Chuyên đề lượng giác megabook

Phản xạ 1: Khi gặp góc lớn (từ 3x trở lên) thường có hướng Hướng “Ghép tên” để giảm góc tạo tích việc dùng công thức tổng (hiệu) thành tích   ab a b ; cos 2 ab a b ; sin a  sin b  2sin cos 2 ab a b sin 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 cos a  cos b  2cos cos a  cos b  2sin (ưu tiên kết hợp góc chẵn lẻ) Giải phương trình sau: (D – 2013): sin 3x  cos x  sin x  (B – 2007): 2sin 2 x  sin x 1  sin x (D – 2002): cos3x  4cos 2x  3cos x   (D – 2012): sin 3x  cos3x  sin x  cos x  cos x (D – 2006): cos3x  cos x  cos x 1  (B – 2002) sin 3x  cos2 x  sin 5x  cos2 x Hướng dẫn giải: (D – 2013): sin 3x  cos x  sin x   (sin 3x  sin x)  cos x   2cos x sin x  cos x   cos x(2sin x  1)  (D – 2012): sin 3x  cos3x  sin x  cos x  cos x (sin 3x  sin x)  (cos3x  cos x)  cos x  2cos x sin x  2cos x cos x  cos x  cos x  2(sin x  cos x)  1  (B – 2007): 2sin 2 x  sin x 1  sin x  (sin x  sin x)  sin 2 x    2cos x sin 3x  cos x   cos x(2sin 3x 1)  (D – 2006): cos3x  cos x  cos x 1   (cos3x  cos x) (1  cos x)   2sin x sin x  2sin x   4sin x cos x  2sin x   2sin x(2cos x  1)  (D – 2002): cos3x  4cos 2x  3cos x    (cos 3x  cos x)  4(1  cos x)  2cos x   2cos x cos x  8cos2 x  2cos x   2cos x(cos x  4cos x  1)   2cos x(2cos2 x  4cos x)   4cos x(cos x  2)  (B – 2002) sin 3x  cos2 x  sin 5x  cos2 x   cos x  cos8 x  cos10 x  cos12 x    2 2  cos6x  cos8x  cos10x  cos12x  2cos7 x cos x  2cos11x cos x  cos x(cos11x  cos x)   2cos x sin x sin x   sin x sin x  Hướng Chuyển phương trình dạng sin u  sin v (hoặc cos u  cos v ) dạng a sin x  b cos x  c (hoặc mở rộng) Chú ý:   Cách khử dấu “–” hàm lượng giác:  sin u  sin(u) ;  cos u  cos(  u)  tan u  tan(u) ;  cot u  cot(u)         Cách đổi tên hàm: sin u  cos   u  ; cos u  sin   u  ; tan u  cot   u  ; cot u  tan   u  2  2  2  2  Giải phương trình sau: (B – 2013): sin 5x  2cos2 x  3 sin x  2sin 5x   2cos 3x   cos x  4sin x sin x  4sin  x   4  Hướng dẫn giải:   (B – 2013): sin 5x  2cos2 x   sin 5x   cos x   cos x   sin x  sin   x   sin(5 x) 2  sin x  2sin 5x   2cos 3x  sin x  2sin 5x    cos x  sin x  cos x  2sin x  3   sin x  cos x  sin x  sin  x    sin x … 2 6    cos x  4sin x sin x  4sin  x   4       cos x  4sin x sin x  1  cos  x        cos x  4sin x sin x  2(1  sin x)  cos x  2sin x(1  2sin x)   cos x  2sin x cos x   cos x  sin x    k  cos x  sin x   cos  x     x    2 3 12  Hƣớng Khử giảm số lượng góc lớn việc “sử dụng công thức cộng tạo tích thành tổng” “đánh giá”  Giải phương trình sau: cos x(2sin 3x  cos x)  sin x(sin x 1) sin x(1  cos5x  cos x)  sin 3x  2sin 3x cos2 x  cos x  Hướng dẫn giải: cos x(2sin 3x  cos x)  sin x(sin x 1)  sin 3x cos 4x  sin x  cos 4x cos x  sin 4x sin x    sin x  sin x  sin x  cos3x  sin x  sin   3x  2  sin x(1  cos5x  cos x)  sin 3x  2sin 3x cos2 x  cos x   sin x(1  2cos3x cos x)  sin 3x(2cos2 x 1)  cos x   sin x  cos3x sin x  sin 3x cos x  cos x   sin x  cos x  sin 3x cos x  cos3x sin x  1      sin x  cos x   sin x   2sin  x    sin x  (*) 3  2        2sin  x    (*) sin  x    Do     3   sin x   sin x  1   CHÚ Ý: Chương trình học khóa cthức sin 3x  3sin x  4sin3 x ; cos3x  4cos3 x  3cos x xuất đề thi “ý đồ” người đề sử dụng chúng (nếu bạn dùng phải chứng minh) nghĩa bạn nên theo hướng tư Phản xạ 2: Khi xuất thƣờng chuyển dạng a sin x  b cos x  c dạng mở rộng Cách giải chung: a sin u  b cos u  c Chia hai vế phương trình cho a a  b2 sin u  b a  b2 a  b2 ta được: cos u  c a  b2 (đưa công thức nghiệm) với cos    sin(u   )  a a  b2 sin   c a  b2 b a  b2 Chú ý 1:  Điều kiện phương trình có nghiệm a  b2  c2  Ta đưa phương trình dạng công thức nghiệm với cos  Thường a  b2  (để số liệu toán “đẹp”) Chú ý 2: Ngoài dạng nguyên gốc trên, gặp dạng mở rộng sau  a sin u  b cos u  a  b2 sin v  a sin u  b cos u  a  b2 cos v  a sin u  b cos u  a 'sin v  b 'cos v Cách giải tương tự, ta chia hai vế phương trình cho a  b2 Giải phương trình sau: (A,A1 – 2012): sin x  cos x  2cos x  (B – 2012): 2(cos x  sin x) cos x  cos x  sin x  (1  2sin x) cos x (A – 2009): (B – 2009): sinx  cos x sin x  cos3x  2(cos x  sin x)  (1  2sin x)(1  sin x) x x  (D – 2007):  sin  cos   cos x  2 2  6 3 2 (B – 2008): sin x  cos x  sin x cos x  sin x cos x 8  sin x  cos x    3 sin x (D – 2009): cos5x  2sin 3x cos x  sin x    10 2sin 3x sin x  cos x   2cos x  sin x  cos x(4sin x  1)  Hướng dẫn giải: (A,A1 – 2012) sin x  cos x  2cos x   sin x cos x  2cos x 1  2cos x 1 cos x   2cos x( sin x  cos x  1)    sin x  cos x   (B – 2012): 2(cos x  sin x) cos x  cos x  sin x   2cos2 x   sin x cos x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x   3    cos x  sin x  cos x  sin x  cos  x    cos  x   … 3 3 2 2   sin x   Điều kiện  (*) sin x   Với điều kiện (*) phương trình tương đương: (1  2sin x) cos x  3 (A – 2009): (1  2sin x)(1  sin x) (1  2sin x) cos x  3(1  2sin x  sin x)  cos x  sin x  3(cos x  sin x)  cos x  sin x  cos x  sin x   3    cos x  sin x  cos x  sin x  cos  x    cos  x   … 3 6 2 2   (B – 2009): sin x  cos x sin x  cos3x  2(cos x  sin x)  sin x(1  2sin x)  cos x sin x  cos3x  2cos x  sin x cos x  cos x sin x  cos3x  2cos x   cos 3x  cos x  cos  3x    cos x …  sin 3x  cos3x  2cos x  sin 3x  2 6  (D – 2009): cos5x  2sin 3x cos x  sin x   cos5x  (sin 5x  sin x)  sin x    cos x   sin x  sin  x    sin( x) …  sin 5x  cos5x  2sin x  sin x  3 2  x x x x x x  (D – 2007):  sin  cos   cos x   sin  cos  2sin cos  cos x  2 2 2 2     cos x   sin  x    sin …   sin x  cos x   sin x  cos x   sin x  2 3  (B – 2008): sin3 x  cos3 x  sin x cos2 x  sin x cos x  sin x(cos2 x  sin x)  cos x(cos2 x  sin x)  cos x  …  sin x cos x  cos x cos x   cos x(sin x  cos x)    sin x  co s x     8  sin x  cos6 x    3 sin x  1  sin 2 x    3 sin x    3(1  cos x)   1     3 sin x  cos x  sin x  1  1  2   cos x  sin x   cos  x    cos … 2 3  sin x  cos x(4sin x  1)   sin x  cos x  2sin x      sin x  cos x  sin x  sin x cos  cos x sin  sin x  sin  x    sin x 6 2 6    2sin 3x  sin x   2sin 3x  sin x   2sin 3x  sin x   cos x   sin x  cos x  2(cos x  sin x)  cos x   (sin x  3cos x)  cos x    sin x  cos x  sin x  cos x   10 2sin 3x sin x  cos x   2cos x  2 2 2 sin x  cos x   sin x  cos x 2sin 3x  sin x  cos x    sin x  cos x  2sin 3x    Phản xạ 3: Khi nhóm “cùng tên, góc” nghĩ tới việc phân tích thànhtích 2sin x  sin x   (sin x  1)(2sin x  1) ; cos3 x  3cos2 x  4cos x   (cos x  1)(cos2 x  2cos x  2) …) ( nhẩm nghiệm em dùng máy tính để trợ giúp sử dụng thêm lược đồ Horner – phương trình từ dạng bậc trở lên có nghiệm “đẹp” để tạo tích) Giải phương trình sau: 1.(D – 2010): sin x  cos x  3sin x  cos x 1  (2sin x  1)(cos x  1)  cos x  2cos x  7sin x  9sin x  6cos x  3sin x  cos x  2cos3 x  3cos x  2sin x  4cos x  4sin x  5  sin x  cos6 x   3 sin x  3 cos x  9sin x  11 Hướng dẫn giải: 1.(D – 2010): sin x  cos x  3sin x  cos x 1   sin x  (1  2sin x)  3sin x  cos x 1   2sin x  3sin x    sin x  cos x   (2sin x 1)(sin x  2)  cos x(2sin x 1)   (2sin x 1)(sin x  cos x  2)  9sin x  6cos x  3sin x  cos x   9sin x  6cos x  6sin x cos x   2sin x   (6sin x cos x  6cos x)  (2sin x  9sin x  7)   6cos x(sin x 1)  (sin x 1)(2sin x  7)   (sin x 1)(6cos x  2sin x  7)    sin x  2sin x  6cos x  (vô nghiệm 22  62  72 )  x   k 2 (k ) (2sin x  1)(cos x  1)  cos x  2cos x  7sin x   2sin x cos x  2sin x  cos x    2sin x  2cos x  7sin x   (2sin x cos x  cos x)  (2sin x  9sin x  5)   cos x(2sin x 1)  (2sin x 1)(sin x  5)   (2sin x 1)(sin x  cos x  5)  2cos3 x  3cos x  2sin x  4cos x  4sin x   2cos3 x  3(2cos2 x  1)  2sin x  4cos x  4sin x   (cos3 x  3cos2 x  2cos x  4) (sin x  2sin x)   (cos x  1)(cos2 x  2cos x  4)  2sin x(cos x  1)  (cos x  1)(cos2 x  2cos x   2sin x)   cos x  1 (1) cos2 x  2(sin x  cos x)  (2)   Giải (1)  x    k 2 Giải (2)  cos2 x  2 sin  x    Ta có: 4    cos x  2 sin  x     2  , suy (2) vô nghiệm 4  Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 (k )  sin x  cos6 x   3 sin x  3 cos x  9sin x  11 Ta có: sin x  cos6 x  (sin x  cos2 x)3  3sin x cos2 x(sin x  cos2 x)   sin 2 x Khi phương trình tương đương:   1  sin 2 x   3 sin x  3 cos x  9sin x  11    ( sin x  cos x)  (2sin 3x  3sin x  1)   cos x(2sin x 1)  (2sin x 1)(sin x 1)   (2sin x  1)( cos x  sin x  1)  CHÚ Ý: Các Ví dụ 1,2,3,4,5 có cách tiếp cận khác Các em xem tiếp phản xạ sau ! Phản xạ 4: Khi phương trình lượng giác có nhiều biểu thức chứa nhân tử chung, nghĩ tới việc chuyển phương trình dạng tích (hoặc để giản ước nhân tử chung mẫu số) Sau thầy giới thiệu tới bạn bảng biểu thức chứa nhân tử chung thường gặp: Bảng Tổng Kết Một Số Nhân Tử Chung Thƣờng Gặp STT Nhân tử Chung sin x cos x sin x  cos x  sin x  cos x  2sin x  2cos x Biểu Thức Chứa Nhân Tử Chung tan x ; sin 2x ; tan 2x ;  cos 2x ; sin 3x … cot x ; sin 2x ; tan 2x ;  cos 2x ; cos3x …     cos 2x ;  tan x ;  cot x ;  tan x ;  cot x ; sin3 x  cos3 x ; sin  x   ; cos  x   4 4   x  x  x  x  cos2 x ; cot x ; sin    ; cos    ; tan    ; cot    ; 2cos x  sin x … 2 4 2 4 2 4 2 4 x x x x sin x ; tan x ; sin ; tan ; cos ; cot ; 2sin x  sin x … 2 2 2 cos x  sin x ;  4sin x ;  4cos x ; 2cos x 1 ; cot x  2cos x ; cos3x … sin x  sin x ;  4cos2 x ;  4sin x ; 2cos x  1; tan x  2sin x ; sin 3x … Giải phương trình sau: (D – 2004): (2cos x 1)(2sin x  cos x)  sin x  sin x (B – 2004): 5sin x   3(1  sin x) tan x cos x x x   sin x  sin x (A – 2003): cot x   (D – 2003): sin    tan x  cos   tan x 2 2 4  sin x  cos x  sin x sin x (A – 2011): (B – 2005):  sin x  cos x  sin x  cos x   cot x sin x  2cos x  sin x  (D – 2011) : (D – 2010) : sin x  cos x  3sin x  cos x 1   tan x    9.(A – 2007): (1  sin x) cos x  (1  cos2 x)sin x   sin x 10 (A,A1 – 2013):  tan x  2 sin  x   4  11 (B – 2011): sin x cos x  sin x cos x  cos x  sin x  cos x 12 (A,A1 – 2014): sin x  4cos x   sin x Hướng dẫn giải: (D – 2004): (2cos x 1)(2sin x  cos x)  sin x  sin x  (2cos x 1)(2sin x  cos x)  sin x(2 cos x 1)  (2cos x 1)(sin x  cos x)  (B – 2004): 5sin x   3(1  sin x) tan x Điều kiện: cos x   x    n (n ) Khi phương trình đương đương: 5sin x   3(1  sin x) sin x (1  sin x)(1  sin x)  (1  sin x)(5sin x  2)  3sin x  2sin x  3sin x   (A – 2003): cot x   cos x  sin x  sin x  tan x sin x  Điều kiện:  , phương trình tương đương:  tan x  1 cos x (cos x  sin x)(cos x  sin x) 1   sin x  sin x cos x sin x sin x 1 cos x cos x  sin x   cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin x)  sin x x x  (D – 2003): sin    tan x  cos  2 4 Điều kiện: cos x   x    n (n )    cos  x   2  sin x  cos x  Khi phương trình tương đương:  0 cos x  sin x (1  cos x)(1  cos x)  cos x   0 (1  sin x)(1  sin x)   cos x   (1  cos x)   1   (1  cos x)(sin x  cos x)    sin x   sin x  cos x  sin x sin x (A – 2011):  cot x Điều kiện: sin x   x  n (n ) Ta có  cot x  , phương trình tương đương: sin x sin x(1  sin x  2cos2 x 1)  2 sin x cos x cos x  …  cos x(sin x  cos x)  2 cos x (vì sin x  )  2cos x(sin x  cos x  2)    sin x  cos x  (B – 2005):  sin x  cos x  sin x  cos x    sin x  sin x  cos x  cos2 x  sin x   (sin x  cos x)2  sin x  cos x  (cos x  sin x)(cos x  sin x)   (sin x  cos x)(sin x  cos x   cos x  sin x)   (sin x  cos x)(2cos x  1)  … (D – 2011) : sin x  2cos x  sin x   tan x   cos x  Điều kiện:  (*)   tan x   Khi phương trình tương đương: sin x  2cos x  (sin x  1)   2cos x(sin x  1)  (sin x  1)   (sin x  1)(2cos x 1)  (D – 2010) : sin x  cos x  3sin x  cos x 1  sin x  cos x  cos x(2sin x  1) Ta có   cos x  3sin x   2sin x  3sin x   (2sin x  1)(sin x  2) Khi phương trình tương đương: cos x(2sin x 1)  (2sin x 1)(sin x  2)   (2sin x  1)(sin x  cos x  2)  9.(A – 2007): (1  sin x) cos x  (1  cos2 x)sin x   sin x  sin x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2    (sin x  cos x)(1  sin x cos x  sin x  cos x)   sin  x   (1  cos x)(1  sin x)  4    10 (A,A1 – 2013):  tan x  2 sin  x   4  Điều kiện: cos x  sin x  cos x Phương trình tương đương:  2(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  2cos x)  cos x 11 (B – 2011): sin x cos x  sin x cos x  cos x  sin x  cos x  2sin x cos2 x  sin x cos x  cos x   2sin x  sin x  2sin x(1  sin x)(1  sin x)  cos x(1  sin x)  (1  sin x)(1  2sin x)  (1  sin x)  2sin x(1  sin x)  cos x   2sin x)   (1  sin x)  2sin x   cos x    (1  sin x)(cos x  cos x)  12 (A,A1 – 2014): sin x  4cos x   sin x  sin x  sin 2x  4cos x    sin x(1  2cos x)  2(1  2cos x)   (1  2cos x)(sin x  2)  Phản xạ 5: Khi phương trình có mặt cos2x ta dựa vào dấu hiệu kèm để biến đổi: cos2x = cos2 x  sin x  (cos x  sin x)(cos x  sin x) : Nếu có yếu tố sin x  cos x = 2cos2 x 1: Nếu việc tạo “ –1” giúp ta khử số tự = 1 2sin x : Nếu việc tạo “ +1” giúp ta khử số tự = cos2x (Giữ nguyên): Nếu có 2cos3 x  cos x ; sin x  2sin3 x ; sin 2x cos x  sin x ; cos x  sin x sin x Giải phương trình sau: (ĐHY – 2000) sin3 x  cos3 x  cos 2x (A,A1 – 2012) : sin 2x  cos 2x  2cos x 1 (D – 2006): cos3x  cos 2x  cos x   (B – 2010): (sin 2x  cos 2x ) cos x  cos 2x  sin x  2cos3 x  sin x cos 2x  4sin x  cos x 2 (A – 2003): cot x   cos x  sin x  sin x  t anx Hướng dẫn giải: (ĐHY – 2000) sin3 x  cos3 x  cos 2x  (sin x  cos x) (1  sin x cos x)  (cos x  sin x)(cos x  sin x)    (sin x  cos x)(1  sin x cos x  sin x  cos x)   sin  x   (1  cos x)(1  sin x)  4  (A,A1 – 2012) : sin 2x  cos 2x  2cos x   sin x cos x  2cos2 x   2cos x 1  2cos x( sin x  cos x  1)  (D – 2006): cos3x  cos 2x  cos x    cos3x   2sin x  cos x 1   2sin x sin x  2sin x   4sin x cos x  2sin x   2sin x(2cos x  1)  (B – 2010): (sin 2x  cos 2x ) cos x  cos 2x  sin x   sin x cos x  sin x  cos x cos x  2cos x   sin x(2cos2 x 1)  cos x(cos x  2)   cos x(sin x  cos x  2)  2cos3 x  sin x cos x  4sin x  cos x   cos x(2cos2 x  1)  sin x cos x  2(1  2sin x)   cos x cos x  sin x cos x  cos x   cos x(cos x  sin x  2)  (A – 2003): cot x   cos x  sin x  sin x  tan x sin x  Điều kiện:  , phương trình tương đương:  tan x  1 cos x (cos x  sin x)(cos x  sin x) 1   sin x  sin x cos x si n x sin x 1 cos x cos x  sin x   cos x(cos x  sin x)  sin x(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin x)  sin x Phản xạ 6: Khi gặp biểu thức “đồng dạng” nghĩ tới việc nhóm để tạo tích gặp phƣơng trình 2 chứa sin x; cos x;  sin 2x ; cos 2x nghĩ tới dạng tích chúng : +) sin x  (1  cos x)(1  cos x) +) cos2 x  (1  sin x)(1  sin x) ;  sin x  (sin x  cos x)2 +) cos x  (cos x  sin x)(cos x  sin x) ( Xem thêm Phản xạ ) Chú ý: Với sin x , cos2 x cách phân tích ta nghĩ tới việc hạ bậc theo công thức  cos x  cos x ; cos x  sin x  2 Giải phương trình sau: 2cos3 x  cos x  sin x     sin  x    (1  tan x).sin x 4  Hướng dẫn giải: 2cos3 x  cos x  sin x   2cos3 x  2cos2 x 1  sin x   cos2 x(1  cos x)  (1  sin x)   2(1  sin x)(1  sin x)(1  cos x)  (1  sin x)   (1  sin x)  2(1  sin x)(1  cos x)  1   (1  sin x)  2(sin x  cos x)  2sin x cos x  1   (1  sin x) 2(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2    (1  sin x)(sin x  cos x)(sin x  cos x  2)  …   sin x  4cos x   sin  x   4    sin x  cos2 x   sin  x   4   cos x    sin x    sin  x   4     cos 2x  (1  sin x)  sin  x   4   2(cos x  sin x)(cos x  sin x)  (sin x  cos x)2  4(sin x  cos x)  (cos x  sin x)(3sin x  cos x  4)     sin  x    (1  tan x).sin x 4   Điều kiện : cos x   x   n (n ) Khi phương trình tương đương :  sin x  cos x  (1  tan x)sin x  (sin x  cos x)2  (cos x  sin x)(cos x  sin x)  sin x  cos x sin x cos x sin x      (sin x  cos x)  2sin x     sin  x   (sin x  sin x)  … cos x  4   Phản xạ 7: Khi phƣơng trình có dạng: a sin 2x  b cos 2x  c sin x  d cos x  e  ta nghĩ tới việc biến đổi phương trình dạng tích hai kĩ thuật sau: I Nhóm, tách ghép để làm xuất nhân tử chung ( xem lại kĩ thuật qua phản xạ 1, 3, 4, 6) II Đưa phương trình dạng: A sin x  B sin x  C  A cos2 x  B cos x  C  ( A, B, C chứa hàm lượng giác) , quan niệm phương trình bậc với sin x cos x (phương pháp số biến thiên) Giải phương trình sau: 1.(D – 2010) sin x  cos x  3sin x  cos x 1   sin x  cos6 x   3 sin x  3 cos x  9sin x  11 (B – 2005):  sin x  cos x  sin x  cos x  9sin x  6cos x  3sin x  cos x  : Hướng dẫn giải 1.(D – 2010) sin x  cos x  3sin x  cos x 1   2sin x cos x  (1  2sin x)  3sin x  cos x 1   sin x (2cos x  3) sin x  cos x   sin x  (2cos x  3)2  8(cos x  2)  (2cos x  5)2 Suy ra: sin x  (2cos x  3)  2cos x  (2cos x  3)  2cos x   sin x    cos x  4  5  x   k 2 x   k 2 (k ) 6 +) Với sin x   cos x   sin x  cos x  2 (vô nghiệm) +) Với sin x   5  Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 ;  k 2 k    6   sin x  cos6 x   3 sin x  3 cos x  9sin x  11  sin x  cos6 x   3 sin x  3 cos x  9sin x  11    1  sin 2 x   sin x cos x  3 cos x  9sin x  11    sin 2x (2 cos x  3) sin 2x  cos x   sin x  (2 cos x  3)2  8( cos x  1)  (2 cos x  1)2 sin x  cos x   cos x  cos x   cos x  1  cos x  (1) sin x   4 Giải (1)  (2) 1  2  cos x  sin x    cos  x    cos … 2 6   5  x   k x   k 12 12 (B – 2005):  sin x  cos x  sin x  cos x  Giải (2)  sin x    sin x  cos x  2sin x cos x  2cos2 x 1   cos2 x (2sin x  1) cos x  sin x  cos x  (2sin x  1)2  8sin x  (2sin x 1)2 (2sin x  1)  2sin x  1 (2sin x  1)  2sin x     sin x (2) (1) cos x  4 2 2 Giải (1)  cos x  cos x  k 2 3    Giải (2)  sin x  cos x   sin  x     x    k 4  Suy ra: cos x   2   Vậy phương trình có nghiệm x    k 2 ;   k k      9sin x  6cos x  3sin x  cos x   9sin x  6cos x  6sin x cos x   2sin x   2sin x  (6cos x  9)sin x  6cos x    2sin x  (6cos x  9)sin x  6cos x   sin x  (6cos x  9)2  8(6cos x  7)  (6cos x  5) Suy ra: sin x   6cos x  6cos x   6cos x  6cos x   6cos x  (1) sin x   4 (2) … CHÚ Ý: +) Các Ví dụ 1, em xem lại cách giải khác phản xạ +) Cách giải Ví dụ chứng tỏ điều có góc nhìn khác, dài – theo I nhìn thấy ngắn gọn +) Cách tiếp cận thứ II làm delta có “hình thức” số phương (   u ), không ta chuyển phương trình bậc với sin x sang cos x ngược lại Nếu không ổn ta theo cách I (Cách I “mạnh” cách II) k k k ; ; k với k  Z ) khử cách ( gồm “dùng bảng công thức chuyển góc nhọn công thức cộng, tích, hạ bậc” Phản xạ 8: Khi xuất góc cộng thêm k6 ; Giải phương trình sau: 1  7    4sin   x  (A – 2008): 3  sin x    sin  x         (D – 2005): cos4 x  sin x  cos  x   sin  3x     4  4  x x  (D – 2003): sin    tan x  cos  2 4   2sin  x    4sin x   6  sin x  cos x  cos 4 x       tan   x  tan   x  4       sin x  cos   x   4  4 (ĐHXD – 1997): Hướng dẫn giải:  7   4sin   x  3     sin  x       3      Ta có: sin  x    sin  x   2   sin  x    cos x 2      1  sin x 1    7     (sin x  cos x) sin   x   sin  2   x    sin  x     4      sin x   n Khi ta có điều kiện:  (n )  sin x   x   2 cos x  Phương trình viết lại: 1 sin x  cos x   2 2(sin x  cos x)   2 2(sin x  cos x) sin x cos x sin x cos x  sin x  cos x   sin x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  sin x)  3 7 bạn khử việc sử dụng công thức tổng: 3  3 3  sin  x   cos x sin  cos x   sin x cos  2  1 7 7  7  cos x  sin x   (sin x  cos x) sin   x   sin cos x  cos sin x   4 2   Chú ý: Ngoài cách khử lượng    1     cos4 x  sin x  cos  x   sin  3x       2sin x cos2 x  sin  x    sin x    4  4 2  2     sin 2x  cos x  sin x 3    sin 2 x  (1  2sin 2 x)  sin x 1    sin 2 x  sin x    sin x  sin x  2 (vô nghiệm)  x   k (k ) x x  (D – 2003): sin    tan x  cos2  2 4  Điều kiện: cos x   x   n (n ) Khi phương trình tương đương:    cos  x    sin x (1  cos x)(1  cos x)  cos x  sin x  cos x   0  0  2 (1  sin x)(1  sin x) 2 cos x   cos x   (1  cos x)   1   (1  cos x)(sin x  cos x)    sin x  (ĐHXD – 1997): sin x  cos x  cos 4 x       tan   x  tan   x  4  4      Ta tan   x  tan   x   theo cách biến đổi sau: 4  4       tan x  tan x Cách 1: tan   x  tan   x   1 4  4   tan x  tan x           Cách 2: tan   x  tan     x    tan   x  cot   x   4   4  4  2  1       sin   x  sin   x    cos  cos x  4  4   2   cos x  Cách 3: 1       cos x cos   x  cos   x   cos  cos x  2 4  4    n Khi ta có điều kiện: cos x   x   (n ) (*) Phương trình viết lại thành: sin x  cos4 x  cos4 x   sin x  cos 4 x (loại) k k , đối chiếu với điều kiện (*) ta nghiệm phương trình là: x  (k )  sin x   x    (1  cos2 x)  2cos4 x  2cos4 x  cos2 x 1   cos2 x  cos x        2sin  x    4sin x    sin x cos  cos x sin   4sin x   6 6    sin x  cos x  4sin x    sin x cos x  4sin x  2sin x   2sin x   cos x  sin x        cos  x    2  2     cos x    cos x    sin x     sin x  cos   x               2 2     4         2   1  cos x   1  sin x    sin x  cos x   sin  x    4  Phản xạ 9: Khi giải phƣơng trình lƣợng giác không quên việc cho điều kiện phƣơng trình chứa ẩn dƣới mẫu (không thiết phải giải chi tiết điều kiện) phải kiểm tra lại điều kiện Vì ta cần nắm đƣợc phƣơng pháp loại nghiệm để giải tốt dạng toán sau  Dạng 1: Phương trình chứa ẩn mẫu Phương pháp giải: 2l (l , m) m 2k  Bước 2: Giải phương trình nghiệm x    (k , n ) n  Bước 3: Kiểm tra điều kiện cách sau: +) Cách (Phương pháp hình học): 2l Biểu diễn x    đường tròn đơn vị gồm m điểm m 2k C  {C1; C2 ; ; Cm } ; biểu diễn x    đường tròn đơn vị gồm n điểm D  {D1; D2 ; ; Dn } Xét n hiệu E  D \ C  E1; E2 ; ; Er   Bước 1: Cho điều kiện, ta x    Khi nghiệm phương trình ban đầu là: x  Ei  k 2 (i  1; r , k ) +) Cách 2(Phương pháp đại số - cách mang tính chất tham khảo): k 2l k 2l   ( x chấp nhận   ) x bị loại   n m n m Ví dụ: Giải phương trình  cot x   cos x sin 2 x Giải: m (m) (1) sin x  cos x cos x  cos x    Khi phương trình tương đương:  sin x (1  cos x)(1  cos x) sin x  cos x  sin x  cos x  (sin x  cos x)cos x  sin x Điều kiện: sin x   x  cos x  cos x   cos x(sin 2x  cos 2x  1)      sin  x     1 sin x  cos x      4     k  x   k x     k   x        (k ) (2)  x     k 2  x    k     4  x    k      x    5  k 2  x   k   4 x≠ mπ = m2π π kπ π k2π x= + = + ; 4 π π k2π x = + kπ = + 2 Kết hợp (1) (2) (biểu diễn đường tròn đơn vị), ta nghiệm phương trình: x   k  (k ) Chú ý: Khi gặp dạng phương trình chứa ẩn mẫu, ta không quên việc cho điều kiện (không thiết phải giải chi tiết điều kiện) phải kiểm tra lại điều kiện Trong trình giải “linh hoạt” loại nghiệm không cần thiết để rút ngắn lời giải  Dạng 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng, đoạn Phương pháp giải:  Bước 1: Giải phương trình nghiệm x     Bước 2: Khai thác điều kiện x  D 2k (k , n) n 2k  2k k ,n  D   (k0 , n0 )  nghiệm x0    n n0 l (l , m) +) Cách 2: Có thể dùng đường tròn đơn vị đầu mút D có dạng m +) Cách (Chặn điều kiện): x  D    Ví dụ 1: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm phương trình: cos3x  4cos 2x  3cos x   Giải: Phương trình tương đương: cos3x  cos x  4(2cos2 x 1)  2cos x    2cos x cos x  8cos2 x  2cos x   2cos x(cos x  4cos x  1)   2cos x(2cos2 x  4cos x)   4cos2 x(cos x  2)   cos x  cos x  (loại)  x    k ( k  )  28    k  14  0,5  k   3,96  k {0;1;2;3} 2  3 5 7  Hay nghiệm phương trình: x   ; ; ;  2 2  Với x  [0;14]   cos3x  sin 3x   Ví dụ (A – 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) phương trình:  sinx    cos x   2sin x   Giải:  7 Điều kiện: sin x    x    m x   l (m, l ) 12 12 Khi phương trình tương đương: 5sin x.(1  2sin x)  cos3x  sin 3x  (1  2sin x)(cos x  3)  5(sin x  cos x  cos3x  cos3x  sin 3x)  (1  2sin x)(cos x  3)  5(2sin x cos x  cos x)  (1  2sin x)(cos x  3)  5cos x(2sin x  1)  (1  2sin x)(cos x  3)  5cos x  cos x  (vì sin x   )  2cos2 x  5cos x     cos x  (loại) cos x   x    k 2 (k ) Cách     2k (k ) , ta có: x  (0;2 )    k 2  2    k   k   x  3 6   5 +) Với x    2k (k ) , ta có: x  (0;2 )     k 2  2   k   k   x  3 6 +) Với x  Cách : Sử dụng đường tròn đơn vị : π π 2π 5π Vì x  (0;2 ) nên ta x   5 x  3 Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc toán giải phƣơng trình lƣợng giác kì thi “Hãy ghi nhớ phản xạ đầu tiên” (chi tiết xem lại phản xạ trước) [...]... làm xuất hiện nhân tử chung ( xem lại kĩ thuật này qua các phản xạ 1, 3, 4, 5 và 6) II Đưa phương trình về dạng: A sin 2 x  B sin x  C  0 hoặc A cos2 x  B cos x  C  0 ( A, B, C có thể chứa hàm lượng giác) , quan niệm là phương trình bậc 2 với sin x hoặc cos x (phương pháp hằng số biến thiên) Giải các phương trình sau: 1.(D – 2010) sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x 1  0 2 8  sin 6 x  cos6 x... 4 3  3 3  sin  x   cos x sin  cos x   sin x cos 2  2 2  1 1 1 7 7  7  cos x  sin x   (sin x  cos x) sin   x   sin cos x  cos sin x   4 4 2 2 2  4  Chú ý: Ngoài cách khử lượng    3 1    3  2 cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0  1  2sin 2 x cos2 x  sin  4 x    sin 2 x    0 4  4 2 2  2   2  2  sin 2 2x  cos 4 x  sin 2 x 3...            2 2 2 2     4 4  4     4    2 2 2   1  cos 2 x   1  sin 2 x   1  sin 2 x  cos 2 x  1  sin  2 x    4 2  Phản xạ 9: Khi giải phƣơng trình lƣợng giác không quên việc cho điều kiện nếu phƣơng trình chứa ẩn dƣới mẫu (không nhất thiết phải giải chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện Vì vậy ta cần nắm đƣợc phƣơng pháp loại nghiệm để giải...  k  1  x  3 3 6 6 3 +) Với x  Cách 2 : Sử dụng đường tròn đơn vị : π 3 π 0 2π 0 5π 3 Vì x  (0;2 ) nên ta được x   5 và x  3 3 Phản xạ 10: Khi đứng trƣớc một bài toán giải phƣơng trình lƣợng giác trong kì thi “Hãy ghi nhớ 9 phản xạ đầu tiên” (chi tiết xem lại các phản xạ trước)