo bên người là những chiếc máy tính

xách tay

Chuỗi hạt cây để đếm, bàn tính gdy, chiếc máy tính bỏ túi và chiếc máy tính xách tay

§ó Biến đổi đơn gidn biểu thức chứa căn thức bộc hơi

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với a >0,b >0, hãy chứng tỏ Va2b 2 avb

Va2b =avb (với a > 0, b > 0) Phép biến đổi nay duge goi 1a phép dua

thừa số ra ngồi dấu căn

Ví dụ 1

a) 232.2 =3J2

b) V20 = J/4.5 =q|22.5 =245

se Có thể sử dụng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn biểu thức

chứa căn thức bậc hai

Trang 26

35 + 420 + v5 Giải 3/5 + 20 + V5 = 345 + J22.5 + v5 = 3⁄5 +245+ 5 =(+2+1)5 = 645

Các biểu thức 3/5, 25 và V5 được gọi là đồng dạng với nhau Rút gọn biểu thức

4) J2+J§ +50 ; b) 43 + j27 - v45 +5

Một cách tổng quát :

Với hai biểu thức A, B mà B >0, :a có 4|A?.B =|AÌfB, rức là : Nếu A >0 và B>0thì VA2B = ANB :

Néu A <0 va B>O thi VA2B = —AVB

Ví dụ 3 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) 4x^y với x>0,y>0;

b) 4/18xy? với x >0, y< 0

Giải

a) \4x2y = Jlaxyy =laxl Jy = 2xVy (với x>0, y >0)

b) J18xy2 = \oy) 2x= lay|2x = -3y/2x (vớix>0,y <0)

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) J28a'b` vớib>0; b) V72a2b4 vớia<0

Trang 27

Đưa thừa số vào trong dấu căn

e Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn có phép biến đổi ngược với nó là

phép đưa thừa số vào trong dấu căn

Với A>0vàB>0/a có AB =vA28B Với A<0 và B>0ra có AB =-VA?B

Ví đụ 4 Đưa thừa số vào trong dấu căn

a) 3 V7 ; b) —2V3 ;

c) 5a7V2a với a >0; d) -3a22ab với ab > 0 Giải

a) 3/7 = 32/1 = v63

b) -2V3 = -V2ˆ.3 =-—\12

Cc) 5a* J2a = \(6a2)2.2a = V25a!.2a = \50aŠ

d) -3a2 /2ab = —/(3a2)?.2ab = —V9a4 2ab = —V18a5b

a) 3V5 : b) 1,2V5 :

Cc) ab* Ja với a> 0Ô) đ) -2ab2v/5a với a > Ư

e Có thể sử dụng phép đưa thừa số vào trong (hoặc ra ngoài) dấu căn để

Trang 28

43 44 45 46 47, Bai tap

Viết các số hoặc biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) S54 ; b) V108 ; c)0,1./20000 ;

d)—0,0528800 ; e) 4J7.63.a”

2 2

35 ¡ ~5/2; ~2 Jay với xy >0; ny vGi x > 0

x So sánh a)3V3 va V12 ; b) 7 va 3V5 ; ] 1 1 l c) —V51 va —V150 ; d)—V6 va ot 3 5 2 2

Rút gọn các biểu thức sau với x > 0:

a) 23x —-4A3x +27—32x ¿ b) 32x — 58x + 7V18x + 28

Rút gọn

2 3(x + yy

a) 5 Ta ¬ với x>0,y >Ô và x# y;

x2~y 2

2 fe,2 2

b) ——/5a°(1-4a+4a°) với a> 0,5 2a—]

§7 Biến đổi đơn giỏn biểu thức

chứa căn thức bộc hol

điếp theo)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Khi biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai, người ta có thể sử dụng phép khử mẫu của biểu thức lấy căn Dưới đây là một số trường hợp

đơn giản

Trang 29

Ví dụ ! Khử mẫu của biểu thức lấy căn

2 Sa

a) lo 3 b) ,J— với a.b > 0 3 7b

Giải

b) [5a = v5a.Tb _ v35ab

1b 7b7b vn}? — 7Ìb|

Với các biểu thức A, B mà A.B > 0 và B z0, ra có

A vVAB

BIB

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

lễ =; HC —— ¡ ') ,|Ì—— Với 3 xen a >ƠƯ

a 5 125 c 7 a

Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu cũng là một phép biến đổi đơn giản thường gặp Dưới đây là một số trường hợp đơn giản

Trang 30

Trong ví dụ trên ở câu b), để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu

với biểu thức ^/3 ~1 Ta gọi biểu thức x3 +1 và biểu thức V3 —1 là hai

biểu thức liên hợp với nhau Tương tự, ở câu c), ta nhân cả tử và mẫu với

biểu thức liên hợp của x5 - x3 là V5 +3

a) Với các biểu thức A, B mà B >0, ta có

A ANB vB BE

b) Với các biểu thức A, B,C ma Az>0va A+B’, 14 có

C C@VA+B) VAtB A-B._ c) Voi các biểu thức A, B, CC mà A >0, B> 0 và A #8, ra có C C(VA + vB) VAt\B A-B _ 22 | Trục căn thức ở mẫu : 5 2 4) Re yp br? 5 2a -

b) 5235 ` T-ưa với >0 và a#+Ì; 4 6a

¢) ————> — với a>b>Ô 4?x+xs 2a -vb

Bai tap

Khử mẫu của biểu thức lấy căn (các bài 48 và 49)

ao LL H, EB H lụ - V3)?

` 6œ ` Vz4o ` Vẫo` Vo§ˆ 271

a a |b 1 1 9a? 2

49 ab fJ—3 —4f-—: gts yl 3Bxy,/—:

b bVa b p- 36b xy

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa)

Trang 31

50 51 52 53 54 55 56 57

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đêu có nghĩa (từ

bài 50 đến bài 52) 5 5 1 2J2+2 y+baw M0 ` 245 3/20 ` s2 ` bưy 3 0 2 2+3 b p 43+i` X3-IẺ 2-43` 3+V#b ` 2/2-L 2ab 1

W-vs` Jio+ V7’ Vx — Jy’ Va-Vb

Luyện tap

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

233 VS-VŠ 28-Vễ aa pp

1+2) 1-43 ` j§-2 ` 1v” Np-2,

Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)

a) ab+bvVa + va +l;

b) vx2 —vy + x2y — yxy?

Sắp xếp theo thứ tự tăng dan

a)35, 2J6, v29, 4/2; b)6vV2, v38, 37, 214

25x - ýl6x =9 khi x bằng

(A) 1; (B) 3 ; (C) 9; (D) 81

Trang 32

§8 RÚt gọn biểu thức chứa căn thức bộc hơi

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận đụng thích

hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết

a 4

Vi du / Rat gon sửa =6 |Š —JỀ + Vố với >0, a

Giải Ta có

a «/4 6

5Va +6 Ta —+5 = Sva +5 Vaal +

a

~ sửa +3/s—2Ja «V5 = 6s + vỗ,

Rút gọn 35a - 20a + 4\Í45a + va với a > 0

Rút gọn biểu thức được áp dụng trong nhiều bài tốn về biểu thức có chứa căn thức bậc hai

Ví dụ 2 Chứng mình đẳng thức

(1+ V2 + V3) (1+ V2 - V3) = 2v2

Giải Biến đổi vế trái, ta có

(+ V2 + V3) (1+ V2 - V3) = 1+ 2# -(3#

=1+2/2+2-3 = 242

Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải Vậy đẳng thức được chứng minh

Chứng minh đẳng thức

ava + bvb Tea db ~ Jab = (Ja - vb)? vớia>0,b>0

Vi du 3 Cho diéu thitc

Trang 33

Giải

Pe Jana ~1 ˆ gía - ĐẺ - tÝa + Uỷ

2⁄a (Va + 1)(va -1)

_ al a—-2Va+1—-a—2Va-1 _ (a —1)(-4Va)

2Ja a-l (vay

_ (l-a)4va_1-a

= mo TT

l-a

Vậy P= —— với a>0 và az I va

b) Do a > Ö và a z l nên P < 0 khi và chỉ khi

58 Rut gon cdc biéu thitc sau :

a) S45 v30 + V5 ¡ b+ VS + VS

c) ¥20 — V45 + 3V18 + V72 ; d) 0,1.V200 + 2 j0,08 +0,4 V50

59 Rút gọn các biểu thức sau (với a>0,b> 0) :

a) 5Va — 4bV 25a? + 5aVv16ab? —2/9a ;

Trang 34

60 Cho biểu thức B= v16x +16 -v9x+9 +4x+4+ 0x41 véix>-I

a) Rut gon biểu thức B;

B) Tìm x sao cho B có giá trị là 1ó

6l Chứng minh các đẳng thức sau :

3 2 3 v6

—W6+2,|—-4l|—=—:

2) 2 6 iB Ề 6

“ 6 2 - 1

[aie 7 Jo) cay với x > 0

xX l

Luyện tap

Rút gọn các biểu thức sau (các bài 62 và 63) :

1 62 a) 5 V48 - iB sit b) V150 + J1,6.V60 +4,5 22-6: c)(V28 — 2V3 + V7) V7 + V84 sd) (V6 +5)? - 120 b 63 we với a >0vàb>0; 4m — 8mx + 4mx7 với m > Ö và x z Ì 1—-2x +x?

64 Chứng minh các đăng thức sau :

Trang 35

65

66

Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết

k =Ì—+——l:— Yớia>0väa#1 1 1 va +1 3 ˆñodväd

a-Va Va-1) a-2Va+1

1 1

Giá trị của biểu thức + ban:

- 2+3 2-43 7

1

(A) 33 (B) 1; ( =4 (D), 4

Hãy chọn câu trả lời đúng

§9 Can bac ba

Khai niém can bac ba

Bài toán : Một người thợ cân làm một thùng hình lập phương chứa

được đúng 64 lít nước

Hỏi người thợ đó phải chọn độ dài cạnh của thùng là bao nhiêu đêximét ?

Giải

Gọi x (dm) là độ dài canh cha thùng hình lập phương Theo bài

Ta ta có xs 64 Ta thấy x = 4 vì 4) =6 Vay độ dài cạnh của thùng là 4dm

Từ 4= 64, người ta gọi 4 là căn bậc ba của 64

ĐỊNH NGHĨA

Căn bậc ba của một số a là số x sao cho xâ=a,

Trang 36

Ví dụ ! — 2 là căn bậc ba của 8, vì 2= 8

—5 là căn bậc ba của -I25, vi (-5)"= -125

Ta công nhận kết quả sau :

Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba

Can bac ba của số a được kí hiệu là XÍa Số 3 gọi là chỉ số của căn Phép

tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba >> Chú ý Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có (ŸÏa)” = NO =a, Tìm căn bậc ba cha méi sé sau :

1 a) 27; ) b) -— 64; ) c) 0; ) d) — ) 125

Giải mẫn Ÿ27 =Ÿ3) =3,

Nhàn vét

Căn bậc ba của số dương là số dương ; Căn bậc ba của số âm là số âm ;

Căn bậc ba của số 0 là chính số 0

Tính chất

Tương tự tính chất của căn bậc hai, ta có các tính chất sau của căn bậc ba :

a)a<b<> Ya < Yb

b) Yab = đa 3/b

) Với bz+0, ta có a2 Ya

€ Ol #U, ta CƠ 7/-—- =~:

b ¥b

Dựa vào các tính chất trên, ta có thể so sánh, tính tốn, biến đổi các biểu

thức chứa căn bậc ba

Ví dụ 2 So sánh 2 và 7

Giải Ta có 2 = 3Í§ ; § > 7 nên 3/8 > 7 Vậy 2 > 3/7

Trang 37

Ví dụ 3 Rút gọn ¥8a> — 5a

Gidi Ta cé ¥8a3 —Sa= 3⁄8 Äa? - 5a = 2a —5a = —3a

EA rink Y1728 : {64 theo hai cách,

67 68 69 36 Bịi tập Hãy tìm J512; 34-729; 0064 ; Ÿ-0.216 - 3/-0.008 Tinh a) 327 — 3-8 - 3/125 ; De So sánh a) 5 và 3/123 ; b) 53/6 và 63/5

Bai doc them

TIM CAN BAC BA NHO BANG SO VA MAY TINH BO TUL

Tìm căn bậc ba nhờ bảng số

Trong "Bảng số với 4 chữ số thập phân” của V.M Bra-đi-xơ khơng có bảng tính sẵn căn bậc ba, nhưng ta có thé ding bang lập phương (bảng V) để tìm căn bậc ba của một số cho trước

a) Giới thiệu bảng lập phương

Bảng lập phương được chia thành các hàng và các cột Ta cũng quy ước gọi tên của các hàng (cột) theo số được ghi ở cột đầu tiên (hàng đầu tiên)

Trang 38

Dùng bảng lập phương ta có thể tìm được lập phương của số từ 1,000 đến

10,00 Với những số được viết bởi không quá ba chữ số, lập phương của nó được tìm trực tiếp từ bảng Với những số được viết bởi bốn chữ số, ta phải dùng thêm các số ở cột hiệu chính

b) Cách dùng bảng lập phương tìm căn bậc ba Ví dụ ! Tìm 3J344,5 Ta tìm số 344,5 ở treng bảng Số 344,5 nằm ở giao của hàng 7,0 và cột 1, có nghĩa (7019) ~z 344,5 Vậy 344, = 7,01 (mau 3) Vi du 2 Tim 3/103

Do khơng tìm thấy số 103 ở trong bảng, ta chọn số gần nhất với nó N 0 - Ý ->Ì 7,0 l4 - 344,5 Mau 3 Đó là số 103,16 nằm ở giao của hàng 4,6 và cột 9 nên (4,69)? = 103,16 Do đó 3/103,16 ~ 4,69 Trén hang 4,6 ta tìm trong các cột hiệu 4.6 4 - 103,16 chính số nào gần với số l6 nhất, ta thấy số 13 (hoặc số 19), nằm ở cột 2 (hoặc cột 3) hiệu chính Ta hiệu chính 3/103,16 để xác định 103 như sau : 4,69 — 0,002 = 4,688 (hoặc 4,69 — 0,003 = 4,687) Vay 3/103 ~ 4,688 (hoặc Ÿ103 = 4,687) (mẫu 4)

Trang 39

Tra bang tim 3/103 ~ 4,688 Vay 30,103 ~ 4,688 x 0,1 = 0,4688

»> Chu y Bang lập phương có nêu hướng dẫn "Khi dời đấu phẩy trong số

N đi 1 chữ số thì phải đời dấu phẩy trong số NỀ ái 3 chữ số” nên khí tìm

căn bậc ba, ta thực hành như sau :

Khi đời dấu phẩy trong sốN ải 3, 6, 9, chữ số, ta đời dấu phẩy theo

cùng chiêu ở số YN đi L, 2, 3 chữ số (ví du 3 mình hoạ trường hợp đời dấu phẩy ở số 103 sang trái 3 chữ số nên phải dời dấu phấy ở số 4.688

Z

sang trái Ì chữ số)

2 Tim căn bậc ba bằng máy tính bỏ túi

Có thể dùng máy tính bỏ túi có nút bấm Ÿ/ để tìm căn bậc ba như sau

Vi du 4 (Trén may CASIO fx-220) Tinh Nút bấm Kết quả V1728 IHIJNIDHINIETIIER 12

‡m39o62s L+|[r [3 ][ø J[o J[ + |[s ][2 ]L s llsmrrllylL 225

ÿ—12167- | [2 |L- | (| [6] [7] 24) [seme] [8 23

Vị đụ 5 (Trên máy SHARP EL—500M)

Tính | Nút bấm | Kết quả

31728 3 lf anaF | IY] (a [7 [els Ife 12

/11390,675 3 |[2ndF| VIL 10 [Ls JLo Lol Wel Iisie} 22

19,167 (3 |[onaFl IO 2l[+|[:|[sj[z]|=]| | -23

Trang 40

>1

N

nh

Ôn tập chương I

Câu hỏi

Nêu điều kiện để x là căn bậc hai số học của số a khơng âm Cho ví dụ

Chứng minh va? = |a| với mọi sở a

Biểu thức A phải thoả mãn điều kiện gì để /A_ xác định ?

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương Cho ví dụ

Phát biểu và chứng minh định lí về mối liên hệ giữa phép chia và phép khai phương Cho ví dụ

Các cơng thức biến đổi căn thức

1) VA? =|AlL

2) AB = VA⁄B (với A>0 và B>0)

A VA

3) ,|— =-=— (với A>0vàB>0)

B VB

4) Va2B =|A|VB (với B>0)

Định dạng
Số trang	63
Dung lượng	1,51 MB