BT XSTK 3

Chương Một số phân phối xác suất thông dụng 4.1 Phân phối Bernoulli, nhị thức Bài 4.1 Có 8000 sản phẩm có 2000 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 10 sản phẩm Tính xác suất để 10 sản phẩm lấy có sản phẩm không đạt tiêu chuẩn Đáp án 0.282 Hướng dẫn Gọi X số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn 10 sản phẩm lấy Ta có, X ∼ B(10, 2000 ) = B(10, 0.25) 8000 Bài 4.2 Khi tiêm truyền loại huyết thanh, trung bình có trường hợp phản ứng 1000 trường hợp Dùng loại huyết tiêm cho 2000 người Tính xác suất để (a) có trường hợp phản ứng, (b) có nhiều trường hợp phản ứng, (c) có nhiều trường hợp phản ứng Đáp án (a) 0.18 (b) 0.86 (c) 0.14 Bài 4.3 Giả sử tỷ lệ sinh trai gái có người Tính xác suất để đứa gồm (a) trai gái (b) trai gái (c) trai Đáp án (a) 0.375 (b) 0.25 (c) 0.0625 1 Một gia đình 4.1 PHÂN PHỐI BERNOULLI, NHỊ THỨC Bài 4.4 Một nhà máy sản xuất với tỷ lệ phế phẩm 7% (a) Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm Tính xác suất để i) có phế phẩm ii) có phế phẩm iii) có nhiều phế phẩm (b) Hỏi phải quan sát sản phẩm để xác suất nhận phế phẩm ≥ 0.9 Đáp án (a)-(i) 0.364 -(ii) 0.516 -(iii) 0.848 (b) 32 Bài 4.5 Tỷ lệ loại bệnh bẩm sinh dân số p = 0.01 Bệnh cần chăm sóc đặc biệt lúc sinh Một nhà bảo sinh thường có 20 ca sinh tuần Tính xác suất để (a) trường hợp cần chăm sóc đặc biệt, (b) có trường hợp cần chăm sóc đặc biệt, (c) có nhiều trường hợp cần chăm sóc đặc biệt Tính quy luật nhị thức dùng quy luật Poisson để so sánh kết ta xấp xỉ phân phối nhị thức B(n; p) phân phối Poisson P (np) Đáp án (a) 0.818 (b) 0.165 (c) 0.017 Bài 4.6 Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A bầu cử 60% Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri chọn cách ngẫu nhiên Gọi X số người bỏ phiếu cho A 20 người (a) Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn Mod X (b) Tìm P (X ≤ 10) (c) Tìm P (X > 12) (d) Tìm P (X = 11) Đáp án (a) 12; 2.191; 12 (b) 0.245 (c) 0.416 (d) 0.16 Bài 4.7 Giả sử tỷ lệ dân cư mắc bệnh A vùng 10% Chọn ngẫu nhiên nhóm 400 người (a) Viết công thức tính xác suất để nhóm có nhiều 50 người mắc bệnh A (b) Tính xấp xỉ xác suất phân phối chuẩn Đáp án (b) 0.953 4.1 PHÂN PHỐI BERNOULLI, NHỊ THỨC Bài 4.8 Một máy bay muốn bay phải có nửa số động hoạt động Nếu động hoạt động, độc lập nhau, với xác suất 0.6, máy bay có động có đáng tin cậy máy bay có động hay không? Giải thích? Đáp án không Hướng dẫn Gọi X, Y số động hoạt động động động So sánh P (X ≥ 2) P (Y ≥ 1) Bài 4.9 Số lượng X phân tử phát từ nguồn phóng xạ biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ = ln Hơn nữa, ta giả sử phát xạ độc lập qua (a) Tính xác suất có 30 giờ, 168 tuần đó, phân tử phát (b) Sử dụng phân phối Poisson để tính xấp xỉ xác suất câu (a) Đáp án (a) 0.7549 (b) 0.7558 Bài 4.10 Một máy sản xuất sản phẩm loại A với xác suất 0.485 Tính xác suất có 200 sản phẩm máy sản xuất có 95 sản phẩm loại A Đáp án 0.6368 Hướng dẫn Sử dụng xấp xỉ chuẩn hiệu chỉnh liên tục Bài 4.11 Dựa vào số liệu khứ, ta ước lượng 85% sản phẩm máy sản xuất thứ phẩm Nếu máy sản xuất 20 sản phẩm giờ, xác suất thứ phẩm sản xuất khoảng thời gian 30 phút bao nhiêu? Đáp án 0.6233 Bài 4.12 Mười mẫu có kích thước 10 rút ngẫu nhiên không hoàn lại từ thùng chứa 100 sản phẩm, thùng có phế phẩm Một thùng sản phẩm chấp nhận có nhiều thứ phẩm phát mẫu tương ứng Hỏi xác suất có chín thùng chấp nhận bao nhiêu? Đáp án 0.0036 Bài 4.13 Xác suất để sản phẩm sản xuất máy phù hợp với yêu cầu kĩ thuật 0.95, độc lập với sản phẩm khác Ta tiến hành lấy sản phẩm sản xuất máy sản phẩm đạt yêu cầu kĩ thuật Thí nghiệm ngẫu nhiên lặp lại 15 ngày liên tiếp (độc lập) Gọi X số ngày, 15 ngày thí nghiệm, mà ta phải lấy sản phẩm để nhận sản phẩm phù hợp với yêu cầu kĩ thuật 4.1 PHÂN PHỐI BERNOULLI, NHỊ THỨC (a) Tìm giá trị trung bình X (b) Sử dụng phân phối Poisson để tính xấp xỉ xác suất có điều kiện P (X = 2|X ≥ 1) Đáp án (a) 0.75 (b) 0.2519 Bài 4.14 Xác suất trúng số 1% Mỗi tuần mua vé số Hỏi phải mua vé số liên tiếp tối thiểu tuần để có không 95% hy vọng trúng số lần Đáp án 299 Bài 4.15 Trong trò chơi “bầu cua” có ba xúc sắc, có sáu mặt hình là: bầu, cua, hưu, nai, tôm gà Giả sử có hai người, người chơi người làm Nếu ván người chơi đặt ô (một hình: bầu, cua, hưu, nai, tôm gà) sau chơi nhiều ván người thắng trò chơi Giả sử thêm ván người chơi đặt 1000 đ thắng 5000 đ, thua 1000 đ Hỏi trung bình ván người thắng thắng bao nhiêu? Đáp án 972.2222 Bài 4.16 Có ba lọ giống nhau: hai lọ loại I, lọ có bi trắng bi đen; lọ loại II có bi trắng bi đen Một trò chơi đặt sau: Mỗi ván, người chơi chọn ngẫu nhiên lọ lấy hai bi từ lọ Nếu lấy hai bi trắng người chơi thắng, ngược lại người chơi thua (a) Người A chơi trò chơi này, tính xác suất người A thắng ván (b) Giả sử người A chơi 10 ván, tính số ván trung bình người chơi thắng số ván người A thắng tin (c) Người A phải chơi ván để xác suất thắng ván không 0,99 Đáp án (a) 0.0889 (b) 0.889; (c) 50 Bài 4.17 (*) Cho X Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập (a) Giả sử X ∼ B(1, 15 ), Y ∼ B(2, 15 ) Lập bảng phân phối xác suất X + Y kiểm tra X + Y ∼ B(3, 51 ) (b) Giả sử X ∼ B(1, 12 ), Y ∼ B(2, 51 ) Tìm phân bố xác suất X + Y Chứng minh X + Y phân bố nhị thức (c) Giả sử X ∼ B(n1 , p1 ), Y ∼ B(n2 , p2 ) Chứng minh X + Y có phân phối nhị thức p1 = p2 Bài 4.18 Hai cầu thủ ném bóng vào rổ Cầu thủ thứ ném hai lần với xác suất trúng rổ lần 0.6 Cầu thủ thứ hai ném lần với xác suất trúng rổ 0.7 Gọi X số lần trúng rổ hai cầu thủ Lập bảng phân phối xác suất X, biết kết lần ném rổ độc lập với 4.1 PHÂN PHỐI BERNOULLI, NHỊ THỨC Đáp án X P 0.048 0.256 0.444 0.252 Bài 4.19 Bưu điện dùng máy tự động đọc địa bì thư để phân loại khu vực gởi đi, máy có khả đọc 5000 bì thư phút Khả đọc sai địa bì thư 0,04% (xem việc đọc 5000 bì thư 5000 phép thử độc lập) (a) Tính số bì thư trung bình phút máy đọc sai (b) Tính số bì thư tin phút máy đọc sai (c) Tính xác suất để phút máy đọc sai bì thư Đáp án (a) (b) (c) 0.323 Bài 4.20 Một thi trắc nghiệm gồm có 10 câu hỏi, câu có phương án trả lời, có phương án Giả sử câu trả lời điểm câu trả lời sai bị trừ điểm Một sinh viên làm cách chọn ngẫu nhiên phương án cho câu hỏi (a) Tính xác suất để học sinh điểm (b) Tính xác suất để học sinh bị điểm âm (c) Gọi X số câu trả lời đúng, tính E(X) V ar(X) (d) Tính số câu sinh viên có khả trả lời lớn Đáp án (a) 0.146 (b) 0.2503 (c) 2.5; 1.875 (d) Bài 4.21 Các sản phẩm sản xuất dây chuyền Để thực kiểm tra chất lượng, người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại 10 sản phẩm từ hộp có 25 sản phẩm Quá trình sản xuất báo cáo đạt yêu cầu có không sản phẩm thứ phẩm (a) Nếu tất hộp kiểm tra chứa xác hai thứ phẩm, xác suất trình sản xuất báo cáo đạt yêu cầu lần ngày làm việc bao nhiêu? (b) Sử dụng phân phối Poisson để xấp xỉ xác suất tính câu (a) (c) Biết lần kiểm tra chất lượng cuối câu (a), trình sản xuất báo cáo đạt yêu cầu Hỏi xác suất mẫu 10 sản phẩm tương ứng không chứa thứ phẩm bao nhiêu? Đáp án (a) 0.6572 (b) 0.6626 (c) 0.4118 Bài 4.22 Một công ty bảo hiểm có 20 nhân viên kinh doanh Mỗi người, thời điểm đó, văn phòng đường giao dịch Biết nhân viên kinh doanh làm việc văn phòng vào lúc 14h30, vào ngày làm việc tuần, với xác suất 0.2, độc lập với ngày làm việc khác nhân viên khác 4.2 PHÂN PHỐI POISSON (a) Công ty muốn bố trí số lượng bàn làm việc cho nhân viên kinh doanh tìm thấy bàn trống để làm việc 90% trường hợp Tìm số lượng bàn (b) Tính số lượng bàn phần (a) cách sử dụng xấp xỉ Poisson (c) Một người phụ nữ gọi điện đến công ty vào lúc 14h30 vào ngày làm việc cuối tuần để nói chuyện với nhân viên kinh doanh Cho cô ta không xếp hẹn từ trước Tìm xác suất cô ta phải gọi hai lần với giả sử cô ta gọi vào 14h30 Đáp án (a) (b) (c) 0.8 4.2 Phân phối Poisson Bài 4.23 Một trung tâm bưu điện nhận trung bình điện thoại phút Tính xác suất để trung tâm nhận cuộc, cuộc, gọi phút, biết số gọi phút có phân phối Poisson Đáp án 0.149; 0.224; 0.224 Bài 4.24 Tính P (X ≥ 1|X ≤ 1) X ∼ P (5) Đáp án 5/6 Bài 4.25 (*) Cho X, Y biến ngẫu nhiên độc lập, X ∼ P (λ1 ), Y ∼ P (λ2 ) (a) Tính xác suất P (X + Y = n) (b) Tính xác suất P (X = k|X + Y = n) Bài 4.26 Một cửa hàng cho thuê xe ôtô nhận thấy số người đến thuê xe ôtô vào ngày thứ bảy cuối tuần đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ = Giả sử cửa hàng có ôtô (a) Tìm xác suất tất ôtô thuê (b) Tìm xác suất tất ôtô thuê (c) Tìm xác suất cửa hàng không đáp ứng yêu cầu (d) Trung bình có ôtô thuê (e) Cửa hàng cần có ôtô để xác suất không đáp ứng nhu cầu thuê bé 2% Đáp án (a) 0.857 (b) 0.143 (c) 0.053 (d) (e) Bài 4.27 Một tổng đài bưu điện có điện thoại gọi đến xuất ngẫu nhiên, độc lập với có tốc độ trung bình gọi phút Tìm xác suất để 4.2 PHÂN PHỐI POISSON (a) có điện thoại phút, (b) điện thoại khoảng thời gian 30 giây, (c) có điện thoại khoảng thời gian 10 giây Đáp án (a) 0.156 (b) 0.368 (c) 0.283 Bài 4.28 Các gọi điện đến tổng đài tuân theo phân phối Poisson với mức λ phút Từ kinh nghiệm có khứ, ta biết xác suất nhận xác gọi phút ba lần xác suất không nhận gọi thời gian (a) Gọi X số gọi nhận phút Tính xác suất P (2 ≤ X ≤ 4) (b) Ta xét 100 khoảng thời gian phút liên tiếp gọi U số khoảng thời gian phút không nhận gọi điện Tính P (U ≤ 1) Đáp án (a) 0.6161 (b) 0.0377 Hướng dẫn U ∼ B(100, 0.0498) Bài 4.29 Tại điểm bán vé máy bay, trung bình 10 phút có người đến mua vé Tính xác suất để: (a) Trong 10 phút có người đến mua vé (b) Trong 10 phút có không người đến mua vé Đáp án (a) 0.06 (b) 0.433 Bài 4.30 Các khách hàng đến quầy thu ngân, theo phân phối Poisson, với số lượng trung bình người phút Tính xác suất xuất 10 khách hàng khoảng thời gian phút Đáp án 0.9301 Bài 4.31 Số khách hàng đến quầy thu ngân tuân theo phân phối Poisson với tham số λ = khoảng phút Tính xác suất thời gian đợi đến khách hàng xuất (từ khách hàng trước đó) nhỏ 10 phút Đáp án 0.9933 Bài 4.32 Số lượng nho khô bánh quy có phân phối Poisson với tham số λ Hỏi giá trị λ ta muốn xác suất có nhiều hai bánh quy, hộp có 20 bánh, không chứa nho khô 0.925? Đáp án 2.9977 4.2 PHÂN PHỐI POISSON Bài 4.33 Một trạm cho thuê xe Taxi có xe Hàng ngày trạm phải nộp thuế USD cho xe (bất kể xe có thuê hay không) Mỗi cho thuê với giá 20USD Giả sử số xe yêu cầu cho thuê trạm ngày đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson với µ = 2.8 (a) Tính số tiền trung bình trạm thu ngày (b) Giải toán trường hợp trạm có xe (c) Theo bạn, trạm nên có hay xe? Đáp án (a) 32 USD (b) 24 USD (c) Bài 4.34 (*) Ta có 10 máy sản xuất (độc lập nhau), máy sản xuất 2% thứ phẩm (không đạt chuẩn) (a) Trung bình có sản phẩm sản xuất máy trước tạo thứ phẩm đầu tiên? (b) Ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ máy sản xuất Hỏi xác suất nhiều hai thứ phẩm 10 sản phẩm bao nhiêu? (c) Làm lại câu (b) cách sử dụng xấp xỉ Poisson (d) Phải lấy sản phẩm sản xuất máy để xác suất đạt thứ phẩm không nhỏ 1/2 (giả sử sản phẩm độc lập với nhau)? Đáp án (a) 49 (b) 0.9991 (c) 0.9989 (d) 35 Bài 4.35 Số lỗi đánh máy sách 500 trang có phân phối Poisson với tham số λ = trang, độc lập trang (a) Hỏi xác suất phải lấy 10 trang, ngẫu nhiên có hoàn lại, để đạt trang trang chứa lỗi bao nhiêu? (b) Giả sử thật có 20 trang, 500 trang, trang chứa xác lỗi (i) Nếu 100 trang lấy, ngẫu nhiên không hoàn lại, xác suất nhiều trang chứa xác lỗi trang bao nhiêu? (ii) Ta xét 50 sách Nếu thí nghiệm ngẫu nhiên phần (i) lặp lại cho sao, xác suất có xác 30 50 mà mẫu lấy có nhiều trang với lỗi trang bao nhiêu? Đáp án (a) 0.0273 (b)-(i) 0.8083 -(ii) 0.000357 4.3 PHÂN PHỐI CHUẨN 4.3 Phân phối chuẩn Bài 4.36 Các kết kiểm tra số thông minh (IQ) cho học sinh trường tiểu học cho thấy điểm IQ học sinh tuân theo phân phối chuẩn với tham số µ = 100 σ = 225 Tỉ lệ học sinh có điểm IQ nhỏ 91 lớn 130 bao nhiêu? Đáp án 0.2971 Bài 4.37 Giả sử chiều dài X (đơn vị tính m) nơi đỗ xe tuân theo phân phối chuẩn N (µ, 0.01µ2 ) (a) Một người đàn ông sở hữu xe cao cấp có chiều dài lớn 15% chiều dài trung bình chỗ đậu xe Hỏi tỉ lệ chỗ đậu xe sử dụng bao nhiêu? (b) Giả sử µ = Hỏi chiều dài xe ta muốn chủ sử dụng 90% chỗ đậu xe? Đáp án (a) 0.0668 (b) ≈ 3.49 Bài 4.38 Đường kính chi tiết máy máy tiện tự động sản xuất có phân phối chuẩn với trung bình µ = 50 mm độ lệch chuẩn σ = 0.05 mm Chi tiết máy xem đạt yêu cầu đường kính không sai 0.1 mm (a) Tính tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu (b) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất có sản phẩm đạt yêu cầu Đáp án (a) 95.4% (b) 0.999 Bài 4.39 Trọng lượng X (tính gam) loại trái có phân phối chuẩn N (µ, σ ), với µ = 500 (gam) σ = 16 (gam2 ) Trái thu hoạch phân loại theo trọng lượng sau: (a) loại : 505 gam, (b) loại : từ 495 đến 505 gam, (c) loại : 495 gam Tính tỷ lệ loại Đáp án (a) 0.106 (b) 0.788 (c) 0.106 Bài 4.40 Một công ty kinh doanh mặt hàng A dự định áp dụng phương án kinh doanh Ký hiệu X1 lợi nhuận thu áp dụng phương án thứ 1, X2 lợi nhuận thu áp dụng phương án thứ X1 , X2 tính theo đơn vị triệu đồng/ tháng) X1 ∼ N (140, 2500), X2 ∼ N (200, 3600) Nếu biết rằng, để công ty tồn phát triển lợi nhuận thu từ mặt hàng kinh doanh A phải đạt 80 triệu đồng/tháng Hãy cho biết công ty nên áp dụng phương án để kinh doanh mặt hàng A? Vì sao? 4.3 PHÂN PHỐI CHUẨN 10 Đáp án phương án Bài 4.41 Nghiên cứu chiều cao người trưởng thành, người ta nhận thấy chiều cao tuân theo quy luật phân bố chuẩn với trung bình 175 cm độ lệch tiêu chuẩn cm Hãy xác định: (a) tỷ lệ người trưởng thành có tầm vóc 180 cm (b) tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm (c) tìm h0 , biết 33% người trưởng thành có tầm vóc mức h0 (d) giới hạn biến động chiều cao 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trung bình Đáp án (a) 0.106 (b) 0.68 (c) 173.24 (d) 6.6 Bài 4.42 Ta quan tâm đến tuổi thọ X (theo năm) thiết bị Từ kinh nghiệm khứ, ta ước lượng xác suất thiết bị loại hoạt động tốt sau năm 0.1 (a) Ta đưa mô hình sau cho hàm mật độ X fX (x) = a (x + 1)b với x ≥ a > b > Tìm hai số a, b (b) Nếu ta đưa phân phối chuẩn với trung bình µ = cho X, giá trị tham số σ bao nhiêu? (c) Ta xét 10 thiết bị loại cách độc lập Tính xác suất thiết bị loại có tuổi đời hoạt động năm Đáp án (a) 1; (b) 1.5601 (c) 0.5811 Bài 4.43 Entropy H biến ngẫu nhiên liên tục X định nghĩa H = E[− ln fX (X)] với fX hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X ln logarit tự nhiên Tính entropy biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình phương sai σ = Đáp án ≈ 1.766 Bài 4.44 (*) Một nhà sản xuất bán sản phẩm với mức giá cố định s Nhà sản xuất hoàn lại tiền cho khách hàng khách hàng phát trọng lượng sản phẩm nhỏ trọng lượng cho trước w0 thu lại sản phẩm, có giá trị tái chế r(< s) Trọng lượng W tuân theo phân phối chuẩn với trung bình µ phương sai σ Một cài đặt thích hợp cho phép nhà sản xuất cố định giá trị µ giá trị mong muốn, cố định giá trị σ Chi phí sản xuất C hàm theo trọng lượng sản phẩm: C = α + βW , với α β số dương 4.3 PHÂN PHỐI CHUẨN (a) Hãy xác định biểu thức cho lợi nhuận Z theo W (b) Chứng minh lợi nhuận trung bình, z(µ), xác định z(µ) = s − α − βµ − (s − r)P [W < w0 ] Tìm giá trị µ0 µ làm cực đại z(µ) 11 [...]...4 .3 PHÂN PHỐI CHUẨN (a) Hãy xác định biểu thức cho lợi nhuận Z theo W (b) Chứng minh rằng lợi nhuận trung bình, z(µ), được xác định bởi z(µ) = s − α − βµ − (s − r)P [W < w0 ] Tìm giá trị µ0 của µ làm cực