Để hiểu hết 1 cuốn sách toán ta cần hiểu từng trang, để hiểu hết 1 trang ta chỉ cần hiểu từng dòng và để hiểu mỗi dòng có lẽ là không khó lắm. Thật ra học toán là chúng ta học tại sao có dấu bằng ? Tại sao có dấu lớn hơn ? Tại sao có dấu nhỏ hơn? Tại sao có dấu suy ra và tại sao có dấu tương đương ? Để hiểu một bài toán ta cần phải nhớ các kiến thức căn bản chứa đựng trong định nghĩa và định lý. (Để nhớ các định nghĩa và định lý ta cần làm nhiều bài tập).
MATHEDUCARE.COM LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC (Tài liệu có nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com ) Trong tài liệu xin tổng hợp lại tất dạng tập có liên quan tới đề thi năm Riêng tập bạn xem lại ví dụ giáo trình lớp Môn giải ch phức thực chất môn tương đối lại có “môt chút rắc rối” (không phải môn học mà ở… bạn hiểu) người đừng chủ quan Sau số dạng tập mà ôn tập I BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Kiến thức bổ trợ a Đồng số phức Cho = + phương trình = + = = ⇔ b Căn thức Số phức gọi bậc số phức nghiệm xác định công thức = √ cos +2 + sin = +2 , (1) phương trình (1) có = 0,1, … , − 1.2 Bài tập mẫu Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải phương trình sau: + a d + + = = b + = c = ( + e + =√ f = ) Giải: a b + + 10 = ⇔ + 81 = ⇔ = =− + = =− − = −81 Ta có −81 = 81(cos( ) + sin( )) Khi bậc −81 xác định = √81 cos GIẢI TÍCH PHỨC +2 + sin +2 = cos +2 + sin +2 , = 0,1,2 01 MATHEDUCARE.COM √ = cos + sin =1⇒ = cos + sin =3 − √ + √ =2⇒ = cos + sin =3 − √ − √ =3⇒ = cos + sin =3 Vậy , , , =3 √ =0⇒ + +2 ̅= ⇔ √ − ⇔ − =− =− + , 2− ⇔ 1+3 =− √ + 81 = nghiệm phương trình c = (2 + ) ⇔ = −9 + ⇔ d Đặt = + Vậy =− e + = √3 ⇔ + + 2( − )= (2 − )(1 − ) ⇔3 − 10 =− − 10 10 =− = + = −1 + √3 Ta có −1 + √3 = − + √ = cos + sin Khi bậc −1 + √3 xác định +2 = √2 cos =0⇒ =1⇒ +2 + sin = √2 cos +3 + sin +3 = √2 cos + sin 9 4 = √2 cos + sin 9 =2⇒ = √2 cos 7 + sin 9 =3⇒ = √2 cos 10 10 + sin 9 GIẢI TÍCH PHỨC 02 MATHEDUCARE.COM =4⇒ = √2 cos 13 13 + sin 9 =5⇒ = √2 cos 16 16 + sin 9 , Vậy , , , , nghiệm phương trình + = √3 = f Ta có = cos + sin Khi bậc xác định = cos =0⇒ = cos =1⇒ = cos , Vậy +2 + sin + sin = +2 = cos +4 + sin +4 , = 0,1 +2 , √2 √2 + 2 5 √2 √2 + sin =− − 4 2 nghiệm phương trình = Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình: ( − )= Giải: (1 − Xét + 3√7 có cos sin ) = 16 ⇔ − + 16 = ⇔ = + 3√7 = − 3√7 = √1 + 63 = = = = = √ = √8 cos , bậc + √63 xác định +2 + sin +2 =0⇒ = 2√2 cos + sin 2 =1⇒ = 2√2 cos GIẢI TÍCH PHỨC = 2√2 cos +2 +2 + sin 2 +2 + sin = 0,1 = −2√2 cos + sin 2 03 MATHEDUCARE.COM Ta có cos = ± =± Chọn cos = ; sin = = 2√2 ⎨ ⎪ ⎩ = −2√2 , =± √7 + 4 nghiệm phương trình = + 3√7 = 2√2 ⎨ ⎪ ⎩ = −2√2 Suy , √7 − 4 nghiệm phương trình , √ √7 − 4 ⎧ ⎪ , √ , Làm tương tự với − 3√7 chọn cos = ; sin = − Vậy =± √7 + 4 ⎧ ⎪ Vậy √ = ± sin = ± , , = − 3√7 nghiệm phương trình (1 − ) = 16 II BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC 2.1 Kiến thức bổ trợ Để m ảnh điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức ( , ) + ( , ), ta xác định mối liên hệ , dựa miền cho trước = ( )= Ngược lại để m tạo ảnh hàm ( , ), ( , ), ta xác định mối liên hệ , 2.2 Bài tập mẫu Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh đường = qua ánh xạ phức = = ( , )+ ( , ) (Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử = + GIẢI TÍCH PHỨC , = = = − 04 MATHEDUCARE.COM ( , )= + ⇒ ( , )=− + Với = 1, ( , ) = ⇒ + = 1+ (1 + ) = ( , ) = − 1+ = ⇔ − + =0⇔ − + = = đường tròn tâm ( , 0), bán kính Vậy ảnh đường Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh đường tròn | − ánh xạ phức = − |= qua Giải: = Giả sử Ta có | − = + , = |= ⇒ −2= ( + = (− −2− + − = )−2 = sin ) + ( ( , ) = − −2− ( , ) = + cos ⇒ ⇒ ( +( ⇔ sin + 2) ) + ( − = + , + (cos + sin ) − + + cos ) = ( , ) + ⇔ sin = ( , ) + cos = ( , ) − ( , ) +2 ) = Vậy ảnh đường tròn | − (− − 2, ), bán kính Bài 2.3: Cho hàm = |= qua ánh xạ = − đường tròn tâm Tìm ảnh của: a Đường tròn | | = , b Miền quạt < < Giải: a Giả sử = ⇒ + , = =( + ) = − +2 = ( , )+ ( , ) ( , )= − ( , )=2 = cos Ta có phương trình tham số đường tròn | | = là: = sin 0≤ ≤2 GIẢI TÍCH PHỨC 05 MATHEDUCARE.COM Khi đó: ( , ) = (2 cos ) − (2 sin ) = 4(cos ( , ) = 2.2 cos sin = sin ⇒ + − sin = cos + sin = ⇔ + ) = cos = 16 Vậy ảnh đường tròn | | = mp( ) đường tròn có tâm gốc tọa đô, bán kính mp( ) = b Đặt Ta có ⇒0< = (cos < + sin ) ⇒ Ta coi miền quạt < = = (cos + sin ) ⇒ < quét a =2 = , với biến thiên từ đến Theo chứng minh ảnh a = qua phép biến hình Khi biến thiên từ đến biến thiên từ đến = Vậy ảnh miền quạt < < = , = Bài 2.4: Cho hàm < nửa mặt phẳng < + a = Tìm: a Ảnh đường = b Tạo ảnh đường = Giải: a Ta có: = ( , )= = ( , )=− = Vậy ảnh đường GIẢI TÍCH PHỨC = + − + = ( , )+ ( , ) + = 0, ( , )=0 ( , ) = − , ( ≠ 0) ⇒ + Trường hợp − + = + ⇒ + Trường hợp + = =− = trục ảo trừ gốc tọa độ ≠ 0, 06 MATHEDUCARE.COM ( , )= + ( , )=− ⇒ + ⇔ − = + ( + + + = b ⇔ ) =0⇔ − = Vậy ảnh đường + = = + = , , bán kình là đường tròn tâm | | , ( ≠ 0) = + Trường hợp = ⇒ =0 Vậy tạo ảnh đường = trục ảo trừ gốc tọa độ + Trường hợp ≠ 0, + = ⇔ − + Vậy tạo ảnh đường =0⇔ − + = đường tròn tâm = , , bán kình | | , ( ≠ 0) III BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM PHỨC 3.1 Kiến thức bổ trợ a Giới hạn dãy số phức { }, = Cho lim = → + = + ⇔ lim = lim = → → b Giới hạn hàm phức Cho ( )= ( , )+ ( , ), = + , = lim → lim ( ) = ⇔ → + , ( , )= → lim ( , )= → → Nếu xét → theo hướng khác có kết khác ta kết luận không tồn giới hạn = GIẢI TÍCH PHỨC 07 MATHEDUCARE.COM c Hàm liên tục Cho ( ) xác định lân cận điểm ( ) liên tục , đó: + ( ) đị ℎ + lim ( ) ⇔ → + lim ( ) = ( ) → ( ) liên tục miền liên tục điểm thuộc 3.2 Bài tập mẫu Bài 3.1: Tính ( → + ) Giải: Giả sử = + , + =( + ⇒ ) + = ( , )= − ; ( , )=2 +1 lim ( , ) = lim ( → → → → ( , ) = lim (2 lim → → → + (2 − + 1) = ( , ) + ( , ) =1+ )=0 − + 1) = → Vậy lim ( → ( , ) + lim ( , ) = + 1) = lim → → → → Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh − → + − − + = + Giải: = lim → = lim[3 → −2 +8 − + (3 − 2) −2 +5 = lim ( − )[3 → + (5 − ) + ] = + (3 − 2) − + (3 − 2) + (5 − ) + ] + (5 − ) + = −3 − + + + + = + Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính giới hạn sau: GIẢI TÍCH PHỨC 08 MATHEDUCARE.COM a b → c → → ( ) Giải: a Đặt ( ) = ( )= + 1; ( ) = + = 0; ( ) = + 1, () + = =6 =6 ≠0 Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có ( ) ′( ) 10 = lim = lim → → ( ) ′( ) lim → ⇒ lim → +1 = +1 b lim = lim → ⇒ lim → = = = lim → = lim → → = lim → Ta có lim = lim → =1 → − cos = sin c lim(cos ) = → Bài 3.4: Xét tồn giới hạn → Giải: Giả sử = + , = + Cho → theo hướng trục ̅ lim → + Cho ̅ = lim → + − → theo hướng đường thẳng lim → GIẢI TÍCH PHỨC ̅ = lim → + − =0 = lim → = lim = (1) → = = lim → + − = lim → 1+ 1− = −1 (2) 09 MATHEDUCARE.COM Từ (1) (2) ta suy không tồn giới hạn lim ̅ → Lưu ý: điều kết luận có nghĩa hàm số ( ) = không liên tục ̅ = Bài 3.5: Xét nh liên tục hàm − − ( )= ế | |≠ = , = ế | |= Giải: = ta có: + Tại (1) = lim ( ) = lim → = lim ( → + + 1) = → Vậy lim ( ) = (1) nên hàm số liên tục =1 → = + Tại ( ) = lim ( ) = lim → = lim( → + + 1) = → Vậy lim ( ) ≠ (1) nên hàm số gián đoạn → = Bài 3.6: Cho hàm ( ) a ( ) = b ( ) = | Có thể gán giá trị hàm số = c ( ) = | để trở thành hàm liên tục ( ) | | = hay không? Giải: a Chọn dãy = ∗ = , , ∗ → →∞ Xét lim ( ) = lim → → lim ( ∗ ) = lim ∗ ∗ → GIẢI TÍCH PHỨC ( ) → = lim → ( ∗) ∗ = lim → = lim = → = lim = → 10 MATHEDUCARE.COM Trên : | | = ta có | ( )| = | + 1| ≤ | | + = < = | ( )| Do theo định lý Rouche ( ) + ( ) = − + = ( ) có số không điểm với ( ) = −5 : | | < Mà ( ) có không điểm nên suy ( ) có không điểm tức có nghiệm : | | < b Đặt ( ) = Trên ; ( ) = −5 + : | | = ta có | ( )| = |−5 + 1| ≤ 5| | + = 16 < = | ( )| Do theo định lý Rouche ( ) + ( ) = − + = ( ) có số không điểm với ( ) = : | | < Mà ( ) có ba không điểm nên suy ( ) có ba không điểm tức có ba nghiệm : | | < Suy ( ) có − = nghiệm hình vành khăn ≤ c Đặt ( ) = −5 ; ( ) = Trên < +1 : | | = ta có | ( )| = | + 1| ≤ | | + = < 10 = | ( )| Do theo định lý Rouche ( ) + ( ) = − + = ( ) có số không điểm với ( ) = −5 : | | < Mà ( ) có không điểm nên suy ( ) có không điểm tức có nghiệm : | | < Suy ( ) có − = nghiệm hình vành khăn ≤ < IX BÀI TOÁN KHAI TRIỂN CHUỖI VÀ TÌM MIỀN HỘI TỤ 9.1 Kiến thức bổ trợ Một số chuỗi Maclouren thường gặp = 1+ 1! sin = − + 3! GIẢI TÍCH PHỨC 2! + +⋯= 5! −⋯= ! (−1) (2 + 1)! 36 MATHEDUCARE.COM cos = − 2! + 4! −⋯= (−1) ( )! Miền hội tụ chuỗi | | < ∞ 1− =1+ + +⋯= 1− =1− + −⋯= (−1) Miền hội tụ chuỗi | | < 9.2 Bài tập mẫu − Bài 9.1: Khai triển chuỗi Taylor hàm sau theo lũy thừa tụ chuỗi vừa m a ( ) = c ( ) = , ( b ( ) = = + ), =− , d ( ) = Xác định miền hội = , = Giải: a ( ) = = − Ta có = =− = = ∑ = ⟹ ( )= = −∑ =− ∑ Miền hội tụ: =− ∑ = −∑ (−1) ( − 3) − ∑ ( − 3) = −∑ =∑ ( ) ( − 3) ( ) ( − 3) ( − 3) =− ∑ ( ) ( − 3) ( − 3) < ⇔ | − 3| < b ( ) = Ta có GIẢI TÍCH PHỨC 37 MATHEDUCARE.COM = = ∑ = =∑ (−1) ( ) ( − 2) Đạo hàm ta có − ( =∑ ⟹ ( )= ) ( − 2) ( = −∑ ( =∑ ) )( )( ) ( − 2) ( − 2) < ⇔ | − 2| < Miền hội tụ: c ( ) = sin( + ) = sin(( + 2) − 4) = sin( + 2) cos − sin cos( + 2) Ta có (−1) cos( + 2) = ( (−1) sin( + 2) = ∑ ⟹ ( ) = cos ) ( )! ( + 2) (2 )! (−1) ( + 2) − sin ( + )! (−1) ( + 2) (2 )! Miền hội tụ: | + 2| < ∞ d ( ) = = = ( ) Ta có ( ) ( =∑ ) ! ⟹ ( )= ∑ ( ) ! Miền hội tụ: | − 2| < ∞ Bài 9.2: Khai triển chuỗi Laurent hàm ( ) = ( ) = , = , = ∞ Giải: + Tại = ( )= ( ) =− =− ∑ = −∑ Miền hội tụ: < | | < GIẢI TÍCH PHỨC 38 MATHEDUCARE.COM + Tại = ( )= ( ) = ∑ = ( − 1) = − ∑ ( − 1) Miền hội tụ: < | − 1| < + Tại = ∞ = Đặt ⇒ ( )= = ⇒ ( )=∑ = = ∑ = =∑ Bài 9.3: Khai triển chuỗi Laurent hàm ( ) = a [...]... ( ) giải ch trong và trên + Tính = và ∮ − =− ) = 2 sin = 2 sin = sin (đpcm) VIII BÀI TOÁN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC 8.1 Kiến thức bổ trợ GIẢI TÍCH PHỨC 34 MATHEDUCARE.COM Định lý Rouche: đơn đóng | ( )| < | ( )|, ∀ ∈ Cho ( ) và ( ) giải ch trong và trên đường cong Khi đó ( ) + ( ) và ( ) có cùng số không điểm trong 8.2 Bài tập mẫu Bài 8.1 (câu 4, đề thi môn GTP – K18): Tìm số nghiệm của đa thức. .. nằm GIẢI TÍCH PHỨC 26 MATHEDUCARE.COM f Công thức ch phân Cauchy + Giả sử là miền đa liên giới hạn bởi các đường cong và các đường cong nằm trong , ( ) giải ch trong và trên biên của nó, khi đó: ( ) ∮ + ( ) giải ch trong miền đơn liên, ( ,…, = 2 ( ) là đường cong đơn, đóng nằm trong , khi đó: ( ) ∮ , = ) ! ( )( ) 7.2 Bài tập mẫu Bài 7.1: Tính ch phân = ∮ | | trong đó là biên của miền | |= ( )= Giải: ... 10 + + 14 − 4)] +7 −4 − −7 + Bài 7.5: Tính ch phân = ∮ GIẢI TÍCH PHỨC ) + (1 + − trong đó : ( − ) + ( − ) = 29 MATHEDUCARE.COM Giải: Ta có ( ) = không giải ch tại điểm = 0 nhưng điểm = 0 không nằm trong và trên C Vậy hàm ( ) giải ch trong và trên Theo định lý Cauchy-Goursat ta có = Bài 7.6: Tính ch phân = ∫ ( − ) = 0 , với được cho như hình vẽ Giải: Ta có ( ) =4 − 1 giải ch trên toán mặt phẳng phức... tại mọi điểm trên \{±1} Do đó ( ) không khả vi tại mọi trên \{±1} V BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA 5.1 Kiến thức bổ trợ a Hàm giải ch + ( ) giải ch trên miền mở GIẢI TÍCH PHỨC nếu khả vi (tồn tại đạo hàm) tại mọi điểm thuộc 18 MATHEDUCARE.COM + ( ) giải ch tại điểm nếu khả vi trong lân cận của điểm + ( ) = ( , ) + ( , ) giải ch trong miền , các ( , ), ( , )có đạo hàm riêng liên tục trên... | = c : − = Giải: a Ta có = ∮ GIẢI TÍCH PHỨC ( ) =∮ 31 MATHEDUCARE.COM Đặt ( ) = , =3 Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên = 2 (3 ) = 2 b Ta có = ∮ Đặt ( ) = ( , nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có = =∮ ) =0 Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên = 2 (0 ) = =− nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có c Ta thấy = 0 và = 3 đều nằm trong liên và theo câu a, câu b ta có =∮ ( ) =∮ ( ) Bài 7.8: Tính... trên ℂ Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) = liên tục đều trên miền | | < Giải: Đặt : { : | | < 1} Với , ′ ∈ ta có | ( ) − ( )| = | Vậy ∀ > 0, ∃ = , ∀ , Do đó ( ) = − ′ | = | − ′|| + ′| ≤ | − ∈ :| − |< |(| | + | |) < 2| − ′| ⇒ | ( ) − ( )| < 2| − | 1} là tập mở Ta có ( ) = ⇒ =( + ) = − +2 = ( , )+ ( , ) ( , )= − ( , )=2 Suy ra =2 ; GIẢI TÍCH PHỨC =2 ; = −2 ; =2 17 MATHEDUCARE.COM ⇒ = =2 à =− = −2 Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann trên tập nên ( ) có đạo... trường hợp sau: = b = c = với : | | = Giải: = 1 ta có = ∮ a Với Đặt ( ) = cos , =0 Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên (0) = 2 cos 0 = 2 =2 = 2 ta có = ∮ b Với Đặt ( ) = cos , =0⇒ ( ) = − sin Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên ta có: = c Với nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có: ! nên áp dụng công thức ch phân Cauchy cho đạo hàm (0) = −2 sin 0 = 0 = 3 ta có = ∮ GIẢI TÍCH PHỨC 32 MATHEDUCARE.COM... sin ⇒ Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên ta có: = (0 ) = − ! cos 0 = − ( ) = − cos nên áp dụng công thức ch phân Cauchy cho đạo hàm Bài 7.9 (bài 17, SGK, tr87): Tính a = ∮ ( )( b = ∮ ) ( với : | | = ) Giải: a Nhận thấy = 1 và miền đa liên ta có =∮ Với ( )( =∮ ) : | − 1| = và + Tính =∮ = 2 đều nằm trong ( )( Đặt ( ) = ( )( ) , = 2 (1) = 2 =∮ ( )( ) , = 2 (2) = 2 b = ∮ ( Đặt ( ) = GIẢI TÍCH PHỨC )(... nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có: =∮ =2 Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên +2 ( =2 Đặt ( ) = Vậy = 2 +∮ ) : | − 2| = Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên + Tính nên áp dụng theo định lý Cauchy-Goursat cho nên áp dụng công thức ch phân Cauchy ta có: =2 =4 ) , = −1 ⇒ ( )=2 ⇒ ( )=4 ⇒ ( )=8 33 MATHEDUCARE.COM Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên ta có: = ! (−1) = 8 nên áp dụng công thức ch phân Cauchy